5. Bestimmung der Brennweite von Linsen und der Sehschärfe des

5. Bestimmung der Brennweite von Linsen und der Sehschärfe des Auges
Ziele:
Anwendung grundlegender Gesetzmäßigkeiten der geometrischen Optik, Bestimmung der
Brennweite von Linsen, Funktionsprinzip des menschlichen Auges, Sehschärfeuntersuchungen
Aufgaben:
1. Justieren Sie die Gummilinse des Modellauges. Bestimmen Sie Brennweite und Brechwert.
2. Bestimmen Sie die Brennweite und den Brechwert einer Linsenkombination, bestehend aus
einer Konvexlinse (Gummilinse) und einer Konkavlinse. Berechnen Sie die Brennweite und den
Brechwert der Konkavlinse.
3. Zeichnen Sie das Prinzip der Kurz - und Weitsichtigkeit. Ist der Augapfel zu kurz/lang, der
Brechwert der Augenlinse zu klein/groß? Mit welchem Linsentyp muss korrigiert werden?
4. Kurz- oder Weitsichtigkeit sind zu diagnostizieren, die Werte für erforderliche Korrekturlinsen
sind zu berechnen und experimentell zu überprüfen.
5. Bestimmen Sie das Auflösungsvermögen (Sehwinkel bei Punkt- und Strichauflösung), die Sehschärfe und den Zapfenabstand Ihres Auges.
Grundlagen:
Das sichtbare Licht ist der Teil des Spektrums elektromagnetischer Strahlung mit Vakuumwellenlängen zwischen 400 nm (violett) und 760 nm (rot). Bei kleineren Wellenlängen schließt sich der
Bereich des ultravioletten Lichts an (UV mit 10 nm < λ < 400 nm), zu größeren Wellenlängen hin
liegt der Infrarotbereich (IR mit 760 nm < λ < 1 mm).
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum (c0) hat den Wert
299792 km/s. In Materialien (Medien), die lichtdurchlässig sind, breitet sich Licht mit verminderter Geschwindigkeit c aus. Der Brechungsindex (Brechzahl) n beschreibt diesen Sachverhalt mit
n = c0/c. Geht Licht von einem Medium in ein zweites Medium über, ändert sich ggf. die Ausbreitungsrichtung entsprechend des Brechungsgesetzes mit
sin α n2 c1
=
=
,
(5.1)
sin β n1 c2
dabei sind α und β der Einfalls- bzw. Brechungswinkel gemessen zwischen dem Lichtstrahl und
dem Lot auf die Grenzfläche beider Medien. Der Brechungsindex hängt außer vom Material auch
von der Vakuumwellenlänge des eingestrahlten Lichts ab. Rotes Licht hat in den meisten Materialien eine etwas größere Ausbreitungsgeschwindigkeit als violettes Licht, entsprechend wird rotes
Licht weniger stark gebrochen als violettes Licht.
Optische Abbildungen mit Linsen basieren auf den Gesetzen der Lichtbrechung. Im einfachen
Fall besitzen Linsen zwei sphärische Flächen (Kugelkappen), an denen das Licht gebrochen wird.
Die Verbindungslinie der Mittelpunkte der zwei Kugeln ist die optische Achse. Optische Linsen
haben die Eigenschaft, dass das Licht, das von einem Gegenstandspunkt G ausgehend die Linse
durchtritt, auf verschiedenen Wegen zu einem einzigen Bildpunkt B gelangt. Das gilt für achsennahe Strahlen exakt, ansonsten entsteht sphärische Abberation (Abbildungsfehler). Ein Bild ist
reell, wenn sich von G ausgehende Strahlen tatsächlich in einem Bildpunkt hinter der Linse treffen,
das Bild ist virtuell, wenn sich nur die rückwärtigen Verlängerungen der Strahlen vereinen lassen.
Man unterscheidet Konvexlinsen (Sammellinsen) und Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen), die
entweder in der Mitte dicker als am Rand sind bzw. umgekehrt. Parallel einfallende Lichtstrahlen
werden nach Durchtritt durch eine Konvexlinse in der Brennebene fokussiert. Den Abstand von der
Brennebene zur Mittelebene der Linse nennt man die Brennweite f. Es gilt
1 1
1
= ( n − 1)  + 
,
(5.2)
f
 r1 r2 
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n ist der Brechungsindex des Linsenmaterials, r1, r2 sind die
Krümmungsradien der Linsenflächen. Der Brennpunkt ist der
Schnittpunkt der optischen Achse
mit der Brennebene.
Bei der Konkavlinse wird parallel zur optischen Achse einfallendes Licht so gebrochen, als
käme es vom gegenstandsseitigen
Brennpunkt mit der Brennweite f'.
Somit liefern Konvexlinsen reelle
Bilder, Konkavlinsen erzeugen
virtuelle Bilder.
