(de)

KL
5. Kennlinien elektrischer Leiter
5.1
Einleitung
Wird an einen elektrischen Leiter eine Spannung V angelegt, so fliesst ein Strom I. Als Widerstand
des Leiters wird der Quotient aus Spannung und Strom definiert:
R = V /I
Einheit: 1 V/A = 1 Ohm = 1 Ω
(5.1)
Der Widerstand hängt vom Material und von der Geometrie des Leiters ab. Im einfachsten Fall
ist der Strom proportional zur angelegten Spannung, der Widerstand also konstant. In diesem Fall
handelt es sich um einen “Ohmschen” Widerstand, es gilt das Ohm’sche Gesetz:
R = V /I = konst.
bei konstanter Temperatur T
(5.2)
In Wirklichkeit ist diese einfache Proportionalität nie exakt vorhanden, sondern der Strom hängt in
viel komplizierterer Weise von der angelegten Spannung ab. Die Eigenschaften solcher Leiter werden
grafisch in Form von sog. Kennlinien oder Charakteristiken, welche den Strom als Funktion
der Spannung darstellen, angegeben.
I(V)
I(V)
I2
I1
V1
V2
V
V
Abbildung 5.2: Kennlinie für einen Leiter mit
konstantem (“Ohmschem”) Widerstand.
Abbildung 5.1: Kennlinie eines elektrischen
Leiters.
In der in Abbildung 5.1 dargestellten Kennlinie ist R = V /I nicht konstant, es gilt R1 = V 1/I1 >
R2 = V 2/I2. Der Widerstand nimmt mit zunehmender Spannung ab. Ist die Kennlinie eine Gerade
durch den Nullpunkt, wie in Abbildung 5.2 dargestellt, so ist R = konstant (Ohm’sches Gesetz).
1
2
5. Kennlinien elektrischer Leiter
In diesem Versuch werden die Kennlinien verschiedener Leitertypen untersucht. Die Form der Kennlinien liefert Informationen über die dabei vorkommenden Leitungsmechanismen. Stichworte zu
diesem Versuch sind:
• elektrische Stromkreise,
• Kirchhoffsche Regeln,
• elektrischer Widerstand verschiedener Elemente,
• Ohmsches Gesetz,
• Messung von Spannung und Strom, und
• Kennlinien verschiedener Elemente
5.2
5.2.1
Theoretischer Teil
Metallische Leiter
Die Leitfähigkeit von Metallen und ihren Legierungen kommt durch die freien Elektronen, die
im Ionengitter leicht beweglich sind, zustande. Bei konstanter Temperatur ist der Widerstand unabhängig von der Spannung und es gilt das Ohmsche Gesetz. Wird aber die Temperatur nicht durch
Kühlung konstant gehalten, so bewirkt die beim Stromdurchgang erzeugte Wärme Q = I · V · t eine
Temperaturerhöhung des Leiters (vgl. Toaster). Dabei nimmt der Widerstand im Allgemeinen zu.
Im einfachsten Fall hängt R linear von der Temperatur ab. Ist T die absolute Temperatur, dann
gilt:
R = R0 (1 + αT )
R
Der Temperaturkoeffizient
α =
1 dR
R0 dT
T
(5.3)
gibt die relative Widerstandsänderung pro Grad
Temperaturänderung an.
Abbildung 5.3: Lineare Abhängigkeit
des Widerstandes von der Temperatur.
Für reine Metalle ist α = 1/273 ≈ 0.4% pro Grad. Durch Verwendung von Legierungen kann α auf
etwa 0.002% pro Grad gesenkt werden.
5.2.2
Halbleiter
Die Leitfähigkeiten von Halbleitern liegen zwischen denjenigen von Isolatoren und Metallen. Die
moderne Technik der Herstellung von Halbleitern aus verschiedenen Materialien und Schichten
ermöglicht es sowohl die Zahl der Leitungselektronen als auch ihre Beweglichkeit in weiten Grenzen
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5.2. THEORETISCHER TEIL
3
zu variieren. Durch Zugabe von Fremdatomen (Verunreinigungen, Dotierungen) kann die Leitfähigkeit eines Halbleiters stark erhöht werden. Hier unterscheidet man:
• n-dotiertes Material: In das Gitter eines aus vier-wertigen Atomen bestehenden Halbleiterkristalls (z.B. Silizium oder Germanium) werden Atome eines fünf-wertigen Elementes
eingebaut. In der äussersten Schale dieser Fremdatome ist ein Elektron zu viel vorhanden.
