10. Geometrie: Grundbegriffe und kongruente Abbildungen

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UNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
REALSCHULREIFELEHRGANG
oder
FACHSCHULREIFELEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 10
INHALT:
Geometrie:
Grundbegriffe und kongruente Abbildungen
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Stand: 01.07.2006
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10
GEOMETRIE: GRUNDBEGRIFFE UND KONGRUENTE ABBILDUNGEN
Seite
10.1 Grundbegriffe
3
10.1.1 Punkt, Linie, Gerade
3-4
10.1.2 Winkel
4-5
10.1.3 Das Geodreieck
5-6
10.1.4 Abstand und Parallelen
6-7
10.1.5 Winkel und Parallelen
7-8
10.2 Was sind kongruente Abbildungen?
9
10.3
10
Verschiebung
10.4 Achsenspiegelung
11
10.5 Drehung und Punktspiegelung
12
10.6 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
14
Aufgaben zur Lehreinheit 10
15
Lösungen der Übungen und Aufgaben
16-17
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 10
18
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10. Geometrie: Grundbegriffe und kongruente Abbildungen
Kennen Sie die folgende Knobelfrage?
Mit 6 Streichhölzern gleicher Länge sollen 4 gleich große Dreiecke
mit den Streichhölzern als Seitenlängen gebildet werden.
Offensichtlich erscheint dies unmöglich zu sein. Das ist der Fall,
wenn man sich auf ein Hinlegen der Streichhölzer beschränkt.
Neben einer Geometrie in der Ebene gibt es aber auch eine
Geometrie im Raum! Stellt man die Streichhölzer wie abgebildet
auf, dann ist das Problem gelöst.
In diesem Fernkurs befassen sich die Lehreinheiten 10 und 11
mit der Geometrie. Die Schwerpunkte bilden Abbildungen
(z.B. Spiegelungen, Verschiebungen) in LE 10 sowie die Dreiecksund Viereckslehre in LE 11. Auf die Kreislehre und die Geometrie
im Raum soll hier nicht eingegangen werden.
Haben Sie einen Zirkel und ein Geodreieck?
Dann können Sie "loslegen".
10.1 Grundbegriffe
10.1.1 Punkt, Linie, Gerade
Punkte: Punkte werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet,
z.B.: A, B, C, ..., P, Q, R usw.. Die Lage eines Punktes
wird durch ein Kreuz, einen kleinen Kreis oder als
Schnitt zweier Linien dargestellt (Schnittpunkt). Ein
Punkt hat keine Ausdehnung.
Linie: Linien werden mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet,
z.B.: a, b, c, ..., g, h usw.. Es gibt gekrümmte Linien und
gerade Linien. Eine Linie setzt sich aus unzählig vielen
Punkten zusammen, die ohne Zwischenraum aneinandergereiht sind. Linien haben keine Breite.
Gerade: Eine Gerade ist eine gerade Linie, die nach beiden Seiten
unbegrenzt ist. Zur Kennzeichnung nimmt man meist ein g.
Die Lage einer Geraden ist durch zwei Punkte eindeutig
bestimmt.
Halbgerade: Eine Halbgerade ist eine gerade Linie, die auf einer
Seite durch einen Punkt begrenzt ist und auf der
anderen Seite unbegrenzt ist.
Strahl: Ein Strahl ist eine gerichtete Halbgerade. Man wählt
zur Kennzeichnung oft ein s.
Strecke: Eine Strecke ist eine gerade Linie, die durch zwei Punkte
(Endpunkte) begrenzt ist. Zur Kennzeichnung werden
entweder die Endpunkte in der Form AB, BC,...oder die
Buchstaben a, b, c, ... gewählt.
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Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei
Punkten. Für die Länge einer Strecke schreibt man:
AB (lies : Länge der Strecke AB), PQ usw..
Für den Vergleich von Strecken können die Zeichen
=, <, >,  ,  benutzt werden. a  b bedeutet z. B.,
dass die Strecke a länger als die Strecke b ist oder
gleich lang.
