Teil 4 - TU Chemnitz

Beleg Höhere Mathematik 4 - Teil 4
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik und Ereignisalgebra: 5, 10, 3, 6, 1
5. a) Wieviel voneinander verschiedene dreistellige (ganze positive) Zahlen kann man mit
Hilfe der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden?
b) Welches Ergebnis erhält man bei Aufgabe a), wenn jede Ziffer nur höchstens einmal
in der zu bildenden Zahl vorkommen darf?
10. Welche natürlichen Zahlen können im Dualsystem mit den Ziffern 0 und L bei Zulassung
von maximal 10 Stellen dargestellt werden?
3. In einem Lager befinden sich n elektrische Bauteile b1 , b2 ..., bn .
Es bedeute das Ereignis Bi : zufällig ist das Teil bi defekt, i = 1, 2, ..., n.
Man beschreibe folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse Bi und Bi :
A: zufällig sind alle n Teile defekt
B: zufällig ist nur das Teil b1 defekt
C: zufällig ist genau ein Teil defekt
D: zufällig ist kein Teil defekt
E: zufällig ist höchstens ein Teil defekt
F: zufällig ist wenigstens ein Teil defekt.
6. Wieviel Kraftfahrzeuge lassen sich durch Kombination von
a) zwei Buchstaben und vier Ziffern bzw.
b) drei Buchstaben und drei Ziffern
kennzeichnen, wobei die Umlaute ä, ü, ö ausgeschlossen bleiben sollen?
1. Bei der Gütekontrolle von zwei Graugussteilen wird für jedes Teil festgestellt, ob es sofort
verwendbar ist, ob sich Nacharbeit erforderlich macht oder ob ein Teil Ausschuss ist.
a) Man gebe alle Elementarereignisse an.
b) Stelle folgende Ereignisse mit Hilfe der Elementarereignisse dar:
A: Beide Teile sind sofort verwendbar.
B: Es ist keine Nacharbeit erforderlich.
C: Höchstens eines der beiden Teile ist Ausschuss.
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Klassische Wahrscheinlichkeit: 11, 25, 26, 27
11. Man zerlege einen Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in 1000 kleine
Würfel gleicher Größe und mische diese gründlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass ein zufällig ausgewählter Würfel auf mindestens einer Seite gefärbt ist?
25. Ein Arbeiter bedient gleichzeitig drei unabhängig voneinander arbeitende Werkzeugmaschinen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Verlaufe einer Stunde die Maschine 1, 2,
bzw. 3 durch den Arbeiter umgerüstet werden muss, beträgt 1/2, 2/3 bzw. 3/4.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während einer Stunde
a) keine der drei Maschinen umgerüstet werden muss
b) alle drei Maschinen umgerüstet werden müssen
c) genau eine Maschine umgerüstet werden muss?
26. Ein Stromkreis werde genau dann unterbrochen, wenn mindestens eines der drei Elemente
ausfällt. Die einzelnen Elemente fallen unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0.3, 0.4 bzw. 0.6 aus.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Stromkreis geschlossen?
b) Wie ändert sich die unter a) gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn
b1) angenommen werden darf, dass das erste Element niemals ausfällt,
b2) dem dritten Element noch zwei Reserveelemente (mit derselben Ausfallwahrscheinlichkeit von 0.6) parallel geschaltet werden?
27. Eine Schaltung ist aus drei Blöcken A, B und C derart aufgebaut, dass sie noch einwandfrei
arbeitet, wenn in jedem Block mindestens ein Bauelement intakt ist. Die Anzahl der Bauelemente jedes Blockes und deren Ausfallwahrscheinlichkeiten während einer bestimmten
Zeiteinheit T (für alle Bauelemente eines Blockes gleich) sind:
Block A
Block B
Bloch C
Anzahl
Ausfallwahrscheinlichkeit
3
4
2
0.15
0.20
0.10
Der Ausfall der Bauelemente erfolge unabhängig in der Gesamtheit.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet die Schaltung einwandfrei?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Bauelemente von Block B ausgefallen und
alle Bauelemente der anderen Blöcke noch intakt?
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Diskrete Verteilungen: 35, 37, 42, 47, 49
35. Eine Zufallsgröße X besitze eine gleichmäßig diskrete Verteilung auf den Punkten
x1 = 1.8 x2 = 2.0 x3 = 2.1 x4 = 2.2 .
a) Man stelle die Verteilungsfunktion F (x) dar.
b) Man berechne E(X) und E[(X − c)2 ] für c = 1.9 , c = 2.0 , c = E(X) .
37. Man berechne bei der diskreten Zufallsgröße X mit den Einzelwahrscheinlichkeiten P (X =
k
k) = 2k! e−2 , k = 0, 1, 2, ....
a) E(X) , b) D2 (X) ,
c) P (1 < X < 4) , d) P (X ≥ 1) .
42. Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Drehmeißels sei für die vorgegebene Zeit T konstant
und betrage p = 0.3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 6 unabhängig
voneinander arbeitenden Drehmeißeln in der Zeit T höchstens zwei ausfallen.
47. In einem großen Posten von Halbleiterelementen seien 10 % defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät funktionstüchtig ist, in das 5 zufällig ausgewählte Elemente
dieses Postens eingebaut werden? Notwendig und hinreichend für die Funktionstüchtigkeit
des Gerätes ist der Einbau von 5 nicht defekten Teilen.
49. An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2.5 Fahrzeuge
pro Minute an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute
a) kein Fahrzeug
b) genau ein Fahrzeug
c) genau zwei Fahrzeuge
d) mehr als zwei Fahrzeuge
e) weniger als fünf Fahrzeuge
eintreffen. Man gehe davon aus, dass die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge poissonverteilt ist.
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stetige Verteilungen - Exponentialverteilung: 56, 57
56. Es sei bekannt, dass die Bedienung eines Kunden durchschnittlich 10 Minuten dauert. Unter der Voraussetzung, dass die Bedienungszeit X exponentialverteilt ist, wird die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass ein Kunde innerhalb einer Viertelstunde abgefertigt
wird.
57. Die Strecke X, die ein Molekül durchfliegt, ehe es mit einem anderen Molekül zusammentrifft (freie Weglänge), sei exponentialverteilt mit dem Parameter b > 0 .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die freie Weglänge
a) zwischen 0.3 und 3.0 liegt?
b) größer als 1 ist?
c) Die freie Weglänge sei mit der Wahrscheinlichkeit 0.05 kleiner als β.
Bestimme β für b = 1 .
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung: 59, 61
59. Wie groß sind für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit µ = 0 und σ 2 = 1 die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a) P (X ≤ 2.44) , b) P (X > −1.16) , c) P (X ≤ 1.92) ,
d) P (X > 1) , e) P (X ≥ −2.9) , f) P (2 ≤ X ≤ 10) ?
61. Ein Automat soll Wellen mit dem Sollmaß d = 350mm fertigen. Die zufälligen Fehler seien
normalverteilt mit σ = 0.5mm . Auf Grund eines Einstellfehlers werden am Automaten
349.8 mm eingestellt. Das Ergebnis der Arbeit sind 3 Kategorien von Wellen:
A-Wellen mit d < 349.2mm (unbrauchbar)
B-Wellen mit 349.2 ≤ d < 350.5mm (sofort verwendbar)
C-Wellen mit d ≥ 350.5mm (müssen nachgearbeitet werden)
Nach Fertigung von 300 Wellen wird der Einstellfehler bemerkt.
a) Wieviel Wellen entfallen im Mittel auf jede der 3 Kategorien?
b) Wieviel wären es bei ordnungsgemäßer Einstellung gewesen?