Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V

Wahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel V - Stetige Verteilungen
Georg Bol
[email protected]
Markus Höchstötter
[email protected]
Stetige Verteilungen
Definition:
Sei X eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion FX : R → [0, 1].
heißt stetig, wenn es eine Funktion fX : R → R gibt mit
FX (α) =
Z
X
α
−∞
fX (x)dx
für alle α ∈ R
Folgerung:
Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable ist stetig.
fx wird unter gewissen Voraussetzungen (s.u.) Dichtefunktion genannt.
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1
Stetige Verteilungen
1.0
0.5
.50
100.00
.50
Abbildung 5.3a Histogramm
.50
100.00
.50
Abbildung 5.3b Summenhäufigkeitsfunktion
Beziehung zwischen Histogramm und Summenhäufigkeitsfunktion.
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Stetige Verteilungen
Abbildung 5.4a Dichtefunktion
Abbildung 5.4b Verteilungsfunktion
analog: Beziehung zwischen Dichte-und Verteilungsfunktion.
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Arten von Zufallsvariablen
1. Diskret
2. Stetig
3. Mischform (Höhe des Verlusts im Beispiel Abfüllanlage)
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Eigenschaften von und Forderungen an fX
1. FX monoton steigend. Damit gibt es keine Zahlen α und β mit α < β und
fX (x) < 0 für alle α ≤ x ≤ β, da sonst
Zβ
fX (x)dx < 0
und damit
α
FX (β) =
Rα
Rβ
f (x)dx
−∞ X
=
Rα
f (x)dx
−∞ X
+
Rβ
α
fX (x)dx < FX (α)
wäre.
Aber −∞ fX (x)dx wird nicht durch den Wert fX (x0) von fX an einer
Stelle x0 beeinflusst.
Zur Vereinfachung: Forderung fX (x) ≥ 0 für alle x ∈ R.
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Eigenschaften von und Forderungen an fX
2. Aus
lim FX (α) = 1
α→∞
folgt
lim FX (α) =
α→∞
Z∞
fX (x)dx = 1
−∞
(Gesamtfläche unter f : 1)
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Eigenschaften von und Forderungen an fX
3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Ist fX stetig in einer Umgebung von x0, so ist FX differenzierbar in x0
und
′
FX
(x0) = fX (x0)
Daher die Forderung: Ist FX in x0 differenzierbar, dann gelte
′
fX (x0) = FX
(x0)
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Definition
Sei FX die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable X mit
FX (α) =
Zα
fX (x)dx für alle α ∈ R
−∞
fX heißt Dichtefunktion von X, wenn
1. fX (x) ≥ 0 für alle x ∈ R;
2. für alle x, in denen FX differenzierbar ist, gilt
′
fX (x) = FX
(x)
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Satz (hinreichende Bedingung):
Sei f bis auf endlich viele Stellen stetig mit den Eigenschaften
1. f (x) ≥ 0 für alle x;
2.
R∞
−∞
f (x)dx = 1;
3. Existiert lim f (α), so ist f (α0) = lim f (α)
α→α0
α→α0
Dann ist f Dichte einer Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion durch
F (α) =
Rα
−∞
f (x)dx
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gegeben ist.
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen
a) Gleichverteilung über einem Intervall [a, b] (Rechteckverteilung)
Dichtefunktion einer Gleichverteilung
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen
a) Gleichverteilung über einem Intervall [a, b] (Rechteckverteilung)
Dichtefunktion:
1
a≤x≤b
b−a für
f (x) =
0
sonst
Verteilungsfunktion:

 0
für x < a
1
(x − a) für a ≤ x ≤ b
F (x) =
 b−a
1
für x > b
Die Wahrscheinlichkeit ist gleichmäßig über das Intervall verteilt.
Intervalle gleicher Breite in [a, b] haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung
f(x)
h
a
c
d
b
x
Abbildung 5.6 Dichtefunktion einer Trapezverteilung
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung
Fläche des Trapezes: 12 (b − a + d − c) · h = 1!
2
Dann h = (b−a)+(d−c)
Dichtefunktion:

2
x−a
für
a≤x≤c


(b−a)+(d−c) c−a






2

für
c≤x≤d
 (b−a)+(d−c)
f (x) =

b−x
2


für
d≤x≤b

(b−a)+(d−c) b−d






0
sonst
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung
Verteilungsfunktion:
α < a:
F (α) = 0
a≤α≤c:
(α−a)
2
(b−a)+(d−c) 2(c−a)
c≤α≤d:
2α
b−a+d−c
d≤α≤b:
(b−α)
1
− b−a+d−c
b−d
b≤α:
F (α) = 1
2
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=
(α−a)
1
(b−a)+(d−c) c−a
2
+ C1
2
+ C2
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Beispiele stetiger Verteilungen
1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung
Die Konstanten C1 und C2 sind so zu bestimmen, daß die Funktion stetig
ist. Dies betrifft die Stellen c, d und b.
2
α=c:
(c−a)
1
b−a+d−c c−a
α=b:
(b−b)
1
− b−a+d−c
b−d
α=d:
(b−d)
1
− b−a+d−c
b−d
=
2
2
2c
b−a+d−c
+ C1
+ C2 = 1
+1=
−c−a
b−a+d−c
⇒
C1 =
⇒
C2 = 1
2d−c−a
b−a+d−c
Mit den Werten für C1 und C2 ist F in d stetig.
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Beispiele stetiger Verteilungen
2. Exponentialverteilung
Eine Zufallsvariable mit der Dichte

für x < 0
 0
f (x) =

λe−λx für x ≥ 0
heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, Exp(λ).
Verteilungsfunktion:
α<0:
F (α) = 0
α≥0:
F (α) =
Z
α
−∞
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−λxα
−λα
f (x)dx = −e
=
1
−
e
0
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Beispiele stetiger Verteilungen
2. Exponentialverteilung
f(x)
l=2
l=1
l=0.5
x
Dichtefunktion der Exponentialverteilung ...
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Beispiele stetiger Verteilungen
2. Exponentialverteilung
f(x)
l=2
l=1
l=0.5
x
...und zugehörige Verteilungsfunktionen für λ = 2, 1, 0.5
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Beispiele stetiger Verteilungen
3. Normalverteilung
Dichte der Normalverteilung mit Parametern µ ∈ R und σ 2 > 0, (N (µ, σ 2))
f (x) = √
1
2πσ 2
−
e
(x−µ)2
2σ 2
f (x) ist symmetrisch um µ.
Dichte der Standardnormalverteilung, Parameter µ = 0, σ 2 = 1, (N (0, 1))
1 − x2
f (x) = √ e 2
2π
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Beispiele stetiger Verteilungen
3. Normalverteilung
f(x)
x
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
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Beispiele stetiger Verteilungen
3. Normalverteilung
F(a)
a
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
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