Theoretische Physik III Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und

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Universität Leipzig
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. K. Kroy
WS 2010/11
Theoretische Physik III
Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und Statistik 1
3. Übungsblatt
Aufgabe 6: Eindimensionaler, unendlich tiefer Potentialtopf
(9 Punkte)
In der Vorlesung wurde ein Teilchen betrachtet, das in einem unendlich tiefen Rechteckpotential
der Breite L gefangen ist. Seine Eigenfunktionen ϕn (x) zu den Energie-Eigenwerten En wurden
bestimmt als
r
nπ 2
~2 n2 π 2
sin
x
bzw.
En =
(n = 1, 2, 3, . . . ).
ϕn (x) =
L
L
2mL2
Z L
dx|ϕn (x)|2 = 1.
a) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen ϕn (x) normiert sind, d. h. dass
0
b) Berechnen Sie für allgemeines n den Erwartungswert des Ortes
Z L
dx ϕn (x)∗ x ϕn (x)
hxin =
0
zum Zustand ϕn (x) und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung |ϕn (x)|2 für den
Grundzustand (n = 1) und den ersten angeregten Zustand (n = 2). Fällt der Erwartungswert hxin jeweils mit dem wahrscheinlichsten Ort (Maximum von |ϕn (x)|2 ) zusammen?
q
c) Berechnen Sie die Ortsunschärfe ∆xn = hx2 in − hxi2n . Wie verändert sie sich mit n?
∂
d) Die Orstdarstellung des Impulsoperators p lautet ~i ∂x
. Zeigen Sie, dass sein Erwartungswert
Z L
~ ∂
hpin =
dx ϕn (x)∗
ϕn (x)
i ∂x
0
für alle n verschwindet. Kann man das bereits aus der Form der ϕn (x) ablesen?
Hinweis: Die zweite Frage lässt sich mit Hilfe des Superpositionsprinzips beantworten.
e) Berechnen Sie die Impulsunschärfe ∆pn =
von n ab?
p
hp2 in . Wie hängt das Produkt ∆xn · ∆pn
Hinweis: Verwenden Sie E = p2 /2m, dann ist die Integration unnötig.
q
f) Berechnen Sie zuletzt noch ∆En = hE 2 in − hEi2n . Ist E eine gute Quantenzahl?
Abgabe: bis 8.11., 16 Uhr, Briefkasten Linnéstraße 5
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