Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
BMT Biostatistik
Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeit für 2 Ereignisse
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit : P( B) = P( B | A) P( A) + P( B | A ) P( A )
P( B | A) P ( A)
Formel von Bayes: P( A / B) =
P( B)
Aufgabe 1)
Ein bestimmtes Bauteil wird auf seine Zuverlässigkeit untersucht. Die technische Prüfung
erfolgt dabei so: Das Bauteil Gerät wird als defekt eingestuft, wenn eine Lampe bei Eingabe
eines bestimmten Stromsignals aufleuchtet (Ereignis B). In jedem anderen Fall wird das
Bauteil als O.K. eingestuft. Es soll die Es soll die Zuverlässigkeit dieses Testverfahrens, d.h.
die Trennschärfe des Verfahrens, untersucht werden.
Sei A also das Ereignis „das Bauteil ist defekt“ und B das Ereignis: „das Bauteil wird als
defekt eingestuft “, bzw. die Lampe brennt.
Aus vorhergehenden Untersuchungen sei bekannt, dass 2 % aller Bauteile defekt sind. Es sei
weiterhin bekannt, dass bei 90% aller Bauteile, die defekt sind, die Lampe tatsächlich
aufleuchtet, aber leider auch bei 1% aller Bauteile, die O.K. sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil, welches als defekt
eingestuft wurde auch wirklich defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht defekt eingestuftes
Bauteil O.K. ist?
c) Sind die Ereignisse A (Bauteil ist defekt) und B („Lampe leuchtet“) stochastisch
unabhängig voneinander? (Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch
unabhängig, falls gilt P(A/B)=P(A)).
Aufgabe 2)
Ein praktisches Beispiel für die Anwendung des Satzes von Bayes und die Besonderheiten bei
der Auswertung der Ergebnisse ist der sogenannte Elisa-Test auf HIV.
Der Elisa-Test hat zwei Kennzeichen:
1. Die Sensitivität; das ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der Test korrekterweise ein
positives Ergebnis liefert (Aids anzeigt), sofern die Person infiziert ist. Diese
Wahrscheinlichkeit beträgt 99.9%.
2. Die Spezifität, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ebenfalls korrekterweise kein
positives Ergebnis liefert, wenn die Person nicht infiziert ist. Beim Elisa-Test beträgt sie
99.5%.
Weiterhin sei die Prävalenz, das ist die Häufigkeit der HIV-Infektion in einer bestimmten
Bevölkerungsgruppe gleich 0,1% .
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person tatsächlich infiziert ist,
wenn sie ein positives Testresultat hat.
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b) Untersuchen Sie, wie sich beim Elisa-Test die Wahrscheinlichkeit für ein falsch
positives Resultat (d.h. eine als HIV-infiziert diagnostizierte Person ist gesund)
ändert, wenn Sie die Prävalenz auf 0.01 und 0.02 erhöhen
(und die Eigenschaften des Tests, also Sensitivität und Spezifität, sonst unverändert
lassen). Was stellen Sie fest?
c) Berechnen Sie für eine Prävalenz von 0,1% die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
Person tatsächlich nicht infiziert ist, wenn sie ein negatives Testresultat hat.
Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeit für mehr als 2 Ereignisse
Seien A1,...,An n Ereignisse aus der Grundmenge Ω mit folgenden Eigenschaften:
1. Ai ∩ A j = Φ für i≠ j (keine 2 Ereignisse treten gleichzeitig ein)
2. A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω (Ai bilden eine vollständige Zerlegung von Ω)
Dann gilt:
n
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit : P ( B ) = ∑ P ( B / Ai ) P ( Ai )
i =1
Formel von Bayes: P ( Ai / B ) =
P ( B | Ai ) P ( Ai )
P( B)
Aufgabe 3)
Im Einzugsbereich eines Arztes befinden sich folgende Bevölkerungsgruppen: 30 % im Alter
von 18 bis 50 Jahre (A1) , 20% unter 18 Jahre (A2) und 50% über 50 Jahren (A3).
Aus statistischen Erhebungen ist bekannt, dass sich die Patienten, die den Arzt aufsuchen,
sich pro Monat wie folgt auf die Altersgruppen verteilen: 1% der Personen der Altersklasse s
A1 suchen den Arzt pro Monat auf, 2% der unter 18 jährigen und 0,5 % der über 50 jährigen.
a) Wie viel % aller Personen suchen den Arzt insgesamt pro Monat auf?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört ein Patient zur 3. Gruppe der über 50
jährigen?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Person ist krank (sucht Arzt auf)’ und ‚Person gehört
zu den über 50 jährigen’ stochastisch unabhängig voneinander ? (Begründung!)
Aufgabe 4)
Eine Firma bezieht jeweils 30 %, 20% bzw. 50% von benötigten Teilen von 3 verschiedenen
Zulieferern Z1, Z2 bzw. Z3. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den
gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 und Z3 0,5 % beträgt.
a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis A) erhält die Firma insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Teil ist Ausschuss’ und ‚Teil stammt von Zulieferer
Z1’ stochastisch unabhängig voneinander ? (Begründung!)
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Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Aufgabe 5)
Sei G ein System, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Baueinheiten E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Baueinheiten fehlerfrei arbeiten.
Berechnen Sie für die Szenarien a) und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
a) Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass
E2 fehlerfrei arbeitet unter der Vorrausetzung, dass auch E1 fehlerfrei arbeitet, ist 0,90.
Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerfrei arbeitet sei 0,85.
b) Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2 verhalten
sich stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerhaft arbeitet sei 20
% und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 fehlerhaft arbeitet sei 10 %.
Aufgabe 6)
n Ereignisse A1,...,An heißen gegenseitig stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl
A(1), ..., A(k) von k aus diesen n Ereignissen gilt, dass die Verbundwahrscheinlichkeit gleich
dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
P(A(1)∩ ... ∩A(k)) = P(A(1)) * ... * P( A(k)).
N Beobachter arbeiten stochastisch unabhängig voneinander. Jeder einzelne von Ihnen macht
auch Fehler und übersieht ein Signal mit der Wahrscheinlichkeit p (gleiche
Wahrscheinlichkeit für alle N Beobachter). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
alle N Beobachter ein Signal übersehen ?
Zuverlässigkeitstheorie mit stochastischer Unabhängigkeit
Aufgabe 7)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet
enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden
Bauelemente der Reihe ausfällt. Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig
voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j
= 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1
% nicht überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
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