Konvexlinse
g
G
2f
f'
f
2f'
B
b
optische Achse
Mittelebene
g
f
G
f'
B b
Konkavlinse
Für die Konstruktion eines Bildpunktes B zu einem Gegenstandspunkt G können entsprechend
der genannten Eigenschaften der Brennpunkte für eine Linse mit Brennweite f drei eindeutige
Strahlenverläufe genutzt werden:
– Mittelpunktstrahl:
verändert seine Richtung in der Mittelebene nicht,
– Parallelstrahl:
wird in der Mittelebene zum Brennpunktstrahl und
– Brennpunktstrahl: wird in der Mittelebene zum Parallelstrahl.
Der lineare Abbildungsmaßstab m (Vergrößerung) ist das Verhältnis von Bildgröße B zur Gegenstandsgröße G bzw. von Bildweite b zur Gegenstandsweite g (nach Strahlensatz):
m=
B b
=
G g
.
(5.3)
Für dünne Konvex- und Konkavlinsen gilt die Linsengleichung (nach Strahlensatz):
1 1 1
= +
f g b
.
(5.4)
Bei virtuellen Bildern bzw. virtuellen Brennpunkten sind b bzw. f negativ.
Man spricht von einer Linsenkombination, wenn mehrere Linsen zusammengesetzt werden. Dabei ist die Nutzung der Brechwerte der Linsen hilfreich. Der Brechwert D (alte Bez.: "Brechkraft")
ist der Kehrwert der Brennweite f (D = 1/f ). Seine Einheit ist die Dioptrie (1 dpt = 1 m-1). Der
Brechwert einer Kombination ist die Summe der Einzelbrechwerte. Im Fall zweier Linsen gilt:
DKomb = D1 + D2
.
(5.5)
Es wird vorausgesetzt, dass beide Linsen nah zueinander stehen und die Linsen dünn sind. Nah und
dünn bedeuten: Abstand und Dicke der Linsen sollten ca. zehnmal kleiner als ihre Brennweiten
sein. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, kann man sich mit der Gullstrandschen Formel behelfen
(Gullstrand war Professor für Augenheilkunde in Uppsala, 1911 – Nobelpreis für Medizin):
d
DKomb = D1 + D2 − ⋅ D1 ⋅ D2
,
(5.6)
n
dabei ist d der Abstand zwischen den Mittelebenen der Linsen und n die Brechzahl des Mediums
zwischen den Linsen.
Das gesunde menschliche Auge kann rund 400000 Bildpunkte und ~250 Helligkeitsstufen trennen und bei optimaler Helligkeit bis zu 25 aufeinanderfolgende Bilder je Sekunde aufnehmen. Der
Aufbau des Auges und dessen Strahlenverlauf beim Sehen sind umseitig skizziert. Der Abstand
zwischen der Hornhautvorderseite und der Netzhaut beträgt ~24 mm.
Der Abbildungsvorgang erfolgt in drei Elementen mit unterschiedlichen Brechungsindizes:
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Hornhaut mit n = 1,376, Kammerwasser o. Glaskörper mit n = 1,336
und Linse n = 1,413. Das Auge hat
einen Brechwert von ~59 dpt. Die
Brechwerte der Hornhaut und der
Augenlinse betragen 43 dpt und 19
dpt, d.h. etwa 2 3 des Brechwertes
des Auges sind durch die Hornhaut
gegeben.
Die Linse kann durch Kontraktion ihre Krümmungsradien verändern und damit die Gesamtbrennweite modifizieren. Damit wird die Akkommodation (Scharfeinstellung naher Objekte) möglich.
Die Iris begrenzt als veränderliche Kreisblende das einfallende Lichtbündel und damit auch die
Helligkeit des Bildes auf der Netzhaut.
Für viele geometrisch-optische Betrachtungen wird ein "reduziertes Auge" angenommen. Dabei
wird der abbildende Apparat des Auges durch eine Sammellinse erfasst, deren Brennweite der des
Gesamtsystems entspricht. Die Akkommodation wird durch Linsen verschiedener Brennweiten
simuliert. Sehfehler werden mit Hilfe vorgesetzter Linsen (Brillen) korrigiert. Kurzsichtige haben
entweder einen zu langen Augapfel oder eine Augenlinse zu hohen Brechwertes. Das Bild entsteht
vor der Netzhaut. Hier hilft eine Konkavlinse. Weitsichtige (angeborene oder aber Altersweitsichtige) haben einen zu kurzen Augapfel oder ihre Augenlinse hat einen zu geringen Brechwert. Das
Bild entsteht hinter der Netzhaut. Abhilfe schafft eine Konvexlinse. Auch andere geometrische Fehler der Augenlinse können durch einen speziellen Anschliff der Brillengläser korrigiert werden.