Kreis: Ein Kreis ist eine gekrümmte Linie, deren Punkte
von einem bestimmten Mittelpunkt M die gleiche
Entfernng r haben, r heißt Radius.
Kreisbogen: Der Kreisbogen (oft mit b gekennzeichnet)
ist ein Teil einer Kreislinie zwischen zwei
Punkten A und B.
In LE 08 wurde die Mengenlehre behandelt. Einige Begriffe
der Geometrie lassen sich mit Begriffen aus der Mengenlehre
beschreiben, z. B.:
- Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, dann kann man schreiben:
P  g ; liegt ein Punkt Q nicht auf g, so bedeutet dies :
Q  g.
- Liegt die Strecke AB auf einer Geraden g, dann schreibt man:
AB  g.
- Schneiden sich zwei Geraden g und h in einem Punkt S, dann gilt:
g  h = S .
Übungen zu 10.1.1
1. Welche Bedeutung haben folgende Schreibweisen?
a) A  g b) P  AB
c) a = 3  b
d) b < a e) PQ  g f) a  b = {P}
2. Schreiben Sie mit mathematischen Zeichen:
a) Der Punkt P liegt auf der Geraden g.
b) Die Strecke AB ist das Doppelte der Strecke AC.
c) Die Strecke a kann kleiner oder gleich der Strecke b sein.
d) Die Gerade h schneidet die Strecke AB im Punkt C.
e) Die Strecke PQ liegt auf der Geraden g.
10.1.2 Winkel
Winkel: Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen
(oder Strecken) bilden einen Winkel. Winkel werden
mit den Buchstaben , , , , u.s.w. gekennzeichnet,
der Punkt mit S, die Strahlen mit s1 und s2. Der Punkt S
heißt Scheitel des Winkels, die Strahlen s1 und s2 heißen
Schenkel des Winkels.
Drehsinn: Ein Uhrzeiger, der sich von der 12 auf die 3 gedreht
hat, hat einen Winkel „zurückgelegt“. Es handelt
sich um eine Rechtsdrehung.
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In der Mathematik spricht man bei einer Rechtsdrehung von einem negativen
Drehsinn, bei einer Linksdrehung von einem positiven Drehsinn.
Winkelmessung: Winkel werden in Grad gemessen. Ein Vollwinkel hat 360 Grad
(kurz 360°). Weitere Unterteilungen:
1° = 60 ' (Minuten)
1' = 60'' (Sekunden).
Wichtige Winkelarten:
spitzer Winkel:
rechter Winkel:
stumpfer Winkel:
0° <  < 90°
 = 90°
90° <  < 180°.
Winkel an Geraden, die sich schneiden:
Es entstehen 4 Winkel , ,  und  (siehe Abbildung).
Die Winkel  und  bzw.  und  sind Scheitelwinkel.
Scheitelwinkel sind gleich groß. Zwei nebeneinander
liegende Winkel heißen Nebenwinkel (z. B.  und  ,  und ).
Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.
Senkrechte: Schneiden sich zwei Geraden g und h in einem
rechten Winkel, dann stehen sie senkrecht. Man
kann z. B. sagen: h ist die Senkrechte zu g in P.
10.1.3 Das Geodreieck
Zunächst einige technische Begriffe:
Das Geodreieck hat eine lange Seite, genannt Basis, und
zwei gleiche Seiten, die Schenkel. Der Winkel zwischen den
beiden Schenkeln beträgt 90°, die Winkel zwischen Schenkel
und Basis sind jeweils 45°. Die Strecke zwischen der Basismitte 0
und dem Scheitel des rechten Winkels heißt Achse.
Jetzt folgt eine Gebrauchsanweisung mit Hilfe von Beispielen.
1. Beispiel:
Von der abgebildeten Strecke ist genau die Mitte gesucht.
Man kann das Geodreieck wie dargestellt anlegen.
