Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen

Kapitel 1
Wahrscheinlichkeitsräume und
Zufallsvariablen
1.1
W-Räume
Definition 1.1 (W-Maß, W-Raum)
Sei (M, A) ein Messraum, (d.h. M ist eine nicht-leere Menge und A ist eine Sigma-Algebra in M ).
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß (W-Maß) oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) auf A ist
ein Maß P auf A mit P (M ) = 1.
Wenn P ein W-Maß auf A ist, dann heißt das Tripel (M, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum).
Sprechweisen: Wenn (M, A, P ) ein W-Raum ist, dann nennen wir jedes A ∈ A ein Ereignis und
P (A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
Bemerkung zur Notation: Neben meiner Standard-Bezeichnung (M, A, P ) für einen W-Raum
werde ich als Bezeichnung für einen weiteren W-Raum oft verwenden (insbes. im Zusammenhang mit
Zufallsvariablen): (Ω, A, P) .
Lemma 1.2 (Diskrete W-Verteilung und Zähldichte)
Sei M eine abzählbare (nicht-leere) Menge, und A = P(M ) (die Potenzmenge von M ).
(a) Sei P eine W-Verteilung auf P(M ) und bezeichne f die Zähldichte von P , d.h.
¡
¢
f : M −→ R , f (x) := P {x} ∀ x ∈ M . Dann erfüllt f die Bedingung
X
f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ M
und
f (x) = 1 ,
(∗)
x∈M
und es gilt
P (A) =
X
f (x) ∀ A ⊆ M .
x∈A
(b) Sei umgekehrt f eine reelle Funktion auf M , die die Bedingung (∗) erfüllt; dann ist durch
X
P (A) =
f (x) ∀ A ⊆ M .
x∈A
eine W-Verteilung auf P(M ) definiert, und f ist die Zähldichte dieser W-Verteilung P .
Bemerkung:
Wenn M abzählbar und P eine W-Verteilung auf P(M ) sind, dann nennen wir P eine diskrete W-Verteilung
und (M, P(M ), P ) einen diskreten W-Raum, für den wir auch einfacher (M, P ) schreiben.
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Norbert Gaffke: Vorlesung “Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik”, Sommersemester 2010
Kapitel 1: Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen
Definition 1.3 (Spezielle diskrete W-Verteilungen)
In den nachfolgend genannten Fällen (1) – (6) wird jeweils eine abzählbare Menge M spezifiziert und
durch Angabe einer Zähldichte f eine W-Verteilung P auf P(M ) definiert.
(1) Sei M irgendeine endliche (nicht-leere) Menge. Die Gleichverteilung auf M , Abk.: P = U(M ) ,
ist durch die konstante Zähldichte definiert:
1
f (x) =
für alle x ∈ M .
|M |
(2) Sei M = { 0, 1, . . . , n } für ein gegebenes n ∈ N, und sei noch p ∈ [ 0 , 1 ] gegeben.
Die Binomialverteilung zu den Parameterwerten n und p, Abk.: P = Bi(n, p), ist durch die
Zähldichte definiert:
µ ¶
n x
f (x) =
p (1 − p)n−x für alle x = 0, 1, . . . , n .
x
(3) Sei M = { 0, 1, . . . , n } für ein gegebenes n ∈ N, und seien noch N ∈ N, s ∈ N0 mit N ≥ s und
N ≥ n gegeben. Die hypergeometrische Verteilung zu den Parameterwerten N , s und n,
Abk.: P = Hyp(N, s, n) , ist durch die Zähldichte definiert:
¡ s ¢ ¡N −s¢
f (x) =
x
¡Nn−x
¢
für alle x = 0, 1, . . . , n .
n
(4) Seien M = N0 und λ eine gegebene positive reelle Zahl. Die Poisson-Verteilung zum Parameterwert λ, Abk.: P = Poi(λ) , ist durch die Zähldichte definiert:
f (x) = e−λ ·
λx
x!
für alle x ∈ N0 .
©
ª
(5) Seien M = x ∈ N : x ≥ r mit einem gegebenen r ∈ N, und sei noch p ∈ ( 0 , 1) gegeben.
