20 Kraefte im Magnetfeld Lorentzkraft

Magnetostatik
1. Permanentmagnete
2. Magnetfeld stationärer Ströme
3. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld
i. Kräfte im Magnetfeld Lorentzkraft
ii. Kräfte zwischen Leitern
iii. Kraft auf eine bewegte Ladungen
iv. Elektronenoptik
v. Halleffekt
vi. „Elektrodynamik bewegter Körper“
4. Materie im Magnetfeld
Stromwaage
Einstellbares Magnetfeld: stromdruchflossene Spule B prop. zu Ispule
Stromdurchflossener Leiter I
U
FL
Winkel zwischen I/B
FL
B
I
B
G
Kräfte auf Leiterschleife:
Gewicht G
Kraft im Magnetfeld FL (Lorentzkraft)
Messung von FL als Funktion von B und I und Richtung
1
Lorentzkraft
Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter (bewegte Ladungen) wird mit
Kraftgesetz beschrieben. Die Kraft heisst Lorentzkraft
F = IL×B
dF = I dL × B
Wobei L sowohl die Länge als auch Richtung des
Leiters angibt. Sie wird positiv gezählt, wenn der
Strom in L Richtung fließt.
Richtungen durch rechte Handregel bestimmt
B I
H.A. Lorentz
1853-1928
F
äußeres Feld
r
B
Kraft
Felder kompensieren sich
Felder addieren sich
Kraft auf Leiter im Magnetfeld
Feld des Leiters
2
Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Definition Ampere:
Durch zwei unendlich lange,
parallele Leiter im Abstand von
1m fließt ein Strom der Stärke I
= 1A, wenn zwischen den
Leitern eine Kraft von 2 10-7 N
pro 1m Leiterlänge wirkt
I1
I2
Kraft
Strom I1 erzeugt am Ort des Leiters
2 ein Magnetfeld
B(2)
F2
B(2) = µ0 I1/ 2πr
r
I2 und B(2) sind normal zueinander
Kraft normal zu Leiter 2 in Richtung Leiter 1
F2 = L2 I2 B(2)
I1 = 1 A; I2 = 1 A; L2 = 1m; r = 1m
µ0 = 4π 10-7 Vs/Am
F = 2 10-7 N Amperedefinition
pro Leiterlänge von 1m ausgeübte Kraft
3
Kraft auf Drehspule
Magnetfeld B
A
D
Strom I
8F
FAB
CD
C

Länge L
Durchmesser d B
Kraft auf Leiter: F = I L x B
A-B:
B-C:
C-D:
D-A:
L ⊥ B ⇒ FAB = I L B (aus Bildebene heraus)
L || B ⇒ FBC = 0
L ⊥ B ⇒ FCD = I L B (in Bildebene hinein)
L || B ⇒ FDA = 0
v
A
r
B
2 Kräfte, gleich groß
entgegengesetzt und
Abstand d der
Angriffspunkte
⇓
Drehmoment M
r Drehspule
FL
Drehmoment auf eine Leiterschleife:

r r
r v r
v
M LS = d × F = d × IL × B
v r
= I A×B
(
r
d
8 r
FL
)
A = d L Fläche der Spule
Erhöhung des Drehmoments:
Leiterschleife ersetzt durch Spule mit N-Windungen
r
r r
M sp = NI A × B
(
)
Drehmoment direkt proportional zu Strom
4
Drehspulinstrument
Drehmoment direkt prop. zu Strom
Kann ich diesen Effekt zur Messung des Stroms ausnutzen?
Strom fließt
Spule dreht sich solange bis Drehmoment 0 wird (A||B)
Zeiger dreht sich, aber noch keine Strommessung
Abhilfe: Spiralfeder
Spiralfeder: rücktreibendes Moment Mfeder = D ϕ
Moment proportional zu Auslenkwinkel ϕ
Gleichgewicht MSP = Mfeder
ϕ=
NAB
I
D
Auslenkwinkel direkt proportional zu Strom: lineare Skala
Magnetischer Dipol im Magnetfeld
I
r
A
Magnetischer Dipol pm
r
r
pm = I A
Strom I in Leiterschleife mit Fläche A
Was passiert mit einem magnetischen Dipol in einem homogenen
Magnetfeld?
Wie bei Spule, auf den Dipol wirkt ein Drehmoment
r r r
r
v
M dp = I A × B = pm × B
Potenzielle Energie eines Dipols in B
r r
W = − pm B
Was passiert in einem in inhomogenen Magnetfeld?