Bei 0 wird die Mitte markiert.
2. Beispiel:
Zu den abgebildeten Strecken soll jeweils eine Senkrechte
durch P gezeichnet werden.
Legt man das Geodreieck wie abgebildet mit der Achse auf
AB und der Basis durch P, dann ist die Gerade entlang der
Basis die gesuchte Senkrechte.
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3. Beispiel:
An die Gerade g soll wie abgebildet in P ein Winkel von 52°
nach links eingetragen werden. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Das Geodreieck wird mit der Basis an g und der
Mitte 0 an P angelegt. Der Winkel 52° wird markiert (Punkt Q),
P wird mit Q verbunden.
Vorsicht! Auf dem Geodreieck sind 2 Skalen für die Winkel
eingetragen. Statt des spitzen Winkels von 52° erhält man bei
falscher Bedienung den stumpfen Winkel 128°.
2. Möglichkeit: Hierbei ist die Gefahr der Verwechslung geringer.
Das Geodreieck wird jetzt auf der anderen Seite von g mit der
Basis an g und der Mitte 0 an P angelegt. Anschließend wird es
um 52° gedreht, der gesuchte Schenkel wird eingezeichnet.
Übungen zu 10.1.3
1. Markieren Sie auf einer Geraden g, zwei Punkte P und Q und
zeichnen Sie:
a) den Winkel  = 34° nach der 1. Möglichkeit an,
b) in Q den Winkel  = 105° nach der 2. Möglichkeit an,
c) in R den Winkel  = 81° an.
2. Zeichnen Sie zu einer Geraden g die Senkrechte
a) durch A, A liegt auf der Geraden;
b) durch B., B liegt nicht auf der Geraden.
3. Halbieren Sie die abgebildete Strecke AB mit dem Geodreieck.
10.1.4 Abstand und Parallelen
Abstand:
Welchen Abstand hat der in der Abbildung markierte
Geländepunkt P von der Straße s (bei gleicher
Höhenlage)? Messen Sie!
Was heißt denn Abstand? Der Abstand zwischen
einem Punkt und einer Geraden ist die kürzeste Entfernung!
Das bedeutet: In der obigen Abbildung wird die Senkrechte
zu s durch P benötigt. Man erhält einen Punkt Fg (F heißt
Fußpunkt). Der Abstand ist die Länge der Strecke PF.
Parallelen:
Haben zwei Geraden überall den gleichen Abstand,
so nennt man sie parallel. Man sagt auch: Es sind
Parallelen.
Sind zwei Geraden g und h parallel, kann man schreiben
g  h (lies: g parallel h). Parallele Geraden schneiden sich
nicht.
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Wie zeichnet man Parallelen?
1. Beispiel: Zu einer Geraden g soll im Abstand
a = 1,2 cm eine Parallele gezeichnet werden. Dazu wird
an zwei (nicht zu nahe beieinander liegenden) Punkten
P und Q der Geraden jeweils senkrecht eine Strecke
der Länge 1,2 cm eingetragen: die Gerade durch die
Endpunkte A, B dieser Strecken ist die Parallele.
2. Beispiel: Zu der abgebildeten Geraden g soll durch
den Punkt A die Parallele p gezeichnet werden. Dies
lässt sich trickreich mit einem Lineal und einem Geodreieck durchführen:
Das Geodreieck wird mit der Basis auf g angelegt und
danach entlang des „schräg liegenden Lineals“ so verschoben, dass die Basis durch A geht. Die Parallele
wird gezeichnet.
Übungen zu 10.1.4
1. Zeichnen Sie zu einer Geraden g eine Parallele p im
Abstand von 0,8 cm.
2. Tragen Sie in der Abbildung den Abstand a des Punktes
A von g ein.
3. Zeichnen Sie zu der Geraden g die Parallele durch A
wie im 2. Beispiel.
10.1.5 Winkel an Parallelen
Werden zwei Parallelen p1 und p2 von einer Geraden g
geschnitten, so entstehen an den Schnittpunkten je 4
Winkel.
