CSP Mathe 12.3

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LK Mathe Zusammenfassung III
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I.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
PB (E) = P (E∩B) / P (B)
Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis „E“ unter der Bedingung „B“.
P (E∩B) = P (B) * PB (E)
2. Totale Wahrscheinlichkeit
P (E) = Ʃ [ P(Ai) * PAi (E) ]
Voraussetzung: Disjunkte Zerlegung von Ω in Ai
3. Bayes-Formel
PB (A) = [P(A) PA(B)] / [P(A) PA(B) + P(Aquer) PAquer(B)]
4. Unabhängigkeit
Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt:
P(A∩B) = P(A) * P(B)
Andernfalls heißen die Ereignisse abhängig.
5. Bernoulli-Kette
Treffer-Niete-Problem:
p: Trefferwahrscheinlichkeit;
q: Nietenwahrscheinlichkeit
q=1–p
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei n unabhängigen Versuchen genau k Treffer.
𝑛
Bernoulli-Kette der Länge n: B (n; p; k) = (𝑘 ) pk qn-k
II. Analytische Geometrie
1. Vektoraddition, S-Multiplikation
Kennzeichnende Eigenschaften von Vketoren: Länge, Richtung, Orientierung
Vektoraddition: 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗  Koordinaten: ai + bi = ci
Vektorsubtraktion: 𝑎⃗ - 𝑏⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
S-Multiplikation: k * 𝑎⃗ mit k ϵ R  gleiche Richtung wie 𝑎⃗ und k-fache Länge
2. Lineare Abhängigkeit
𝑣⃗ lässt sich als Linearkombination der Vektoren 𝑣⃗i darstellen:
𝑣⃗ = k1 𝑣⃗1 + ... + kn 𝑣⃗n
Nachweis linearer (Un-)Abhängigkeit:
a) Testgleichung: ⃗⃗
0 = k 𝑣⃗1 + l 𝑣⃗2 + m 𝑣⃗3
Nur wenn k = l = m = 0 dann sind die Vektoren linear unabhängig.
b) Komplanaritätstest: 𝑣⃗1 = k 𝑣⃗2 + l 𝑣⃗3
Keine Lösung und 𝑣⃗2 ≠ m 𝑣⃗3 dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Ein n-dimensionaler Raum hat maximal n unabhängige Vektoren.
Entsprechend sind n+1 Vektoren stets linear abhängig.
Genau n unabhängige Vektoren bilden die Basis zum n-dimensionalen Raum.
3. Spezielle Basen
Basis: B = { 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3}
𝑣⃗x = k 𝑣⃗1 + l 𝑣⃗2 + m 𝑣⃗3
k, l und m sind Koordinaten von 𝑣⃗x bzgl. B
2-dimensionaler Raum:
Standartbasis = orthonormierte Basis = kanonische Basis = {𝑒⃗1 , 𝑒⃗2} = {(1, 0), (0, 1)}
Analog im 3-dimensionalen Raum:
Standartbasis = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)}
Teilverhältnisse  siehe Heft
4. Lösung linearer Gleichungssysteme
Regel von Sarrus
Hauptdeterminante D = aei + bfg + cdh − gec − hfa – idb
1. Fall: D ≠ 0 L = {(0/0/0}für Linearkombination des Nullvektors (= Testgleichung)
 lineare Unabh.  Basis
2. Fall: D = 0  lineare Abhängigkeit
⃗⃗ + z𝒄
⃗⃗ + y𝒃
⃗⃗ = ⃗𝒅⃗
Inhomogenes 3-3-System: x𝒂
1. Fall: D = 0  lin. Abh.  𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ und 𝑐⃗ sind komplanar
a) unendlich viele Lösungen  𝑑⃗ komplanar
b) L = {}
 keine Komplanarität
2. Fall: D ≠ 0  lin. Unabh.  Basis  eindeutige Lösung mit x, y, z als Koordinaten
x = Dx/D;
y = Dy/D;
z = Dz/D
Determinantengesetze (D = Determinante):
1. Wenn eine Spalte/Zeile aus lauter Nullen besteht, dann D = 0
2. Sind zwei Spalten/Zeilen zueinander proportional, dann D = 0
3. Vertauscht man zwei Spalten/Zeilen miteinander, so wechselt das Vorzeichen von D
4. Wird zu einer Spalte/Zeile das k-fache einer anderen Spalte/Zeile addiert, dann ändert
die D ihren Wert nicht
Laplacescher Entwicklungssatz:
z. B. Entwicklung nach der 1. Zeile
(alterierendes Vorzeichen der Koeffizienten!)
III. Analysis: e-Funktion
1. Ableitung der Umkehrfunktion
Umkehrfunktionsbildung:
1. Prüfung auf Umekhrbarkeit/streng einheitliche Monotonie
2. Auflösung der Funktionsgleichung nach x
3. Vertauschung der Variablen und der Bereiche
(Die Umkehrfunktion hat stets das gleiche Monotonieverhalten!)
| an der Stelle y = f(x)
2. Natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)
Natürliche Exponentialfunktion: f(x) = ex
D = R; W = R+; streng monoton steigend; linksgekrümmt
f(0) = 1;
f(1) = e;
f-1(x) = ln x
Integrationsformel:
Logarithmische Integration:  (f ’(x) / f(x)) dx = ln |f(x)| + c
Integration der e-Funktion:  f ’(x) ef(x) dx = ef(x) + c
logarithmische Funktionalgleichungen:
1) log (a * b) = log a + log b
2) log (a / b) = log a – log b
3) log an = n * log a
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