Kapitel 6: Drallsatz

Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
6 Drallsatz ..........................................................................................................................................2
6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung...................................................................................2
6.1 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ...........................................................17
6.2 Übungen zum Drallsatz
Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe....................................................24
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 1 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
6 Drallsatz
6.1
Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung
r
r
Linearer Impuls I eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse und seine Geschwindigkeit c
r
r
I =m⋅c
r
r
r
L
Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor der Drall oder Drehimpuls
r
r r r r
L = m ⋅ (r × c ) = r × I
Der Drehimpuls hängt immer davon ab, auf welchen Ursprung er bezogen wird
r
Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses I
r
r dI
∑ F = dt
r
ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls L
r
r dL
∑ M = dt
d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 2 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Starrer Körper
Ein starrer Körper kann als ein System einzelner
Massepunkte betrachtet werden, deren räumlicher
Abstand zueinander zeitlich konstant bleibt
r r
ri − rj = sij = const .
und
dsij
dt
=0
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 3 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Starrer Körper in Rotation
Beschreibung des Bewegungszustandes des
starren Körpers im ruhenden Intertialsystem
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
r N r r
L = ∑ ri × I i
i =1
mit
r
r
I = m ⋅ c folgt
r N
r r
L = ∑ mi ⋅ ri × ci
i =1
r
Rotiert der Körper mit ω um eine feste Achse, so
r
c
gilt für die Geschwindigkeit i des Massepunktes mi
r r r
ci = ω × ri
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 4 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
r N
r r N
r r r
L = ∑ mi ⋅ ri × ci = ∑ mi ⋅ ri × (ω × ri )
i =1
i =1
Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung
⎛0⎞
⎛ 0 ⎞ ⎛ xi ⎞ ⎛ − ω ⋅ yi ⎞
⎜
⎟
⎟
r
r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
ω = ⎜ 0 ⎟ ⇒ ω × ri = ⎜ 0 ⎟ × ⎜ yi ⎟ = ⎜ ω ⋅ xi ⎟
⎜ω ⎟
⎜ω ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ i⎠ ⎝
⎠
⎛ xi ⎞ ⎛ − ω ⋅ yi ⎞ ⎛ − ω ⋅ xi ⋅ zi
⎟ ⎜
r r r ⎜ ⎟ ⎜
ri × (ω × ri ) = ⎜ yi ⎟ × ⎜ ω ⋅ xi ⎟ = ⎜ − ω ⋅ yi ⋅ zi
⎜ z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ω ⋅ x 2 + y 2
i
i
⎝ i⎠ ⎝
⎠ ⎝
(
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
)
r
r
Mit dem senkrechten Abstand i , ⊥ des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den Drehimpuls
r ⎛ N
⎞ v
L = ⎜ ∑ mi ⋅ ri ,⊥ ⎟ ⋅ ω
⎝ i =1
⎠
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 5 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Massenträgheitsmoment des starren Körpers
Der Ausdruck
N
J = ∑ mi ⋅ ri ,⊥
i =1
bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse
Der Drehimpuls lautet somit
r ⎛ N
⎞ v
v
L = ⎜ ∑ mi ⋅ ri ,⊥ ⎟ ⋅ ω = J ⋅ ω
1
⎝1i=42
43⎠
Trägheitsmoment J
Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment
J = ∫ r 2 ⋅ dm = ρ ⋅ ∫ r 2 ⋅ dV
(m )
(V )
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 6 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Bewegungsgleichung des starren Körpers
Aus der Ableitung des Drehimpulses
r r r
L= r ×I
nach der Zeit folgt
r
dL r& r r r&
= r ×I +r ×I
dt
wegen
r
r
r
r
I = m ⋅ c = m ⋅ r& ⇒ r&
r
I , d.h. Impuls- und Geschwindigkeitsvektor sind parallel
gilt
r r r
r& × I = 0
und somit
r
dL r& r r r& r r&
= r × I + r × I =r × I
dt {
r
=0
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 7 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt
r r&
F =I
und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment
r
dL r r& r r r
= r × I =r × F =M
dt
bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses
Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls
r
dI r
=F
dt
r
dL r
=M
dt
und
r
dL r
= M folgt, daß der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt, solange
Aus der Beziehung
dt
keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h.
r
r r
dL
M =0 ⇒
=0
dt
bzw.
r
L = const.
