4.9 Gravitation und Planetenbewegung 4.9 Keplersche Gesetze
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4.9 Gravitation und Planetenbewegung Aus astronomischen Beobachtungen der Planetenbewegungen kann das Gravitationsgesetz abgeleitet werden. Pythagoräer: Planeten kreisen um die Sonne Kopernikus: Heliozentristisches Weltbild Von 1573-1601 sammelte Tycho Brahe mit bloßem Auge (ohne Fernrohr) sehr präzise Daten der Planetenbewegungen. Kopernikus (1473-1543) Brahe (1546-1601) Johannes Kepler hat mit Hilfe dieser Daten die Keplerschen Gesetze abgeleitet. Kepler erkannte nicht das Gravitationsgesetz, das aus seinen Gesetzen abgeleitet werden kann. Kepler (1571-1630) 4.9 Keplersche Gesetze 1. Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Gesetz: Die Verbindungslinie r zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Flächensatz) 3. Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen. 2 3 T1 a = 13 2 T2 a2 1 4.9 Newton und die Gravitation Ursprünglich fand Newton 1665 das Gravitationsgesetz aus folgender einfachen Abschätzung: Ein Apfel, der vom Baum fällt, wird durch die Gravitation mit ca. 10 m s-2 (g) beschleunigt. Auf den Mond wirkt die Zentripetalbeschleunigung Er wird demnach mit 2 aZ = v Mond . rMondbahn m v2 a= = 0.00273 2 s r Isaak Newton (1643 – 1727) beschleunigt. rMondbahn 60 ≈ rErde 1 a Mond 1 1 ≈ = 2 Verhältnis der Beschleunigungen: g 3600 60 Verhältnis der Radien: Daraus zog Newton den kühnen Schluss, dass F ∝ r-2 4.9 Gravitationsgesetz Ableitung aus dem 3. Keplerschen Gesetz Annahme (zur Vereinfachung): Planetenbahnen sind Kreisbahnen Zentripetalbeschleunigung 3. Keplerschen Gesetz az = ω 2r = 1 c = 3 , c = konstant 2 T r ⇒ az = 4π 2 c r2 ⇒ 4π 2 c m = FG = m a z = r2 Kraft 4π 2 r T2 Wegen dem Reaktionsprinzip muss die Kraft auch von der zweiten Masse M (Sonne) abhängen Kraft fällt mit r-2 ab und ist proportional zur Masse m des Planeten Gravitationsgesetz: FG = − G M ⋅m r2 2 4.9 Messung der Gravitationskonstante An der Erdoberfläche wird eine Masse m mit der Kraft FG angezogen FG = − G m ⋅ mErde r2 G ist die am wenigsten genau bekannte Naturkonstante. G = 6.673(10) 10-11 m3 kg-1 s-2 (CODATA 1998) Der Erdradius ist direkt messbar, nicht aber die Erdmasse ! Aus einer Messung der Kraft Produkt FG kann nur das G⋅ mErde bestimmt werden ! Die Gravitationskonstante ist also nicht aus Planetenbewegungen ableitbar, da Massen der Sonne und der Planeten unbekannt ist. Gravitationskonstante G ist nur messbar, wenn beide beteiligten Massen separat ausgemessen werden können. 4.9 Bestimmung der Erdmasse Bei kugelsymmetrischen Massen darf mit Punktmasse im Mittelpunkt gerechnet werden. (Mathematischer Beweis wird hier nicht gezeigt.) Erdradius: 6378 km (Äquator) g =G mErde r 2 Erde → mErde = g r 2 Erde . G → Erdmasse: 5.98 1024 kg Mit der Erdmasse, der Gravitationskonstante, dem Bahnradius der Erde und der Dauer eines Jahres lässt sich die Sonnenmasse bestimmen 3 Zusammenfassung 12.