Skript zur Vorlesung vom 12. und 13.10.1998, 2400 KB

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Vorlesung Experimentalphysik I am 12.10.1998 und 13.10.1998
J. Ihringer
1 Mechanik
Die Mechanik ist die Lehre von der Bewegung und Verformung von Körpern unter dem
Einfluß von Kräften. In der „Mechanik der Massenpunkte“ abstrahiert man den realen Körper
auf einen einzigen Punkt, eben seinen Massenpunkt, in dem man sich die Masse des Körpers
vereinigt denkt. Die Gestalt des Körpers und dessen sonstige Eigenschaften bleiben
unberücksichtigt. Auf diese Weise sind Bewegungsabläufe entlang irgendwelcher Bahnen
besonders einfach zu beschreiben. Allerdings kommt dieses Bild schon bei der Beschreibung
von Rotationen realer Körper an seine Grenzen.
Man weiß etwa aus dem Spiel mit einem Kreisel, daß für Rotationsbewegungen besondere
Gesetze gelten. Offensichtlich genügt zur Berechnung der Kreiselbewegung die Abstraktion
des Kreisels auf einen Punkt mit der einzigen Kenngröße „Masse“ nicht mehr. Man kann die
Rotation zwar als eine kollektive Bewegung mehrerer einzelner Massenpunkte entlang den
der Kreisbewegung entsprechenden Bahnen auffassen, allerdings ist die mathematische
Bearbeitung der simultanen Bewegung mehrerer Teilchen immer sehr aufwendig. Um das
„Einteilchenbild“ beizubehalten ordnet man dem Körper neben seinem Massenpunkt, der
dann „Schwerpunkt“ genannt wird und sich durch eine bestimmte Lage im Körper
auszeichnet, als weitere Eigenschaft seine „Trägheitsmomente“ bezüglich unterschiedlicher
Richtungen zu. Die formale Behandlung der Rotationsbewegung ist das Thema der
„Mechanik des starren Körpers“.
Ein weiterer Schritt zum realen Körper ist die Berücksichtigung seiner Elastizität in der
„Mechanik deformierbarer Medien“. Hier werden Phänomene behandelt, die mit der
Viskosität der Materialien zusammenhängen. Sie reichen von der Biegung eines Balkens
unter Last bis zum Zusammenhang zwischen Druck und Fließgeschwindigkeit in Aero- und
Hydrodynamik.
Eine ganz besondere Bewegungsart sind „Schwingungen und Wellen“, denen in der
Mechanik ein besonderes Kapitel gewidmet ist. Schwingungen, die in allen Bereichen der
Physik auftreten, sind deshalb so wichtig, weil sie im Idealfall - der auch in der Realität gut
genähert werden kann - ohne Energieverbrauch andauern. Beim Bewegungsablauf
„schwappt“ die Energie zwischen unterschiedlichen Formen hin und her, bei einer Schaukel
z.B. zwischen kinetischer und potentieller Energie. Der geringe Energieverbrauch der
Schwingung ist an einer Uhr mit Pendel gut zu illustrieren: Sie läuft- Tage oder Wochenlang
nach einmaligem Aufziehen ihrer Feder. Denkt man sich die Feder als Antrieb eines
Fahrzeugs für dessen Fahrt auf irgendeiner Bahn, so weiß man aus Erfahrung, daß die
Bewegung nur einige Sekunden dauert. In der Natur kennt jeder die mechanische
Schwingungen der Luft als Schall, aber auch in Form oszillierender Bewegungen der Flügel
von Insekten, die mit dieser Bewegungsart bei minimalem Energieverbrauch weite Strecken
zurücklegen.
Die „Wärmelehre“ beschließt die Mechanik. Hier stehen die Gase im Vordergrund. Die
Hauptsätze der Wärmelehre sowie Arbeitsweise und optimaler Wirkungsgrad von
