Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
BMT Biostatistik
Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Aufgabe 1)
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte
P(X > 200h) = 0,5 sowie P(X > 100 h) = 0,8.
Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100 h ‚leben’ überleben auch 200 h?
Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander?
Aufgabe 2)
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür T1 zu bestehen
sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab: ist T1 bestanden worden, so
besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, sonnst ist sie 0,5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu bestehen?
Aufgabe 3)
Sei G ein System, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Baueinheiten E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Baueinheiten fehlerfrei arbeiten.
Berechnen Sie für die Szenarien a) und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
a) Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass
E2 fehlerfrei arbeitet unter der Vorrausetzung, dass auch E1 fehlerfrei arbeitet, ist 0,90.
Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerfrei arbeitet sei 0,85.
b) Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2 verhalten
sich stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerhaft arbeitet sei 20
% und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 fehlerhaft arbeitet sei 10 %.
Zuverlässigkeitstheorie mit stochastischer Unabhängigkeit
Aufgabe 4)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet
enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente
der Reihe ausfällt. Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1 % nicht
überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
1
Aufgabe 5)
Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Gerätes mit 2 in Reihe geschalteten Bauelementen E1
und E2 kann auf folgende 2 Arten verringert werden:
a) Vervielfachung der Reihe
b) Vervielfachung der einzelnen Bauelemente
Das Gerät funktioniert wie eine Reihen – bzw. Parallelschaltung: Eine Reihe fällt aus, falls
mindetstens eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt. Ein Block parallel geschalteter
Bauelemente fällt aus, wenn alle Bauelemente des Blocks ausfallen.
Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
P(Ei j = not OK) = q für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Bei welcher der beiden Varianten a) oder b) ist die Ausfallwahrscheinlichkeit des Gerätes geringer,
d.h. welche Variante würden Sie (in Abhängigkeit von n) bevorzugen?
Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 6)
Beweisen Sie die Formel von Bayes und die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit!
Satz:
1) Es gilt: P( A / B) =
P( B / A) P( A)
P( B)
(Formel von Bayes)
2) Seien A1,..., An n Ereignisse mit folgenden Eigenschaften:
1. A1 ∪ ... ∪ An = A und 2. Ai ∩ A j = Φ für i≠j.
n
Dann gilt: P(A)= ∑ P( A / Ai ) P( Ai )
(Formel der totalen Wahrscheinlichkeit)
i =1
Lösen Sie folgende Aufgaben mit Hilfe der Formel von Bayes und der Formel der totalen
Wahrsheinlichkeit!
Aufgabe 7)
Ein bestimmtes Bauteil wird auf seine Zuverlässigkeit untersucht. Die technische Prüfung
erfolgt dabei so: Das Bauteil Gerät wird als defekt eingestuft, wenn eine Lampe bei Eingabe
eines bestimmten Stromsignals aufleuchtet (Ereignis B). In jedem anderen Fall wird das
Bauteil als O.K. eingestuft. Es soll die Es soll die Zuverlässigkeit dieses Testverfahrens, d.h.
die Trennschärfe des Verfahrens, untersucht werden. Aus vorhergehenden Untersuchungen
sei bekannt, dass 2 % aller Bauteile defekt sind. Es sei weiterhin bekannt, dass bei 90% aller
Bauteile, die defekt sind, die Lampe tatsächlich aufleuchtet, aber leider auch bei 1% aller
Bauteile, die O.K. sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil, welches als defekt
eingestuft wurde auch wirklich defekt ist?
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b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht defekt eingestuftes
Bauteil O.K. ist?
Aufgabe 8)
Eine Firma bezieht jeweils 30 %, 20% bzw. 50% von benötigten Teilen von 3 verschiedenen
Zulieferern Z1, Z2 bzw. Z3. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den
gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 und Z3 2% bzw. 0,5 % beträgt.
a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis A) erhält die Firma insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Teil ist Ausschuss’ und ‚Teil stammt von Zulieferer
Z1’ stochastisch unabhängig voneinander ? (Begründung!)
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