Die Grenze des Auflösungsvermögens der Netzhaut ist erreicht, falls zwei eng benachbarte Objektpunkte gerade noch getrennt wahrgenommen werden. Angegeben wird die anguläre Sehschärfe
(oder der Visus V) als Kehrwert des minimalen Sehwinkels, welcher sich als Quotient aus dem
Objektabstand (Testobjekt) und der Entfernung zwischen Betrachter und Objekt ergibt (in Bogenmaß). Das übliche Auflösungsvermögen der Netzhaut beträgt 1/60° = 1' (Bogenminute) = 2,94·10-4
rad. Zum Vergleich: Der Mond erscheint uns mit einem Winkel von 30'. Im Abstand der deutlichen
Sehweite (s0=25 cm) werden zwei Punkte, die einen Abstand von ~0,1 mm haben, noch getrennt
wahrgenommen. Der Visus V wird auch in 100% Sehschärfe angegeben mit V = ax / a0, ax – individueller Abstand zwischen Betrachter und Testobjekt, a0 – Normabstand bei 100% Sehschärfe.
Durchführung:
Auf einer optischen Bank sind ein beleuchtetes Objekt als Gegenstand, eine Gummilinse in einem
Modellauge und ein Bildschirm verschiebbar angeordnet. Die Gummilinse wird durch Spritzen mit
Flüssigkeit gefüllt. Die Füllmenge ändert deren Krümmungsradien und somit die Brennweite. Die
Gummilinse ist empfindlich gegenüber äußeren Einflüssen, z.B. Temperaturänderungen. Kontrollieren Sie gelegentlich die Stellung der Spritzen, auch nach der ersten Justage der Gummilinse.
Zu 1.: Stellen Sie zunächst eine Gegenstandsweite g = 35 cm und eine Bildweite b = 35 cm auf der
optischen Bank ein. Abzulesen ist an den Schneiden der Linsen- und Bildschirmsockel. Verändern
Sie die Füllung der Gummilinse, bis ein scharfes Bild auf dem Bildschirm zu sehen ist. Notieren
Sie die Stellungen der Spritzen für das "justierte Modellauge".
Zur Bestimmung der Brennweite der Gummilinse stellen Sie nacheinander drei Gegenstandsweiten (g1 = 40 cm, g2 = 35 cm, g3 = 30 cm) ein. Suchen Sie jeweils das zugehörige scharfe Bild
durch Verschieben des Bildschirmes. Liegt ein scharfes Bild vor, gilt die Linsengleichung (5.4).
Mit den drei Wertepaaren von Gegenstands- und Bildweiten (gi, bi) berechnen Sie jeweils die
Brennweite und den Brechwert der Gummilinse für die eingestellte Befüllung.
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Zu 2.: Stellen Sie vor das "justierte Modellauge" eine Konkavlinse (-0,5 dpt). Das Bild wird unscharf. Verändern Sie die Bildweite, bis wieder ein scharfes Bild vorliegt. Berechnen Sie die
Brennweite und den Brechwert DKomb der Linsenkombination mit den aktuellen Werten g und b.
Berechnen Sie den Brechwert der Konkavlinse unter Nutzung von Gl. (5.5).
zu 3.: Das Prinzip der Kurz - und Weitsichtigkeit ist zu skizzieren (keine detaillierte Zeichnung).
zu 4.: Die Gummilinse ist entsprechend Aufgabe 1 eingestellt, ggf. korrigieren.
a) Jetzt wird der Augenhintergrund verschoben: Der Bildschirm kommt auf Bildweite b1 = 40 cm.
Das Bild wird unscharf. Stellen Sie die Diagnose Kurz- oder Weitsichtigkeit. Berechnen Sie bei
Beachtung der geänderten Bildweite mit Gl. (5.4) den erforderlichen Brechwert der Linsenkombination und daraus mit Gl. (5.5) den Brechwert der Korrekturlinse.
Überprüfen Sie Ihr Resultat experimentell.
b) Dieser Ablauf ist mit einer Bildweite b2 = 25 cm zu wiederholen.
Schätzen Sie ab: Ist die Nutzung der Gullstrand-Formel (5.6) notwendig?
zu 5.: Eine Schablone mit kleinen Kreisscheiben und parallelen Linien, die jeweils den gleichen
Abstand G aufweisen, wird zunächst aus der Entfernung 1 m betrachtet. Entfernt man sich weiter
vom Objekt, so erreicht man Entfernungen ax, bei denen es selbst unter größter Mühe nicht mehr
gelingt, zunächst die Scheiben, dann die Linien als getrennt wahrzunehmen.
Berechnen Sie die Sehwinkel Ex (Kreis- und Strichauflösung), den Zapfenabstand Z sowie den
Visus V nach V = ax / a0. Ermitteln Sie dazu den 100%-Sehschärfe-Abstand a0 aus dem Normalwert des Sehwinkels (in Bogenmaß) und den Werten für G.
Z – Zapfenabstand
G – Abstand der Geraden bzw.