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 8 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
r r r
Drehimpulserhaltung bedeutet, es gilt L = J × ω = const.
⇒
Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Drehgeschwindigkeit ω
Bsp.:
Pirouetteneffekt
J1 ⋅ ω1 = J 2 ⋅ ω2 = const.
J 2 < J1 ⇒ ω2 > ω1
ice_skater_pirouette.mpeg
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 9 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Bsp.:
Drehimpulserhaltung beim Reckturnen
J1 ⋅ ω1 = J 2 ⋅ ω2 = const.
J 2 < J1 ⇒ ω2 > ω1
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 10 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Versuch zur Drehimpulserhaltung
(Physikalisches Institut Universität Dortmund)
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 11 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Versuch zur Drehimpulserhaltung, Drehimpuls als Vektor
Horizontaler Drehimpuls durch rotierendes
Schwungrad ⇒ Person bleibt in Ruhe
Drehung des Schwungrades in die Vertikale
⇒ Rotation der Person
Gesamtdrehimpuls bleibt nach wie vor gleich Null
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 12 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen – Tornado
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 13 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado
Voraussetzung
Zusammentreffen trocken-kalter Luftmassen (aus Kanada) mit feucht-warmen Luftmassen (aus dem
Golf von Mexiko) z.B. im Mittelwesten der USA
⇒
Kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warme Luftmasse
⇒
Bildung einer instabilen Schichtung mit großem Temperaturunterschied
⇒
Kondensation des Wasserdampfes, Wolkenbildung mit starkem Niederschlag
⇒
Freisetzen zusätzlicher Wärme infolge der Kondensation
⇒
Ausbildung einer nach oben gerichtete Luftbewegung
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 14 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado
Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einen Linkswirbel
(Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich einigen 10 m
⇒
große Rotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern aufgrund der Drehimpulserhaltung
⇒
Große Zentrifugalkraft bedingt hohen Unterdruck im Zentrum des Wirbels (Δp ≈ 50-100 hPa)
⇒
Kaltluft wird infolge des Unterdrucks und ihrer größeren Dichte als die unten liegende Warmluft
nach unten gesaugt (ähnlich einem Abflußrohr)
⇒
Kondensation der feucht-warmen Luft um diesen Wirbel
⇒
Ausbildung des charakteristischen dunklen Rüssels des Tornados
⇒
Destruktive Wirkung infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und Windgeschwindigkeiten von bis zu 400 km/h
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 15 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche
Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigung in
eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit c = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ r = ω ⋅ r
versetzt
Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt
c1 ⋅ R = c2 ⋅ r
⇒
R
c2 = c1 ⋅ ⇒
r
R2
f 2 = f1 ⋅ 2
r
⇒
f2 ∝
1
r2
d.h. Je mehr man sich dem Zentrum nähert, um so mehr nimmt die
Umfangsgeschwindigkeit zu
Flasche:
R ≈ 40 [mm]
r ≈ 4 [mm]
f1 ≈ 1 [s-1]
⇒
= Anfangsradius
= Wirbelinnendruchmesser
= Anfangsdrehfrequenz
[ ]
f 2 = f1 ⋅100 =100 s −1
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 16 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
6.1
Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen
r
Für eine punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor r und dem Geschwindigkeitsvektor
r
c der Drall, Drehimpuls oder auch das Impulsmoment
r
r r r r
L = m ⋅ (r × c ) = r × I
r
I
Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses
r
r dI r
∑ F = dt = I&
r
ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls L
r
r dL r
∑ M = dt = L&
r
L
⇒
r
Impulsstrom I&
⇒
r
Drallstrom L&
d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 17 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
r
Drallstrom L&
r dLr
r r
L& = = m& ⋅ (r × c )
dt
r r
r
r r r r
&
&
L2 − L1 = m& ⋅ (r2 × c2 − r1 × c1 ) = ∑ M
d.h. Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom entspricht der Summer aller im
Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente
⇒
Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 18 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
& durchströmten Schaufelkanal
Anwendung des Drallsatzes auf einen mit m
Summe aller Momente
r r
r
r
r
r
M
=
M
+
M
+
M
+
M
+
M
∑
A1
A2
W
S
G
Moment infolge von
r
M A1, 2
r
MW
r
MS
r
MG
Druckkräften im Ein- und Austritt
Wandkräften
Stützkräfte an Einbauten
Gewichtskräften
cn
Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene
cu
Umfangskomponente der Geschwindigkeit, senkrecht auf dem Radius r
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 19 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O,
Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einer Ebene
normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen
⇒
cu
Umfangskomponente der Geschwindigkeit c
Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet das
resultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird
∑M =M
{+M
{+M
A1
=0
A2
=0
W
+ M S + M G = M W + M S = m& ⋅ (r2 ⋅ cu 2 − r1 ⋅ cu1 ) = M
{
=0
Reaktionsmoment des Fluids auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre M K
M K = − M = − m& ⋅ (r2 ⋅ cu 2 − r1 ⋅ cu1 )
Reibungsfreie Strömung ( M W = 0 ) ohne Einbauten ( M S = 0 )
M = 0 ⇒ − m& ⋅ (r2 ⋅ cu 2 − r1 ⋅ cu1 ) = 0 ⇒ r2 ⋅ cu 2 = r1 ⋅ cu1 bzw.
