3.4.2 Wechselwirkung zwischen Materie und Neutronen

1
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3.4 Die Wechselwirkung der Strahlung mit der Materie
3.4.1 Beugung und Abbildung
Betrachtet man die Strahlungen im Hinblick auf die Abbildung atomarer Strukturen, dann
stellt sich die Frage nach der Wechselwirkung zwischen ihr und der abzubildenden Materie.
Zur Abbildung gehören zwei voneinander unabhängige Vorgänge:
1. Wechselwirkung zwischen der einfallenden Strahlung und dem Objekt. Das Resultat
ist immer ein den ganzen Raum füllendes, divergentes, unendlich ausgedehntes
Interferenzmuster, das im Fall von periodischen Objekten „Beugungsbild“ genannt
wird. Dieses Interferenzmuster entsteht immer, die Beugung kann nur durch
Absorption unterdrückt werden.
90
120
60
150
30

k
180
0
210
330
240
Einfallende, ebene
Welle
300
270
Von den beiden Kanten
des Spalts ausgehende
Kugelwellen
Intensitätsverteilung
auf dem Schirm
hinter dem Spalt
Abbildung 1 Beugung, z. B. am Spalt: Ein beleuchteter Spalt stehe senkrecht zur
Zeichenebene. Sein Beugungsbild entsteht aus Interferenz aller Wellen, die - nach dem
Huygens- Fresnelschen Prinzip - von den Punkten zwischen den Kanten ausgehen. Gezeichnet
sind nur die von beiden Kanten des Spalts ausgehende Wellen. Man erkennt qualitativ
Richtungen hoher und geringer Intensität.
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2
2. Erfassung des Interferenzmusters - an beliebigem Ort im Raum - und Rekonstruktion
des Bildes des Objekts durch die phasenrichtige Überlagerung der vom Objekt
ausgehenden Wellen. Das Bild des Objekts mit optimaler Schärfe erscheint nur in
einer ganz bestimmten, im Raum festliegenden Bildfläche. Im Prinzip müssten also
alle vom Objekt in alle Richtungen ausgehenden, divergenten Wellen gesammelt und
phasenrichtig überlagert werden. Man geht den Weg der Entstehung des
Interferenzbildes praktisch zurück und erkennt am Ort der Kreuzung aller Wellen die
Rekonstruktion des Objekts. Dieser Teil der Abbildung ist empfindlich, die
Optimierung hängt von mehreren Parametern ab. Bei der praktischen Ausführung
dieser Rekonstruktion gibt es vor allem zwei Komplikationen:
o Wegen der begrenzten Öffnung der Instrumente (Apertur) gelingt die
Erfassung des Interferenzmusters meistens nur teilweise, dadurch wird die
Auflösung eingeschränkt.
o Die phasenrichtige Überlagerung gelingt nur dann vollkommen, wenn die
Bildfläche an der richtigen Stelle steht. Steht sie falsch, geht die Auflösung
noch weiter verloren.
Die divergenten
Wellenfelder aus
Abbildung 1 werden
durch eine Linse an dieser
Stelle, mit dieser Apertur,
in konvergente umgelenkt.
An diesem Ort
erscheint das
rekonstruierte
Objekt
Abbildung 2 Abbildung des „Spalts“ durch Überlagerung von nur zwei Teilwellen aus dem
Beugungsbild. An einem ausgezeichneten Ort erscheint das „Bild“ des Objekts: Im Auge liegt
auf dieser Fläche die Netzhaut. Weil nur zwei Ordnungen erfasst wurden, ist die Information
minimal.
3
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Wir Menschen wie auch viele Tiere wurden von der Natur in besonderer Weise verwöhnt,
weil wir Augen haben. Sobald sie geöffnet sind, erledigen sie den delikaten Teil (2) der
Abbildung: Sie erfassen das Interferenzmuster im Raum und erzeugen laufend Bilder der
Objekte auf der Netzhaut, indem die durch die Pupille treffenden Wellenfelder in
