Lösungen - TU Chemnitz

Lösungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik und Ereignisalgebra: 5, 10, 3, 6, 1
5. a) Wieviel voneinander verschiedene dreistellige (ganze positive) Zahlen kann
man mit Hilfe der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden?
Es handelt sich hierbei um Variation mit Wiederholung (Reihenfolge ist entscheidend und
die Zahlen können sich wiederholen).
Aus n = 5 Zahlen werden k = 3 ausgewählt.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist: nk = 53 = 125
b) Welches Ergebnis erhält man bei Aufgabe a), wenn jede Ziffer nur höchstens
einmal in der zu bildenden Zahl vorkommen darf?
Dies ist eine Variation ohne Wiederholung.
Aus n = 5 Zahlen werden k = 3 ausgewählt.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist:
n!
(n−k)!
=
5·4·3·2·1
2·1
= 5 · 4 · 3 = 60
10. Welche natürlichen Zahlen können im Dualsystem mit den Ziffern 0 und L bei
Zulassung von maximal 10 Stellen dargestellt werden?
Es handelt sich hierbei um Variation mit Wiederholung (Reihenfolge ist entscheidend und
die Zahlen können sich wiederholen).
Aus n = 2 Symbolen werden k = 10 gewählt.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist nk = 210 = 1024.
3. In einem Lager befinden sich n elektrische Bauteile b1 , b2 ..., bn .
Es bedeute das Ereignis Bi : zufällig ist das Teil bi defekt, i = 1, 2, ..., n.
Man beschreibe folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse Bi und Bi :
A: zufällig sind alle n Teile defekt: A = B1 ∩ . . . ∩ Bn
B: zufällig ist nur das Teil b1 defekt: B = B1 ∩ B2 ∩ . . . ∩ Bn
C: zufällig ist genau ein Teil defekt: C = (B1 ∩ B2 ∩ . . . ∩ Bn ) ∪ (B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩
. . . ∩ Bn ) ∪ . . . ∪ (B1 ∩ . . . ∩ Bn−1 ∩ Bn )
D: zufällig ist kein Teil defekt: D = B1 ∩ . . . ∩ Bn
E: zufällig ist höchstens ein Teil defekt: E = C ∪ D
F: zufällig ist wenigstens ein Teil defekt. F = D
6. Wieviel Kraftfahrzeuge lassen sich durch Kombination von..... kennzeichnen,
wobei die Umlaute ä, ü, ö ausgeschlossen bleiben sollen?
a) zwei Buchstaben und vier Ziffern
Es gibt 10 mögliche Zahlen und 26 mögliche Buchstaben.
Es handelt sich hier um Variation mit Wiederholung.
Aus n1 = 10 und n2 = 26 Zeichen werden k1 = 4 und k2 = 2 ausgewählt.
Anzahl der Möglichkeiten: nk11 · nk22 = 104 · 262 = 6.67 · 106
Dabei werden Sonderregelungen außer acht gelassen (führende Nullen, Sonderkennzeichen,
verbotene Kennzeichen...)
b) drei Buchstaben und drei Ziffern
Es handelt sich hier um Variation mit Wiederholung.
Aus n1 = 10 und n2 = 26 Zeichen werden k1 = 3 und k2 = 3 ausgewählt.
Anzahl der Möglichkeiten: nk11 · nk22 = 103 · 263 = 17.576 · 106
Bei b) gibt es 2.6 mal so viele Möglichkeiten, da eine Zahl gegen einen Buchstabe getauscht
wurde.
1. Bei der Gütekontrolle von zwei Graugussteilen wird für jedes Teil festgestellt,
ob es sofort verwendbar ist, ob sich Nacharbeit erforderlich macht oder ob ein
Teil Ausschuss ist.
a) Man gebe alle Elementarereignisse an.
V1 , V2 : Teil 1 bzw. 2 ist verwendbar
N1 , N2 : Teil 1 bzw. 2 muss nachgearbeitet werden
A1 , A2 : Teil 1 bzw. 2 ist Ausschuß.
