2.5.17 Übung: Das COULOMBsche Gesetz in traditioneller Form

2.5.17 Übung: Das COULOMBsche Gesetz in traditioneller Form und die Definitionsgleichung des Amperes (BIOT-SAVART-Gesetz)
Ausgehend von den Ergebnis aus Abschnitt 2.5.10 sowie den Resultaten der Übung 2.5.12,
also:
D = Dr (r )e r , mit Dr =
q0
4πr 2
(2.5.87)
soll mit Hilfe der MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen unter Beachtung der Argumentationen
aus Abschnitt 2.5.5 gezeigt werden, dass dann für die Kraftwirkung der felderzeugenden Ladung q0 auf eine Probeladung q gilt:
F=
1 q0 q
1 q0 q
er ≡
r.
2
4πε 0 r
4πε 0 r 3
(2.5.88)
Interpretiere dieses Resultat als das aus der Schule bekannte COULOMBsche Gesetz. Betrachte
nun analog den Fall des Magnetfeldes und der Ströme, und weise nach, dass für den Betrag
der Kraft pro Einheitslänge zwischen zwei parallel gespannten, unendlich langen Drähten gilt:
F=
µ0 I 0 I
.
2π r
(2.5.89)
Argumentiere dabei entsprechend der Ausführungen der Abschnitte 2.5.5, 2.5.10, Übung
2.5.12 und zeige, dass in dieser Gleichung I 0 die Stromstärke in dem das H -Feld erzeugenden Draht bezeichnet. Zeige ebenso, dass I die Stromstärke des Drahtes bezeichnet, welcher
in dem aufgrund der MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen resultierenden B -Feldes eine
Kraftwirkung spürt. Erläutere wie Gleichung (2.5.89) bei der SI-Definition des Stromeinheit
Ampere verwendet wird. Man nennt Gleichung (2.5.89) manchmal auch BIOT-SAVARTGesetz. Wie kann man Gleichung (2.5.89) vektoriell schreiben, bzw. in welche Richtung
zeigt die Kraft pro Längeneinheit?
2.5.18
Transformationsverhalten des elektrischen Feldes und der magnetischen
Induktion
Wie in Abschnitt 2.5.5 erläutert, sind das elektrische Feld E und die magnetische Induktion
B durch ihre Kraftwirkung auf ruhende bzw. bewegte Ladungen messtechnisch definiert.
Mithin stellt sich die Frage, wie sich diese Größen bei Beobachterwechsel gemäß EUKLIDischer Transformationen (Gleichung (2.2.23)) verhalten:
179
xi* = Oij x j + bi .
(2.5.90)
Aufgrund der Tatsache, dass Ladungen objektive Tensoren 0. Stufe (also EUKLIDische Skalare) und Kräfte objektive Tensoren 1. Stufe sind (also EUKLIDische Vektoren, siehe auch die
Gleichungen (2.2.22/32)) folgt in Verbindung mit Gleichung (2.5.24) die Transformationsregel:
E * = OE
(
Þ Ei* + υ × B
*
*
) = O [E + (υ × B ) ].
i
il
l
l
(2.5.91)
Ferner postulieren wir, dass der gesamte magnetische Fluss ein objektiver Vektor ist. Also
(aufgrund des axialen Charakters des obigen Kreuzproduktes) muss es sich bei der magnetischen Flußdichte um einen axialen EUKLIDischen Vektor handeln:
B = det (O ) O B .
*
(2.5.92)
Kombination beider Beziehungen und Beachtung der Transformationsvorschrift für die Geschwindigkeit nach Gleichung (2.2.25/28) führt auf das Transformationsverhalten des elektrischen Feldes:
(
[
(
)
] )
Ei* = Oil El + ε lbn O jb − Ω jk xk* − bk − b j Bn .
(2.5.93)
Wir schließen, dass sich das elektrische Feld nicht wie objektiver Vektor transformiert.
2.5.19 Übung: Das elektrische Feld als nichtobjektiver Vektor
Beweise Gleichung (2.5.93). Beachte dabei, dass:
υi* = Oijυ j + Ω ir (xr* − br ) + bi
(2.5.94)
*
ε ijm
= det (O ) Oil O jr Omsε lrs .