Abhängigkeit von ihrer Einfallsrichtung durch die Linse umgelenkt und auf der Netzhaut zum
Bild überlagert werden. Man beachte, dass bei dieser Umlenkung neben den Intensitäten auch
die Phasen der einzelnen Wellenzüge in Relation zueinander erhalten bleiben, beide
Informationen werden zur Bildrekonstruktion benötigt. Steht die Bildfläche ein bisschen
falsch, kann man den Fehler durch Brillen korrigieren.)
Die Umlenkung des divergenten in ein konvergentes Wellenfeld durch Linsen ist möglich,
weil Materie im Frequenzbereich des sichtbaren Lichts einen Brechungsindex zwischen 1 und
2.5 zeigt. Die physikalische Ursache für den vom Vakuumwert (1.0) unterschiedlichen
Brechungsindex ist die Anregung von Elektronen auf äußeren Schalen, deren Eigenfrequenz
mit der des einfallenden Lichts vergleichbar ist.
Im Gegensatz dazu ist der Wert des Brechungsindex für alle Strahlen mit Wellenlängen im
Bereich atomarer Dimensionen praktisch eins. Das heißt, es gibt keine mit einer Linse
vergleichbare Möglichkeit, die vom Objekt ausgehenden divergenten Strahlen wieder
zusammenzuführen. Das Experiment endet mit dem robusten Teil (1). Nun können zwar die
Intensitäten der einzelnen divergenten Wellenfelder gemessen werden, die Phasenlagen der
Wellen in Relation zueinander bleiben aber verborgen, weil sie, wegen der hohen Frequenz,
nicht beobachtbar sind. Die Überlagerung der Wellenfelder kann man berechnen, das
mathematische Verfahren heißt Fourier-Transformation, man braucht dazu aber Intensität und
Phase. Ein großer Teil der wissenschaftlichen Arbeit der Kristallographie und
Festkörperphysik war und ist den Methoden zur Lösung dieses Phasenproblems gewidmet.
Strahlungsart
Material
Brechungsindex
Infrarotes Licht
Germanium
4,05
Sichtbares Licht
Diamant
Quarzglas
Wasser
2,4
1,46
1,33
Röntgenstrahlen
Beliebig
Kerne in
beliebigem
Material
Neutronenstrahlen
Atome mit
magnetischem
Moment
Ionen,
Elektronen
Elektronen
1
1
Wechselwirkung
Elektromagnetisch, einfallende
Strahlung in Größenordnung der
Eigenfrequenz der äußeren
Elektronen
Streuung an den Elektronen der
äußeren Schalen, die Frequenz
der einfallenden Strahlung ist viel
höher als die Elektronenfrequenz
Starke Wechselwirkung zwischen
Neutronen und Kern, Streuung
am Kern,
1
Elektromagnetisch: Dipol-Dipol
Wechselwirkung
1
Elektromagnetisch: CoulombCoulomb Wechselwirkung
Tabelle 1 Strahlungsart, Wechselwirkung mit einigen Materialien und Brechungsindex
4
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3.4.2 Wechselwirkung zwischen Materie und Neutronen
Neutronen sind Kernbausteine mit Masse, ohne Ladung, aber mit einem magnetischen
Moment, dem „Spin 1 / 2 “. Diese Eigenschaften machen das Neutron zu einem besonders
vielseitigen „Detektor“ zur Materialforschung. Als Kernbaustein reagiert es mit den
Atomkernen, indem es beim Auftreffen auf einen Kern kurzzeitig eingebaut wird, es entsteht
ein „Compoundkern“. Danach wird es wieder emittiert, eventuell mit einer
Phasenverschiebung. Wenn die Bausteine der Materie ein magnetisches Moment zeigen, dann
gibt es zwischen ihnen und dem magnetischen Moment des Neutrons noch zusätzlich eine
elektromagnetische Wechselwirkung.
Der Streuquerschnitt eines Kerns wird durch das Verhältnis der Anzahl der pro Zeit vom Kern
ausgehenden Neutronen zum Neutronenfluss auf den Kern definiert.
b
r
 (r )  e ikr

