Planimetrie, Stereometrie

Planimetrie, Stereometrie
5.
PLANIMETRIE, STEREOMETRIE
5.1. Planimetrie
Die Planimetrie oder auch ebene Geometrie beschäftigt sich mit den in einer Ebene liegenden geometrischen Figuren. Im folgenden Abschnitt sollen die wichtigsten Begriffe der ebenen Geometrie sowie die
rechnerischen Zusammenhänge erklärt werden.
(a)
Grundlagen
Alle geometrischen Gebilde kann man als Punktmengen auffassen. Punkte werden mit Großbuchstaben
bezeichnet.
Gerade: Durch zwei verschiedene Punkte A, B gibt es genau eine
Gerade g(A,B). Jede Gerade ist eine unendliche Punktmenge. Geraden
werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
Gegenseitige Lage zweier Geraden
Zwei Geraden können einander in einem Punkt schneiden: g ∩ h = {S}.
Der Punkt S heißt Schnittpunkt.
Zwei Geraden können zueinander parallel sein, sie sind disjunkt:
g ∩ h = { }, g ║ h.
Zwei Geraden können identisch sein: g ∩ h = g, g = h.
Zwei Geraden können windschief sein (nur im dreidimensionalen Raum):
g ∩ h = { }, g ╫ h
- 158 -
Planimetrie, Stereometrie
Strecke: Die Verbindung zweier Punkte A, B nennt man Strecke. Die
Länge der Strecke bezeichnet man mit AB .
Mittelpunkt: Der Mittelpunkt einer Strecke AB ist jener Punkt, der auf
der Strecke AB liegt und von A gleich weit entfernt ist wie von B.
Streckensymmetrale: Die Streckensymmetrale ist die Menge aller
Punkte, die von zwei Punkten A, B jeweils gleichen Abstand haben.
Senkrechte (Normale): Eine Senkrechte ist eine Gerade n, die eine
Gerade g im rechten Winkel (90°) schneidet. Auch die Streckensymmetrale steht normal auf AB.
Symbolisch: n ⊥ g
Winkel: Zwei Strecken SA und SB, die von einem gemeinsamen Punkt S
ausgehen, schließen miteinander einen Winkel α = <) (a,b) = <) ASB ein. Der
Punkt S heißt Scheitel, die Strecken a, b nennt man Schenkel bzw.
Strahlen (Halbgeraden). Winkel werden mit griechischen Buchstaben
bezeichnet.
Es gibt folgende Winkelarten:
Spitzer Winkel: 0° < α < 90°
Nullwinkel: α = 0°
Rechter Winkel: α = 90°
α
α
Stumpfer Winkel: 90° < α < 180°
Überstumpfer Winkel: 180° < α < 360°
- 159 -
Gestreckter Winkel: α = 180°
Vollwinkel: α = 360°
Planimetrie, Stereometrie
Winkelsymmetrale: Die Winkelsymmetrale ist die Menge aller Punkte,
die von zwei Geraden jeweils gleichen Abstand haben.
Strahlensatz - Teilung einer Strecke
1. Strahlensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von
parallelen Geraden geschnitten, so sind die Verhältnisse entsprechender
Strecken auf den Strahlen gleich.
SA1 : SA 2 = SB1 : SB2
Auf die Abbildung bezogen heißt das:
2. Strahlensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von
parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den
Paralleln wie die entsprechenden Strahlenabschnitte.
Auf die Abbildung bezogen heißt das:
SA1 : SA 2 = A1B1 : A 2B2
Diese zwei Sätze kann man nützen, wenn man eine Strecke in einem
bestimmten Verhältnis teilen will.
Innere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verhältnis m : n innen zu teilen. Auf
einem weiteren Strahl durch A werden von A aus m gleiche Strecken bis D
und n weitere gleiche Strecken von D bis E abgetragen. Zieht man eine
Parallele durch D zur Geraden BE, so schneidet diese Parallele die
Strecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut Strahlensatz AC : CB = m : n .
Äußere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verhältnis m:n außen zu teilen.
Auf einem weiteren Strahl durch A werden von A aus m−n gleiche
Strecken bis D und n gleiche Strecken von D bis E abgetragen. Zieht man
eine Parallele durch E zur Geraden BD, so schneidet diese Parallele die
Verlängerung der Strecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut Strahlensatz
AC : BC = m : n .