(2.5.95)
und:
180
2.5.20
Transformationsverhalten der Ladungs- und der Stromdichte
Oben wurde bereits festgestellt, dass es sich bei der Ladung um einen objektiven Skalar handelt. Ebenso sollte es sich bei den nichtkonvektiven Strömen um objektive Größen handeln.
Also fordern wir, dass:
j =Oj.
*
(2.5.96)
Damit ist das Transformationsverhalten des Ladungs- und des Strompotentiales festgeschrieben. Aus dem COULOMBschen Gesetz nach Gleichung (2.5.33) folgt zunächst, dass auch das
Ladungspotential ein objektiver Vektor sein muss:
D = OD .
*
(2.5.97)
Damit in das OERSTEDsche Gesetz gegangen schließen wir auf:
(
H i* − υ × D
*
*
) = det(O ) O [H − (υ × D ) ] .
i
il
l
(2.5.98)
l
Das Strompotential ist also kein objektiver Vektor. Wir untersuchen dies im Detail in:
2.5.21 Übung: Das Ladungspotential als objektiver und das magnetische Feld als
nichtobjektiver Vektor
Erläutere wie Gleichung (2.5.97) entsteht. Benutze dabei, dass:
q* = q
(2.5.99)
und das COULOMBsche Gesetz nach Gleichung (2.5.33). Verwende nun Gleichung (2.5.96)
und die folgende Definitionsgleichung für den Gesamtstromfluss:
J i = ji + qυi
(2.5.100)
im Zusammenhang mit den Gleichungen (2.5.94/96) um zu zeigen, dass:
[
]
J i* = Oij J i + q Ω ik (xk* − bk ) + bi .
(2.5.101)
181
Ist der Gesamtstromfluß also ein objektiver Vektor?
Zeige schließlich mit Hilfe des
OERSTEDschen Gesetzes nach Gleichung (2.5.34) die Gültigkeit von Gleichung (2.5.98) und
auch von:
( ) (
[ (
)
] )
H i* = det O Oil H l + ε lbn O jb Ω jk xk* − bk + b j Dn .
(2.5.102)
Ist also das Strompotential ein objektiver Vektor?
2.5.22
Transformationsverhalten der Polarisation und der Magnetisierung
Aufgrund der skalaren Eigenschaft der Ladung nach Gleichung (2.5.99) muss es sich beim
Dipolment p = ed um einen objektiven Vektor handeln, denn der Abstand zwischen zwei
Punkten ist analog zu Gleichung (2.2.24) ja auch ein objektiver Vektor. Da die Dipoldichte n
als Anzahl von Dipolen pro Volumeneinheit ein objektiver Skalar ist, folgt aufgrund von
Gleichung (2.5.64) für die Polarisation:
P = OP .
*
(2.5.103)
Um das Transformationsverhalten für die Magnetisierung herauszufinden, erinnern wir zunächst daran, dass für einen magnetischen Dipol der Stärke m = I A gelten muss:
m = det (O ) O m ,
*
(2.5.104)
denn seine Orientierung ergibt sich gemäß der rechten Handregel aus dem Umlaufsinn des
atomaren Kreisstromes I . Es muss sich folglich um einen axialen objektiven Vektor handeln. Ebensolches gilt aufgrund der Grundgleichung M = nM m auch für die Magnetisierung,
denn die Zahldichte nM magnetischer Dipole ist naturgemäß ein objektiver Skalar:
M = det (O ) O M .
*
(2.5.105)
Mit den Gleichungen (2.5.69) und (2.5.97/103) folgt, dass auch das Ladungspotential in Materie ein objektiver Vektor ist:
D * = OD .
(2.5.106)
182
2.5.23
Transformationsverhalten der MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen
Wir wenden uns nun den Maxwell-Lorentz-Ätherrelationen aus Gleichung (2.5.83) zu. Sie
gelten wie gesagt in einem Inertialsystem. Wenn wir uns aus diesem nun mit Hilfe der Gleichungen (2.5.90) in ein EUKLIDisches System transformieren, so entsteht:
[ (
(
)
] )
(2.5.107)
]
(2.5.108)
*
Di* = ε 0 Ei* + ε ijp
Ω jk xk* − bk + b j B *p
sowie:
H i* =
[ (
)
1 æ * 1 *
*
*
ç Bi + 2 ε ijr Ω jk xk − bk + b j Er +
µ0 è
c
[ (
)
] [ (
)
]
1 *
ö
*
ε Ω jk xk* − bk + b j ε rst
Ω su xu* − bu + bs Bt* ÷ .