Wärmekraftmaschinen werden gezeigt. Die „kinetischen Gastheorie“ leitet schließlich die
Begriffe der Thermodynamik, z.B. die Temperatur, aus den Verteilungen der kinetischen
Energie der einzelnen Teilchen ab. Man erkennt dabei, daß der Mittelwert des Verhaltens
2
vieler Individuen eine stabile Größe ist, ungeachtet der Möglichkeit der Abweichungen vom
Mittelwert, den „Fluktuationen“, für deren Größenordnung die Wahrscheinlichkeit
abgeschätzt werden kann. Dieses Kapitel ist vielleicht das mit dem höchsten Synergie Effekt
auf andere Zweige der Natur-, Wirtschafts- und sogar Sozialwissenschaften, weil es
ausschließlich mit fundamentalen Regeln der Statistik arbeitet, die vom Objekt ihrer
Anwendung unabhängig sind.
1.1 Messen und Maßeinheiten
1.1.1 Die Einheiten der physikalischen Grundgrößen
Die Aussagen der Physik beruhen auf Messungen. Die Ergebnisses einer Messung werden in
Anzahl der Einheiten einer für das Problem geeigneten Größe angegeben. Im Rahmen der
Mechanik lassen sich alle Meßergebnisse auf drei Grundgrößen zurückführen, die im
„Internationalen Einheitensystem“ dem SI-System (Système Internationale d’Unités),
festgelegt sind. Man beachte, daß die Definition der Länge auf die der Zeit zurückgeführt ist.
Grundgröße
Si-Einheit
Zeichen
Name
Länge
m
Meter
Zeit
s
Sekunde
Masse
kg
Kilogramm
Definition
1 m ist die Strecke, die das Licht im
1
s zurücklegt
Vakuum in
299792485
1 s ist die Zeit für 9192631770
Schwingungen des 133
55 Cäsium Isotops
beim Übergang zwischen den beiden
Hyperfeinstrukturniveaus des
Grundzustandes (magnet.
Kernresonanz)
Urkilogramm in Bureau International
des Poids et Mesures in Paris Sèvres
Tabelle 1 Grundgrößen der Mechanik
Grundgröße
Elektrische
Stromstärke
Si-Einheit
Zeichen
Name
Ampere
A
Kelvin
Temperatur
K
Definition
Die Stromstärke in zwei parallel
zueinader angebrachten Leitern im
Abstand von 1m beträgt 1 A, wenn die
Ströme, bezogen auf die Länge 1m die
Kraft 2  10 7 N aufeinander ausüben
Zwischen dem Nullpunkt der
thermodynamischen Temperaturskala
(aboluter Nullpunkt) und dem
Tripelpunkt des Wassers liegen 273,15
K
3
Mol
Stoffmenge
mol
Candela
Lichtstärke
cd
1 mol eines Stoffes ist die Menge des
Stoffes, die ebensoviele Teilchen
enthält, wie Atome in 121000 kg des
Nuklids 12 C enthalten sind.
Lichtstrom, der von 160 cm 2 eines
schwarzen Körpers bei 2042 K, der
Schmelztemperatur von Platin, ausgeht
Tabelle 2 Grundgrößen für die übrigen Gebiete der Physik
Es sei daran erinnert, daß Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben werden. Das
Bogenmaß ist das Verhältnis des Kreisbogens über dem Winkel zum Radius des Kreises. Es
ist also eine dimensionslose Zahl, es trägt den Namen Radiant (rad). Analog ist der
Raumwinkel definiert: Man betrachtet ihn als den Öffnungswinkel eines geraden Kreiskegels
mit der Spitze im Mittelpunkt einer Kugel. Seine Größe wird als das Verhältnis der Fläche der
von ihm an der Oberfläche ausgeschnittenen Kalotte zum Quadrat des Radius der Kugel
angegeben. Als Beide Winkelangaben sind Verhältnisse und deshalb dimensionslos. Bei
Kontrolle der Einheiten können beide „1“ gesetzt werden.
Winkel
Radiant
Umrechnung in Grad