- 160 -
Planimetrie, Stereometrie
(b)
Dreiecke
Allgemeines Dreieck: Ein Dreieck entsteht im allgemeinen durch die
Schnittpunkte dreier Geraden. Man bezeichnet α, β und γ als Innenwinkel
und α1, β1 und γ1 als Außenwinkel.
α + β + γ = 180°
Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°:
Die Summe eines Innen- und eines Außenwinkels ist jeweils 180°:
α + α1 = β + β1 = γ + γ1 = 180°
α1 + β1 + γ1 = 360°
Die Summe der Außenwinkel ist daher 360°:
Ein Außenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel:
α1 = β + γ, β1 = α + γ, γ1 = α + β
Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte Seite (Dreiecksungleichung):
a+b>c
a+c>b
b+c>a
Der gößeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.
Man kann die Arten von Dreiecken nach der Länge der Seiten und nach der Größe der vorkommenden
Winkel einteilen.
ungleichseitiges Dreieck:
a≠b≠c
(allgemeines Dreieck)
α≠β≠γ
gleichschenkliges Dreieck:
a, b ... Schenkel, c ... Basis
a = b ≠ c, α = β ≠ γ
gleichseitiges Dreick:
a=b=c
α = β = γ = 60°
- 161 -
Planimetrie, Stereometrie
spitzwinkliges Dreieck:
α < 90°, β < 90°, γ < 90°
rechtwinkliges Dreieck:
a, b ... Katheten, c ... Hypotenuse
p, q ... Hypotenusenabschnitte
α < 90°, β < 90°, γ = 90°
stumpfwinkliges Dreieck:
α < 90°, β < 90°, 90° < γ < 180°
In allen angeführten Dreiecken gibt es folgende besondere Linien und Punkte:
Höhen, Höhenschnittpunkt: Die Linie, die normal auf eine Seite eines Dreiecks steht und durch den
nicht auf dieser Seite liegenden Eckpunkt geht, nennt man die Höhe auf diese Seite (ha, hb, hc). Die Höhen
eines Dreiecks schneiden einander im Höhenschnittpunkt H.
Seitensymmetrale, Umkreismittelpunkt: Errichtet man auf allen Seiten die Streckensymmetrale
(Seitensymmetrale), so schneiden diese Symmetralen einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrund
der Konstruktion von allen Eckpunkten gleiche Entfernung hat, ist dies der Umkreismittelpunkt U.
Schwerelinien, Schwerpunkt: Die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt einer Dreiecksseite
und dem nicht auf dieser Seite liegenden Eckpunkt nennt man Schwerelinie. Die Schwerelinien schneiden
einander im sogenannten Schwerpunkt S. Dieser Punkt teilt jede Schwerelinie im Verhältnis 2:1.
Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt: Die Winkelsymmetralen zwischen jeweils zwei Schenkel
eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrund der Konstruktion von allen
Dreiecksseiten gleiche Entfernung hat, ist dies der Inkreismittelpunkt I.
Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen in jedem Dreieck auf einer
Geraden, der sogenannten Eulerschen Geraden. Der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen stets
innerhalb des Dreiecks; der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt liegen beim spitzwinkligen
Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkligen Dreieck jedoch außerhalb des Dreiecks.
- 162 -
Planimetrie, Stereometrie
Dreiecksberechnungen
Satzgruppe des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der
a2 + b 2 = c 2
Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über
der Hypotenuse (Pythagoräischer Lehrsatz).
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über
einer Kathete gleich dem Flächenihalt des Rechtecks aus der Hypotenuse
und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitts (Kathetensatz).
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über
2
h = p⋅ q
der Höhe gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden
Hypotenusenabschnitten (Höhensatz).
Berechnung des ungleichseitigen Dreiecks:
U = a+b+c, s =
U a+b+c
=
2
2
A=
A=
Heronsche Flächenformel:
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
s(s − a)(s − b)(s − c)
Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks:
 c
U = 2a + c , hc = a2 −  
 2
2
A=
c ⋅ hc c
 c
= ⋅ a2 −  
 2
2
2
2
Berechnung des gleichseitigen Dreiecks:
 a
U = 3a , h = a2 −  
 2
2
=
a
3
2
A=
a ⋅ h a2
=
2
4
3
Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks:
U = a + b + c , c = p + q , h = a2 − p 2 = b 2 − q 2
- 163 -
A=
a⋅b c⋅h
=
2
2
Planimetrie, Stereometrie
Ähnliche Dreiecke - Kongruente Dreiecke
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie allen Winkeln übereinstimmen.
Ähnliche Dreiecke haben also gleiche Form, sie unterscheiden sich nur durch ihre Größe und Lage.