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes 4.2 Dynamik eines Massenpunktes 4.3 Kräfte 4.4 Impuls 4.5 Arbeit, Energie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Drehimpuls und Drehmoment 4.8 Bewegung im Zentralpotential 4.9 Gravitation und Planetenbewegung Keplersche Gesetze Newton und die Gravitation Gravitationsgesetz Messung der Gravitationskonstante Versuch: Gravitationsdrehwaage Gravitationskonstante Präzisionsmessung von G Bestimmung der Erdmasse Ein schönes Wochenende 4.9 Messung der Fallbeschleunigung z.B. Messung der Fallzeit: (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) x (t ) = a 2 t 2 ⇒ t= 2x a daraus Bestimmung der Fallbeschleunigung Mittlerer Wert: g = 9.81 m g s-2 Versuch: Periodendauer eines Fadenpendels (→ Schwingungen) Präzisionsmessung mit Gravimeter: Absolutbestimmung von g mit Fallversuch Ortsmessung x(t) mit Laserinterferometer und Atomuhr Zurückführung auf Ort- und Zeitmessung ergibt hohe Genauigkeit Relativer Fehler: 10-9 4 4.9 Relatives Gravimeter kapazitive Abstandsmessung supraleitende Kugel supraleitende Spule Supraleitende Kugel schwebt über supraleitender Spule Abstoßendes Magnetfeld (Meißner-Ochsenfeld-Effekt) Elektrische Ströme sehr konstant (ändern sich unmerklich in 105 Jahren) Abstoßende Kraft viel konstanter als Erdanziehungskraft Kraftänderungen ändern die Position der schwebenden Kugel um wenige nm Relative Empfindlichkeit für g: 10-11 4.9 Anwendungen der Gravimetrie Geophysikalische Einflüsse auf die Fallbeschleunigung: Periode Effekt Größe [nm s-2] 0.1s –20 s Seismik < 10000 1min –1h Oszillationen der Erde < 10 4h – 8h Slichter Moden 0.1 8h-∞ Tidenhub < 3000 Erdkernschwingungen 0.01 1min-1a Diurnal Free Wobble (NDFW) 0.1 Luftdruckschwankungen < 300 -3 hPa-1 Grundwasserschwankungen 100 365 d Jahrestide 30-60 436 d Polbewegung < 80 Geoforschungszentrum Potsdam www.gfz-potsdam.de 5 4.10 Gravitationsfeld Es wird die Kraft auf eine kleine Masse in der Nähe der Masse M gemessen. Der Betrag der Kraft ist FG = G m r→ m⋅M r2 M Die Richtung der Kraft zeigt auf → Masse M, d.h. in Richtung von -r . → r r m⋅M r m⋅M r FG = −G r 2 ⋅ r = −G r 2 ⋅ er r r r FG Um das Feld unabhängig von der Masse m des Probekörpers zu machen, führt man die Feldstärke g ein. r r r r F (r ) M r g (r ) = = − G r 2 er . m r 4.10 Darstellung der Feldstärke durch Feldlinien Jede Feldlinie beginnt im Unendlichen und endet an einer Masse. Die Richtung der Feldlinie stimmt an jedem Punkt mit der Richtung der Kraft auf eine Probemasse überein. Die Dichte der Feldlinien pro Flächeneinheit (bei senkrechtem Durchstoßen) ist proportional zum Betrag der Kraft. Feldlinie Äquipotentiallinie 6 4.10 Gravitationspotential Gravitationsfeld ist ein Zentralkraftfeld → Feld lässt sich als Gradient eines Potentials darstellen r r r r r FG (r ) = − grad Φ G (r ) = −∇ Φ G (r ) Zu zeigen, dass r Φ G (r ) = −G Mm r das Gravitationspotential ist: ∂ ∂x r r1 ∂ 1 r − ∇Φ G (r ) = G M m ∇ = G M m ∂y x 2 + y 2 + z 2 r ∂ ∂z x r r GMm y = −G M m r 3 =− r (x 2 + y 2 + z 2 )3 2 z 4.10 Potential einer Punktmasse r Φ G (r ) = −G Mm r 7 Zusammenfassung 16.