Einführung Logarithmen

Logarithmen
1. Einführung
Aufgabe
1.
In einem Land beträgt die jährliche Bevölkerungswachstumsrate p = 2%.
Wie viele Jahre dauert es, bis sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat?
Nehmen wir an, die Bevölkerungszahl am Anfang betrage a0. Dann berechnet sich die
Bevölkerungszahl a n im Jahr n wie folgt:
an
=
a0·(1+p/100)n
Suchen wir nach der doppelten Bevölkerung, so können wir an durch 2a 0 ersetzen:
2a 0
=
a0·(1+p/100)n
2
=
(1+p/100)n
Mit dem vorgegebenen Wert für p ergibt sich:
2
=
(1+2/100)n = (102/100)n = 1.02n
Diese Gleichung können wir mit den uns bis jetzt bekannten Methoden nicht nach n auflösen. Wir
müssen die Lösung nummerisch—z.B. mit einer Tabellenkalkulation—suchen. Eine Möglichkeit ist die
Intervallschachtelung.
Wir beginnen mit zwei Lösungen, von denen eine sicher zu klein, die andere sicher zu gross ist. In der
nachfolgenden Tabelle ist dies n = 0 resp. n = 100. Dann wird in jedem Schritt die Breite des Intervalls, in
der sich die Lösung befindet, halbiert, in dem die Rechnung für die Intervallmitte durchgeführt wird.
Jahre
Intervallbreite
100
50
25
12.5
6.25
3.125
1.5625
0.78125
0.390625
0.1953125
0.09765625
0.048828125
0.0244140625
0.01220703125
Untere Grenze
0
0
25
25
31.25
34.375
34.375
34.375
34.765625
34.9609375
34.9609375
34.9609375
34.985351562
34.997558594
Obere Grenze
100
50
50
37.5
37.5
37.5
35.9375
35.15625
35.15625
35.15625
35.05859375
35.009765625
35.009765625
35.009765625
Mittelwert
50
25
37.5
31.25
34.375
35.9375
35.15625
34.765625
34.9609375
35.05859375
35.009765625
34.985351562
34.997558594
35.003662109
Bevölkerung
für d. Mittelwert
2.6915880291
1.6406059945
2.1013889348
1.8567582727
1.9752901783
2.0373642099
2.0060871151
1.9906290904
1.998343156
2.0022113917
2.0002763388
1.9993095137
1.9997928678
2.0000345887
Der TI–89 reagiert auf die Gleichungen 2 = 1.02n und 2 = (102/100)n unterschiedlich, weil im ersten
Fall der Dezimalbruch 1.02 zu einer Näherungslösung führt, im zweiten Fall aber eine exakte Lösung
angegeben wird.
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Logarithmen
Nummerische Lösung
Exakte Lösung: Was bedeutet ln?
Die exakte Lösung ist nicht ohne Weiteres verständlich. Hier werden Logarithmen verwendet, die im
Folgenden behandelt werden sollen.
Allgemein sieht unser Problem so aus: Gegeben ist die Gleichung
ax
=
b
Diese soll nach der Unbekannten x aufgelöst werden. Wir definieren zu diesem Zweck die
Logarithmen.
Definition: Logarithmus
Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
ax = b ⇔ x = alog(b)
a, b, x > 0, a ≠ 1
Vorerst ist dies nur eine neue Schreibweise. Formal ist die Gleichung zwar jetzt nach x aufgelöst, aber
es ist noch völlig unklar, wie alog(b) im Allgemeinen zu berechnen ist. Dazu später mehr.
Beispiele für die neue Schreibweise:
1'000
=
103
12
⇒
3
=
10
log(1'000)
log(1012 )
1'000'000'000'000
=
10
⇒
12
=
10
8
=
23
⇒
3
=
2
4'096
=
2 10
⇒
10
=
2
27
=
33
⇒
3
=
3
=
4
⇒
4
=
5
625
Abkürzung: Statt
10
5
log(8)
log(2 10 )
log(27)
log(5 4)
log (Zehnerlogarithmus) schreiben wir kurz log, d.h. 10 log(1'000) = log(1'000) = 3.
Bemerkung: Der TI–89 hat die Taste LN für die Berechnung des Logarithmus zur Basis e=2.71828…
(sog. Natürlicher Logarithmus, kurz ln). Der Zehnerlogarithmus muss über CATALOG aufgerufen werden.
Deshalb ist Satz 5 auf Seite 4 sehr wichtig.
Seite 2
Logarithmen
2. Die Logarithmensätze
Erstaunlicherweise können wir für die Logarithmen Eigenschaften beweisen, ohne dass wir im
Allgemeinen wissen, wie sie zu berechnen sind. Die Rechenregeln für Logarithmen basieren auf den
Potenzregeln.
Satz 1: Additionsregel
log(u)+alog(v) = alog(u·v) für u, v > 0
a
Beweis: Wir betrachten zwei positive Zahlen u und v. Wir schreiben u, v und das Produkt u.v als Potenz
zu einer beliebigen Basis a, a>0.
u
=
a a log(u)
v
=
a a log( v )
(1)
€
u·v
=
a a log(u⋅ v)
(2)
€
Wir berechnen das Produkt
u.v ein zweites Mal und formen um:
€
u·v
=
a a log(u) · a a log( v )
=
a a log(u)+ a log( v)
(3)
€ (3) gleich
€ und erhalten das gewünschte Resultat:
Jetzt setzen wir (2) und
€
a a log(u⋅ v)
=
a a log(u)+ a log( v)
log(u·v)
=
a
a
■
log(u)+alog(v)
€
€
Satz 2: Subtraktionsregel
a log(u) − a
u 
log(v ) = a log  für u, v > 0.
v 
Beweis: Wir setzen in Satz 1 für v speziell 1/u ein:
€
 1