Zusätzliche Kraft F
r
r
r
F dp = pm grad B
Gleichungen unabhängig von Form der Leiterschleife, gelten auch
z.B. für Permanentmagneten
5
Vergleich: Elektrischer –Magnetischer Dipol
r
r
pe = Qd
v
r
pm = IA
Im homogenen Feld
r r
r
M = pe × E
r r
r
M = pm × B
Im inhomogenen Feld
r r
r
F = pm grad B
r r
r
F = pe grad E
Innenfeld: Richtung wie Fernfeld
Fernfeld:
Richtung entgegen Fernfeld
in beiden Fällen gleich
Gradient eines Vektorfeldes
Dipol in inhomogenen Feld
r
v r r r v
F = q E r + d − E (r ) =
v
r dE r v
= q d r = p ∇E
dr
( (
)
)
Vektorgradient von E ist ein Tensor, Skalarprodukt mit
Vektor p ergibt Vektor F
Kraft F in Komponentenschreibweise
v
∂E x
∂E x
∂E x
+ pz
+ py
Fx = p grad E x = px
∂z
∂y
∂x
∂E y
∂E y
∂E
v
Fy = p grad E y = px
+ py
+ pz y
∂x
∂y
∂z
v
∂E
∂E z
∂E z
+ pz z
+ py
Fz = p grad E z = px
∂z
∂y
∂x
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Lorentzkraft auf Einzelladungen
Makrokosmos:
F=ILxB
Mikrokosmos:
F auf Einzelladung q
Auf stromdurchflossenen Leiter
wird Kraft ausgeübt
Stärke wird durch Lorentzkraft
beschrieben
Strom ist Ladungstransport
Welche Kräfte werden auf einzelne
Ladungsträger ausgeübt?
Welche Auswirkungen hat das?
Kraft auf frei bewegliche Ladungsträger
Ladung mit Größe q und Geschwindigkeit kommt in ein Magnetfeld
v
Homogenes
Magnetfeld
q
v
F=qvxB
Experimentelle Befunde:
Kraft normal zu Geschwindigkeit und Magnetfeld
Kraft prop. zu Geschwindigkeit
Kraft prop. zu Feldstärke
7
Kraft auf freie Elektronen
rr
Strom I = j A
r
r
Stromdichte j = nqv
Einsetzen in Lorentzkraft
r
r r
rv r r
F = I L × B = nqvA L × B
(
)
(
I
v
B
r
A
)
v
L
Kraft auf stromdurchflossenes
Leiterstück mit Länge L
r v
A L = V Volumen
n Ladungsträgerdichte (Anz q/Volumen)
N = n V Anzahl der Ladungsträger
r r
⇒ F = Nq v × B Kraft auf N Ladungsträger
(
)
r
r r
F = q v ×B
(
)
Lorentzkraft auf einen Ladungsträger
Lorentzkraft allgemein
r
r
r r r
E
F = q ⋅ E + v ×B
(
CoulombKraft
)
LorentzKraft
r
v
r
B
q
Elektrisches Feld: Kraft auf Ladungsträger,
egal ob in Ruhe oder Bewegung
Magnetisches Feld: Kraft auf bewegte Ladungsträger
keine Kraft auf ruhende Ladungen
Freies Elektron im Magnetfeld
r
r
r r
F = ma = q v × B
(
)
Beschleunigung immer senkrecht auf Geschwindigkeit
⇒ kinetische Energie (Betrag v) bleibt konstant bzw. in einem
konstanten Magnetfeld kann ich keine Ladungsträger
beschleunigen
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Elektronen im Magnetfeld
Inhomogenes B
Homogenes B
Beschleunigung
(Kraft) immer normal
auf Bewegungsrichtung: Bahnkurve
Kreis senkrecht zu B
Schraubenspirale mit
Schraubenlinie mit gleich
wachsendem
Radius und
bleibendem Radius r und
Bewegung
zum
schwächer
gleich bleibender
werdenden
Feld
Ganghöhe h
Fadenstrahlrohr
r
Beschleunigung im E- Feld
1
2
mv 2 = eU
⇒
v=
2eU
m
Lorentzkraft = Zentrifugalkraft
mv 2
= ev B
R
⇒
R=
mv
eB
Kreisförmige Elektronenbahn
sichtbar
⇒
R=
2U m
B
e
⊗
⊗
⊗B
Anode
e−
⊗R
⊗ ⊗
U
⊗
Glühkathode
⊗ Glas⊗
dünnes Gas
( Argon )
Kolben
Bestimmung von e/m von Elektronen möglich
Warum kommt es zum Leuchten? Elektronen stoßen mit Gasatomen
Werden bei Stößen Elektronen nicht abgelenkt? Ja, aber dünnes
Gas, daher Stöße selten (freie Weglänge > 2πR)
Restionen fokussieren Elektronen
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Elektronen im Magnetfeld
v∠B: Spiralbahn
v⊥B: Kreisbahn
Ladungsträger im Magnetfeld
r
Elektronen emittiert und beschleunigt
Magnetfeld ein
Elektronen laufen auf einer Kreisbahn
Wie schaut Kreisbahn aus??