Zwei Winkel, die an der gleichen Seite der Parallelen und der
schneidenden Geraden liegen, heißen Stufenwinkel. In der
Abbildung sind die Stufenwinkelpaare (α1 , α 2 ), (β1 , β 2 ), (γ1 , γ 2 ), (δ1 , δ 2 ) .
Zwei Winkel, die an verschiedenen Seiten der Parallelen und der
schneidenden Geraden liegen, heißen Wechselwinkel. In der
Abbildung sind dies die Wechselwinkelpaare
(α1 , γ 2 ), (γ1 , α 2 ), (β1 , δ 2 ), (δ1 , β 2 ) .
Es gelten folgende Eigenschaften:
1. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich.
Warum? Verschiebt man die Parallele p1 längs g nach p2,
so kommen z.B. α 2 und α 2 zur Deckung, sind also gleich.
Entsprechendes gilt für die übrigen Stufenwinkel.
2. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich.
Warum? Für die Wechselwinkel α1 und  2 gilt: α1  α 2 als
Stufenwinkel und α 2  γ 2 als Scheitelwinkel. Daraus folgt:
α1  γ 2 .Entsprechendes gilt für die übrigen
Wechselwinkel.
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Übungen zu 10.1.5
1. In der Abbildung ist p1  p2 . Tragen Sie
a) den Stufenwinkel von  1 ein,
b) den Wechselwinkel von  2 ein.
2. a) Berechnen Sie zu der Abbildung α1  δ 2 .
b) Begründen Sie das Ergebnis.
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10.2 Was sind kongruente Abbildungen?
Werden Sie photographiert, dann befindet sich auf dem Photo eine Abbildung von
Ihnen. Wenn Sie das Photo vor einen Spiegel halten, sehen Sie im Spiegel eine
kongruente Abbildung des Photos (falls der Spiegel nicht verzerrt).
Abbildung bedeutet: Jedem Punkt einer "Urbildmenge" wird genau ein Punkt einer
"Abbildmenge" (Bildmenge) zugeordnet.
Punkte der Urbildmenge werden mit A, B, C, ... gekennzeichnet, Punkte der
Abbildmenge mit A1, B1, C1, ...
Kongruent bedeutet: Urbild und Abbild sind deckungsgleich. Bei kongruenten
Abbildungen handelt es sich demnach um deckungsgleiche Abbildungen.
Gleichsinnige und ungleichsinnige Kongruenz:
Betrachten Sie die abgebildeten Dreiecke mit ihren Eckpunkten von A über B
nach C.
Diese Dreiecke sind kongruent. Die Dreiecke 1 und 2 sind gleichsinnig kongruent (in
beiden Fällen geht man von A über B nach C "links herum"). Im Unterschied dazu
sind die Dreiecke 1 und 3 ungleichsinnig kongruent (im Dreieck 3 geht man von A
über B nach C "rechts herum").
Diese Dreiecke kann man geometrisch zur Deckungsgleichheit bringen (auch durch
Ausschneiden und Aufeinanderlegen). Sehen Sie dazu folgende Darstellung:
Hält man Dreieck 1 gedanklich in B fest, dann kann man es so "nach oben drehen",
dass es sich danach auf Dreieck 2 verschieben lässt. Stellt man einen Spiegel genau
zwischen den Dreiecken 2 und 3 auf, dann kann man das Dreieck 3 als Spiegelbild
von Dreieck 2 auffassen, es ist "spiegelverkehrt" (Dreieck 2 wird umgeklappt).
Dadurch ist die ungleichsinnige Kongruenz begründet.
