Workshop Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei

Christian Dorner & Stefan Götz
24. Februar 2015
Workshop
Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS
1. Gewinnfunktion (bifie - Aufgabenpool)
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2. Erlös und Gewinn (bifie – Aufgabenpool)
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3. Kostenfunktion (bifie – Aufgabenpool )
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4. Verlustfreier Preis (Mathematik 8, S. 231)
In einem Betrieb wird der Kostenverlauf 0,25 90 29125 180500
vermutet. Ermittle rechnerisch bzw. graphisch: 1) Bei welcher Absatzmenge wird für einen
Preis von 25000,-GE/ME maximaler Gewinn erzielt? 2) Wie weit könnte der Preis fallen,
damit der Betrieb gerade noch verlustfrei arbeiten kann?
5. Zielkonflikt (Mathematik verstehen 8, S. 71 f.)
Ein Monopolbetrieb produziert x Mengeneinheiten eines Produktes mit den variablen Kosten
0,1 . Bei der Herstellung fallen Fixkosten von 150 GE an. Im Planungszeitraum
können höchstens 60 Mengeneinheiten erzeugt werden. Aufgrund von Marktanalysen geht
man von einer Nachfragefunktion mit 0,2 19 aus.
1. Wie viele Mengeneinheiten des Produkts muss der Betrieb erzeugen und zu welchem
Preis muss er sein Produkt verkaufen um mit positivem Gewinn zu arbeiten?
2. Für welche Produktionsmenge xG und welchen Verkaufspreis p erzielt der Betrieb
den größten Gewinn?
3. Für welche Produktionsmenge xE und welchen Verkaufspreis p erzielt der Betrieb den
größten Erlös?
4. Ermittle die Stückkostenfunktion! Bei welcher Produktionsmenge xopt nimmt sie ihr
Minimum an (Betriebsoptimum)?
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6. Theorieaufgabe
geometrisch die Steigung
a. Zeigen Sie allgemein, dass den Stückkosten k(x) bzw.
einer Geraden entspricht, die durch den Ursprung und den Punkt P(x|K(x)) geht! Wie
lässt sich daher das Betriebsoptimum grafisch ermitteln?
gilt!
b. Zeigen Sie allgemein, dass im Betriebsoptimum c. Zeigen Sie allgemein, dass im Gewinnmaximum die Ableitung der Erlösfunktion gleich
der Ableitung der Kostenfunktion ist!
7. Tilgungsplan (vgl. Mathematik 8, S. 14)
Ein Wohnkredit (4% pro Jahr) von 20 000 € wird mittels Rückzahlungsraten von 2 000€ pro
Jahr, die jeweils am Ende des Jahres eingezahlt werden, beglichen.
a. Wie lautet die „Tilgungsgleichung“, die den Rückzahlungsprozess beschreibt?
b. Erstellen Sie eine Tabelle der zu Ende jeden Jahres offenen Restschuld Rn (n in
Jahren)!
c. Wie lange muss der Kreditnehmer Raten zahlen und wie hoch ist die letzte Rate?
d. Geben Sie eine Formel an, die die jeweils offene Restschuld Rn explizit ausdrückt!
8. Cournot’scher Punkt (Mathematik verstehen 8, S. 72 f.)
Definition:
•
•
•
Antoine–Auguste Cournot (1801 – 1877),
französischer Mathematiker und
Wirtschaftstheoretiker
Die gewinnmaximale Produktionsmenge eines Monopolisten heißt Cournot‘ sche
Menge xc.
Den zugehörigen gewinnmaximalen Produktpreis entsprechend der gegebenen
Nachfragefunktion nennt man Cournot’schen Preis pc.
Den Punkt C=(xp|pc) auf dem Graphen der Nachfragefunktion ↦ bezeichnet
man als Cournot’schen Punkt.
Aufgabe:
Ein Monopolbetrieb kann seine monatlichen Kosten annähernd durch eine lineare Funktion
beschreiben. Bei monatlichen Fixkosten von 40 000 GE lässt jede Ausweitung der Produktion
um 1 ME die Kosten um 2 GE steigen. Das Kaufverhalten der Abnehmer genügt
näherungsweise der Nachfragefunktion ⟼ mit 0,00025 18.
Ermitteln Sie die Grenzen des Gewinnbereichs, den Cournot’schen Punkt und den größten
erzielbaren Gewinn des Unternehmens!
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9. GeoGebra-Arbeitsblatt zu Break-Even-Point
Für die Produktion eines Betriebes wurde näherungsweise die Kostenfunktion Ka mit dem
Funktionsterm 12 60 ermittelt. Wegen vollständiger Konkurrenz muss das
Produkt zu einem festen Preis b auf dem Markt angeboten werden. Kapazitätsgründe zwingen den
Hersteller höchstens zwölf Stück pro Produktionsperiode zu erzeugen (vgl. Mathematik verstehen 8,
S. 66).
a. Erstellen Sie ein GeoGebra-Arbeitsblatt, das verschiedene Kostenfunktionen in
Abhängigkeit von dem Parameter a zeigt!
b. Zeichnen Sie weiters in dasselbe Arbeitsblatt den Graphen der Erlösfunktion in
Abhängigkeit des Parameters b ein!
c. Wie verändert sich der Gewinnbereich, wenn die beiden Parameter variiert werden?
Interpretieren Sie im Kontext!
d. Entwickeln Sie weitere Fragestellungen (z. B. Betriebsoptimum, Erlösmaximierung, ...) ,
die mit diesem Arbeitsblatt untersucht werden können!
10. GeoGebra-Arbeitsblatt zu Tilgungsplan
Es werde ein Darlehen von a € aufgenommen. Diese soll in Jahresraten der Höhe r € abbezahlt
werden, wobei die Jahresrate immer am Ende eines Jahres bezahlt wird. Der jeweils offene
Restbetrag wird mit p % pro Jahr verzinst.
Erstellen Sie ein GeoGebra-Arbeitsblatt, das einen Tilgungsplan grafisch und in Tabellenform
zeigt und bei dem die oben genannten Parameter variabel eingestellt werden können. Wählen
Sie dazu folgende Parameterbereiche:
•
•
•
∈ 50000; 300000
! ∈ 12000; 24000
∈ 1; 10
Beschreiben Sie mit Hilfe des Arbeitsblattes verschiedene Abhängigkeiten des Tilgungsplans von
den einzelnen Parametern! Dazu halten Sie immer zwei fest und variieren den dritten Parameter.
Interpretieren Sie die so erhaltenen Zusammenhänge!
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