2 ijr
c
ø
Offenbar bleiben die MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen beim Übergang vom Inertialsystem auf ein dagegen beliebig translatorisch und rotatorisch bewegtes EUKLIDisches in ihrer
einfachen Form (2.5.83) nicht erhalten, es treten vielmehr zahlreiche systemabhängige Anteile
hinzu. Das ist im ersten Moment auch nicht verwunderlich, gab es dasselbe Problem doch
auch schon im Zusammenhang mit der Form der Impulsbilanz, wo beim Übergang zwischen
einem Inertialsystem, in dem es per Definition keine Zentrifugal-, CORIOLIS-, EULERbeschleunigung, etc. gibt, wir beim Übergang auf ein EUKLIDisches Bezugsystem zahlreiche
systemabhängige Terme hinzutreten, nämlich genau die soeben erwähnten Beschlenigungen.
Allerdings gibt es trotzdem einen großen Unterschied. Spezialisieren wir uns bei den EUKLIDischen Transformationen nämlich auf die Untergruppe der GALILEItransformationen, also
auf geradlinig gleichförmige Bewegungen mit der Relativgeschwindigkeit Vi gegenüber dem
Inertialsystem gemäß:
xi* = xi − Vi t ,
(2.5.109)
so verschwinden in der Transformationsformel für die Beschleunigung (vgl. (2.2.29)):
(
)
(
)
(
)
ai* = Oij a j + 2Ω ir x r* − br − Ω ir Ω rs xs* − bs + Ω ir xr* − br + bi
183
(2.5.110)
alle systemabhängigen Terme und es verbleibt:
ai* = Oij a j ,
(2.5.111)
womit feststeht, dass die Impulsbilanz im GALILEIsystem dieselbe Struktur ohne systemabhängige Terme hat wie im ursprünglichen Inertialsystem. Im neunzehnten Jahrhundert lag
somit der (voreilige) Schluss nahe, dass auch alle GALILEIsysteme Inertialsysteme sind.
Dann jedoch kam die Elektrodynamik auf, und wenn man die Transformationsformeln für die
MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen (2.5107/108) auf den Fall einer GALILEItransformation
nach Gleichung (2.5.109) spezialisiert, so ergibt sich, dass:
(
*
Di* = ε 0 Ei* − ε ijk
V j Bk*
)
(2.5.112)
sowie:
H i* =
2
VV
1 æç é V ù
1
−
δ ij + i 2 j
ê
ú
2
µ 0 çè ë c û
c
ö *
*
÷ B j − ε 0ε ijk
V j Ek* .
÷
ø
(2.5.113)
Damit enthalten die MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen im Gegensatz zur Impulsbilanz im
GALILEItransformation systemabhängige Terme und mithin sind GALILEIsysteme keine Inertialsysteme. Es stellt sich als nächstes die Frage, wie man wohl transformieren muss, damit die
MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen ihre einfache Form beibehalten. Die Antwort ist die
LORENTZtransformation und in der Tat sind LORENTZsysteme somit Inertialsysteme. Wie
LORENTZtransformationen genau aussehen, werden wir im nächsten Abschnitt untersuchen.
2.5.24 Übung: MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen in EUKLIDISCHEN Systemen
Beweise die Gültigkeit der Gleichungen (2.5.107/108). Starte zum Beweis bei den MAXWELL-LORENTZ-Ätherrelationen im Inertialsystem, Gleichung (2.5.83), gehe damit in die
Transformationsvorschriften für das Ladungs- und das Strompotential gemäß den Gleichungen (2.5.97/102) und benutze schließlich noch die Transformationsformeln für das elektrische
Feld und die magnetische Induktion gemäß (2.5.92/95) sowie Gleichung (2.5.95).
184
2.5.25 Übung: GALILEItransformationen
Zeige zunächst, dass aus Gleichung (2.5.109) folgt:
Oij = δ ij , bi = −Vi .
(2.5.114)
Gehe damit in die Gleichungen (2.5.107/108/110) und beweise die Gültigkeit von (2.5.111113).
185