In der Geometrie gibt es verschiedene Möglichkeiten von
kongruenten Abbildungen. Es werden jetzt nacheinander
behandelt:
1. Verschiebung: in 10.3
2. Achsenspiegelung: in 10.4
3. Drehung und Punktspiegelung: in 10.5
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10.3 Verschiebung
Aufgabe:
Das abgebildete Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C
(kurz das Dreieck ABC, noch kürzer:  ABC) soll so verschoben
werden, dass B auf B1 liegt und die Seiten des verschobenen
Dreiecks parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks
ABC verlaufen.
Probieren Sie zunächst, bevor Sie weiterlesen!
Lösung:
Man verbindet die Punkte B und B1 durch einen Pfeil
(geschrieben BB1 ). Dieser Pfeil hat eine bestimmte Länge, eine
bestimmte Richtung ("schräg") und eine bestimmte Orientierung
(Pfeilspitze in B1). Im Punkt A (von B nach B1) kann man einen
Pfeil AA1 anlegen, der die gleiche Länge, die gleiche Richtung
und die gleiche Orientierung wie BB1 hat. Ebenso lässt sich ein
Pfeil CC1 anlegen. Verbindet man die Punkte A1, B1, C1 so
erhält man zu dem Dreieck ABC ein gleichsinniges kongruentes
Dreieck A1 B1 C1.
Dieser Vorgang heißt Parallelverschiebung.
Beispiel:
Die abgebildete Strecke AB soll mit Hilfe des Pfeils PP1
verschoben werden.
Lösung:
Zunächst wird die Pfeillänge von PP1 gemessen. In A wird ein
Pfeil AA1 eingetragen, der die gleiche Länge, die gleiche
Richtung (parallel) und die gleiche Orientierung (Spitze nach
links) wie PP1 hat. Dieser Vorgang wird in B wiederholt. A1B1 ist
die verschobene Strecke. Sie hat die gleiche Länge wie AB und
ist parallel zu AB.
Übungen zu 10.3
1. Verschieben Sie die abgebildete Strecke AB mit Hilfe des
Pfeils PP1 .
2. Verschieben Sie das abgebildete Dreieck mit Hilfe des
Pfeils PP1 .
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10.4 Achsenspiegelung
Aufgabe:
Das abgebildete Dreieck ABC soll an der Geraden g
gespiegelt werden.
Lösung:
Der Abstand A bis g wird auf der anderen Seite von g abgetragen,
man erhält den Punkt A1. Ebenso werden die Punkte B1 und C1
ermittelt. Verbindet man die Punkte, so erhält man das Dreieck
A1B1C1.
Diese Art der Spiegelung heißt Achsenspiegelung. Die Gerade g ist
die Spiegelachse, das Dreieck A1B1C1 ist das Spiegelbild des
Dreiecks ABC.
Es fällt auf, dass die Dreiecke ABC und A1 B1 C1 ungleichsinnig
kongruent sind. Die Achsenspiegelung ist immer eine ungleichsinnig
(nicht unsinnig!) kongruente Abbildung.
Übungen zu 10.4
1. Zeichnen Sie eine Gerade g und ein Viereck ABCD, das nicht von g geschnitten
wird.
Spiegeln Sie das Viereck ABCD an g.
2. Spiegeln Sie ein Viereck ABCD an der Geraden durch A und C.
3. Markieren Sie drei Punkte A, B, C. Bestimmen Sie den Punkt M, der von allen
3 Punkten den gleichen Abstand hat.
Wahrscheinlich hatten Sie bei der 3. Übung Probleme.
Lesen Sie dazu den folgenden Abschnitt.
Wissen Sie, was eine Mittelsenkrechte ist? Sie erfahren
es jetzt!
Mittelsenkrechte:
Es ist die Senkrechte durch die Mitte einer Strecke AB.
Diese Senkrechte ist gleichzeitig die Spiegelachse für die Punkte A
und B. Eine Mittelsenkrechte hat die nützliche Eigenschaft, dass
ein beliebiger auf ihr liegender Punkt P von den Punkten A und B
gleich weit entfernt ist.