l
l
  rad
r
1 rad 
r
Raumwinkel
Steradiant
F


F
sr
r2
r
Tabelle 3 Definition der Winkels Radiant und Raumwinkels Steradiant
1.1.2 Mittelwert und Standardabweichung
360 0
 57,2950
2
4
Meßwerte können Ergebnisse der Abzählung irgendwelcher Ereignisse sein, oder Resultate
der Ablesung von Instrumenten oder Skalen. Das Ergebnis einer einzigen Messung muß –
ohne weitere Information – als zufällig angesehen werden. Man denke z.B. an eine Lotterie,
bei der man nur ein einziges Los zieht: Gewinnt man, so wäre die Annahme verfrüht, jedes
Los würde gewinnen. Gewinnt man nicht, dann wäre es ebenso falsch, anzunehmen, man
gewinnt nie etwas. Die Gewinn/Verlustverteilung der Lotterie erkennt man erst bei
wiederholter Teilnahme. Auf die Naturgesetze übertragen schreibt Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) an Jakob Bernoulli (1655-1705): „Die Gewohnheiten der Natur erkennt man
eben erst durch häufiges Beobachten“.
Wiederholt man die gleiche Messung öfter, bei gleichbleibenden Versuchsbedingungen, dann
werden –je nach der Art der Messung- die Ergebnisse jeweils mehr oder weniger
unterschiedlich ausfallen. Zählt man im Takt einiger Sekunden z.B. die Möwen, die in der
Umgebung eines Schiffes in einer bestimmten Richtung unter einem bestimmten Raumwinkel
beobachtet werden, dann erhält man eine Tabelle:
Abbildung 1 Möwen im gleichen Raumwinkel, beobachtet nach jeweils 3 s.
Beobachtung Nr.
1
2
3
4
1 n
x    xi
Mittelwert
n i 1
Anzahl
4
3
5
6
4,5
5
Tabelle 4 Definition und Berechnung des Mittelwerts aus 4 aufeinanderfolgenden
Beobachtungen
Aus den 4 Beobachtungen kann man zunächst den Durchschnitts- oder Mittelwert errechnen,
der sich zu 4,5 ergibt. Die mehrmaligen Beobachtung beinhalten aber noch weitere
Information über das „Möwen“ System, die sich aus der Standardabweichung erschließt:
Nach den in der nächsten Tabelle angegeben Regeln erhält man   1,118 . Die Größe  ist
ein Maß für die Streuung der einzelnen Beobachtung. Sie besagt, daß bei vielen, wiederholten
Beobachtung in 68% aller Fälle mit einem Wert zwischen 4,5-  =3,4 und 4,5+  =5,6 zu
rechnen ist.
Beobachtung Nr .i
1
2
3
4
Quadrat der
Standardabweichung
Standardabweichung
Anzahl-Durchschnitt (Anzahl-Durchschnitt)2
x  xi
( x  xi ) 2
4
-0,5
0,25
3
-1,5
2,25
5
0,5
0,25
6
1,5
2,25
n
1
2
2 
   x  xi 
1,7
n  1 i 1