Die negative Binomialverteilung zu den Parameterwerten r und p, Abk.: P = NegBi(r, p) , ist
durch die Zähldichte definiert:
µ
¶
x−1
f (x) = pr
(1 − p)x−r für alle x ∈ {r, r + 1, r + 2, . . . } .
r−1
Im Fall r = 1, d.h. M = N und f (x) = p (1 − p)x−1 für alle x ∈ N ,
heißt NegBi(r, p) auch die geometrische Verteilung zum Parameterwert p, Abk.: Geo(p) .
n
o
Pk
k
(6) Sei M = x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ N0 : j=1 xj = n , für gegebene k ∈ N, k ≥ 2, und n ∈ N,
Pk
und seien noch p1 , p2 , . . . , pk ∈ [ 0 , 1 ] mit
j=1 pj = 1 gegeben. Die Multinomialverteilung
zu den Parameterwerten n und p1 , p2 , . . . , pk , Abk.: P = Mu(n; p1 , p2 , . . . , pk ) , ist durch die
Zähldichte definiert:
n!
f (x) =
px1 px2 · · · pxk k ∀ x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ M .
x1 ! x2 ! · · · xk ! 1 2
Bemerkung:
Die W-Verteilungen in (2) - (4) werden bisweilen als W-Verteilungen auf ganz B 1 (statt auf P(M )) aufgefasst.
k
Allgemeiner: Wenn M ⊆ Rk eine nicht-leere Borel’sche Menge ist und P ein W-Maß auf BM
ist, dann ist P
k
k
auch als W-Maß P auf ganz B auffassbar durch P (A) := P (A ∩ M ) ∀ A ∈ B .
Entsprechend lassen sich Multinomialverteilungen in (6) als W-Verteilungen auf ganz B k auffassen.
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Kapitel 1: Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen
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Lemma 1.4 (W-Verteilungen mit µ-Dichten)
Seien (M, A, µ) ein Maßraum, f : (M, A) −→ (R, B1 ) und f erfülle die Bedingung:
Z
f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ M ,
und
f dµ = 1 .
M
Z
Dann ist durch P = f · µ , d.h. P (A) =
f dµ ∀ A ∈ A , eine W-Verteilung P auf A gegeben.
A
Definition 1.5 (Spezielle (1-dim.) Lebesgue-stetige W-Verteilungen)
In den nachfolgenden Fällen (1)–(6) wird jeweils eine W-Verteilung P auf (R, B1 ) durch eine λλ1 Dichte f definiert.
(1) Seien β ∈ R und σ ∈ ( 0 , ∞) gegeben. Die Normalverteilung zu den Parameterwerten β und σ 2 ,
Abk.: P = N(β, σ 2 ) , ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
µ
¶
1
1 ³ x − β ´2
f (x) = √
exp −
∀ x ∈ R.
2
σ
σ 2π
(2) Seien a, b ∈ R mit a < b gegeben. Die Rechteck-Verteilung oder die Gleichverteilung auf dem
Intervall ( a , b ) , Abk.: P = R(a, b) , ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
f (x) =
1
b−a
1 ( a , b ) (x) ∀ x ∈ R .
(3) Sei λ ∈ ( 0 , ∞) gegeben. Die Exponentialverteilung zum Parameterwert λ, Abk.: P = Exp(λ) ,
ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
¡
¢
f (x) = λ exp −λ x 1 ( 0 , ∞) (x) ∀ x ∈ R .
(4) Seien c, λ ∈ ( 0 , ∞) gegeben. Die Weibull-Verteilung zu den Parameterwerten c und λ,
Abk.: P = Wei(c, λ) , ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
³
´
(
c λc xc−1 exp −(λx)c
, falls x > 0
f (x) =
∀ x ∈ R.
0
, sonst
(5) Seien c, λ ∈ ( 0 , ∞) gegeben. Die Gamma-Verteilung zu den Parameterwerten c und λ,
Abk.: P = Ga(c, λ) , ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
( c
¡
¢
λ
xc−1 exp −λx
, falls x > 0
Γ(c)
∀ x ∈ R,
f (x) =
0
, sonst
wobei Γ die Gamma-Funktion bezeichnet, d.h.
Z ∞
Γ(c) =
tc−1 exp( −t ) dt .
0
(6) Seien β ∈ R und σ ∈ ( 0 , ∞) gegeben. Die Log-Normalverteilung zu den Parameterwerten β und
σ 2 , Abk.: P = LogN(β, σ 2 ) , ist definiert durch die λλ1 -Dichte:
µ
¶
1
1
1 ³ ln(x) − β ´2
f (x) = √
exp −
∀ x ∈ ( 0 , ∞) ; f (x) = 0 ∀ x ≤ 0 .