Ähnliche Dreicke können also so zueinander zum Liegen gebracht werden, daß entsprechende Seiten
zueinander parallel sind. Zwischen ähnlichen Dreiecken gilt daher der Strahlensatz.
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Bestimmungsstücken übereinstimmen.
Kongruente Dreiecke haben also die gleiche Form und Größe, sie unterscheiden sich nur durch ihre Lage.
(c)
Vierecke
allgemeines Viereck:
α + β + γ + δ = 360°
Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°:
Jede Diagonale (e, f) teilt das Viereck in zwei Dreiecke.
Einteilung und Berechnung der Vierecke
α = β = γ = δ = 90°, a ⊥ b
Rechteck:
U = 2a + 2b = 2(a + b)
d2 = a2 + b 2
A = a⋅b
d = a 2 + b2
α = β = γ = δ = 90°, a ⊥ a
Quadrat:
A = a ⋅ a = a2
U = 4a
d2 = a2 + a2 = 2a2
- 164 -
d = a⋅ 2
Planimetrie, Stereometrie
α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180°
Parallelogramm:
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb
U = 2a + 2b = 2(a + b)
α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180°, e ⊥ f
Rhombus (Raute):
U = 4a , e2 + f 2 = 4a2
A=
Trapez:
a ║ c, a║ m
U= a+b+c+d, m =
a+c
2
A = m⋅h =
(a + c ) ⋅ h
2
α ≠ γ, β = δ, e ⊥ f
Deltoid (Drachenviereck):
U = 2a + 2b = 2(a + b)
(d)
e⋅ f
2
A=
e⋅ f
2
Vielecke (Polygone)
Allgemeines Vieleck:
Es gibt
n ... Anzahl der Seiten
n ⋅ (n − 3)
Diagonalen; das Vieleck läßt sich durch die von einer
2
Ecke ausgehenden Diagonalen in (n − 2) Dreiecke zerlegen.
Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°⋅(n − 2).
Regelmäßige Vielecke: Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten
gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleck
läßt sich ein Kreis umschreiben und ein Kreis einschreiben. Jeder
Innenwinkel beträgt 180° ⋅
(n − 2)
. Das gleichseitige Dreieck und das
2
Quadrat sind regelmäßige Vielecke.
- 165 -
Planimetrie, Stereometrie
(e)
Kreis, Kreisteile
Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt M,
(Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben:
{
}
k = X ∈ ε | XM = r
Die Verbindung zweier Punkte des Kreises durch eine Strecke bezeichnet
man als Sehne s. Verläuft diese Sehne durch den Mittelpunkt M, so erhält
man einen Durchmesser d des Kreises mit d = 2r. Die Verbindung zweier
Punkte des Kreises entlang der Kreislinie bezeichnet man als Bogen.
Die Fläche, die durch einen Bogen und zwei Radien des Kreises begrenzt
wird, nennt man Sektor oder Kreisausschnitt; die Fläche, die durch einen
Bogen und eine Sehne begrenzt wird, heißt Segment oder Kreisabschnitt.
Der Winkel, der zwischen den Radien eines Sekors gemessen wird, ist der
sogenannte Zentriwinkel. Der Winkel, unter dem man eine Sehne (bzw.
einen Bogen) von einem Punkt des Kreises sieht, ist der Peripheriewinkel.
Peripheriewinkel, die zu derselben Sehne (demselben Bogen) gehören,
sind gleich groß: α1 = α2. Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der
zugehörige Peripheriewinkel: β = 2α.
Satz von Thales
Jeder Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser beträgt 90°.
Kreis und Gerade
Passante: Die Passante hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam.
Tangente: Die Tangente hat mit dem Kreis einen Punkt P (Berührungspunkt) gemeinsam. Jede Tangente steht normal auf den Berührradius.
Sekante: Die Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten A, B (A≠B).
- 166 -
Planimetrie, Stereometrie
Kreisberechnungen
Kreis:
Das Verhältnis des Umfanges eines Kreises zu seinem Durchmesser ist
konstant und beträgt π = 3,14159265359...
A = r2 ⋅ π =
U = 2⋅r ⋅ π = d⋅ π
d2
⋅π
4
Kreisbogen:
b=
r⋅π ⋅α
180
α ... Zentriwinkel im Gradmaß
Kreissektor:
U = 2r + b = 2r +
rπα
180
A=
b ⋅ r r 2πα
=
2
360
A=
r 2πα s ⋅ h
−
360
2
Kreissegment:
U = s + b , s = 2 h(2r − h)
Kreisring:
R ... äußerer Radius
U = 2 ⋅ Rπ + 2 ⋅ rπ = 2π(R + r )
- 167 -
r ... innerer Radius
2
A = R π − r 2π = π(R 2 − r 2 )
Planimetrie, Stereometrie
5.2. Stereometrie
Stereometrie nennt man die elementare Geometrie des dreidimensionalen (reellen euklidischen) Raumes.