cu 2 = cu1 ⋅
r1
r2
Gleichung des Potentialwirbels (Ringräume ohne Schaufeln, Behälter und Kanäle)
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 20 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Anwendung des Drallsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (z.B. Verdichter)
A1, 2
Ein- und Austrittsebene
Ta1,a 2
Tangentialebenen zu A1, 2
c1, 2
Absolutgeschwindigkeiten
cu1,u 2
Umfangsgeschwindigkeiten
cu1,u 2 = c1, 2 ⋅ cos α1, 2
w1, 2
Relativgeschwindigkeiten
cm1,m 2
Gemittelte Geschwindigkeiten
ε W 1, 2
Neigungswinkel der Tangentialebenen
Axialmaschine
ε W 1, 2 ≈ 0°
Radialmaschine
ε W 1, 2 ≈ 90°
Für Radialmaschinen ( ε W 1, 2 ≈ 90° ) gilt
cn1 = c1 ,
cn 2 = c2
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 21 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Moment auf das Fluid im Kontrollraum
M = m& ⋅ (rm 2 ⋅ cu 2 − rm1 ⋅ cu1 )
Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das Fluid
Mit dem mittleren Radius rm der Stromfläche
D
rm = m
2
DG + DN
Dm =
2
2
und
2
und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n
u = r ⋅ω = D ⋅π ⋅ n
bzw.
um = rm ⋅ ω = Dm ⋅ π ⋅ n
ergibt sich für die auf das mit ω rotierende Laufrad übertragene Leistung P12
P12 = M ⋅ ω = m& ⋅ (rm 2 ⋅ cu 2 − rm1 ⋅ cu1 ) ⋅ ω
⇒
P12 = m& ⋅ (um 2 ⋅ cu 2 − um1 ⋅ cu1 )
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 22 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Spezifische technische Arbeit wt12
Leistung bezogen auf den Massestrom ergibt spezifische technische Arbeit wt12
P12
= wt12 = (um 2 ⋅ cu 2 − um1 ⋅ cu1 )
m&
Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden
Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten cu1,u 2 durch die Absolutgeschwindigkeiten c1, 2 am Ein- und
Austritt des Leitrades
Leitrad steht fest, d.h. ω = 0, d.h. an den Leiträdern wird keine Leistung mit dem Fluid ausgetauscht
⇒
P12
= wt12 = 0
m&
M = m& ⋅ (rm 2 ⋅ c2 − rm1 ⋅ c1 )
Leitrad nimmt das Reaktionsmoment M K = − M auf
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 23 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
6.2
Übungen zum Drallsatz
Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe
c1 =10.15 [m s ]
c2 = 26.05 [m s ]
α1 =80 [°]
Winkel zu cu1
α 2 = 22.6 [°]
Winkel zu cu 2
[
n = 2950 min −1
]
DN 1 = 70 [mm]
DG1 = 90 [mm]
DN 2 =174 [mm]
DG 2 =180 [mm]
m& = 24.98 [kg s ]
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 24 von 25
Fluidmechanik
Drallsatz
__________________________________________________________________________________________________________
Bsp. Laufrad einer Kreiselpumpe
ges.:
(1) Drehmoment M und innere Leistungsübertragung P12 vom Rotor auf das Fluid
(2) Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit yt am Fluid bei
einem Gesamtwirkungsgrad von ηt = 0.7
__________________________________________________________________________________________________________
Folie 25 von 25