Übung 7 (Klassische Wahrscheinlichkeit, bedingte Wkt

Übungs-Blatt 7
Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte
Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Master M Höhere und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. B. Grabowski
Klassische Wahrscheinlichkeit (= Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen)
Wir betrachten einen Laplace-Versuch (Glücksspiel) V mit der Grundmenge Ω. Dann gilt
| A|
für beliebige Ereignisse A ⊆Ω: P( A) =
(siehe Übungsblatt 6, Aufgabe 9).
|Ω|
Diese Wahrscheinlichkeit nennt man klassische Wahrscheinlichkeit.
Die Anzahlen |Ω| und |A| der Elemente in A und Ω kann man oft unter Verwendung der
folgenden 2 kombinatorischen Aussagen lösen:
1) Es gibt genau n! verschiedenen Anordnungen von n Objekten auf n Plätze.
n
n!
verschiedene k-elementigen Teilmengen einer
2) Es gibt genau   =
 k  k!⋅(n − k )!
n-elementigen Menge.
Lösen Sie nun folgende Aufgaben mittels klassischer Wahrscheinlichkeit:
Aufgabe 1) (Würfeln mit 3 Würfeln)
Sei V der zufällige Versuch „ Würfeln mit 3 gleichmäßigen Würfeln (einem roten, einem
blauen und einem grünen)“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A1= „Alle 3 Augenzahlen sind gleich“
b) A2 = „Alle 3 Augenzahlen sind verschieden voneinander“
c) A3 = „ Mindestens eine 6 ist dabei“
d) A4 = „ Die Summe der Augenzahlen ist 6“
e) A5 = „Mindestens zwei Sechsen sind gewürfelt worden“
f) A6 = „ Es sind die Augenzahlen 1, 2 und 3 gewürfelt worden“
Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Aufgabe 2)
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte
P(X > 200h) = 0,5 sowie P(X > 100 h) = 0,8.
Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100 h ‚leben’ überleben auch 200 h?
Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander?
Aufgabe 3)
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür T1 zu bestehen
sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab: ist T1 bestanden worden, so
besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, sonnst ist sie 0,5.
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu bestehen?
Aufgabe 4)
Sei G ein System, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Baueinheiten E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Baueinheiten fehlerfrei arbeiten.
Berechnen Sie für die Szenarien a) und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
a) Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit,
dass E2 fehlerfrei arbeitet unter der Vorrausetzung, dass auch E1 fehlerfrei arbeitet, ist
0,90. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerfrei arbeitet sei 0,85.
b) Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2
verhalten sich stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerhaft
arbeitet sei 20 % und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 fehlerhaft arbeitet sei 10 %.
Aufgabe 5) (Multiplikationssatz)
Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe!
In einem Paket von 10 gleichartigen Bauteilen befinden sich 2 defekte.
Bei der Qualitätskontrolle werden zufällig aus diesem Paket 3 Teile entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen beide defekten
Teile befinden?
Zuverlässigkeitstheorie mit stochastischer Unabhängigkeit
Aufgabe 6)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet
enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente
der Reihe ausfällt. Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1 % nicht
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überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
Satz von Bayes und totale Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 7)
Sei V ein zufälliger Versuch mit Grundmenge Ω.
B⊆Ω sei ein beliebiges Ereignis zu V mit P(B)≠0.
Seien A1, A2,...,An n weitere Ereignisse ( Ai ⊆ Ω , i=1,...,n) mit folgenden Eigenschaften:
n
1)
∪A
i
= Ω und
2) Ai ∩ A j = Φ für alle i≠j.
i =1
a) Zeigen Sie, dass unter diesen Bedingungen folgende Formeln gelten:
n
I. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: P ( B ) = ∑ P ( B / Ai ) P ( B )
i =1
(Hinweis: Verwenden Sie die Beziehung: B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ An ) und die
Gesetze des Rechnens mit Warscheinlichkeiten).
II. Satz von Bayes: P ( Ak / B ) =
P ( B / Ak ) P ( Ak )
P( B / Ak ) P( Ak )
= n
P( B)
∑ P(B / Ai ) P( Ai )
i =1
b) Wie lautet der Satz von Bayes, falls n=2, A1=A und A2 = A ist?
Warum sind A1=A und A2 = A ein vollständiges Ereignissystem?
Aufgabe 8)
Ein bestimmtes Bauteil wird auf seine Zuverlässigkeit untersucht. Die technische Prüfung
erfolgt dabei so: Das Bauteil Gerät wird als defekt eingestuft, wenn eine Lampe bei Eingabe
eines bestimmten Stromsignals aufleuchtet (Ereignis B). In jedem anderen Fall wird das
Bauteil als O.K. eingestuft. Es soll die Es soll die Zuverlässigkeit dieses Testverfahrens, d.h.
die Trennschärfe des Verfahrens, untersucht werden.
Sei A also das Ereignis „das Bauteil ist defekt“ und B das Ereignis: „das Bauteil wird als
defekt eingestuft “, bzw. die Lampe brennt.
Aus vorhergehenden Untersuchungen sei bekannt, dass 2 % aller Bauteile defekt sind. Es sei
weiterhin bekannt, dass bei 90% aller Bauteile, die defekt sind, die Lampe tatsächlich
aufleuchtet, aber leider auch bei 1% aller Bauteile, die O.K. sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil, welches als defekt
eingestuft wurde auch wirklich defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht defekt eingestuftes
Bauteil O.K. ist?
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Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte
Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
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(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=2 und definieren Sie A1=A und A2 = A )
Aufgabe 9)
Eine Firma bezieht jeweils 30 %, 20% bzw. 50% von benötigten Teilen von 3 verschiedenen
Zulieferern Z1, Z2 bzw. Z3. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den
gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 und Z3 2% bzw. 0,5 % beträgt.
a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis A) erhält die Firma insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1?
c) Sind die beiden Ereignisse: ‚Teil ist Ausschuss’ und ‚Teil stammt von Zulieferer
Z1’ stochastisch unabhängig voneinander ? (Begründung!)
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Bayes für n=3 und definieren Sie B, A1, A2 und A3
auf geeignete Weise!)
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