Dieses Elektron ist fast frei beweglich und trägt zur Leitfähigkeit bei. Man nennt diese Fremdatome Donatoren.
• p-dotiertes Material: In das Kristallgitter werden Atome eines drei-wertigen Elementes
eingebaut. In der äussersten Schale der Fremdatome fehlt jetzt ein Elektron. Dieses “Loch”
ist bestrebt, ein Elektron aufzunehmen. Wird das Loch durch ein Gitterelektron aufgefüllt,
entsteht an anderer Stelle ein Loch; man spricht von Löcherwanderung. Diese Fremdatome
nennt man Akzeptoren.
Im Folgenden werden einige Anwendungsbeispiele für Halbleiter beschrieben:
Thermistoren
Der Widerstand von Thermistoren ist stark temperaturabhängig. Die sog. NTC (Negative Temperature Coefficient)-Widerstände bestehen aus Oxiden von Cr, Mn, Fe oder ähnlichen. In Fe2 03 ist
zum Beispiel ein Teil der Fe3+ -Ionen durch Fe2+ - oder Ti4+ -Ionen ersetzt. Mit zunehmender Temperatur wird das überzählige Elektron des Fe2+ -Iones frei und zum Leitungselektron (n-Material);
der Widerstand des Materials sinkt. Solche Widerstände können zur Temperaturmessung verwendet werden, da ihre Temperaturkoeffizienten zwischen -2% und -6% pro Grad liegen. Abbildung 5.4
zeigt einige Kennlinien und die Temperaturabhängigkeit eines NTC-Widerstandes.
I(V)
R
T3
T2
T1
T1 < T2 < T3
V
T
Abbildung 5.4: Kennlinien eines Thermistors für verschiedene Temperaturen (linkes Bild) und
Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur (rechtes Bild).
Halbleiter-Dioden
Eine Halbleiterdiode besteht aus einer p-Material- und einer n-Material-Schicht. Der Kontakt zwischen p-leitendem und n-leitendem Halbleitermaterial erzeugt den pn-Übergang, welcher typisch
ist für die grosse Gruppe der Halbleiterdioden. Diese finden ihren Einsatz ganz allgemein in der
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5. Kennlinien elektrischer Leiter
Gleichrichtung von Spannungen unterschiedlicher Polarität. Die typische
Kennlinie einer Halbleiterdiode zeigt
Abbildung 5.5. Während der Strom
in Durchlassrichtung schon bei kleiner
Spannung rasch ansteigt, ist er in Sperrrichtung sehr klein, bis zur maximal
zulässigen Sperrspannung, die je nach
Bauart zwischen -10 V und -10 kV liegen kann.
I(V)
Vz
V
Sperrgebiet
Durchlassgebiet
Abbildung 5.5: Kennlinie einer Diode.
Vz ist die maximale Sperrspannung.
Dieses Verhalten der Diode lässt sich folgendermassen erklären:
Durchlassrichtung
+ + + __ _ __
_
+
+ ++ _ _
p
n
I
+ _
V0
Die Löcher des p-Materials werden in die n-Schicht,
die freien Elektronen des n-Materials in die p-Schicht
getrieben, d.h. es fliesst dauernd ein Strom durch die
Grenzschicht. Der Widerstand der Trennschicht ist
sehr klein.
Abbildung 5.6: Diode in Durchlassrichtung.
Sperrrichtung
+ + + __ _ __
_
+ + _ _
+ +
p
n
Löcher der p-Schicht und Elektronen der n-Schicht
wandern von der Grenzschicht weg, d.h. Ladungsträger beider Vorzeichen werden aus der Grenzschicht
entfernt. Es entsteht eine nichtleitende Zone. Nach
dem Aufbau der sog. Sperrschicht fliesst kein Strom
mehr.
_ +
V0
Abbildung 5.7: Diode in Sperrrichtung.