Elementarereignisse:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
= V1 ∩ V2 (beide verwendbar)
= N1 ∩ N2 (beide Nacharbeit)
= A1 ∩ A3 (beide Ausschuß)
= (V1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ V2 ) (eins verwendbar, eins nachzuarbeiten)
= (V1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ V2 ) (eins verwendbar, eins Ausschuß)
= (A1 ∩ N2 ) ∪ (N1 ∩ A2 ) (eins nachzuarbeiten, eins Ausschuß)
Die Ek bilden ein vollständiges Ereignissystem.
b) Stelle folgende Ereignisse mit Hilfe der Elementarereignisse dar:
A: Beide Teile sind sofort verwendbar: A = E1
B: Es ist keine Nacharbeit erforderlich: B = E1 ∪ E3 ∪ E5
C: Höchstens eines der beiden Teile ist Ausschuss: C = E1 ∪E2 ∪E4 ∪E5 ∪E6 = E3
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Klassische Wahrscheinlichkeit: 11, 25, 26, 27
11. Man zerlege einen Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in
1000 kleine Würfel gleicher Größe und mische diese gründlich. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Würfel auf mindestens einer Seite gefärbt ist?
Es gibt 1000 kleine Würfel. Davon sind nur die vollständig innenliegenden, nämlich 83
Stück gar nicht gefärbt.
Anzahl der möglichen Würfel ist also 103 , Anzahl der günstigen (mindestens an einer Seite
3
3
gefärbten) Würfel ist 103 − 83 und somit ist die Wahrscheinlichkeit: p = 1010−8
= 0.488.
3
25. Ein Arbeiter bedient gleichzeitig drei unabhängig voneinander arbeitende
Werkzeugmaschinen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Verlaufe einer
Stunde die Maschine 1, 2, bzw. 3 durch den Arbeiter umgerüstet werden
muss, beträgt 1/2, 2/3 bzw. 3/4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass während einer Stunde
a) A.. keine der drei Maschinen umgerüstet werden muss
Definieren die Ereignisse Uk ... während der Stunde muss Maschine k umgerüstet werden,
wobei P (U1 ) = 1/2, P (U2 ) = 2/3 und P (U3 ) = 3/4.
Damit ist nun P (A) = P (U1 ∩ U2 ∩ U3 ) = P (U1 )P (U2 )P (U3 ) =
111
234
=
1
24
1
24
1
12
+
b) B...alle drei Maschinen umgerüstet werden müssen
P (B) = P (U1 ∩ U2 ∩ U3 ) =
123
234
=
1
4
c) C.. genau eine Maschine umgerüstet werden muss?
P (C) = P ((U1 ∩ U2 ∩ U3 ) ∪ (U1 ∩ U2 ∩ U3 ) ∪ (U1 ∩ U2 ∩ U3 )) =
+
1
8
=
1
4
26. Ein Stromkreis werde genau dann unterbrochen, wenn mindestens eines der
drei Elemente ausfällt. Die einzelnen Elemente fallen unabhängig voneinander
mit den Wahrscheinlichkeiten 0.3, 0.4 bzw. 0.6 aus.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Stromkreis geschlossen?
Definieren die Ereignisse Ak ... Element k fällt aus mit P (A1 ) = 0.3, P (A2 ) = 0.4 und
P (A3 ) = 0.6.
A... Stromkreis ist geschlossen. P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0.7 · 0.6 · 0.4 = 0.168.
b1) Wie ändert sich die unter a) gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn angenommen werden darf, dass das erste Element niemals ausfällt
P (B1 ) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 · 0.6 · 0.4 = 0.24.
b2) Wie ändert sich die unter a) gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn dem dritten Element noch zwei Reserveelemente (mit derselben Ausfallwahrscheinlichkeit von 0.6) parallel geschaltet werden?
Die Wahrscheinlichkeit, dass das dritte Element (und seine Reserven ausfallen) ist
3
3
P (Ages
3 ) = 0.6 . Die Wahrscheinlichkeit, dass es funktioniert ist somit 1 − 0.6 .
3
P (B2 ) = P (A1 ∩ A2 ∩ Ages
3 ) = 0.7 · 0.6 · (1 − 0.6 ) = 0.3293.
27. Eine Schaltung ist aus drei Blöcken A, B und C derart aufgebaut, dass sie noch
einwandfrei arbeitet, wenn in jedem Block mindestens ein Bauelement intakt
ist. Die Anzahl der Bauelemente jedes Blockes und deren Ausfallwahrscheinlichkeiten während einer bestimmten Zeiteinheit T (für alle Bauelemente eines
Blockes gleich) sind:
Block A
Block B
Bloch C
Anzahl
3
4
2
Ausfallwahrscheinlichkeit
0.15
0.20
0.10
Der Ausfall der Bauelemente erfolge unabhängig in der Gesamtheit.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet die Schaltung einwandfrei?