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes 4.2 Dynamik eines Massenpunktes 4.3 Kräfte 4.4 Impuls 4.5 Arbeit, Energie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Drehimpuls und Drehmoment 4.8 Bewegung im Zentralpotential 4.9 Gravitation und Planetenbewegung Keplersche Gesetze Gravitationsgesetz Messung der Fallbeschleunigung, Gravimetrie 4.10 Himmelsmechanik Gravitationsfeld Gravitationsfeldstärke einer Punktmasse Feldstärke von zwei Punktmassen Zerlegung der Feldstärke in Komponenten Drei Punktmassen Zwei unterschiedliche Massen Darstellung der Feldstärke durch Feldlinien Gravitationspotential 4.10 Bewegungsgleichung r r Ausgehend vom Startpunkt r (t = 0 ) = r0 r r mit Startgeschwindigkeit v (t = 0 ) = v0 wird in jedem Moment folgendes berechnet: aus der Kraft die Beschleunigung = Änderung der Geschwindigkeit, r r r&& F ( r ) r= m → r r r& F ( r ) r v= = a. m daraus die neue Geschwindigkeit = Änderung des Ortsvektors, r r r FG (r (t )) r r r (t ) v (t + ∆t ) − v (t ) = ∆ t = −G M r 3 ∆ t m r (t ) r r r r (t ) v (t + ∆t ) = −G M r 3 ∆ t + v (t ) r (t ) r r r daraus der neue Ort: r (t + ∆t ) − r (t ) = v (t )∆ t r r r r (t + ∆t ) = v (t )∆ t + r (t ) 8 4.10 Äquivalentes eindimensionales Potential äquivalente potentielle Energie GM m L2 − + r 2m r2 Rotationsenergie L2 2m r2 − GM m r potentielle Energie 4.10 Bahnkurven im Gravitationspotential Zentralkraftpotential – somit gelten: Energieerhaltung Drehimpulserhaltung E kin + E pot = konst r r m r × v = konst Lösungen des Zweiköperproblems liegen in Ebene → Mm 1 1 E kin = m v 2 = m ( ρ& 2 + ρ 2ϕ& 2 ), E pot = −G , ρ 2 2 1 1 L2 GMm Energieerhaltung: m ρ& 2 + − = Etot 2 2 2 mρ ρ Eliminieren von ρ2 Zylinderkoordinaten r L = L = m ρ 2ϕ& t dϕ L = dt m ⇒ dϕ L = 2 dt ρ m ⇒ d ρ d ρ dϕ d ρ L = = dt dϕ dt dϕ ρ 2 m 2 1 L2 d ρ 1 L2 GM m − = Etot + 4 2 2 ρ m dϕ 2 m ρ ρ 9 4.10 Kegelschnitte 2 1 L2 d ρ 1 L2 GM m − = Etot + 4 2 2 ρ m dϕ 2 m ρ ρ Lösung der Differentialgleichung liefert: ρ= 2 Etot L2 1 L2 , 1 mit ε = + G M m 2 (1 + ε cos(ϕ )) G 2 M 2 m3 ε Etot >1 >0 1 0 <1 0 Hyperbel Parabel <0 − 2 2 G M m 2 L2 Ellipse 3 Kreis 4.10 Warum heißen die Bahnen Kegelschnitte ? Kreis Winkel der Schnittebene zur „Senkrechten“ ist größer als der halbe Öffnungswinkel des Kegels Ellipse Parabel Hyperbel Kegelschnitte Winkel der Schnittebene zur „Senkrechten“ ist gleich dem halben Öffnungswinkel des Kegels Winkel der Schnittebene zur „Senkrechten“ ist kleiner als der halbe Öffnungswinkel des Kegels → Rutherfordstreuung 10 4.10 Reduzierte Masse Bei bisheriger Behandlung der Dynamik von zwei Massenpunkten wurde die Impulserhaltung verletzt da ortsfeste Masse M angenommen wurde r r r r12 = r1 − r2 m1 r r1 r R m2 r r2 r m rr + m2 rr2 R= 1 1 m1 + m2 Schwerpunkt ( ) ( ) r& r 2 1 r& r 2 1 r 1 r 1 E kin = m1r&12 + m2 r&22 = m1 R + r&1′ + m2 R + r&2′ 2 2 2 2 r& 1 1 m m r = (m1 + m2 )R 2 + 1 2 r&122 2 2 m1 + m2 14243 =µ reduzierte Masse 4.10 Potential mehrerer Punktmassen Bei mehreren Massen werden die Potentiale addiert → Superpositionsprinzip y ϕ x 11 Zusammenfassung 18.