Extra-¨Ubungsblatt zur Analysis I

Prof. Dr. Daniel Grieser
16. Dezember 2005
Extra-Übungsblatt zur Analysis I
Dies sind einige Extra-Übungsaufgaben zum bisher behandelten Stoff. Sie werden nicht korrigiert.
Wenn Sie Fragen dazu haben, nutzen Sie bitte die Sprechstunden und das Tutorium. Die Aufgaben
in der Klausur werden von ähnlicher Art sein (wobei die Antworten immer begründet werden
müssen).
1) Zeigen Sie (z.B. mit vollständiger Induktion), dass für alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt:
n X
i
i=2
2
=
n+1
.
3
2) Bestimmen Sie die Menge der Häufungspunkte sowie das Infimum und das Supremum der
folgenden Mengen:
a) Q ∩ (1, 3)
b) {1 + (−1)n : n ∈ N}
c) {3−2n : n ∈ N}
3) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
a) ’Jede nach oben unbeschränkte Folge reeller Zahlen strebt gegen unendlich.’
b) ’Jede Folge reeller Zahlen, die alle im Intervall (0, 1) liegen, hat einen Häufungspunkt.’
c) ’Sind (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen reeller Zahlen mit an → 1, bn → 0 für n → ∞ und bn 6= 0∀n,
so folgt an /bn → ∞ (n → ∞).’
d) ’Jede stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall ist beschränkt.’
e) ’Ist f : R → R stetig und f (x) < 0 für x < 0 und f (x) > 0 für x > 0, so folgt f (0) = 0.’
4) Zeigen Sie: Ist f : (0, 1) → R eine monoton wachsende, beschränkte, stetige Funktion, so
existiert limx→1 f (x).
5) Bestimmen Sie, ob die Folgen (an )n∈N konvergieren, und bestimmen sie ggf. den Grenzwert:
a) an = (n2 + 3n )/n!
b) an = n2 /((−1)n + n + 3n2 )
c) an = n/ log n (für n ≥ 2) Hinweis: Schreiben Sie n = elog n
d) an = 1/(i + 1/n)
n
e) an = ( 1+i
2 )
f) an = (1 + n1 )n
2
6) Sei a ∈ R. Definieren Sie induktiv die Folge (an )n∈N0 mittels
a0 = a,
an+1 =
an + 1
.
2
Zeigen Sie, dass an → 1 für n → ∞.
7) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a)
b)
∞
X
n2 n
x
3n
n=0
∞
X
n=0
nn xn
c)
∞
X
en n
x
n!
n=0
8) Bestimmen Sie, ob folgende Reihen konvergieren:
a)
b)
c)
∞
X
1
n + n2
n=1
∞
X
1
log
n
n=2
∞
X
(−1/2)n .
n=0
9) Bestimmen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen stetig und in welchen sie unstetig
sind:
a) f : (0, 1) → R, x → 1/x
∞
X
nx − [nx]
b) f : R → R, x 7→
n2
n=1
c) f : R → R, x 7→ x · [x]
10) Zeigen Sie: Die Gleichung x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 20 hat genau eine positive reelle Lösung x.
Lösungsskizzen:
1) Z.B. mittels
n+1
2
+
n+1
3
=
n+2
3
und Induktion.
2) a) [1, 3], 1, 3 b) ∅, 0, 2 c) {0}, 0, 1/9
3) a) Falsch b) Wahr c) Falsch (wahr, falls alle bn > 0) d) Falsch e) Wahr
4) Skizze: Setze M := {f (x) : x ∈ (0, 1)}, a := sup M. Zu > 0 existiert s ∈ (0, 1) mit f (s) > a − (sonst wäre a − obere Schranke für M , also a nicht das Supremum). Wegen der Monotonie
folgt f (x) > a − für x > s. Zusammen mit f (x) ≤ a bedeutet dies |f (x) − a| < für alle x
mit s < x < 1, d.h. für alle x mit x ∈ (0, 1), |1 − x| < δ, wobei δ = 1 − s.
5) a) 0 b) 1/3 c) divergent (denn f (x) := ex /x → ∞ für x → ∞ (weil e > 1, oder weil ex > x2 /2
für x > 0), und n/ log n = f (log n), und log n → ∞ für n → ∞) d) −i e) 0 f) divergent (Limes
ist ∞, weil an = (bn )n mit bn = (1 + n1 )n und bn → e > 2, also bn > 2 (und damit an > 2n ) für
n ≥ n0 , mit geeignetem n0 ).
6) an+1 − 1 = (an − 1)/2, also mit Induktion |an − 1| = |a0 − 1|/2n → 0 (n → ∞).
7) a) 3 b) 0 c) ∞
8) a) konvergent b) divergent
(da n > log n (was aus ex > x für x = log n > 0 folgt), also
P∞
1/ log n > 1/n und n=2 1/n divergiert) c) konvergent
2
2
9) a) Stetig auf (0,
P1) b)2 stetig auf R, da gleichmäßig konvergent (denn |(nx − [nx])/n | ≤ 1/n
für alle x, und
1/n konvergiert) c) Unstetig in allen x ∈ Z \ {0}, sonst stetig
10) Existenz: Zwischenwertsatz für die stetige Funktion (Polynom!) f : R → R, x 7→ x(x + 1)(x +
2)(x + 3), da f (0) = 0 < 20 und f (1) = 24 > 20. Eindeutigkeit: f ist streng monoton wachsend
auf [0, ∞), da x > y ⇒ x + 1 > y + 1 ⇒ . . . x + 3 > y + 3, was durch Multiplikation f (x) > f (y)
ergibt (falls y ≥ 0; Ungleichheitszeichen bleiben erhalten falls alle Faktoren ≥ 0 sind!). Also ist
f injektiv auf [0, ∞), d.h. es gibt höchstens eine Lösung.