Definieren die folgenden Ereignisse: Ak ... Block k ist ausgefallen, wobei P (AA ) = 0.153 ,
P (AB ) = 0.24 und P (AC ) = 0.12 .
E... Schaltung arbeitet einwandfrei: P (E) = P (AA ∩ AB ∩ AC ) = (1 − 0.153 ) · (1 − 0.24 ) ·
(1 − 0.12 ) = 0.9851
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Bauelemente von Block B ausgefallen und alle Bauelemente der anderen Blöcke noch intakt?
F... alle Bauelemente von Block B ausgefallen und alle Bauelemente der anderen Blöcke
noch intakt: P (F ) = P (AA ∩ AB ∩ AC ) = (1 − 0.153 ) · 0.24 · (1 − 0.12 ) = 7.96 · 10−4
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Diskrete Verteilungen: 35, 37, 42, 47, 49
35. Eine Zufallsgröße X besitze eine gleichmäßig diskrete Verteilung auf den
Punkten x1 = 1.8 x2 = 2.0 x3 = 2.1 x4 = 2.2 .
a) Man stelle die Verteilungsfunktion F (x) dar.
Skizze:
b) Man berechne E(X) und E[(X − c)2 ] für c = 1.9 , c = 2.0 , c = E(X) .
xi
xi − 1.9 -0.1
xi − 2 -0.2
1.8
0.1
0
2.0
0.2
0.1
2.1
0.3
0.2
2.2
Es gilt:
P
xi =P14 (x1 + x2 + x3 + x4 ) = 14 (1.8 + 2.0 + 2.1 + 2.2) = 2.025
E(X) = n1
2
E(X − 1.9) = n1 P(xi − 1.9)2 = 0.0375
2
E(X − 2.0)2 = n1 (xi − 2.0)
P = 0.0225 2
1
2
2
σ = E(X − E(X)) = n (xi − E(X)) = 0.021875
37. Man berechne bei der diskreten Zufallsgröße X mit den Einzelwahrscheinlichk
keiten P (X = k) = 2k! e−2 , k = 0, 1, 2, ....
Dies ist gerade deine Poissonverteilte Zufallsgröße mit λ = 2.
a) Erwartungswert E(X) = λ = 2
b) Varianz D2 (X) = λ = 2
c)Wahrscheinlichkeit P (1 < X < 4) = P (X = 2 ∩ X = 3) = e−2
d)Wahrscheinlichkeit P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
20 −2
0! e
22
2!
+
23
3!
= 0.4511
= 0.8647 .
42. Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Drehmeißels sei für die vorgegebene Zeit T
konstant und betrage p = 0.3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von
6 unabhängig voneinander arbeitenden Drehmeißeln in der Zeit T höchstens
zwei ausfallen.
Ereignis X... Anzahl der ausfallenden Meißel
Binomialverteilung: P (X = k) = nk pk (1 − p)n−k
“Erfolgs”wahrscheinlichkeit p = 0.3, Gesamtanzahl n = 6
Also: P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = P (X = 2) = 0.7443
47. In einem großen Posten von Halbleiterelementen seien 10 % defekt. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät funktionstüchtig ist, in das 5 zufällig
ausgewählte Elemente dieses Postens eingebaut werden? Notwendig und hinreichend für die Funktionstüchtigkeit des Gerätes ist der Einbau von 5 nicht
defekten Teilen.
1. Binomialverteilung mit X... Anzahl defekter Teile. n = 5 Teile gesamt, “Erfolgs”wahrscheinlichkeit p = 0.1, k = 0 Teile dürfen defekt sein:
P (X = 0) = 50 0.10 0.95 = 0.59049
2. Poissonverteilung mit λ = 5 · 0.1 = 0.5 (d.h. im Mittel ist 1/2 Teil ausgefallen).
P (X = 0) =
0.50 −0.5
0! e
= 0.6065
49. An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich
2.5 Fahrzeuge pro Minute an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in
einer Minute...eintreffen. Man gehe davon aus, dass die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge poissonverteilt ist.