u 
=
 1

u 
€
=
a log(u)+a log
a log
⇒
€

a logu ⋅

1
 = alog(1) = 0
u
–alog(u)
(4)
Jetzt rechnen mit Hilfe von Satz 1 und (4):
€
u 

v 
a log
€
=

a logu ⋅

1

v
 
(u)+a log 1v 
=
a log
=
a
€
■
log(u)–alog(v)
Ähnlich wie die Sätze€1 und 2 lassen sich auch die folgenden Aussagen beweisen:
Seite 3
Logarithmen
( )
()
Satz 3: a log u v = v⋅a log u für u > 0.
  1
Satz 4: a logv u  = ⋅a log u für u > 0 und v ≠ 0.
  v
€
()
Als letztes wollen wir noch zeigen, dass wir mit Hilfe eines einzigen Logarithmus alle anderen
€Logarithmen berechnen können. Wir erhalten so eine Anleitung, wie wir mit dem Taschenrechner, der
nur den Zehner- und den natürlichen Logarithmus kennt, jeden beliebigen Logarithmus berechnen
können.
Satz 5:
b log
log(u )
(u) = a log b für a, b, u > 0.
()
a
Beweis: Wir stellen eine beliebige Zahl u > 0 zwei Mal als Potenz dar: Einmal zur Basis a und einmal zur
€Basis b (a, b > 0, analog zu Satz 1). Dann schreiben wir auch b als Potenz zur Basis a.
log(u)
u
=
aa
u
=
bb
€b
=
aa
(5)
log(u)
(6)
log(b)
(7)
€ die Basis b durch (7) und setzen danach (5) und (8) gleich:
Jetzt ersetzen wir in (6)
€
u
bb
=
 a log(b)  b log(u)
a



=
a
=
a
log(u)
€
=
a
€
log(u)
=
€
aa
log€
(u)
a
€
log(u)
=
b
( a log(b)⋅ b log(u))
(8)
( a log(b)⋅ b log(u))
log(b)·blog(u)
(u)
a log(b)
a log
■
Als letztes wollen wir zeigen, dass Logarithmen keine rationalen Zahlen sind.
€
Satz 6: log(2) ist eine irrationale Zahl, d.h. log(2) ∈ \ .
Beweis: 2 q ist nicht durch 10 teilbar, denn 10 = 5·2, aber 2q = 2·2·2·…·2.
(9)
Jetzt führen wir einen Widerspruchsbeweis:
Annahme:
Dann folgt:
log(2)
=
p/q
q·log(2)
=
p
log(2 q)
=
p
2
q
=
p, q ∈  teilerfremd
nach Satz 3
p
10
Widerspruch zu (9)!
Seite 4
■