Teil I: Wissen (20 Minuten)

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F A C H H O C H S C H U L E
F Ü R
D I E
W I R T S C H A F T
F H D W ,
H A N N O V E R
THEORETISCHE GRUNDLAGEN:
ORDNUNG UND REKURSIVE FUNKTIONEN
P ROBEKLAUSUR
Studiengang: Informatik
Studienquartal: III. Theoriequartal
Prüfungsumfang:
Skript „Ordnung und ihre Anwendung“ vom 14. 3. 2002
Dozent: Michael Löwe
Termin: 14. März 2001
Dauer: 60 Minuten
40 Punkte sind zu erreichen: davon Wissen 16 Punkte, Anwendung 16 Punkte, Transfer 8 Punkte.
Bestanden ab 20 Punkte.
TEIL I: WISSEN (20 MINUTEN)
Aufgabe 1 (4 Punkte): Wie ist eine (Halb-)Ordnung auf einer Menge definiert? Wie ist eine totale Ordnung auf
einer Menge definiert?
Aufgabe 2 (4 Punkte): Geben Sie eine Ordnung auf den natürlichen Zahlen  an, die
(a) nicht total ist,
(b) kein kleinstes Element hat,
(c) für einige endliche Teilmengen keine kleinste obere Schranke hat,
(d) die zwar kleinsten oberen Schranken für jede Teilmenge hat, aber für einige Teilmengen keine größten unteren
Schranken.
Achtung: für jede Teilaufgabe können sie eine andere Ordnung definieren!
Aufgabe 3 (4 Punkte): Welche Eigenschaften E garantieren für eine Abbildung f: D  D auf einer geordneten
Menge D die Existenz eines kleinsten Fixpunktes? Geben Sie die Definitionen für den Begriff „Fixpunkt“ und
„kleinster Fixpunkt“ exakt an. Definieren Sie auch die hinreichenden Eigenschaften E formal präzise!
Aufgabe 4 (4 Punkte): Welche Rolle spielen Fixpunkte für rekursive Programmschemata? Wie kann man Sie
konstruieren?
TEIL II: ANWENDUNG ( 25 MINUTEN)
Mit Hilfe rekursiver Funktionsdefinitionen kann auch die ansonsten in der Informatik als elementar angesehenen
Operationen auf den natürlichen Zahlen ganz einfach definieren. Ganz prima geht das, wenn man die natürlichen
Zahlen als Listen über einem einzigen Zeichen darstellt (die Römer lassen grüßen!): nat = {|}*. Die leere Liste
 steht für die 0, die Liste ||| z. B. für die 3, und allgemein wird eine natürliche Zahl n durch die Liste mit n
Strichen, i. e. ||... n-mal ... ||, dargestellt. Die Addition kann man dann so definieren:
(Addition im Einersystem)
:: y  
x
 : nat  nat  nat :: ( x, y )  
 ( x, z ) | :: y  z |
Aufgabe 5 (7 Punkte): Definieren Sie die Multiplikation und Potenzierung mit einem ähnlichen Schema! In der
Definition der Multiplikation können Sie natürlich die Addition schon verwenden, ebenso bei der Potenzbildung die
Multiplikation.
In dieser Darstellung der natürlichen Zahlen „dauert“ das Rechnen allerdings sehr lange, wenn man als Maß für die
Länge einer Berechnung die Anzahl der Anwendungen der Funktionsschemata nimmt, die nötig sind, bis der Wert
dasteht. Besser ist es mehr Ziffern (als nur die eine „|“ oben) bei der Darstellung der Zahlen zu verwenden. Zum
Beispiel erhält man mit zwei Ziffern das bekannte Binärsystem bin = {0, 1}*. Z. B. 1010 hat dann den Wert
1*23+0*22+1*21+0*20. (Führende „0“-en lassen wir hier außer acht. Sie stören nicht.) Das bedeutet, dass die Ziffer
mit dem höchsten Wert ganz links in der Liste steht, die mit dem niedrigsten ganz rechts.
Aufgabe 6 (5 Punkte): Formulieren Sie die Addition  : bin  bin  bin als rekursive Funktion über dieser
Darstellung. (Achtung: Benutzen Sie ggf. Hilfsfunktionen, die den Übertrag berücksichtigen. Denken Sie z. B. an die
Funktionsweise des Volladdierers aus der Vorlesung „Eingebettete Systeme 1“.)
Aufgabe 7 (4 Punkte): Formulieren Sie die Addition  : ter  ter  ter als rekursive Funktion über der
Darstellung ter = {0, 1, 2}*. Wählen Sie die Hilfsfunktionen so, dass das eigentliche Verfahren völlig unabhängig
von der gewählten Anzahl der Ziffern im Zahlsystem wird! Nutzen Sie zur Darstellung der Hilfsfunktionen am
besten eine Tabelle.
TEIL III: TRANSFER (15 MINUTEN)
Aufgabe 8 (4 Punkte): Die Äquivalenzrelationen auf einer Menge X lassen sich durch die Inklusion ordnen. Gibt es
in dieser Ordnung
(a) ein kleinstes Element,
(b) ein größtes Element,
(c) größte untere Schranken für jede Teilmenge und
(d) kleinste obere Schranken für jede Teilmenge?
Aufgabe 9 (4 Punkte): Wenn ihre Antwort in Aufgabe 9 „ja“ lautet, geben sie die Elemente explizit an (a und b)
oder beschreiben sie Verfahren, wie man die Schranken konstruieren kann (c und d).
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