Poissonverteilung mit λ = 2.5 (im Mittel kommt 1 Fahrzeug pro Minute)
a) kein Fahrzeug: p0 = P (X = 0) =
2.50
0! e−2.5
b) genau ein Fahrzeug p1 = P (X = 1) =
= 0.082
2.51
1! e−2.5
c) genau zwei Fahrzeuge p2 = P (X = 2) =
2.5
2!
2
= 0.2052
e−2.5 = 0.2565
d) mehr als zwei Fahrzeuge P (X > 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2) =
0.4562
e) weniger als fünf Fahrzeuge P (X < 5) = p0 + p1 + p2 + p3 + p4 = 0.891
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stetige Verteilungen - Exponentialverteilung: 56, 57
56. Es sei bekannt, dass die Bedienung eines Kunden durchschnittlich 10 Minuten
dauert. Unter der Voraussetzung, dass die Bedienungszeit X exponentialverteilt ist, wird die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass ein Kunde innerhalb
einer Viertelstunde abgefertigt wird.
Sei X... Dauer pro Kunde mit E(X) =
Es gilt nun: P (X < 15) = 1 − e
−0.1·15
λ
= 10. Damit ist λ = 0.1.
= 0.7769
57. Die Strecke X, die ein Molekül durchfliegt, ehe es mit einem anderen Molekül
zusammentrifft (freie Weglänge), sei exponentialverteilt mit dem Parameter
b > 0 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die freie Weglänge...
a) zwischen 0.3 und 3.0 liegt? P (0.3 < X < 3) = P (X < 3) − P (X < 0.3) =
(1 − e−b·3 ) − (1 − e−b·0.3 )
b) größer als 1 ist? P (X > 1) = e−b
c) Die freie Weglänge sei mit der Wahrscheinlichkeit 0.05 kleiner als β. Bestimme β für b = 1.
P (X < β) = 1 − e−β = 0.05
⇒
β = − ln 0.95 = 0.05129
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung: 59, 61
59. Wie groß sind für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit µ = 0 und σ 2 = 1
die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a) P (X ≤ 2.44) = Φ(2.44) = 0.992656
b) P (X > −1.16) = P (X ≤ 1.16) = Φ(1.16) = 0.876976
c) P (X ≤ 1.92) = Φ(1.92) = 0.972571
d) P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − Φ(1) = 0.158655
e) P (X ≥ −2.9) = P (X ≤ 2.9) = Φ(2.9) = 0.998134
f) P (2 ≤ X ≤ 10) = P (X ≤ 10) − P (X ≤ 2) = Φ(10) − Φ(2) = 0.02275
61. Ein Automat soll Wellen mit dem Sollmaß d = 350mm fertigen. Die zufälligen
Fehler seien normalverteilt mit σ = 0.5mm . Auf Grund eines Einstellfehlers
werden am Automaten 349.8 mm eingestellt. Das Ergebnis der Arbeit sind 3
Kategorien von Wellen:
A-Wellen mit d < 349.2mm (unbrauchbar)
B-Wellen mit 349.2 ≤ d < 350.5mm (sofort verwendbar)
C-Wellen mit d ≥ 350.5mm (müssen nachgearbeitet werden)
Nach Fertigung von 300 Wellen wird der Einstellfehler bemerkt.
a) Wieviel Wellen entfallen im Mittel auf jede der 3 Kategorien?
d genügt Normalverteilung mit Mittelwert µ = 349.8 und Standardabweichung σ = 0.5.
P (d < 349.2) = Φ 349.2−349.8
= 1 − Φ(1.2) = 0.11507 (35 Teile)
0.5
P (349.2 ≤ d < 350.5) = P (350.5) − 0.11507 = Φ 350.5−349.8
− 0.11507 = 0.80417 (241
0.5
Teile)
P (d ≥ 350.5) = 1 − Φ 350.5−349.8
= 0.08757 (24 Teile)
0.5
b) Wieviel wären es bei ordnungsgemäßer Einstellung gewesen?
d genügt Normalverteilung mit Mittelwert µ = 350 und Standardabweichung σ = 0.5.
P (d < 349.2) = Φ 350−349.8
= 1 − Φ(1.6) = 0.054799 (16 Teile)
0.5
P (349.2 ≤ d < 350.5) = P (350.5)−0.054799 = Φ 350.5−350
−0.054799 = 0.786546 (236
0.5
Teile)
P (d ≥ 350.5) = 1 − Φ 350.5−350
= 0.158655 (48 Teile)
0.5