k
 ( z )  e ikz
Abbildung 3 Amplitude einer durch Streuung am Kern entstehenden Kugelwelle und der
erzeugenden ebene Welle (Materiewellen)
r
A 1
v
v
Abbildung 4 Volumina zur Bestimmung des einfallenden Flusses (Querschnitt A=1) und die
Kugelschale zur Abzählung der gestreuten Neutronen
5
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k
Einheit
2
1/m

 (r )  e ikz
Amplitude der einfallenden Welle am Ort z
b
r
 (r )  e ikr
cm
b
N Streu  4r 2 v  b r  e ikr
2
 Ein  v  e ikz
2
 
N Streu
 Ein
Wellenzahl

4r 2 b 2 v
r2
1
s
1
cm 2 s
ikr
4r 2 v b r  e

2
v
e ikz
2
 4b 2
cm2
Amplitude der am Kern gestreuten Welle
im Abstand r vom Kern
Streulänge
Anzahl der in einer Sek. durch eine
Kugelfläche im Abstand r vom
Streuzentrum tretenden, gestreuten
Neutronen: Volumen der Kugelschale mit
Stärkre des in 1s zurückgelegten Wegs
( v  1s ) mal der Intensität bei r
Der Fluss der einlaufenden Neutronen ist
die Anzahl der Neutronen, die in 1 s durch
eine Fläche mit Betrag 1 fliegen: Volumen
des Zylinders mit Grundfläche 1 und Länge
v mal Intensität
Streuquerschnitt des Kerns: Anzahl der
gestreuten Neutronen / Fluss der
eintreffenden Neutronen
Tabelle 2 Definition des Sreuquerschnitts
 S s
Der Streuquerschnitt ist eine Summe aus:
S
Streuquerschnitt für kohärente Streuung
s
Streuquerschnitt für inkohärente Streuung
Tabelle 3 Querschnitt für kohärente und inkohärente Streuung
Die Ursache für den inkohärenten Streuquerschnitt – auch bei Material aus einem einzigen
Isotop – liegt in der Möglichkeit, dass das einfallende Neutron in einen Kern mit Drehimpuls
I auf zwei unterschiedliche Weisen eingebaut werden kann: es addiert oder subtrahiert sich
der Spin des Neutrons, somit entstehen zwei unterschiedliche Compoundkerne:
Spin des
Compoundkerns
1
I
2
1
I
2
I
Streulänge
b
Der Neutronenspin addiert sich zum Spin
b
Der Neutronenspin wird vom Spin des
Compoundkerns subtrahiert
b
Spin des reinen Isotops
Tabelle 4 Zwei unterschiedliche Kerne entstehen, wenn der Kernspin ungleich null ist
6
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Ein Kern mit Spin J kann in einem magnetischen Feld 2J  1 mögliche Zustände annehmen.
Die Kerne mit ihren unterschiedlichen Spins sind völlig regellos verteilt, diese Eigenschaft
führt bei der Beugung zu einem Anteil an inkohärenter Streuung.
1

2   I    1  2I  2
2

1

2   I    1  2I
2

I 1
w 
2I  1
I
w 
2I  1
Anzahl der möglichen Orientierungen +
Anzahl der möglichen Orientierungen -
Gewichtung zur Abzählung der unterschiedlichen
Zustände, folgt aus den Bedingungen:
w  w  1
w / w  2I  2 / 2I  I  1 / I
Tabelle 5 Abzählung der unterschiedlichen Zustände
Zur inkohärenten Streuung gibt es noch einen weiteren Beitrag, der durch die der zufällige
Verteilung der Isotope im chemisch homogenen Materialverursacht wird.
Röngenstrahlung
Neutronenstrahlung
Einige
Isotope zu
den oben
genannten
Elementen
Tabelle 6 Vergleich der Streukraft einiger Elemente und ihrer Isotope bei Röntgen- und
Neutronenstrahlen, die Zahlen zeigen die Massenzahl der Kerne (Quelle: E. C. Bacon,
„Neutron Diffraction“, Clarendon Press, 1975)
Abbildung 5 Vergleich der Streukraft einiger Elemente bei Röntgen- und Neutronenstrahlen
7
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Isotop
Kohärente
Streuamplitude
[cm]
Mit der
Häufigkeit
gewichtete
Streuamplitude
Häufigkeit
Mittlere Streuamplitude von Nickel
1,034
Abbildung 6 Streuamplituden für unterschiedliche Isotope in Nickel
3.4.3 Wechselwirkung zwischen Materie und Röntgenstrahlung
Die Wechselwirkung zwischen Röntgenstrahlen und den Elektronen der Materie ist rein
elektromagnetisch: der elementare Prozess ist die Streuung einer elektromagnetischen Welle
an einem einzelnen Elektron.