1,3
Anzahl xi
Tabelle 5 Definition und Berechnung der Standardabweichung
1.1.3 Die Poissonverteilung
Bei abzählbaren Ereignissen, wie im Beispiel oben, ist das Ergebnis immer eine positive
ganze Zahl einschließlich der Null. Letztere ergibt sich, wenn zum Beobachtungszeitpunkt
z.B. gerade keine Möwe in Blickrichtung zu finden ist. Die Statistik zeigt, daß die
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ganzzahligen Zufallsgröße, wie sich z.B. aus der
Abzählung irgendwelcher zufälligen Ereignissen ergibt, die Poisson Verteilung ist. Eine
Verteilung zeigt die Häufigkeit, mit der einzelne Ergebnisse bei vielfach wiederholten
Messungen erzielt wurden. Die Annäherung an die Poisson Verteilung wird schon bei 250facher Wiederholung z.B. der Möwen Beobachtung gut sichtbar.
6
Abbildung 2 Verteilung der Ergebnisse von 250 Beobachtungen eines Ereignisses mit
Mittelwert 5. Mittelwert (5) und Standardabweichung 5 sind eingezeichnet
Die Poisson Verteilung entspricht der Hüllkurve dieses Häufigkeits-Gebirges im Idealfall
unendlich vieler Messungen. Der Maßstab der Ordinate wird so gewählt, daß das Integral über
die Verteilung „1“ ergibt.
Abbildung 3 Poisson Verteilung für   5 , die Werte der Ordinate sind mit 100 multipliziert.
Versuch 1 On-line Erzeugung des Histogramms zur Poisson-Verteilung aus der Simulation
von etwa 250 Abzählungen von Ereignissen mit Mittelwert 5. (Prog. HIST_POI.GFA mit
Datei POI_VERT.DAT, letztere wird mit POIVER.GFA erzeugt)
1.1.4 Die Gaußverteilung
7
Ist die Meßgröße nicht das Ergebnis einer Abzählung, sondern das der Ablesung einer Skala,
dann ist die Verteilung der Meßwerte durch die Gaußverteilung gegeben.
Abbildung 4 Carl Friedrich Gauß (1777-1855) und die nach ihm genannte Verteilung auf der
10 DM Banknote. Die Grafik zeigt die Verteilung für   3 und   1 . Die auf dem
Geldschein aufgedruckte Funktion zur Kurve ist f  x  
1
 2
 x   2
e
2 2
Bei der Gaußverteilung wird zum einen vorausgesetzt, daß die Abweichungen der
Beobachtung vom „wahren Werte“, dem Mittelwert  , zu dessen beiden Seiten gleich
wahrscheinlich sind. Ist W ( x)  f ( x)  dx die Wahrscheinlichkeit, daß eine Beobachtung x
zwischen x und x  dx gefunden wird, dann gilt im Fall der Gaußverteilung:
f x  
1
 x   2
e
2 2
 2
Das Maß für die Streuung ist die Standardabweichung  . Im Modell der Gaußverteilung
bedeutet diese, daß, bei Annahme einer vielfachen Wiederholung der Messung, 68% aller
Meßwerte zwischen    und    gefunden werden. In 99,7% aller Messungen liegen
die Meßwerte zwischen   3 und   3 . Mit anderen Worten: Einzelmessungen mit
Abweichungen von mehr als 3 vom Mittelwert kommen praktisch nie vor. Ergibt eine
Messung doch ein unerwartetes Ergebnis, so kann nur die mehrmalige Wiederholung zeigen,
ob es zufällig außerhalb des angenommen Mittelwertes lag oder ob sich der Mittelwert
geändert hat.
Hat man einige Meßwerte erfaßt, z.B. die zu den 4 Beobachtungen der Möwen, dann zeichnet
sich der Mittelwert
1 n
x    xi
n i 1
dadurch aus, daß für ihn die „Summe der Abweichungsquadrate“
n
1
2
2 
   x  xi 
n  1 i 1
minimal ist. Das Maß für die Streuung ist die Standardabweichung  .
8
1.1.5 Näherung der Poisson- durch die Gaußverteilung
Bei genügend großen Mittelwerten, etwa ab   4 , kann bei Abzählungen die Poisson- durch
eine Gaußverteilung mit Mittelwert    und Standardabweichung    ersetzt werden.
Es ist das besondere an dieser Gaußverteilung, daß der Mittelwert    auch deren
Standardabweichung    vorgibt, weil die Poissonverteilung eben nur durch einen
einzigen Parameter, ihren Mittelwert  , gekennzeichnet ist.
Bei kleinen Mittelwerten von Abzählungen ist die Symmetrie der Abweichungen nicht
gegeben, weil die kleinste Beobachtung die Ereigniszahl „0“ ist. In diesen Fällen, etwa für
  4 , muß die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis aus der Poissonverteilung
ermittelt werden. Im Gegensatz dazu können Skalenwerte um beliebige Mittelwerte
schwanken, insbesondere auch um „0“, so daß diese immer der Gaußverteilung folgen.
In der folgenden Abbildung sind Gauß- und Poissonverteilung für den Mittelwert 5
zusammengestellt, man erkennt die kleinen Abweichungen, die aber bei größeren
Mittelwerten noch geringer werden.
Abbildung 5 Vergleich zwischen Gauß- (durchgezogene Linie) und Poissonverteilung
(gestrichelte Linie) bei gleichem Mittelwert 5 und Standardabweichung 5 .
Verteilung des Typs
Mittelwert
Standardabweichun
g
Anmerkung
f (k ) zeigt die Wahrscheinlichkeit,

daß eine Zufallsgröße k (natürliche
Poisson

f (k ) 
 e 

Zahl) beobachtet wird, wenn deren
k!
Mittelwert  (rationale Zahl) ist..
f ( x)  dx zeigt die
Wahrscheinlichkeit, daß eine
 x   2
1
2 2
Beobachtung
f x  
e

Gauß

 2
mit symmetrischer Streuung um
den Mittelwert  , zwischen x und
x  dx liegt
Bestimmung von Mittelwert und Standardabweichung aus einer Meßreihe
k
9
Für den so definierten Mittelwert
ist die Summe der
Abweichungsquadrate, und damit
 2 , minimal.
Die Standardabweichung  zeigt
die Streuung der einzelnen
Meßwerte: Bei vielfacher
Wiederholung der Messung würden
68% aller Ergebnisse zwischen
   und    liegen.
1 n
x    xi
n i 1
2 
n
1
2
   x  xi 
n  1 i 1
xi
n
Messwert Nr. i
Anzahl der Messungen
Standardabweichung des
Mittelwerts x

n
Tabelle 6 Zusammenfassung der Poisson- und Gaußverteilung, Mittelwert,
Standardabweichung der Einzelmessung und Standardabweichung des Mittelwerts
Die Anwendung der Verteilungen setzt voraus, daß das Ergebnis des Experiments nicht durch
systematische Fehler beeinflußt wird. Ein systematischer Fehler ergibt sich z.B. aus der
Parrallaxe bei der Ablesung eines Instruments.
Versuch 2 Parallaxe bei der Ablesung einer Skala. Eine Skala wird schräg an die Wand
projiziert.
1.1.6 Messung der Länge
Die Messung der Länge kann auf die Abzählung von Wellenlängen zurückgeführt werden. Ist
die Wellenlänge durch einen elementaren Prozeß definiert, z.B. den Übergang eines Atoms
zwischen zwei Zuständen, dann liefert, bei Wahl einer möglichst kurzen Wellenlänge als
Längeneiheit, deren Abzählung entlang der zu messenden Strecke die genaueste
Längenangabe. Tatsächlich ist das Meter auf diese Weise definiert.