2
σ
σ 2π x
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Definition 1.6 (Mehrdimensionale Normalverteilungen)
Seien β ∈ Rk und V eine positiv definite (reelle) k × k Matrix. Die W-Verteilung P auf B k mit der
λλk -Dichte
³
´
¡
¢−1/2
f (x) = (2π)−k/2 det(V )
exp − 21 (x − β)0 V −1 (x − β)
∀ x ∈ Rk ,
(Vektoren x und β hier als Spaltenvektoren geschrieben),
heißt die (k-dimensionale) Normalverteilung zu den Parameterwerten β und V , Abk.: P = N(β, V ) .
1.2
Zufallsvariablen
Aus der Maßtheorie sind die Begriffe messbare Abbildung und Bildmaß bekannt. Diese werden in der
W-Theorie spezialisiert zu den Begriffen Zufallsvariable und Verteilung einer Zufallsvariablen, (wobei
die in der W-Theorie übliche Notation etwas gewöhnungsbedürftig ist).
Definition 1.7 (Zufallsvariable und ihre Verteilung)
Seien (Ω, A, P) ein W-Raum, (M, A) ein Messraum und X : (Ω, A) −→ (M, A) eine messbare
Abbildung. Dann heißt X eine Zufallsvariable (auf Ω mit Werten in M ). Das Bildmaß PX heißt die
Verteilung der Zufallsvariablen X .
Bemerkung: Offensichtlich ist PX ein W-Maß auf A.
Weitere Notation: Für ein Urbild X −1 (A) , wobei A ∈ A, schreibt man {X ∈ A} , und daher
PX (A) = P({X ∈ A}) = P(X ∈ A) .
Weitere Schreibweisen/Sprechweisen, Beispiele:
X ist eine normal-(β, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable oder
Kurzschreibweise: X ∼ N(β, σ 2 )
X ist eine N(β, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable
bedeutet: X : (Ω, A) −→ (R, B 1 ) , wobei (Ω, A, P) ein W-Raum ist, und PX = N(β, σ 2 ) .
X ist eine binomial-(n, p)-verteilte Zufallsvariable oder X ist eine Bi(n, p)-verteilte Zufallsvariable
Kurzschreibweise: X ∼ Bi(n, p)
¡
¢
bedeutet: X : (Ω, A) −→ {0, 1, . . . , n}, P({0, 1, . . . , n}) oder X : (Ω, A) −→ (R, B1 ) , wobei (Ω, A, P) ein
W-Raum ist, und PX = Bi(n, p) .
Wir betrachten jetzt reelle Zufallsvariablen, d.h.
X : (Ω, A) −→ (R, B1 ) .
Lemma 1.8 (Lineare Transformation einer λ
λ1 -stetig verteilten ZV’en)
Sei X eine reelle Zufallsvariable, deren Verteilung die λλ1 -Dichte fX besitzt, und seien α0 , α1 ∈ R,
α1 6= 0. Dann besitzt die Verteilung der linear transformierten Zufallsvariablen Y = α1 X + α0 die
λλ1 –Dichte
¡
¢
1
fY (y) =
fX (y − α0 )/α1
∀ y ∈ R.
|α1 |
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Kapitel 1: Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen
5
Korollar 1.9
(a) Wenn X ∼ N(β, σ 2 ) und α0 , α1 ∈ R mit α1 6= 0, dann α1 X + α0 ∼ N(α1 β + α0 , α12 σ 2 ) .
(b) Wenn X ∼ R(a, b) und α0 , α1 ∈ R mit α1 6= 0, dann:
Im Fall α1 > 0 :
α1 X + α0 ∼ R(α1 a + α0 , α1 b + α0 ) ;
im Fall α1 < 0 :
α1 X + α0 ∼ R(α1 b + α0 , α1 a + α0 ) .
(c) Wenn X ∼ Exp(λ) und α1 > 0, dann α1 X ∼ Exp(λ/α1 ) .
(d) Wenn X ∼ Wei(c, λ) und α1 > 0, dann α1 X ∼ Wei(c , λ/α1 ) .
(e) Wenn X ∼ Ga(c, λ) und α1 > 0, dann α1 X ∼ Ga(c , λ/α1 ) .
Bemerkung: Log-Normalverteilung
Wenn X ∼ LogN(β, σ 2 ) , dann ist Y := ln(X) ∼ N(β, σ 2 ) . Daher rührt die Bezeichnung Log-Normalverteilung.
Dabei ist i.A. Y = ln(X) nur eine P-fast-überall auf Ω definierte Zufallsvariable, da X(ω) > 0 P-f.s. Der Einfachheit halber sei hier vorausgesetzt, dass X(ω) > 0 ∀ ω ∈ Ω.