Punkte voneinander
b – Abstand (K-R)
Knotenpunkt - Retina im
reduzierten Auge = 17,4 mm
Ex – Sehwinkel
R – Retina
Fragen:
1. Wie erfolgt die Bildentstehung bei der Konvex- und der Konkavlinse?
2. Was bedeutet ein Visus von 0.75?
3. Wie entstehen die Linsenfehler chromatische oder sphärische Aberration und Astigmatismus?
4. Was versteht man unter den Begriffen "reduziertes Auge" und "entspanntes Auge"?
5. Weshalb ist die Sehschärfe für zwei parallele Geraden größer als für zwei Kreisscheiben?
Literatur:
/1/ Glass/u.a.: Biophysikalisches Praktikum
/2/ Kohlrausch: Praktische Physik Bd.1
/3/ Walcher: Praktikum der Physik
/4/ Geschke (Ilberg): Physikalisches Praktikum
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6. Messungen am Mikroskop / Labordiagnostik
Ziele:
Kennenlernen der Funktionsweise eines Mikroskops; das Mikroskop als Längenmessgerät; Grenzen der Vergrößerung eines Mikroskops.
Aufgaben:
1. Kalibrieren Sie den Okularmaßstab des verwendeten Mikroskops für verschiedene Objektive
(unterschiedliche Vergrößerungen) mit Hilfe eines Objektmaßstabes. Mit dem kalibrierten
Okularmaßstab sind die Abmessungen eines vorliegenden Objektes mit unterschiedlichen
Objektiven zu bestimmen.
2. Bestimmen Sie den Aperturwinkel des verwendeten Objektivs und berechnen Sie das Auflösungsvermögen des Mikroskops für die Lichtwellenlänge λ = 550 nm.
Grundlagen:
Mikroskope sollen Objekte sichtbar machen, die mit bloßem Auge nicht mehr erkennbar sind. Ein
Mikroskop besteht aus zwei Linsensystemen, dem Objektiv und dem Okular. Die Objektivbrennweite fOb beträgt nur wenige mm, die Okularbrennweite fOk jedoch mehrere Zentimeter (> 10 cm).
Im Mikroskop erfolgt eine zweistufige Abbildung: Der Gegenstand G wird zwischen einfacher und
Okular
doppelter Brennweite des Objektivs angeordnet.
Es entsteht ein umgekehrtes reelles, vergrößertes
Zwischenbild (ZB) außerhalb der doppelten
Objektiv
Brennweite des Objektivs, jedoch innerhalb der
f Ok
f
f Ok
einfachen Brennweite des Okulars. Das Okular G
Ob
wirkt somit als Lupe. Schließlich wird mit dem f
ZB
Auge durch das Okular hindurch ein umgekehr- Ob
tes, vergrößertes, virtuelles Bild B beobachtet.
B
Tatsächlich wird das Objekt so positioniert, dass
das Zwischenbild im Brennpunkt des Okulars
liegt. Das Bild erscheint dann im Unendlichen,
so dass mit entspanntem (auf Unendlich akkommodiertem) Auge gearbeitet werden kann.
Die Vergrößerung V eines Mikroskops ist das Produkt aus der Vergrößerung VOb des Objektivs
und der Vergrößerung VOk des Okulars (s0 – deutliche Sehweite):
t
s
V = VOb ⋅ VOk = b ⋅ 0
.
(6.1)
f Ob f Ok
Der Abstand vom objektivseitigen Okularbrennpunkt zum okularseitigen
Objektivbrennpunkt ist die optische Tubuslänge tb. Maßgebend für die
Leistungsfähigkeit eines Mikroskops ist neben der erreichbaren Vergrößerung auch das Auflösungsvermögen des Objektivs. Es gibt an, bei welchem minimalen Abstand dmin zwei Objektpunkte gerade noch getrennt
wahrgenommen werden können.
Das Auflösungsvermögen wird durch Beugungserscheinungen des Lichts am Objekt und deren
Relation zur Objektivöffnung begrenzt. Für den kleinsten Abstand zweier Objektpunkte, die noch
getrennt durch das Mikroskop abgebildet werden, gilt für Licht mit einer Wellenlänge λ:
0,61 λ 0,61 λ
d min =
=
.
(6.2)
n sin α
A
Es sind: A – numerische Apertur des Objektivs, n – Brechungsindex des Mediums zwischen Objektiv und Objekt (n = 1 für Luft) und α – halber Öffnungswinkel. Mit einer Immersionsflüssigkeit,
z.B. Zedernholzöl (n = 1,5), zwischen Objekt und Objektiv wird das Auflösungsvermögen erhöht.
