I. BUCH Dreiecke 19. Winkeldreiteilende und Moreley

I. BUCH DREIECKE
19.
und
MORELEY
Winkeldreiteilende und Morley-Dreiecke
Die Dreiteilung der Winkel, - die ja nicht „mit Zirkel und Lineal“
konstruierbar ist1 -, in einem beliebigen Dreieck liefern als Schnittpunkte
auch drei besondere Punkte, nämlich die Ecken von gleichseitigen sog.
Morley-Dreiecken2.
Archimedische Trisektion eines Winkels
Dies ist eines der drei klassischen unlösbaren Probleme, neben dem Deli-Problem der
Würfelverdoppelung (zur Beendigung der Pest auf Delos sollte der würfelförmige Altar
Apollons verdoppelt werden) und der Quadratur des Kreises (bzw. der
Nichtkonstruierbarkeit des regelm. 7-Ecks).
Allerdings fand Archimedes eine Quasikonstruktion mit Linealmarkierungen
(--http://library.kiwix.org:4217/A/Dreiteilung%20des%20Winkels.html),
und es gelang Nikomedes 150 v. Chr. eine Lösung der Winkeltrisektion mithilfe einer
Conchoide.
 >> Was ist Mathematik? << R. Courant/H. Robins, Springer 1992.
http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html
http://library.kiwix.org:4217/A/Unterhaltungsmathematik.html
1
Frank Morley (1860 – 1937) war Mitglied des Haverford College's Department of
Mathematics und wurde bekannt durch diese Entdeckung und den Beweis dieser WinkelDreiteilung.
http://www.gogeometry.com/geometry/morley_triangle_circle_center.htm
Die inneren und äußeren Morley-Dreiecke siehe unter
http://www.mbauerlh4wug.homepage.t-online.de/BesonderePunkte/MorleyExt.html
Oder http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html
Für eine Verallgemeinerung siehe Taylor, F. G. and Marr, W. L.
"The Six Trisectors of Each of the Angles of a Triangle."
Proc. Edinburgh Math. Soc. 32, 119-31, 1914.
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Abb. 1: Moreleydreieck
bei einem rechtwinkligen Ausgangsdreieck
Das ist von innen her beweisbar3, indem man die Winkel am gleichseitigen
Dreieck analysiert! Die Seitenlänge des Moreley-Dreiecks ist
8R x sin(Alpha/3) x sin(Beta/3) x sin(Gamma/3)
Beim pythagoreischen Dreieck 3, 4, 5 der Abb. 1 ist sin α = a/c =3/5
Der Winkel Alpha ist daher etwa 37, der Komplementwinkel β etwa 53.
8R sind 4c = 20 und die Moreley-Seitenlänge wird etwa
20 x 0,213 x 0,304 x½ ≈ 0,65
also etwa der 7,7-Teil der Hypotenuse
Es gibt viele Beweise z.B. von D. J. Newman oder Conway
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/CenterCircle.shtml#clifford
http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/Beyond.shtml
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Abb. 2: Morleydreieck
bei einem gleichschenkligen Ausgangsdreieck
Beispielsweise in der Abbildung hier sind die Winkel zweimal 75 und 30
Das ergibt die Seitenlänge 8R sin² 25 sin 10 ≈ 0.25 R
(viertel Umkreisradius)
Abb. 3: Moreleydreieck
bei einem stumpfwinkligen Ausgangsdreieck
Seiten 13, 4 und 15 R= 65/8
Mit sin α = 4/(2x65/8) wird α ≈ 14,25 β ≈ 53,1 γ ≈ 112,6
ergibt für die Seitenlänge etwa 1
(der vierte Teil der kleinsten Seite)
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Abb. 4: Moreleydreieck
bei einem gleichseitigen Ausgangsdreieck
Die Dreiteilenden selbst bilden allerdings auch schon gleichseitige Dreiecke!
Beim gleichseitigen Dreieck liefert das 8R sin³ 20 ≈ 0.43R,
was wegen R = ⅓a3 ≈ 0,185 a
also etwa ein Fünftel der Seitenlänge ergibt
Auch die Außenwinkeldreiteilenden schneiden sich in drei Punkten,
die ein zum Inneren paralleles gleichseitiges Dreieck bilden4
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http://www.matha.rwth-aachen.de/de/forschung/geometrie/
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In obiger Abbildung sind die Winkel 48°, 63° und 69°.
Das Produkt der Sinen der Drittelwinkel ist sin16° sin21° sin 23°≈ 0,0386.
Der Umkreisradius ist 5 und damit ist die Moreley-Seitenlänge
40x0,0386 ≈ 1,54
Das Zentrum der Ähnlichkeitsabbildung beider Moreleydreiecke liegt auf
keiner Eulergeraden und der Streckungsfaktor ist hier etwa 6,87.
A propos, wie heißt der Sinen-Wehrle der Drittelwinkel eines Dreiecks?
Im obigen Beispiel ist er etwa 0,03766 da die Summe ≈ 1,025 ist.
w(sin ⅓αi ) = sin ⅓α sin ⅓β sin (6o°-⅓α -⅓β) / {sin ⅓α +sin ⅓β +sin (60°-⅓α -⅓β) }
Es ist aber sin α =3 sin ⅓α -4sin³ ⅓α oder
sin³ ⅓α = ¼(3sin ⅓α –sin α)
eine Gleichung 3ten Grades!
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AUFGABEN
1.)
Statt jeden Dreiecks-Winkel in drei gleiche Winkel zu teilen
(durch die Winkeldreiteilenden), kann man auch die Seiten
dritteln (Seitendreiteilenden).
Recherchiere im Netz. Auch hierzu gibt es interessantes:
http://gogeometry.com/problem/p061_mw_triangle_trisection_problem.htm
http://gogeometry.com/geometry/marion_walter_geometry_theorem.htm
http://gogeometry.com/problem/p121_triangle_similarity.htm
http://gogeometry.com/problem/p123_area_triangle_similarity.htm
http://gogeometry.com/problem/p124_area_triangle_similarity.htm
http://gogeometry.com/problem/p125_area_triangle_star.htm
2.) Vielleicht schneiden sich die Winkelviertelnden diverser Vierecke
analog auch in vier Punkten, die ein winkelgleiches Viereck (Rechteck)
bilden!
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