Jetzt betrachten wir Rk -wertige Zufallsvariablen oder k-dimensionale Zufallsvariablen, d.h.
X = (X1 , . . . , Xk )t : (Ω, A) −→ (Rk , B k ) ,
(Vektoren des Rk hier als Spaltenvektoren geschrieben).
Lemma 1.10 (Reguläre lineare Transformation einer λ
λk -stetig verteilten ZV’en)
Sei X eine Rk -wertige Zufallsvariable, deren Verteilung die λλk -Dichte fX besitzt. Seien A eine reguläre (reelle) k × k Matrix und c ∈ Rk . Dann besitzt die Verteilung der linear transformierten
Zufallsvariablen Y = AX + c die λλk -Dichte
fY (y) =
¡
¢
1
fX A−1 (y − c) ,
| det(A)|
y ∈ Rk .
Im Fall einer ` × k Matrix A mit ` < k und Rang(A) = ` ist die Verteilung der linear transformierten
Zufallsvariablen Y = AX + c ebenfalls Lebesgue-stetig (sofern die Verteilung von X Lebesgue-stetig
ist), wobei jetzt c ∈ R` , aber die Formel für die Lebesgue-Dichte fY ist komplizierter. Für den Fall einer
normalverteilten k-dimensionalen Zufallsvariablen X haben wir das folgende Resultat:
Theorem 1.11 (Lineare Transformation normalverteilter k-dim. ZV’en)
Sei X ∼ N(β, V ) mit einem β ∈ Rk und einer positiv definiten k × k Matrix V .
Seien A eine ` × k Matrix mit Rang(A) = ` und c ∈ R` . Dann:
AX + c ∼ N(Aβ + c , AV A0 ) .
Folgerung:
Wenn X = (X1 , . . . , Xk )0 ∼ N(β, V ) , wobei β = (β1 , . . . , βk )0 ∈ Rk und V = (vij )1≤i,j≤k positiv
definit, dann gilt für die Komponentenvariablen von X :
Xi ∼ N(βi , vii ) ∀ i = 1, . . . , k .
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Kapitel 1: Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen
1.3
Modellierung von Zufallsexperimenten
Der Begriff Zufallsexperiment steht hier für jeden realen Vorgang, der vom Zufall beeinflusst wird.
Typischerweise liefert ein Zufallsexperiment ein Ergebnis, das “zufällig” (zumindest teilweise) ist.
Beispiele für Zufallsexperimente:
• Glücksspiele (z.B. Münzwurf, Würfeln, Lotto)
• 0-1-Experimente (Bernoulli-Experimente), wobei z.B. “1” für Erfolg und “0” für Misserfolg steht
(z.B. Therapie, Platzierung, Schießen). Das betrachtete Zufallsexperiment kann die einmalige
Durchführung eines 0-1-Experimentes sein oder auch eine mehrmalige (z.B. die 10-malige) “unabhängige” Durchführung eines 0-1-Experimentes. Den Begriff der (stochastischen) Unabhängigkeit werden wir später mathematisch präzise fassen (s. Kap. 2).
• Zufällige Anzahlen (z.B. Anzahl von Kunden oder Aufträgen, Anzahl von Verkehrsunfällen,
Anzahl radioaktiver Zerfälle)
• Lebensdauern / Ausfallzeitpunkte (z.B. von technischen Bauteilen, von Lebewesen)
• Industrielle Fertigung: Quantitative Charakteristika gefertigter Produkte (z.B. elektr. Widerstände, Festigkeit von Materialien, geometrische Abmessungen von techn. Bauteilen)
Mathematisches Modell eines Zufallsexperiments: Ein W-Raum (M, A, P ) , wobei:
(a) die Menge M alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments enthält.
Die Festlegung der Ergebnismenge M kann ruhig auch ‘Redundanzen’ beinhalten, d.h. Elemente x als
‘mögliche Ergebnisse’ einbeziehen, die praktisch gar nicht möglich sind (das hat manchmal gewisse Vorteile
für die mathematischen Darstellungen). Die Gesamtheit solcher Elemente wird dann im Schritt (b) die
Wahrscheinlichkeit Null erhalten.
Desweiteren ist A eine geeignete Sigma-Algebra in M .
Diese ergibt sich i.d.R. kanonisch, z.B. A = P(M ) im Fall einer abzählbaren Menge M oder A = B 1 im
Fall M = R.