2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
0
10
20
30
40
50
l
Abbildung 6 Messung einer Strecke der Länge l durch Abzählung der Wellenlängen: l  7 .
Die Standardabweichung kann mit    / l abgeschätzt werden.
Im Interferometer von Michelson wird der von einer Lichtquelle ausgehende Strahl durch
einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei Teilstrahlen aufgeteilt. Nach Reflektion an zwei
10
Spiegeln werden beide Teilstrahlen zur Überlagerung gebracht. In Abhängigkeit von der
Stellung des beweglichen Spiegels überlagern sich die Teilstrahlen konstruktiv oder sie
löschen sich aus. Beginnt man bei einer Stellung mit Auslöschung, dann erhält man
Auslöschung nach Verschiebung des Spiegels um jeweils  / 2 . Eine Messung einer
beliebigen Strecke wird damit zu einer Abzählung.
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
0,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
-1,5
2,0
Zeit
-1,5
2,0
-2,0
-2,0
1,5 01,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
0,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
-1,5
-1,5
2
0
4
2
6
4
8
6
10
8
10
Zeit
Abbildung 7 Auslöschende (oben) und verstärkende (unten) Überlagerung von zwei
Wellenzügen.
-2,0
-2,0
0
0
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
Empfänger
Sender
Feststehender
Spiegel
Beweglicher
Spiegel
Halbdurchlässi
ger Spiegel
Abbildung 8 Michelson-Interferometer mit beweglichem Spiegel zur Längenmessung
Versuch 3 Michelson Interferometer zur Angabe der Länge durch Abzählung von
Wellenlängen. Hier: gezeigt mit cm-Wellen (Mikrowellen,   3,2 cm ).
Anmerkung zum Michelson Interferometer: Läßt man beide Spiegel und die restlichen
Komponenten fest, dann ändert sich die Überlagerung der beiden Wellenzüge nur noch dann,
wenn sich die Geschwindigkeit der Ausbreitung beider Wellenzüge relativ zueinander
11
verändert. Mit der Sonne als Lichtquelle zeigt das Michelson Interferometer, daß die
Lichtausbreitung nicht an einen ruhenden kosmischen „Äther“ gebunden ist.
Abbildung 9 Das Interferometer werde z.B. in Luft nach links bewegt und der Sender sende
Schallwellen aus. In beiden Stellungen ist der Schall mit der durch die Bewegung erhöhten
Geschwindigkeit grün eingezeichnet. Man erkennt, daß sich die Laufzeit beider Strahlen bei
Drehung des Interferometers ändert, damit ändert sich die Überlagerung im Empfänger.
In Verbindung mit einer Zeitmessung kann bei bekannter Länge die Geschwindigkeit
errechnet werden.
Formel
v
v (t ) 
Anmerkung
s
t
Konstante
Geschwindigkeit
ds
dt
Zeitlich variable
Geschwindigkeit
t
Zeit
s
In der Zeit t
zurückgelegter Weg
ds
dt
Ableitung der Funktion
des Wegs nach der Zeit
Tabelle 7 Betrag der Geschwindigkeit, konstant bzw. zeitlich variabel
Versuch 4 Messung von Weg und Zeit zur Bestimmung der Geschwindigkeit eines Geschosses.
Gemessen werden 0,003913 s auf 1m Laufweg. v  255
m
m
, v Schall  330 .
s
s
Versuch 5 Messung der Schallgeschwindigkeit bei variablem Druck
12
Versuch Nr.
1
2
3
Druck
kg
Pa 
m  s2
1
0.1
< 0.05
Laufzeit
Geschwindigkeit
s
m/s
0,0029
0,0031
0,0092
345
322
108
Tabelle 8 Versuchsergebnis: Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Druck, der Druck
ist in Pascal angegeben: 10 5 Pa  1 bar . Die Schallgeschwindigkeit ist bei nicht zu tiefen
Drucken praktisch unabhängig vom Druck.
Versuch 6 Schwingungsdauer eines Pendel. Die Schwingungsdauer ist von der Auslenkung
unabhängig.
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