Im folgenden Abschnitt werden die wichtigsten Körper und ihre Berechnung aufgeführt.
(a)
Pyramiden
Eine Pyramide besitzt ein Polygon (n-Eck) als Grundfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Dreiecken,
welche in der Spitze S zusammenlaufen. Die Seiten der Grundfläche heißen Grundkanten, die Verbindungsstrecken zwischen Spitze und den Ecken der Grundfläche heißen Seitenkanten. Der Normalabstand zwischen Spitze und Grundfläche ist die Höhe h. Eine Pyramide heißt gerade, wenn der Fußpunkt
der Höhe im Mittelpunkt der Grundfläche liegt, andernfalls ist sie schief. Eine regelmäßige Pyramide ist eine
gerade Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck ist.
Die Oberfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächeninhalte der Grundfläche und der
Mantelfläche:
O=G+M
V=
Für das Volumen einer Pyramide gilt immer die Formel:
Quadratische Pyramide:
a2
+ h2
4
ha =
Die Grundfläche ist ein Quadrat.
s=
O = G + M = a2 + 4 ⋅
1
⋅G⋅h
3
a ⋅ ha
= a2 + 2aha
2
a2
+ ha2 =
4
V=
a2
+ h2
2
1 2
⋅a ⋅h
3
Regelmäßiges Tetraeder:
h1 =
a
2
a⋅ 3
⋅ 3 , MC = ⋅ h1 =
3
3
2
O = 4⋅
a2 ⋅ 3
= a2 ⋅ 3
4
- 168 -
2
h = a2 − MC =
V=
a⋅ 6
3
1 a2 ⋅ 3
a3 ⋅ 2
⋅
⋅h =
3
4
12
Planimetrie, Stereometrie
Regelmäßiges Oktaeder:
h = a⋅
2
2
O = 8⋅
a2 ⋅ 3
= 2 ⋅ 3 ⋅ a2
4
EF = 2h = a ⋅ 2
V = 2⋅
1 2
a3 ⋅ 2
⋅a ⋅h =
3
3
Quadratischer Pyramidenstumpf:
 a − a2 
MH = h , ha = h +  1

 2 
2
2
O = G1 + G2 + M = a12 + a22 + 2(a1 + a2 )h
(b)
M = 2(a1 + a2 ) ⋅ h
V=
1 2
⋅ (a1 + a1a2 + a22 ) ⋅ h
3
Prismen
Ein Prisma besitzt zwei in parallelen Ebenen gelegene kongruente n-Ecke als Grund- und Deckfläche. Die
Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Gemeinsame Strecken von zwei Teilflächen heißen Kanten.
Die Seitenkanten sind parallel und gleich lang. Gemeinsame Punkte von je drei Teilflächen heißen Ecken.
Der Normalabstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe h. Ein Prisma heißt gerade, wenn alle
Seitenkanten zur Grundfläche normal stehen, andernfalls ist es schief. Ein regelmäßiges Prisma ist ein
gerades Prisma, welches als Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck besitzt.
Die Oberfläche eines Prismas ist die Summe der Flächeninhalte von Grundfläche,
Deckfläche und Mantelfläche:
O = 2G + M
Für das Volumen eines Prismas gilt immer die Formel:
- 169 -
V=G⋅h
Planimetrie, Stereometrie
Quader:
d = a2 + b2 + c 2
O = 2(ab + ac + bc )
V = a⋅b⋅c
Würfel:
d = a⋅ 3
O = 6 ⋅ a2
(c)
V = a3
Kegel
Ein Kegel besitzt einen Kreis als Grundfläche. Die Mantelfläche ist eine einfach gekrümmte Fläche, da sich
die Kante eines Lineals nur in einer Richtung anlegen läßt, sodaß sie ganz in der Mantelfläche liegt. Das
angelegte Lineal berührt die Mantelfläche längs einer Mantellinie, einer sogenannten Erzeugenden s. Die
Mantellinien schneiden einander in der Spitze S des Kegels. Der Normalabstand zwischen Spitze und
Grundfläche ist die Höhe h. Ein Kegel heißt gerade, wenn der Fußpunkt der Höhe im Mittelpunkt M der
Grundfläche liegt, andernfalls ist er schief.
