Der sphärische Sinussatz

Der sphärische Sinussatz
Es sei eine Raumecke durch einen Eckpunkt V und drei Kanten a, b, c
gegeben, die von V ausgehen. Die Winkel zwischen den Kanten bezeichenen
wir wie folgt
α = ∠(b, c), β = ∠(c, a), γ = ∠(a, b).
Wie bezeichnen mit α∗ den Winkel zwischen der beiden Seitenflächen a, b
und a, c der Raumecke, die sich in der Kante a schneiden. Man definiert α∗
wie folgt:
Man wählt einen beliebigen Punkt P auf a. Dann legt man durch P die
Ebene E, welche orthogonal zu a ist. Es sei S der Durchschnitt von E mit
der Geraden b und es sei T der Durchschnitt von E mit der Geraden c. Dann
ist
α∗ = ∠SP T.
Entsprechend sei β∗ der Winkel der Seitenflächen an der Kante b und γ∗
der Winkel der Seitenflächen an der Kante c.
Satz:
sin β∗
sin γ∗
sin α∗
=
=
sin α
sin β
sin γ
Beweis: Wir wählen einen Punkt C auf der Kante c. Wir legen durch C
eine Ebene E, die orthogonal zu a ist. Der Schnittpunkt von E mit a sei
P . Dann ist CP das Lot von C auf a, denn CP ist wie jede Gerade in E
orthogonal zu a. Wir setzen u = |CP |. Die Ebene a, b ist orthogonal zur
Ebene E, weil sie die Gerade a enthält. Folglich enthält E das Lot von C auf
die Ebene ab. Es sei F der Fußpunkt des Lots. Wir bezeichnen mit h = |CF |
die Höhe von C über der Ebene ab. Das Dreieck CP F liegt in der Ebene E
und die Schenkel P C und P F liegen auf den Ebenen ab und ac. Also gilt:
α∗ = ∠CP F
und da das Dreieck bei F rechtwinklig ist
h = u · sin α∗ .
(1)
Da auch V P C ein rechtwinkliges Dreieck ist, finden wir mit r = |V P |, dass
u = r · sin β.
(2)
Aus den beiden Gleichungen (1) und (2) ergibt sich
h = r · sin β · sin α∗ .
Andererseits können wir die Höhe h von C über ab auch berechnen, indem
wir eine Ebene F durch C legen, die orthogonal zu b ist. Wir sind dann bis
auf Umbenennung der Kanten in der gleichen Situation wie eben und finden:
h = r · sin α · sin β∗ .
Aus den letzten beiden Gleichungen findet man:
sin α∗
sin β∗
=
.
sin α
sin β
Die anderen Gleichungen des Satzes folgen aus Symmetriegründen.