9 Aufbau der Atome (III): Orbitalmodell - chem.uni

für internen Gebrauch
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Aufbau der Atome (III): Orbitalmodell
Grundlagen:
a) Heisenberg, 1926: Unschärferelation
Es ist unmöglich, von einem Objekt (z.B. einem Elektron) Ort und Impuls gleichzeitig exakt zu
bestimmen.
Δx@Δp$h/4π
Bild
- makroskopische Objekte: große Masse ÷ exakte Werte für x, p (klass. Mechanik, Newton)
- Bohr: e- bewegt sich auf bestimmten Bahnen (zu starke Vereinfachung)
- Quantenmechanik (besser): Das Elektron ist an einem bestimmten Ort des Atoms mit einer
gewissen Wahrscheinlichkeit anzutreffen (dreidimensionale „Elektronenwolke“)
b) de Broglie, 1924: „Materiewellen“
Teilchen haben Wellencharakter.
λ=h/m@c
- was domiert, hängt von m ab;
- Davisson, Germer 1927:
Bild
Ein Elektronenstrahl wird an einer Al-Folie auf ähnliche Weise gebeugt, wie ein Röntgenstrahl
(energiereiche, elektromagnetische Strahlung).
c) Schrödinger, 1926:
- Beschreibung des e- als dreidimensionale stehende Welle (stationärer Schwingungszustand)
- Amplitude der stehenden Welle an einem Ort ist gegeben durch die Wellenfunktion (Analogie:
schwingende Saite)
Ψ (x,y,z)
| Ψ | 2 = rel. Wahrscheinlichkeitsdichte des e- im Punkz x,y,z
- Born, 1927: statistische Deutung der Quantenmachanik
|Ψ|2=
dW
dτ
W = Wahrscheinlichkeit, dτ = Raumelement
E = E kin + E pot =
1
m @ v2 + E pot
2
p = m @ v oder v = p /m
2
(1)
E=
1 p
+ E pot
2 m
dem Impuls (z. B. in x-Richtung) entspricht der Differential-Operator
p ¸
(2)
h
d
dx
@
2π i
h2
2
p ¸ -
@
4π 2
Operator = math. Vorschrift
d2
dx 2
analog in y- und z- Richtung ableiten;
(2) in (1) einsetzen:
E= -
h2
2
8π m
@
d2
+ E pot
dx 2
Operator wirkt auf Wellenfunktion Ψ
(-
(-
-
h2
8π 2 m
h2
8π 2 m
h2
8π 2 m
d2Ψ
dx
2
d2Ψ
d x2
@
@
@
d2
dx 2
d2
dx 2
d2Ψ
d x2
+ E pot ) Ψ = E Ψ
umstellen
+ E pot ) Ψ - E Ψ = 0
ausmultiplizieren
+ E pot Ψ - E Ψ = 0
umstellen, ausklammern
- Ψ (E - E pot) ( -
+
8π 2 m
h2
8π 2 m
h2
) = 0
umstellen
(E - E pot) Ψ = 0
eindimensionale Schrödinger-Gleichung
es ist jedoch die partielle Differentiation auch nach den Raumkoordinaten y und z erforderlich,
d.h.
px ¸
h
2π i
@
δ
, analog py .... , pz ...
δx
δ 2Ψ δ 2Ψ
δ 2Ψ
8π 2 m
+
+
+
(E - E pot) Ψ = 0
h2
δ y2
δ x2
δ x2
dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
Laplace-Operator: Differenzieren nach allen drei Variablen !
ΔΨ +
8π 2 m
h2
Randbedingungen:
(E - E pot) Ψ = 0
Ψ endlich
W = I Ψ2 dτ = 1 (Normierungsbedingung)
Im Einelektronensystem gibt es eine exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung. Man erhält
Lösungsfunktionen (Eigenfunktionen).
Das Potential, in dem sich das e- im H-Atom befindet, ist kugelsymmetrisch. Deshalb ist die
Transformation der kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten günstig:
Ψ (x, y, z)
÷
Ψ (r, θ, Φ)
Skizze
Ψ als Produkt von zwei Funktionen darstellen (Separieren):
Ψ n,l,m (r, θ, Φ) = R n,l (r) @ Y l,m (θ, Φ)
Radial- Winkelfunktion* Funktion
*
nur hier erscheint Energie
Produkt der Lösungsfunktionen = Eigenfunktionen Ψ n,l,m (Atomorbitale)
Quantenzahlen ergeben sich als Eigenschaften der Funktionen R und Y.
Schlußfolgerungen aus der Schrödinger-Gleichung:
(1) Die durch die drei Quantenzahlen n, l und m charakterisierten Quantenzustände werden als
Atomorbitale (AO) bezeichnet. n, l und m = Orbitalquantenzahlen
(2) Die Atomorbitale unterscheiden sich hinsichtlich Größe, Gestalt und räumlichen
Orientierung der Ladungswolken. Diese Eigenschaften werden durch die Quantenzahlen
bestimmt.
(3) Das Atomorbital Ψ n,l,m kann als ein durch Konturen eingegrenzter Aufenthaltsraum der
Elektronen aufgefaßt werden ( | Ψ | 2 ).
(4) Durch die Begrenzungslinien (Konturen) wird meist ein Wahrscheinlichkeitsparameter,
die e- innerhalb dieses Raumes anzutreffen, von 90 bis 99 % angegeben.
(5) Innerhalb dieses durch Ψ n,l,m festgelegten Raumes können sich 2 e- aufhalten (Ausnahme:
H-Atom). Sie unterscheiden sich durch einen entgegengesetzten Spin („Eigendrehimpuls“,
+ 1 2 oder - 1 2 ).
Bedeutung der Quantenzahlen:
s. S. 63