 

E ( R)  Ee eit 2k1R

R

k0

k1

r
 
 

E (r )  E0 e it 2k0r
Abbildung 7 Amplitude der elektrischen Feldstärke einer durch Streuung am Elektron
entstehenden Kugelwelle und die erzeugende ebene Welle
In der Materie sind die Elektronen meistens an Atome gebunden, das Elektron reagiert auf
eine Anregung durch eine Welle mit einer erzwungenen Schwingung eines Oszillators.
Nimmt man aber an, dass die Eigenfrequenz der Elektronen klein ist im Vergleich zur
8
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Frequenz der Röntgenstrahlung, dann folgt die Bewegung des Elektrons dem elektrischen
Feld mit fester Phasenbeziehung und mit konstanter Amplitude. Werden Antriebsfrequenz
und Eigenfrequenz vergleichbar, dann verschiebt sich die Phase zwischen Antrieb und
Auslenkung und die Amplitude wächst an bei Annäherung an die Eigenfrequenz, es gibt
Resonanz.
Außerhalb der Resonanzstelle ist zur Berechnung der gestreuten Intensität das Bild des freien
Elektrons gerechtfertigt.
Die Streukraft eines Elektrons wird als das Verhältnis der vom Elektron abgestrahlten Energie
zum Energiefluss auf das Elektron definiert.
Die einlaufende elektromagnetische Welle wird als ebene Welle formuliert, man denke an die
Dipolstrahlung im Fernfeld. (Näheres zum elektrischen Schwingkreis und zum schwingenden
Dipol http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/skripten/V6_6Wellen.DOC )
 
 

E (r )  E0  e it 2k0r

E0

Einheit
N/C
Feldstärke der anregenden ebenen Welle
N/C
Max. Amplitude der Feldstärke
s

k0
-1
m 1
Kreisfrequenz
Wellenvektor
Tabelle 7 Elektrische Feldstärke einer ebenen Welle
Die mit dem elektrischen Feld verknüpfte magnetische Feldstärke steht senkrecht zur
elektrischen und zur Ausbreitungsrichtung. Beide Felder tragen die gleiche Energie zur Welle
bei.
 0  8,85  10 12
wel 
0
 1 2
E 2  0 2 E0
2
4 
4  2
 0 E 02
w0 
4 2
I 0  c  w0 
c 0 E02
4 
2
C2
Jm
J
m3
J
sm 2
Influenzkonstante zur Umrechnung auf
Einheiten der Mechanik
Energiedichte des elektrischen Feldes,
 2
sin( t  2k r )  1 2
Energiedichte des gesamten Felds, Summe
der Dichten des elektrischen und (des
gleichgroßen) magnetischen Felds
Intensität, Energiefluss: In einer Sekunde
durch eine zur Ausbreitungsrichtung
senkrecht stehende Fläche von 1m 2
transportierte Energie


Tabelle 8 Energie in den Feldern einer ebenen elektromagnetischen Welle
Gibt es am Ort eines Elektrons ein elektrisches Feld, dann wirkt auf das Elektron eine Kraft.
Weil Elektronen eine Masse haben gibt es auch eine Trägheitskraft, die bei freier
Beweglichkeit die Beschleunigung definiert.
9
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Einheit

F t   e  E t 
N


F t   m  x(t )

x (t )
Trägheitskraft, m=9,1 10-31 kg Masse des
Elektrons
m


e  E t   m  x(t )


x (t )  x0  e it


x0  E0
e
m 2


p  e  x 0
Kraft auf das Elektron durch das Feld, es
liege im Ursprung des
Koordinatensystems, e=1.60 10-19 C,
Elementarladung
m
Auslenkung des Elektrons aus der
Ruhelage, verursacht durch die Feldstärke
Bewegungsgleichung für die Auslenkung
Amplitude der am Kern gestreuten Welle
im Abstand r vom Kern
Maximale Amplitude
Cm
Elektrisches Dipolmoment des max.
ausgelenkten Elektrons
Tabelle 9 Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld
Das oszillierende Elektron wirkt als Sender: Es wird ein elektrisches und ein magnetisches
Feld abgestrahlt, die Feldstärken sind die Lösungen der Wellengleichung, die sich aus den
Maxwellschen Gleichungen ergeben.(vgl. Herleitung der Schwingungsgleichung für Wellen
zwischen zwei Drähten http://www.unituebingen.de/uni/pki/skripten/V6_6ATelegraph.DOC).

E

B

p

R
10
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Abbildung 8 Übergang vom Schwingkreis zum Hertzschen Dipol. Orange: Zeitlich
variierende elektrische Feldstärke, blau das dadurch induzierte Magnetfeld. Das schwingende
Elektron steht für die im Dipol bewegte Ladung. Der dunkelblaue Vektor zeigt das max.
Dipolmoment.
Die Lösung der Maxwellschen Gleichung zeigt, dass die von einem schwingenden Dipol

ausgehende, an einem Ort R empfangene Energie vom Abstand R und vom Winkel 

zwischen R und der Richtung des Dipols abhängt. Man kann die vom Elektron ausgesandte
Intensität I e durch einfallende Intensität I 0 ausdrücken, weil das oszillierende Dipolmoment
durch die das Elektron anregende einlaufende Welle erzeugt wird. So erhält man die
„Thomsonsche Streuformel“:
Einheit
p 2 4
sin 2 
Ie 