Sucht man wie in Übung 3 einen Punkt M, der von 3 Punkten den
gleichen Abstand hat, so kann man diesen wie dargestellt
durch zwei Mittelsenkrechte ermitteln. Messen Sie nach:
Die Strecken AM, BM und CM sind gleich lang.
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10.5 Drehung und Punktspiegelung
Aufgabe:
Das Dreieck ABC soll um den Punkt D 135° nach links gedreht werden, wobei D mit
den Eckpunkten fest verbunden ist.
Lösung:
An der Strecke DA wird in D der Winkel  = 135° nach links abgetragen
("abgemessen"). Man erhält einen so genannten freien Schenkel SA des Winkels .
Auf diesem freien Schenkel wird DA abgetragen (durch Messung oder mit Zirkel),
man erhält den Punkt A1. Ebenso verfährt man bezüglich der Punkte B und C.
Nach Verbindung der Punkte A1 B1 C1 erhält man ein zu dem Dreieck ABC
gleichsinnig kongruentes Dreieck A1B1C1.
Diese Art der Abbildung heißt Drehung. D heißt Drehungsmittelpunkt,  ist der
Drehwinkel, das Dreieck A1B1C1 heißt Drehbild des Dreiecks ABC.
Die Drehung ist immer eine gleichsinnig kongruente Abbildung.
Ein Spezialfall der Drehung ist die Punktspiegelung. Der Drehwinkel ist 180°.
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Aufgabe:
Das Dreieck ABC soll am Punkt M, dem Spiegelungsmittelpunkt, gespiegelt werden.
Lösung:
Man verbindet A mit M und trägt auf der Geraden durch A und M den Punkt A 1 so
ein, dass er von Z den gleichen Abstand hat wie A. Ebenso verfährt man mit den
Punkten B und C. Nach Verbindung der Punkte A1, B1, C1 erhält man ein zu dem
Dreieck ABC gleichsinnig kongruentes Dreieck A1B1C1.
Übungen zu 10.5
1. Spiegeln Sie ein Viereck an einem Punkt M, der außerhalb des Vierecks liegt.
2. Gegeben sind eine Strecke AB und eine dazu parallele, gleich lange Strecke CD.
Wo liegt der Mittelpunkt M für die Punktspiegelung?
3. Zeichnen Sie eine Strecke AB und einen Punkt D neben der Strecke.
Drehen Sie die Strecke AB um den Punkt D 80° nach links.
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10.6 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
In 10.1.3 haben Sie einige Techniken zum Umgang mit
dem Geodreieck kennen gelernt. Die folgenden Aufgaben
lassen sich auch mit dem Geodreieck bewältigen. Mit
Zirkel und Lineal werden Konstruktionen oft genauer,
einige Konstruktionen sind ohne Zirkel und Lineal nicht
durchführbar (z.B. bei der Konstruktion von Dreiecken (LE
11)).
1. Aufgabe: Die Strecke AB soll halbiert und ihre Mittelsenkrechte
gezeichnet werden.
Lösung: Um A und um B wird jeweils ein Kreis (besser ein Kreisbogen)
mit dem gleichen Radius r so gezeichnet, dass man 2 Schnittpunkte P1
und P2 erhält. Die Gerade durch P1 und P2 halbiert die Strecke AB in M
und sie ist Mittelsenkrechte von AB.
2. Aufgabe: Die Senkrechte durch den Punkt A zu der Geraden
g soll gezeichnet werden.
Lösung: Es gibt 2 Fälle: A  g; A  g
In beiden Fällen wird um A ein Kreisbogen mit Radius r1 gezeichnet, der
die Gerade g in den Punkten X und Y schneidet.
Der weitere Weg entspricht dem in der 1. Aufgabe bezüglich X und Y, wobei
es im Fall A  g genügt, wenn ein Schnittpunkt P konstruiert wird.
Die Senkrechte durch A zu g ist im Fall A  g die Gerade durch A, P1,
P2, im Fall A  g die Gerade durch A und P.