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Gewöhnlich sind Objekte selbst nicht leuchtend. Man benötigt neben der entsprechenden Vergrößerung auch eine ausreichende Beleuchtung. Bei geringen Vergrößerungen wird Sonnenlicht
oder das Licht einer Glühlampe mit einem Spiegel auf das Objekt gelenkt. Für höhere Ansprüche
wird das benötigte Licht von einer Glühlampe erzeugt und mit einem Kondensor auf das Objekt
konzentriert. Mikroskopische Objekte werden im Normalfall im Hellfeld untersucht. Sie werden
dabei im Durchlicht beobachtet. Das beobachtete Bild entsteht durch die partielle Absorption des
Lichtes, d.h. die Substrukturen des Objektes erscheinen dunkel.
Einige mikroskopische Objekte besitzen wenig Amplitudenkontrast, jedoch ausreichend Modulationen der Phase, die mit dem Phasenkontrastverfahren sichtbar werden. Kleine Objekte an der
Grenze des Auflösungsvermögens können im Dunkelfeld beobachtet werden. Der dazu benötigte
Dunkelfeldkondensor beleuchtet das Objekt seitwärts, so dass das direkte Licht nicht in das Objektiv gelangt. Das Bild entsteht durch Streulicht. Die streuenden Teile des Objektes erscheinen hell.
Mikroskopische Untersuchungen haben zu zahlreichen grundlegenden Entdeckungen auf dem
Gebiet der Medizin geführt, z.B. hat Robert Koch mit einem Mikroskop den Tuberkelbazillus gefunden. Auch heute ist das Lichtmikroskop in der medizinischen Diagnostik und Forschung ein
wichtiges Untersuchungsgerät. Die Grenzvergrößerung von konventionellen Lichtmikroskopen
liegt bei ~1500. Damit sind Einzeller bzw. Bakterien noch sichtbar. Zum Erkennen von Viren ist
diese Vergrößerung nicht mehr ausreichend.
Durchführung:
Zu 1.:Die Kalibrierung des Okularmaßstabes ist unten beschrieben. Für verschiedene Längen auf
dem Objektmaßstab (z.B. 5/100 mm-Teilung) wird die Anzahl der darauf entfallenden Skalenteile
des Okularmaßstabes abgelesen und dann auf Länge pro Skalenteil umgerechnet. Mit dem Okularmaßstab wird dann das zu untersuchende Objekt vermessen. Skalierung und Messung des Objektes sind je 10mal zu wiederholen. Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehler der Kalibrierung. Machen Sie eine Aussage zur Genauigkeit der Längenmessung mit Ihrem Mikroskop.
Zu 2.: Zur Bestimmung des Aperturwinkels wird eine Metallplatte mit einer sehr kleinen Bohrung (gegen Licht erkennbar!) verwendet. Dieses Loch dient als Lochblende, hinter der im Abstand
h = 10 mm eine Mattscheibe mit Millimeterskala befestigt ist. Zunächst wird das Mikroskop auf
die Lochblende, die sich im Zentrum des Gesichtsfeldes befinden soll, scharf eingestellt.
Blickt man nach Entfernen des Okulars durch eine aufgesetzte Lupe in den Tubus des Mikroskops, so sieht man einen kreisförmig beleuchteten Teil der Millimeterskale. Mit dem Radius r
dieses Kreises erhält man den Aperturwinkel α aus
tan α =
r
h
(6.3)
Berechnen Sie daraus die Apertur A und vergleichen Sie das
Ergebnis mit der Angabe auf dem Objektiv (10/0,30 bedeutet:
V = 10, A = 0,3).
Fragen:
1. Wie ist ein Mikroskop aufgebaut? Zeichnen Sie den Strahlengang eines Mikroskops.
2. Wie ist die Vergrößerung eines Mikroskops definiert?
3. Was bedeuten Apertur, optische Tubuslänge und Auflösungsvermögen?
Literatur:
/1/ Walcher: Praktikum der Physik
/2/ van Calker/Kleinhanß: Physikalisches Kurspraktikum für Mediziner und Naturwissenschaftler
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/3/ Geschke (Ilberg): Physikalisches Praktikum
/4/ Glass/u.a.: Biophysikalisches Praktikum
/5/ Rau/Schumann: Physikalisches Praktikum für Studierende der Medizin
Kalibrierung der Okularskala eines Mikroskops
Bei Mikroskopen ist in der Ebene des Zwischenbildes oft eine mit willkürlicher Teilung versehene
Glasskala (Okularskala) eingelegt. Zur Scharfeinstellung dieser Skale wird die augenseitige Linse
des Okulars durch Drehen verstellt. Durch Änderung der Tubuslänge (Ziehen am Rohr) des Mikroskops wird seine Vergrößerung geändert. Entsprechend ist die Okularskala nach jeder Änderung
der Vergrößerung des Mikroskops neu zu kalibrieren. Dazu wird sie mit der durch das Mikroskop
vergrößerten Skale eines Objektmaßstabes mit der Teilung von z.B. dt = 0,05 mm/Skt verglichen.