4 2  0 c 3 R 2
p  E0
Ie 
2
e
Cm
m 2
 e 2 sin  



4 2  0  mc 2 R 
cE 02
I0 
Vom oszillierenden Dipol abgestrahlte
Intensität (Energiefluss), man erhält sie
aus der Lösung der Maxwellschen
Gleichungen.
J
sm 2
Betrag des max. Dipolmoments, aus
(Tabelle 9) eingesetzt:
2
c 0 E 02
4 
Intensität der einlaufenden Welle, wird in
I e eingesetzt:
2
J
sm 2
 e 2 sin  

I e  I 0  
2

mc
R
 0

Thomsonsche Streuformel: Die von
einem mit einer ebenen Welle
(Intensität I 0 ) angeregten Elektron im
Winkel  zur Auslenkungsrichtung
ausgestrahlte Intensität, gemessen im
Abstand R
2
Tabelle 10 Thomsonsche Streuformel

E

k1

B


R

p
2

k0
11
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Abbildung 9 Streuwinkel 2 zwischen den Wellenvektoren der ein- und ausfallenden Wellen
Weil im Bild des freien Elektrons der Dipol durch die einlaufende Welle erzeugt wird, wählt
man zur Formulierung der Streuung anstelle von  den Winkel 2 .zwischen den

Wellenvektoren der einlaufenden Welle und dem der vom Dipol zum Ort R ausgesandten
Welle.

Oft ist die einfallende Strahlung unpolarisiert. Als Folge davon empfängt man am Ort R ein
Gemisch von Strahlungen, die von unterschiedlich orientierten Dipolen ausgesandt werden.

Die Dipole erscheinen um beliebige Winkel  verdreht, die Drehachse ist parallel zu k 0 .

Es interessiert die Auswirkung der Mittelung über alle Richtung auf die in R empfangene
Intensität. Bei wechselnder Orientierung ändert sich der Winkel  in Abhängigkeit von  ,
der Winkel 2 bleibt unverändert. Um die Thomsonsche Streuformel auf unpolarisierte
Strahlung zu erweitern, muss man den Mittelwert von sin  bei Variation von 0    2
bestimmen. Weil sin  als Betrag eines Vektorprodukts geschrieben werden kann, gelingt die
Umrechnung mit wenig Aufwand, wenn alle Richtungen durch entsprechende
Einheitsvektoren bezeichnet werden. Zur Berechnung der Vektorprodukte wird ein
orthonormiertes Koordinatensystem eingeführt.



eR
z

ep
y
x
2

k0


Abbildung 10 Orthonormiertes Koordinatensystem. Die Vektoren k 0 und e R definieren die



Lage des Koordinatensystems: k 0 liegt entlang der y-Achse, e R (Richtung von k1 ) liegt in
der von der y- und z Achse aufgespannten Ebene
12
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 0 



eR   cos 2 
 sin 2 


 cos 



eP   0 
 sin  


 
eR  eP  sin 
Einheitsvektor in Richtung
des Beobachtungspunkts in


R , Richtung von k1
Einheitsvektor in Richtung

des Dipolmoments p
Definition des Vektorprodukts
aus Vektoren vom Betrag 1
 1
1
1   cos 2 sin  

 

 
eR  eP   0
cos 2 sin 2    sin 2 cos 
 cos
0
sin     cos 2 cos 

  2
e R  e P  cos 2 2 sin 2   sin 2 2 cos 2   cos 2 2 cos 2 
 
eR  eP
2
1
1
1
cos 2 2  sin 2 2  cos 2 2
2
2
2
  2 1
e R  e P  1  cos 2 2
2
1
sin 2   1  cos 2 2
2
Vektorprodukt im
orthonormierten
Koordinatensystem, wird über
die Unterdeterminanten
berechnet





 e 2  1  cos 2 2 

I e  I 0  
2
2

mc
R
 0

2
Mittelung über 0    2 ,
1
cos 2   sin 2  
2
Thomsonsche Streuformel für
die von einem Elektron
ausgesandte Intensität, bei
Anregung des Elektrons mit
unpolarisierter Strahlung
Tabelle 11 Berechnung des Polarisationsfaktors: Thomsonschen Streuformel für die
Anregung eines Elektrons mit unpolarisiertem Licht