3. Aufgabe: Der Winkel  soll halbiert werden.
Lösung: Man zeichnet um S einen Kreisbogen mit einem Radius r1, der
die Schenkel in den Punkten X und Y schneidet. Zwei Kreisbögen um X
und Y mit Radius r2 schneiden sich in P. Die Halbgerade durch die
Punkte S und P halbiert den Winkel . Sie heißt Winkelhalbierende.
Übungen zu 10.6
1. Halbieren Sie eine Strecke PQ mit Hilfe von Zirkel und Lineal und zeichnen Sie
die Mittelsenkrechte.
2. Zeichnen Sie eine Gerade g und markieren Sie auf der Geraden einen Punkt
P und neben der Geraden einen Punkt Q. Zeichnen Sie durch die Punkte P und Q
jeweils die Senkrechte zur Geraden g mit Hilfe von Zirkel und Lineal.
3. Halbieren Sie einen Winkel von 65° mit Hilfe von Zirkel und Lineal.
Messen Sie zur Kontrolle.
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AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 10
1. a) Spiegeln Sie das abgebildete Dreieck ABC an der Spiegelachse
s1,das Spiegelbild ist das Dreieck A1B1C1.
b) Spiegeln Sie das Dreieck A1B1C1 an der Spiegelachse s2, das Spiegelbild ist
das Dreieck A2B2C2.
c) Sind die Dreiecke ABC und A2B2C2 gleichsinnig oder ungleichsinnig kongruent?
Jetzt wird es schwer!
*d) Diese zweifache Spiegelung des Dreieckes ABC nach dem Dreieck
A2B2C2 kann durch eine Drehung ersetzt werden. Wo muss dafür
der Drehungsmittelpunkt D liegen?
2. Drehen Sie das abgebildete Dreieck um D 100° nach rechts und führen Sie an
schließend für das Drehbild eine Punktspiegelung an M durch.
3. Halbieren Sie mit Zirkel und Lineal den abgebildeten Winkel und zeichnen Sie die
Winkelhalbierende.
4. Verschieben Sie das abgebildete Rechteck mit Hilfe des Pfeils BB1 .
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
Übungen
Übungen zu 10.1.1: 1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Der Punkt A liegt auf der Geraden g.
Der Punkt P liegt nicht auf der Strecke AB.
a ist dreimal länger als b.
b ist kürzer als a.
Die Strecke PQ liegt auf g.
a und b schneiden sich in P.
2.
a) P  g;
c) a  b;
e) PQ  g
b) AB = 2  AC;
d) h  AB = C;
Übungen zu 10.1.3:
Übungen zu 10.1.4:
Übungen zu 10.1.5:
1. a) 2 ; b) 1
2. a) 180°
b) 1 ist Stufenwinkel von 2,
also ist 1 = 2 . 1 und 1
sind Nebenwinkel, deren
Summe ist 180°.
Übungen zu 10.3:
Übungen zu 10.4:
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Übungen zu 10.5:
Übungen zu 10.6:
Aufgaben
Aufgabe 1: a),b),d)
c) Die Dreiecke ABC und
A2B2C2 sind gleichsinnig
kongruent.
Aufgabe 2:
Aufgaben 3 und 4:
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UNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 10
Dienstgrad; Name,
Einheit
Vorname
Standort
DZE
Privatanschrift
Datum
Email
1. Spiegeln Sie das abgebildete
Viereck an der Spiegelachse s.
2.Drehen Sie das abgebildete
Dreieck um D 110° nach links.
3. Spiegeln Sie das abgebildete
Rechteck
a) an M,
b) an D.
4. a) Zeichnen sie durch P
eine Parallele zu g.
b) Konstruieren Sie mit
Zirkel und Lineal die
Mittelsenkrechte auf AB.
c) Halbieren Sie mit Zirkel
und Lineal den Winkel .
Senden Sie die Lösungen an die für Sie zuständige Bundeswehrfachschule
(Name, Adresse und Email nicht vergessen!).
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