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Kinematik eines Massenpunktes Dynamik eines Massenpunktes Kräfte Impuls Arbeit, Energie, Potential Stöße Drehimpuls und Drehmoment Bewegung im Zentralpotential Gravitation und Planetenbewegung 4.10 Himmelsmechanik Gravitationsfeld, Gravitationspotential Bewegungsgleichung Äquivalentes eindimensionales Potential Bahnkurven im Gravitationspotential, Kegelschnitte Satelliten Gezeiten Fluchtgeschwindigkeit Dreikörperproblem 4.11 Wechselwirkungen und Kräfte Kraft Wechselwirkung Gravitationskraft zwischen Massen Gravitationsladung (Anziehend) „Schwache“ Kraft Wechselwirkung beim β-Zerfall schwache Ladung Coulombkraft „Starke“ Kraft Reichweite Relative (m) Stärke ∞ 10-22 ≤ 10-17 10-14 zwischen elektrischen Ladungen (Anziehend und Abstoßend) ∞ 10-2 zwischen den Kernbausteinen starke Ladung (Farbladung) ≤ 10-15 1 12 4.11 Elektromagnetische Kraft Kraft zwischen elektrisch geladenen Objekten q, [ q ] = 1 A s = 1 C r r 1 q1 ⋅ q2 r12 FC = Gleiche Form wie Gravitationskraft ⋅ r 4 π ε 0 rr12 2 r12 Elektrische Ladung Kraft kann entsprechend der Ladungen Vorzeichen wechseln ! q1 q2 > 0 Abstoßung zwischen gleichartig geladenen Objekten q1 q2 < 0 Anziehung zwischen gegengesetzt geladenen Objekten Warum ziehen sich neutrale Objekte an ? 4.11 Van der Waals Kraft In elektrisch neutralen Körpern können elektrische Kräfte durch wechselseitige Ladungsverschiebung (Polarisation) auftreten Diese Dipol-Dipol-Wechselwirkung folgen der van der WaalsBeziehung A B E pot ∝ ∝ r 12 − r6 A r12 B ∝− 6 r Bei sehr kleinen Abständen r < R0: abstoßend Kürzere Reichweite als die Coulombkraft 13 4.12 Bezugssysteme und Scheinkräfte Physikalische Vorgänge kann man von verschiedenen Standpunkten aus beobachten. Koordinatensysteme mit gegeneinander verschobenem Ursprung sind gleichberechtigt. → Inertialsysteme Gradlinig-gleichförmig gegeneinander bewegte Koordinatensysteme sind auch gleichberechtigt. → Inertialsysteme Physikalische Vorgänge in beschleunigten Koordinatensystemen verhalten sich anders. → Inertialsysteme Beobachtungen aus Inertialsystemen führen immer auf die gleichen physikalischen Gesetze. Aus physikalischen Messungen innerhalb eines Inertialsystems kann man nicht feststellen, wo es sich befindet und wie schnell es sich bewegt. 4.12 Galileitransformation Das Koordinatensystem mit Strich bewege sich mit der Geschwindigkeit v0 gegen das andere, dann transformieren sich die Koordinaten wie: x´= x − v0 t y´= y z´= z Für die Geschwindigkeit bedeutet das r r d r´ r r v´ = = v − v0 dt Für die Beschleunigung bedeutet das r r r r dv ´ dv dv 0 r = − =a a´ = dt dt dt t´= t In beiden Systemen treten die gleichen Beschleunigungen und damit auch Kräfte auf 14 4.12 Transformation von Energie und Impuls Ist das System abgeschlossen wird aus jedem Inertialsystem die gleiche potentielle Energie beobachtet (potentielle Energie hängt nur von Relativkoordinaten ab) Die kinetische Energie hängt von Wahl des Inertialsystems ab (Erinnerung: Energieübertrag beim Stoß) ′ = Ekin r2 1 r m v (t ) − u 2 