Kalibrierung
Objektmaßstab
Okularskala
(0,05mm)
97-5 = 92 Okular-Skt = 79-32 = 47 Objektmaßstab-Skt
Zur Kalibrierung wird das Mikroskop scharf auf den Objektmaßstab eingestellt (s. Abb.). Der Objektmaßstab ist in unmittelbare Nähe (evtl. geringe Überlappung) zur Okularskala zu bringen. Es
sind die Überdeckungen von Okular- und Objektmaßstabsstrichen zu nutzen. In der Abbildung ist
das bei 5 und 97 der Okularskala der Fall. Dazwischen liegen OK = (97-5)SktOK = 92SktOK (SktOK –
Skalenteile des Okularmaßstabs). Auf dem Objektmaßstab liegen die gleichen Deckungen bei 32
und 79, das ergibt OB = (79-32) SktOB = 47 SktOB (SktOB – Skalenteile des Objektmaßstabs). Beim
Beispiel einer 1/20-Teilung (dt = 0,05 mm/SktOB) des Objektmaßstabes ist der Strichabstand der
Okularskala:
SOK = OB · dt / OK = 47 SktOB · 0,05 mm/SktOB / 92 SktOK = 0,0255 mm/SktOK.
Nach der Kalibrierung der Okularskala darf die Vergrößerung des Mikroskops nicht mehr geändert
werden. Die Scharfeinstellung des Mikroskops auf
ein Objekt verändert die Vergrößerung nicht. Stellen Sie nun das Mikroskop scharf auf den auszumessenden Gegenstand ein.
Jetzt wird festgestellt, wie viel Skalenteile der
Okularskala durch das Bild des auszumessenden
Gegenstandes mit der Dicke b überdeckt werden.
Messung
b
85-10 = 75 Okular-Skt
Laut Abbildung werden OM = 75 SktOK gemessen. Multipliziert man diesen Wert mit dem Abstand SOK zweier Okularteilstriche, so gilt für die
Breite des Gegenstandes:
b = OM · SOK = 75 SktOK · 0,0255 mm/SktOK = 1,91 mm.
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7. Einsatz des Oszillografen (Digitaloszilloskops) in der Mess- und Registriertechnik / Elektrotonus
Ziele:
Kennenlernen des Messgerätes Oszillograf und anderer elektronischer Geräte. Mit dem Oszillograf
werden Zeitabhängigkeiten von Spannungen gemessen und dargestellt, d.h. die Größe der Spannung zu bestimmten Zeitpunkten und zeitliche Abstände ausgewählter Werte. Häufig können die
Zeitabhängigkeiten anderer Messgrößen (Temperatur, Druck, Lichtintensität) mittels Sensoren oder
Wandler in Spannungsverläufe umgesetzt werden. Somit sind sie leicht mit Oszillografen zu verfolgen. Entsprechend werden ähnliche Geräte zur Überwachung bestimmter Körperfunktionen in
der Medizintechnik eingesetzt. Frequenzabhängige Verfälschungen durch Bauelemente (Kondensatoren) und Baugruppen (Verstärker) sind für bestimmte Messverfahren möglich und müssen vom
Nutzer als solche erkannt werden, um Fehlschlüsse zu vermeiden.
Aufgaben:
1. Bestimmen Sie die Membranzeitkonstante (Zeitkonstante eines RC-Gliedes). Ermitteln Sie die
Zeitkonstante aus der Messung der Zeit t, die bis zur Änderung der Kondensatorspannung auf
den 1/e-ten Rest der Gesamtspannung vergangen ist. Vergleichen Sie mit dem Wert der Zeitkonstanten, den Sie aus den Ihnen bekannten Werten R und C berechnen.
2. Bestimmen Sie den Einfluss der Frequenz der angelegten Rechteckspannung auf die Impulsform am Ausgang des vorliegenden RC-Gliedes (Modell einer Nervenfaser).
3. Bestimmen Sie die Membranlängskonstante für ein fünffaches RC-Glied.
Hinweis:
Zu Beginn des Praktikums werden Sie durch den Betreuer in die Bedienung der Geräte eingewiesen. Lassen Sie die Schaltungen durch die Betreuer abnehmen!
Beachten Sie im Umgang mit elektronischen Geräten (auch bei den Versuchen Leitwertbestimmung, EKG, Ultraschall und γ-Absorption), dass ein Dauerbetrieb die Geräte weniger beansprucht
als häufiges Ein- und Ausschalten. Schalten Sie die Geräte deshalb erst nach Beendigung aller
Messungen aus. Beenden Sie verwendete Rechnerprogramme ordnungsgemäß. Zum Auf- und
Umbau der Schaltungen ist die Ausgangsspannung der Stromversorgungsgeräte auf den kleinsten
Wert zu stellen.
Durch Aktivierung falscher Menüpunkte am Oszilloskop erhalten Sie falsche bzw. unsinnige
Messwerte und Darstellungen. Damit geht jedoch keine Beschädigung des Oszilloskops einher.