Kreisbahn: Zentrifugalkraft gleich Lorentzkraft
Florentz = Fzentr ifugal
mv 2
qvB =
r
mv m v
⇒r =
=
qB q B
Winkelgeschwindigkeit
bzw.. Kreisfrequenz ω
ω=
v
r
⇒ω =
q
B
m
Zyklotronfrequenz
10
Zyklotron
Geladene (Ionen, Protonen, Elektronen) Teilchen können in einem Zyklotron
beschleunigt werden
Frequenz des Wechselfeldes
ω = ω zyklotron = q/m B
unabhängig von Geschwindigkeit
aber Bahnradius r
r = m/q v/B nimmt zu
Auskopplung bei max v
Beschleunigung durch
elektrisches Wechselfeld
Massenspektrometer
Auflösungsvermögen
∆m/m = 1/ 50 000
Masse prop. zu Radius r
Masse bestimmbar, wenn
Geschwindigkeit bekannt
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Geschwindigkeitsselektor
Problem in einem Massenspektrometer:
Flugbahn hängt von Geschwindigkeit ab
Lösung: Wiensches Geschwindigkeitsfilter
Gekreuztes B und E Feld
B
E
v
FB
Keine Ablenkung,
Wenn FE = FB
⇒ v = E/B
FE
Ablenkung in Fernsehröhre
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Polarlicht
Lorentzkraft auf Teilchen
Bis jetzt:
Lorentzkraft auf bewegte freie geladene Teilchen
Was passiert mit bewegten geladenen Teilchen in einem
Medium?
•Stromdurchflossener Elektrolyt in einem Magnetfeld
•Bewegter Leiter in Magnetfeld
•Stromdurchflossener Leiter in Magnetfeld Halleffekt
13
Unipolarmaschine
Aluminiumscheibe dreht sich im
Magnetfeld B = 50mT mit Drehzahl
N = 10 U/s
Zwischen Kontakten im Abstand r2
und r1 wird Spannung gemessen
Uind ≈ 5mV
Woher kommt diese Spannung?
Kraft auf Ladungsträ ger F = qvB = qωrB
Verschiebung von Ladungen nach außen bis
Gleichgewi cht durch E - Feld : qE = qrωB
r1
r1
r2
r2
U ind = ∫ Edr = ωB ∫ r dr = ωB (r12 − r22 )
Mit r1 = 7cm, r2 = 4cm ⇒ Uind = 5.2mV
Anwendung: Erzeugung hoher Ströme bei kleinen Spannungen
Der Halleffekt
Durch einen Leiter (Halbleiter) der in einem homogenen Magnetfeld ist
fließt ein Strom I.
In diesem Fall kann quer zu Stromrichtung eine Spannungsabfall gemessen
werden, die so genannte Hallspannung.
Woher kommt diese Spannung?
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Halleffekt
Kraft im E-feld
auf Elektronen
Magnetfeld B
Elektrisches Feld
Ladungstrennung
Strom I
d
Lorentzkraft
auf Elektronen
b
Lorentzkraft lenkt
Ladungsträger LT ab
Flor = q v B
Anhäufung von LT
an beiden Seiten
v = I /(A n q)
A Probenquerschnitt (b d)
n Dichte der LT
q Ladung
Gleichgewicht
Flor = Fe
-qvB=Eq
BI
BI
= −R H
d
nqd
U hall = −
Uhall
Getrennte Ladungen:
elektr. Feld, Kraft Fe = q E
auf LT gegen Lorentzkraft
Uhall = E b
b Breite der Probe
RH Hallwiderstand
Halleffekt
UH = −RH
IB
d
Hall - Konstante RH =
mit
Metalle, n-Halbleiter: q ≈ −e
⇒ UH > 0
q ≈ +e
⇒ UH < 0
p-Halbleiter:
n( Halbleiter ) << n( Metalle )
⇒
1
nq
hohe Sensitivität von Halbleiter
Hallsonden
( B-Feld-Messung bis 10−6 T )
Anwendungen:
•Magnetfeldmessung (UH prop. zu B)
•Bestimmung der Ladungsträgerdichte n
•Leitfähigkeitsuntersuchungen Halbleiter (vD = I/nqA = µE)
•
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Quantenhalleffekt QHE
Zweidimensionales Elektronengas bei tiefen
Temperaturen Hall-Widerstand Rk = h/ie2 mit
i = 1, 2, 3, ... (Integraler QHE = IQHE)
RK Klitzing Konstante = 25812,807Ω
Widerstandsnormal für Eichzwecke (heute Standard)
Später gezeigt: i = ½, 1/3, … auch möglich: Fractional QHE = FQHE
QHE und Würzburg
Klaus von Klitzing
1962 1969 TU Braunschweig
1969 1980 Universität Würzburg (Prof. Dr. G. Landwehr EP3)
1978 Habilitation
1980 Phys. Rev. Letters 45, 494 (1980)
1980 – 1984 Professor TU München.
1985 Direktor Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, Stuttgart
1985 Nobelpreis für Physik
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