Der Impuls hängt von Wahl des Inertialsystems ab r r r p′ = m ( v − u ) Energie und Impuls bleibt nicht erhalten beim Übergang von einem Inertialsystem zum Anderen. Innerhalb von jedem Inertialsystem gelten die Erhaltungssätze 4.12 Frei fallende Bezugssysteme Im Gravitationsfeld frei fallende Systeme sind Inertialsysteme. Geradlinig beschleunigte Systeme sind nicht zu unterscheiden von Systemen, die im Gravitationsfeld ruhen. (Gleichheit von träger und schwerer Masse) r (| g |= 0) Frei fallende Systeme sind zwar beschleunigt, aber Gravitation und Beschleunigung kompensieren sich gerade. → Schwerelosigkeit r a 15 4.12 Scheinkräfte Inertialsysteme: Keine Scheinkräfte Beschleunigte Bezugssysteme: Ein Experimentator im fensterlosen Labor beobachtet „unerklärliche“ Kräfte. Äußere Kräfte oder Kräfte durch Beschleunigung des Koordinatensystems geradlinig beschleunigte Systeme: Trägheitskraft rotierende Systeme: Zentrifugalkraft, Corioliskraft 4.12 Zentrifugalkraft Beobachtung aus ruhendem System: Kreisbewegung der Kugel → Es wirkt eine Zentripetalkraft Im rotierenden Bezugsystem ist Kugel in Ruhe ! Im rotierenden Bezugsystem wirkt eine Scheinkraft, die Zentripetalkraft genau kompensiert Scheinkraft, die unabhängig von der Geschwindigkeit des Objektes im rotierenden Bezugssystem ist. 16 4.12 Beobachtung im rotierenden Bezugssystem Beschreibung eines rotierenden Massenpunktes in ruhendem Inertialsystem x-y-z Geschwindigkeit des Massenpunktes r r r vin = ωin × rin Beschreibung des Massenpunktes im mitrotierenden System x*-y*-z* (gleicher Ursprung, z=z*) Im System r r r r x*-y*-z* ist der Massenpunkt in Ruhe: v rot = 0 = vin − ωin × rin Es gilt allgemein die Transformation: r r r r ∂r r r v rot = vin − ω × rin = rot − ω × rrot ∂t Änderung des Ortsvektors bezogen auf statisches Koordinatensystem Änderung des Ortsvektors aufgrund der Variation der Basisvektoren im rotierenden Bezugssystem 4.12 Scheinkräfte in rotierendem Bezugssystem r ∂v rot r r r a rot = − ω × v rot ∂t r r r r r r = ain − 2(ω × v rot ) − ω × (ω × rrot ) Für Beschleunigung gilt die gleiche Beziehung Umformen liefert r a rot r r r r r r r r Frot = ma rot = Fin − 2m(ω × v rot ) − mω × (ω × rrot ) Corioliskraft Zentrifugalkraft Geschwindigkeitsabhängig Senkrecht zur Geschwindigkeit Ortsabhängig Parallel zum Ortsvektor 17 Zusammenfassung 19.11.2004 4. Punktmechanik 4.1 Kinematik eines Massenpunktes 4.2 Dynamik eines Massenpunktes 4.3 Kräfte 4.4 Impuls 4.5 Arbeit, Energie, Potential 4.6 Stöße 4.7 Drehimpuls und Drehmoment 4.8 Bewegung im Zentralpotential 4.9 Gravitation und Planetenbewegung 4.10 Himmelsmechanik Ein schönes Wochenende 4.11 Wechselwirkungen und Kräfte Elektromagnetische Kraft, Van der Waals Kraft Starke Kraft, Schwache Kraft 4.12 Bezugssysteme und Scheinkräfte Galileitransformation Transformation von Energie und Impuls Realisierung von Inertialsystemen Scheinkräfte Versuch: Tintenpendel, Rotierende Kamera Beobachtung im rotierenden Bezugssystem Scheinkräfte in rotierendem Bezugssystem Zentrifugalkraft und Corioliskraft 18