Aufbau und Arbeitsweise des Oszillografen (Digitaloszilloskops)
Hier im Praktikum ist das Oszilloskop (Handyscope HS3-5) als Rechnereinschub zusammen
mit einer Software gegeben. Separat steht eine Box mit zwei Messkanaleingängen und Generatorausgang. Sie starten das Programm Handyscope HS3. In der Handyscope-Menueleiste starten Sie
das Oszilloskop und den Generator. Im Setup können Sie „Deutsch“ als Sprache wählen.
Man kann periodische oder aperiodische Vorgänge untersuchen. Viele Vorgänge in Physik,
Chemie, Technik werden mit empfindlichen Sensoren verfolgt. Deren zeitabhängige Signale sind
als Spannungsverläufe verfügbar und mit dem Oszilloskop messbar (siehe Versuch Ultraschall).
Generator:
Ausgangspunkt für Ihre Messung am RC-Glied ist die Einspeisung einer Wechselspannung mit
Rechteckform. Im Generatormenue stellen Sie Rechteck, Frequenz (100 Hz), Spannung (ca. 1,5 V)
ein. Mit Anklicken des Schalters (unten rechts im Menue) geht diese Spannung auf den Ausgang.
Oszilloskop:
Das Oszilloskop hat zwei Eingabekanäle (zweipolig – schwarzer Stecker ist Masseanschluss).
Mit Kanal 1 erfassen Sie die Generatorspannung. Diese wird auch für den Trigger genutzt. Mit
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einem Trigger wird festgesetzt, welcher Messwert von welchem Eingabekanal als Startwert für die
Darstellung verwendet wird. Ist dieser Wert erreicht, werden die Messwerte vor und nach dem
Zeitpunkt Null dargestellt. Messwerte werden entweder ständig erfasst (Dauermessung) oder kurzzeitig (Einzelmessung).
Darstellung:
Im Normalmode verläuft die Spannungsachse vertikal und die Zeitachse ist horizontal. Die
Achsenmaßstäbe werden wie folgt geändert: Unter Zeitbasis finden Sie eine Vielzahl darstellbarer
Zeitintervalle, aus denen Sie ein geeignetes wählen. Die dargestellten Spannungsbereiche werden
links oben (Kanal 1) und rechts oben (Kanal 2) gewählt. Mit "Automatisch" sucht sich das Gerät
einen günstigen Bereich selbst aus. Ausgehend von den Kanälen 1, 2 können Sie weitere Spannungsverläufe berechnen lassen, z.B. die Differenz der Signale beider Messkanäle.
Ablesen:
Um spezielle Werte aus der grafischen Darstellung ablesen zu können, stehen Ihnen Eingabemarken (engl. Cursor) zur Verfügung, z.B. zwei vertikale und zwei horizontale Linien. Die aktuellen Positionen der Marken werden in einem kleinen separaten Fenster angezeigt (Ablesewerte).
RC-Glied als Modell der elektrotonischen Erregungsleitung
Bei einer lebenden Zelle im Ruhezustand besteht zwischen dem positiv geladenen Äußeren der
Zelle und dem negativ geladenen Inneren der Zelle eine Membranspannung (Membranpotential)
von 0,09 V = 90 mV, die durch unterschiedliche Konzentrationen von Kalium- und Natriumionen
im Inneren und außerhalb der Zelle hervorgerufen wird. Durch die Veränderung der Konzentrationsverhältnisse an der Zellmembran bei einer Erregung der Zelle entsteht ein Aktionspotential.
Es beträgt 60 - 150 mV und hat umgekehrte Polarität.
Elektrotonus ist die Änderung der Membranspannung einer Zelle durch eine an die Membran
angelegte Spannung. Depolarisierende Spannungen (Pluspol in der Zelle, Minuspol an der Zellmembran) verringern die Membranspannung und lösen beim Erreichen des zelltypischen Schwellenwertes ein Aktionspotential aus. Das ist der elektrische Vorgang der Nervenreizung, der Muskelzuckungen hervorruft. Durch hyperpolarisierende Spannungen (Minuspol in der Zelle, Pluspol
an der Zellmembran) wird die Membranspannung erhöht und die Erregbarkeit herabgesetzt.
Die elektrotonische Erregungsleitung erfolgt nur über sehr kurze Entfernungen, bis sie die
Auslösung des nächsten Aktionspotentials erreicht. Dabei reagieren die Zellen elektrisch wie eine
Schaltungskette aus ohmschen Widerständen (die Ionen werden in ihrer Bewegung gebremst) und
Kondensatoren (an den Membranen werden Potentiale geändert und Ladungen gespeichert).
Die rechte Abbildung zeigt ein einfaches elektrisches Modell der
elektrotonischen Erregungsleitung mit entsprechender Schaltung.
Die Bestimmung einer Membranzeitkonstanten entspricht somit
sinngemäß der Bestimmung der Zeitkonstanten eines RC-Gliedes.