Für Dioden verwendet man die in der Abbildung 5.8 gezeichneten Symbole. Die Diode leitet, wenn
die Dreiecksspitze in Richtung des Spannungsabfalls zeigt:
+
Durchlassrichtung
+
Sperrrichtung
Abbildung 5.8: Symbol für Diode in Durchlass- und in Sperrrichtung.
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5.2. THEORETISCHER TEIL
5
V
Dioden werden zum Beispiel zur
Gleichrichtung von Wechselströmen
benützt.
V=V0 sin(ωt)
~
t
R
I
I
Abbildung 5.9: Diode als Gleichrichter.
5.2.3
t
Lichtabhängige Widerstände
Lichtabhängige Widerstände bestehen zum Beispiel aus CdS, einem Material in welchem einfallendes Licht Elektronen freisetzt und so eine Verkleinerung des Widerstandes bewirkt.
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5. Kennlinien elektrischer Leiter
5.3
5.3.1
Experimenteller Teil
Aufgabenstellung
• Messung der Kennlinie für folgende Elemente:
– Ohmscher Widerstand
– Glühlampe
– Diode
• Qualitative Beobachtung der Widerstandsänderung an einem lichtempfindlichen Widerstand
• Betrachtung der Temperaturabhängigkeit des Widerstands eines Thermistors
5.3.2
Versuchsdurchführung
Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen !
• Während einer Messreihe sollte der Messbereich der Instrumente nicht geändert werden.
• Der Maximalstrom von 200 mA darf nie überschritten werden, sonst brennt die Sicherung
durch!
Messung der Kennlinien
• Nehmen Sie die Kennlinien mit der in Abbildung 5.10 skizzierten Schaltung auf. Am
Potentiometer Rp (es ist im Spannungsgerät
eingebaut) können Spannungen zwischen 0
und V0 abgegriffen werden.
• Ohm’scher Widerstand: Berechnen Sie
für den Widerstand R aus der angegebenen maximalen Leistung P den maximalen Strom Imax für die maximale Spannung Vmax und wählen Sie dann auf dem
Ampèremeter den passenden Messbereich.
Nehmen Sie dann die Kennlinie in Schritten
von 5 V auf. Lesen Sie zu jedem Spannungswert den entsprechenden Strom ab.
I
V0
RP
V
RL = - Ohm'scher Widerstand
- Glühlampe
- Diode
Abbildung 5.10: Anordnung zur Messung der Kennlinien.
• Glühlampe: Die maximal zulässige Spannung ist angegeben. Erhöhen Sie die Spannung
langsam bis Sie den Grenzwert von Spannung oder Strom (200 mA) erreichen und legen Sie
die passenden Messbereiche der Instrumente fest. Nehmen Sie die Kennlinie von 0 V an in
Schritten von 5 V auf. Lesen Sie zu jedem Spannungswert den entsprechenden Strom ab.
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RL
5.3. EXPERIMENTELLER TEIL
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• Diode: Messen Sie die Kennlinie der Diode für positive und für negative Spannungen (Diode
umpolen!). Messen Sie den Bereich, in dem die Diode zu leiten beginnt, in möglichst kleinen
Schritten (0.02V) aus. Achtung: Der Strom in der Diode steigt sehr plötzlich an! Der maximal
zulässige Strom ist angegeben.
• Stellen Sie die Messwerte in einer übersichtlichen Tabelle zusammen.
Fotowiderstand
• Prüfen Sie qualitativ, wie bei fester Spannung (V = 3 V) der Widerstand von der Intensität
des einfallenden Lichtes abhängt, indem Sie den Widerstand verschieden stark mit der Hand
abdecken und den Strom jeweils ablesen.
Thermistor
Die Versuchsanordnung ist in der Abbildung 5.11 skizziert. Bei fester Spannung soll der Widerstand
des Thermistors als Funktion der Temperatur bestimmt werden.
Thermometer
I
V0
V
NTC
Wasser
Dewar
Abbildung 5.11: Anordnung zur Messung der Kennlinie des Thermistors (NTC).
• Stellen Sie eine feste Spannung von 10 V ein.
• Messen Sie den Strom für fünf verschiedene Wassertemperaturen zwischen ca. 10◦ C und 90◦ C.