Die Oberfläche eines Kegels ist die Summe der Flächeninhalte der Grundfläche und
Mantelfläche:
O=G+M
Für das Volumen eines Kegels gilt die Formel:
V=
1
⋅G⋅h
3
Die Verbindung des Mittelpunkts der Grundfläche mit der Spitze ist die Drehachse eines geraden Drehkegels. Ein Achsenschnitt liefert als Schnittfläche ein gleichschenkliges Dreieck. Die eben aufgerollte
Mantelfläche ergibt einen Kreisausschnitt (Sektor) mit der Erzeugenden s als Radius.
- 170 -
Planimetrie, Stereometrie
Drehkegel:
s2 = r 2 + h2
M = rπs
O = G + M = r 2π + rπs = rπ(r + s)
V=
Gleichseitiger Drehkegel:
1 2
⋅ r πh
3
s = 2r
M = 2r 2 π
h = r⋅ 3
O = 3r 2π
V=
r 3π 3
3
Kegelstumpf:
s2 = (r1 − r2 )2 + h2
M = (r1 + r2 )πs
O = G1 + G2 + M = r12π + r22π + (r1 + r2 )πs
(d)
V=
1 2
⋅ (r1 + r1r2 + r22 )πh
3
Zylinder
Ein Zylinder besitzt zwei flächengleiche Kreise als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche ist eine einfach
gekrümmte Fläche, da sich die Kante eines Lineals nur in einer Richtung anlegen läßt, sodaß sie ganz in der
Mantelfläche liegt. Das angelegte Lineal berührt die Mantelfläche längs einer Mantellinie, einer Erzeugenden
s. Die eben aufgerollte Mantelfläche ist ein Rechteck. Der Normalabstand zwischen Grund- und Deckfläche
heißt Höhe h. Ein Zylinder heißt gerade, wenn alle Mantellinien zur Grundfläche normal stehen, andernfalls
ist er schief.
Die Oberfläche eines Zylinders ist die Summe der Flächeninhalte von Grundfläche,
Deckfläche und Mantelfläche:
O = 2G + M
V=G⋅h
Für das Volumen gilt die Formel:
- 171 -
Planimetrie, Stereometrie
Die Verbindung der Mittelpunkte der Grund- und Deckfläche ist die Drehachse eines geraden Drehzylinders.
Ein Achsenschnitt liefert als Schnittfläche ein Rechteck.
Drehzylinder:
M = 2rπh , O = 2r 2π + 2rπh = 2rπ(r + h)
V = r 2πh
Gleichseitiger Zylinder:
h = 2r
M = 4r 2 π , O = 6r 2 π
V = 2r 3π
Hohlzylinder:
R ... äußerer Radius
r ... innerer Radius
M = 2π(R + r )h
O = 2π(R 2 − r 2 ) + 2π(R + r )h = 2π (R + r )(R − r + h)
(e)
V = π(R 2 − r 2 )h
Kugel, Kugelteile
Eine Kugel entsteht, wenn ein Kreis um einen seiner Durchmesser gedreht wird. Alle Punkte der Kugeloberfläche haben vom Kugelmittelpunkt M den gleichen Abstand r (Kugelradius). Die Kugeloberfläche ist doppelt
gekrümmt; sie kann nicht wie ein Zylinder- oder Kegelmantel in einer Ebene ausgebreitet werden.
Kugel:
O = 4r 2 π = d2π
V=
- 172 -
4r 3 π d3 π
=
3
6
Planimetrie, Stereometrie
Kugelsektor (Kugelausschnitt): r12 = 2rh − h2
Kugelkappe: A = 2rπh
Kegelmantel: M = r1πr
O = A + M = 2rπh + r1πr
V=
r12 = 2rh − h2
Kugelsegment (Kugelabschnitt):
Grundfläche: K = r12π
Kugelkappe: A = 2rπh
O = A + K = 2rπh + r12π
2r 2πh
3
V=
πh2 (3r − h) πh(3r12 + h2 )
=
3
6
Kugelschicht und Kugelzone:
Kugelzone: A = 2rπh
O = G1 + G2 + A = r12π + r22π + 2rπh
V=
πh(3r12 + 3r22 + h3 )
6
Hohlkugel:
R ... äußerer Radius
O = 4R 2 π
r ... innerer Radius
V=
- 173 -
4π(R 3 − r 3 ) π(D3 − d3 )
=
3
6