(b) Die W-Verteilung P ist geeignet festzulegen (“Verteilungsannahme”) entsprechend dem konkret
zu beschreibenden Zufallsexperiment.
Das ist i.d.R. der schwierigere Teil der Modellbildung. Im Fall einer abzählbaren Ergebnismenge M ,
z.B. einer endlichen Menge, bedeutet dies: Für jedes mögliche Ergebnis x ∈ M ist die Wahrscheinlichkeit
seines Eintretens festzulegen, d.h.
f (x) = P ({x}) ,
x∈M,
(Zähldichte von P ).
Im allgemeinen Fall ist das natürlich komplizierter; im Prinzip ist für jede messbare Teilmenge A ⊆ M die
W’keit P (A) anzugeben, dass das Ergebnis x des Zufallsexperiments in A liegt. Angenehm ist hier z.B. die
Beschreibung der W-Verteilung P durch eine Lebesgue-Dichte (wenn möglich) im Fall (M, A) = (R, B1 )
oder (M, A) = (Rn , B n ) .
“Ausgeschmückte” Modellformulierung mit Zufallsvariablen
Gegeben sei ein weiterer (“fiktiver”) W-Raum (Ω, A, P) , (der i.d.R. nicht weiter spezifiziert wird), und
eine Zufallsvariable
X : (Ω, A) −→ (M, A) ,
(die i.d.R. ebenfalls nicht näher spezifiziert wird, außer ihrer Verteilung, s. unten).
Ein Ergebnis x ∈ M des Zufallsexperiments wird als Wert der Zufallsvariablen X aufgefasst, (der Zufall
wählt ein Element ω ∈ Ω und das Ergebnis des Zufallsexperiments ist dann x = X(ω)). Die Verteilung PX
der Zufallsvariablen X ist geeignet festzulegen: PX = P . Wir sehen also, dass effektiv wiederum der
W-Raum (M, A, P ) das Modell darstellt.
6
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Beispiele: Modelle für einige einfache Zufallsexperimente
(1) Würfeln (einmal).
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und P = U(M ), d.h.
Zähldichte von P : f (x) = 1/6
∀ x = 1, 2, . . . , 6 .
Oder: Eine Zufallsvariable X mit Werten in M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , die auf M gleichverteilt ist:
P(X = x) = 1/6
∀ x = 1, 2, . . . , 6 .
(2) Würfeln (zweimal, unabhängig voneinander). Ein Würfel wird zweimal geworfen (erster Wurf und
zweiter Wurf), oder es werden zwei ‘unterscheidbare’ Würfel (Würfel Nr. 1 und Würfel Nr. 2) gleichzeitig
geworfen.
©
ª
M = x = (x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} , P = U(M ) , d.h.
Zähldichte von P : f (x) = 1/36 ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ M .
Oder: X = (X1 , X2 ) eine Zufallsvariable mit Werten in M = {1, 2, . . . , 6}2 , die auf M gleichverteilt
ist:
P(X = x) = 1/36 ∀ x = (x1 , x2 ) ∈ M ,
was man auch so schreibt, mit den beiden Komponentenvariablen X1 und X2 , die jeweils Zufallsvariablen
mit Werten in {1, 2, . . . , 6} sind :
P( X1 = x1 , X2 = x2 ) = 1/36
∀ x1 , x2 = 1, 2 . . . , 6 .
Die (typische) Schreibweise “X1 = x1 , X2 = x2 ” steht dabei für das Ereignis (Teilmenge von Ω) :
©
ª
©
ª
X1 = x1 , X2 = x2 = ω ∈ Ω : X1 (ω) = x1 und X2 (ω) = x2 .
(3) Lotto-Ziehung ‘6 aus 49’ ohne Zusatzzahl.
©
ª
M = x = (x1 , x2 , . . . , x6 ) : 1 ≤ x1 < x2 < . . . < x6 ≤ 49 , xi ∈ N (1 ≤ i ≤ 6) ,
±¡ ¢
P = U(M ), also Zähldichte von P : f (x) = 1 49
∀x∈M.
6
(4) 0-1-Experiment (einmalige Durchführung).
½
M = {0, 1} ;
P mit Zähldichte f (x) =
p
1−p
, falls x = 1
, falls x = 0
,
d.h. P = Bi(1, p) ,
wobei p ∈ [ 0 , 1 ] die ‘Erfolgswahrscheinlichkeit’ ist. Interessanter sind mehrmalige unabhängige Durchführungen des 0-1-Experiments:
(5) 0-1-Experiment (n-malige “unabhängige” Durchführung).