Wichtig: Warten Sie vor der Messung und dem Ablesen des Thermometers jeweils, bis sich
Temperaturgleichgewicht eingestellt hat.
5.3.3
Auswertung
Kennlinien
• Zeichnen Sie die drei Kennlinien auf Millimeterpapier auf.
• Berechnen Sie für jeden Messpunkt (V ,I) den Widerstand R = V /I und stellen Sie R grafisch
als Funktion von V dar (5.12).
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5. Kennlinien elektrischer Leiter
I
R
V
Ri = i
Ii
Ii
Vi
Ri
Vi
V
V
Abbildung 5.12: Auswertung der Kennlinien.
Thermistor
• Berechnen Sie aus den Strom- und Spannungswerten für jede der fünf Temperaturen den
Widerstand und zeichnen Sie diesen als Funktion der Temperatur auf Millimeterpapier auf.
wobei A und B Konstanten und T die Temperatur in Kelvin sind. Durch Logarithmieren ergibt sich (siehe auch den Versuch Kapazitäten (C)) :
ln R = ln A +
B
T
ln R
Δln 1/T
(5.5)
Tragen Sie ln R als Funktion von 1/T auf
und bestimmen Sie B aus der Steigung und
A aus dem Achsenabschnitt der sich ergebenden Geraden.
Δln R
1/T
ln A
• Der Widerstand des verwendeten Thermistors hängt exponentiell von der Temperatur ab:
R(T ) = A eB/T
(5.4)
B=
∆ ln R
∆1/T
Abbildung 5.13: Steigung der Geraden.
• Der Temperaturkoeffizient α entspricht der relativen Widerstandsänderung pro Grad Temperaturänderung. Er kann für den Thermistor durch Ableiten von Gleichung (5.4) nach der
Temperatur T berechnet werden:
dR
B
B/T
= Ae
− 2
dT
T
1 dR
B
= − 2
R dT
T
Der Term auf der linken Seite dieser Gleichung ist gerade die relative Widerstandsänderung
pro Grad Temperaturänderung, d.h. der Temperaturkoeffizient α. Es ist also:
α=
1 dR
B
= − 2
R dT
T
Berechnen Sie α für T = 300 K.
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(5.6)
5.4. ANHANG
5.4
5.4.1
9
Anhang
Einfluss der Innenwiderstände von Messinstrumenten
Jedes Messinstrument hat einen endlichen Innenwiderstand. Bei der Messung kleiner Widerstände
RL kann der Innenwiderstand RiA des Ampèremeters nicht gegenüber RL vernachlässigt werden.
Unter Berücksichtigung der Innenwiderstände erhält man dann folgendes Schaltung:
RiA
I
V0
RP
I
K
I2
I1
Der gemessene Strom teilt sich im Punkt K in
einen Strom I1 durch das Voltmeter und einen
Strom I2 durch den Widerstand RL auf:
I = I1 + I2
RL
V
V
RiV
= I1 RiV = I2 RL
Also:
I1 = I2
Abbildung 5.14: Anordnung zur Messung
kleiner Widerstände RL .
RL
→ 0
RiV
für RiV RL
Ist also der Innenwiderstand des Voltmeters viel grösser als RL , so ist der Strom I1 durch das
Voltmeter sehr klein und der gemessene Strom I stimmt mit dem tatsächlich durch RL fliessenden
Strom I2 = I − I1 gut überein. Ein gutes Voltmeter hat deshalb einen grossen Innenwiderstand
(107 − 108 Ω).
Um grosse Widerstände RL zu messen, d.h. wenn RiV gegen RL nicht zu vernachlässigen ist, baut
man die Schaltung wie folgt auf:
RiA
I
V0
RP
V
I
Die gemessene Spannung setzt sich aus dem Spannungsabfall am Ampèremeter und dem Spannungsabfall an RL zusammen:
RL
RiV
V = IRiA + IRL
Also:
RL =
V
V
− RiA →
I
I
für RiA RL
Abbildung 5.15: Anordnung zur Messung
grosser Widerstände RL .
Der Innenwiderstand eines guten Ampèremeters soll also möglichst klein sein. Beim verwendeten
Instrument beträgt er etwa 1Ω bei 200 mA Messbereich.
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