©
ª
M = {0, 1}n = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ {0, 1} ∀ i ,
f (x) = pS(x) (1 − p)n−S(x)
∀ x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M ,
P mit Zähldichte
n
X
wobei S(x) =
xi .
i=1
Oder: X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) eine Zufallsvariable mit Werten in M = {0, 1}n , d.h. mit {0, 1}-wertigen
Komponentenvariablen X1 , X2 , . . . , Xn , und die Verteilung von X ist gegeben durch
¡
¢
P X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn = pS(x) (1 − p)n−S(x) ∀ x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M .
Mit Hilfe des Begriffs der stochastischen Unabhängigkeit (s. Kap. 2) lässt sich das Modell einfacher (und
anschaulicher) so formulieren:
n stochastisch unabhängige {0, 1}-wertige Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn mit Xi ∼ Bi(1, p) für alle
i = 1, 2, . . . , n , also P(Xi = 1) = p und P(Xi = 0) = 1 − p ∀ i .
(6) Eine zufällige Anzahl, binomial-verteilt. Betrachten wir z.B. das folgende Zufallsexperiment: Ein
0-1-Experiment (mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ [ 0 , 1 ] ) wird n-mal unabhängig durchgeführt, und
als Ergebnis wird lediglich die Anzahl der erzielten Erfolge festgehalten. Modell: M = { 0, 1, 2, . . . , n }
(klar); gar nicht so klar ist die geeignete W-Verteilung (Begründung später): P = Bi(n, p) .
Andere Modellformulierung: X eine Bi(n, p)-verteilte Zufallsvariable.
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Weitere Beispiele zur Modellierung
(1) Zufällige Anzahlen.
Z.B.: Die Anzahl der Ankünfte von Kunden oder Aufträgen in einer Service-Station in einem definierten Zeitraum; die Anzahl von Verkehrsunfällen in einer definierten Region in einem definierten Zeitraum; die Anzahl verkaufter Produkte in einem definierten Zeitraum; die Anzahl registrierter Impulse in
der
¡ Umgebung
¢ einer radioaktiven Substanz in einem definierten Zeitraum. Ein oft verwendetes Modell:
N0 , Poi(λ) , mit einem geeigneten λ ∈ ( 0 , ∞). Oder mit Hilfe einer Zufallsvariablen formuliert: Die
zufällige (oder zufällig erscheinende) Anzahl wird durch eine Poisson-verteilte Zufallsvariable beschrieben,
d.h.
¡
¢
λx
∀ x ∈ N0 .
X : (Ω, A) −→ N0 , P(N0 ) , P( X = x ) = e−λ
x!
(2) Zufällige Lebensdauern.
Z.B.: Lebensdauer eines technischen Bauteils (z.B. Glühlampe, elektronisches Bauteil) oder auch Lebensdauer eines Lebewesens. Die einfachsten gebräuchlichen Modelle hierfür sind:
Im Fall einer diskreten Lebensdauer (Werte in N) Modellierung durch eine geometrisch-verteilte Zufallsvariable, d,h,
¢
X : (Ω, A) −→ (N, P(N) , P( X = x ) = p(1 − p)x−1 ∀ x ∈ N ,
mit einem geeigneten p ∈ ( 0 , 1 ).
Im Fall einer kontinuierlichen Lebensdauer (Werte in ( 0 , ∞)) Modellierung durch eine exponentialverteilte Zufallsvariable, d.h. X : (Ω, A) −→ (R, B1 ), und PX besitzt die Lebesgue-Dichte
f (x) = λ exp(−λ x ) 1 ( 0 , ∞) (x) ,
(x ∈ R) ,
mit einem geeigneten λ ∈ ( 0 , ∞).
(3) Industrielle Fertigung
Charakteristikum eines gefertigten Produkts, das naturgemäß einer zufälligen (oder zufällig erscheinenden) Schwankung unterliegt, z.B. Dicke eines Bleches, Länge eines Stiftes, Widerstand eines elektrischen
Bauteils. Oft verwendet: Modellierung durch eine normalverteilte Zufallsvariable, oder auch Modellierung
durch eine lognormal-verteilte Zufallsvariable, wobei die Parameterwerte β und σ 2 der Normalverteilung
bzw. der Log-Normalverteilung geeignet festzulegen sind.
Normalverteilte und auch lognormal-verteilte Zufallsvariablen werden noch in vielen weiteren Situationen
verwendet, z.B. bei zufälligen Lebensdauern oder Projektdauern, Erträgen oder Umsätzen.