R
C
Bauelement Widerstand: zweipoliges passives Bauelement mit entsprechendem ohmschen Widerstand R = U/I mit [R] = Ω = V/A (U – Spannung, I – Stromstärke, Ω – Ohm). In der Schaltungstechnik dienen Widerstände zur Dimensionierung von Spannungen und Strömen. Widerstände begrenzen den Stromfluss und schützen andere Bauelemente. Letztlich wird beim Stromdurchfluss
durch einen Widerstand elektrische Energie in Wärme umgewandelt.
Bauelement Kondensator: zweipoliges passives Bauelement mit einer Kapazität C = Q/U mit [C]
= F = C/V = As/V (F – Farad, C – Coulomb). Kapazität C kennzeichnet das Vermögen, bei der
angelegten Spannung U eine Ladung Q zu speichern (entgegengesetzte Ladungen auf beiden Kondensatorseiten). Damit wird elektrische Feldenergie gespeichert. Kondensatoren dienen der Spannungsglättung, -stabilisierung, vermeiden Überspannungen, liefern kurzzeitig hohe Leistungen.
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Aufbau und Funktionsweise der Schaltung
An den Eingang des RC-Gliedes (Ort der Reizung)
wird eine Rechteckspannung Ue(t) gelegt. Der KonR
densator C wird nach jedem Wechsel der Polarität
1
von U0 entweder geladen oder entladen. Der ohmsche
Widerstand R begrenzt den Ladestrom und bewirkt
daher eine verzögerte Auf- bzw. Entladung. Erst nach
C
Oszillograf
Ue
einer gewissen Zeit erreicht die Spannung UC am
Kondensator (Punkt 1) den Wert UC = Ue = ±U0. Nur
wenn Sie genügend Zeit verstreichen lassen, also eine
hinreichend kleine Frequenz wählen, erreicht die
Kondensatorspannung tatsächlich die Werte ±U0. Bei
der vorliegenden Schaltung erreicht man entsprechendes Verhalten bei einer Frequenz f von ungefähr 100 Hz. Damit erhält man Spannungsverläufe Ue(t) und UC(t) wie in den nachfolgenden AbT
bildungen gezeigt. Für die Aufladungskurve ist UC(t) mit
Ue
U C (t ) = U SS (1 − e
−
t
RC
) −U0
(7.1)
U0
U
SS
gegeben. Für die Entladungskurve gilt analog
U C (t ) = U SS e
−
t
RC
−U0
t
.
(7.2)
USS = 2 U0 ist die Spitze-Spitze-Spannung, d.h. die gesamte
Stufe der Spannungsänderung beim Umschalten des Rechteckpulses. Da sich die Spannungen am Widerstand R und am
Kondensator C mit der momentan angelegten Spannung zu
Null addieren (Maschenregel nach Kirchhoff), kann man UR(t)
leicht errechnen mit UR = U0 - UC. Der Betrag der Spannung
UR(t) ist somit:
U R (t ) = U SS e
−
t
RC
.
-U0
ti
U
C
t
UR
(7.3)
Beim Oszilloskop haben Sie die Möglichkeit, bzgl. der Messkanäle 1 und 2 eine Differenz ausrechnen zu lassen. Damit
können Sie neben Ue(t) (Kanal 1) und UC(t) (Kanal 2) sich auch
UR(t) als dritten Spannungsverlauf anzeigen lassen. Bauen Sie
entsprechend die Schaltung auf und stellen Sie das Oszilloskop
zweckmäßig ein (Zeit- und Spannungsbereiche optimieren).
t
Die Größe R⋅ C = τ (Tau) nennt man die Zeitkonstante des
RC-Gliedes. Ihre Einheit ist [τ] = s. Die Zeitkonstante τ drückt
aus, wie zügig der Kondensator ge- bzw. entladen wird. Sie können τ einfach aus R und C berechnen. Andererseits, wenn Sie eine hinreichend kleine Frequenz gewählt haben und ein Spannungsverhalten UC(t) wie in der Abbildung beobachten, genügen drei Spannungs- und eine Zeitmessung,
um t = τ direkt abzulesen.
Durchführung:
Zu 1.: Die Zeitkonstante τ ist über den Entladungsteil der Kondensatorspannung zu bestimmen.
Der gezeigte Zeitabschnitt des Oszilloskops (Zeitbasis) ist so einzustellen, dass nur wenig mehr
als eine Halbperiode T/2 der Rechteckschwingung sichtbar ist (siehe Abb.) und die Spannungsstufe den Bildbereich gut überdeckt.
34
Eingangsspannung in V
Messen Sie die Spannung USS. Ak1.5
Zeitkonstante τ
tivieren Sie die Eingabemarken (CurKanal
1
1.0
sor). Diese setzen Sie auf die OberKanal 2
und Unterkante der Rechteckperiode
0.5
und messen die Spannungsstufe USS
0.0
vom oberen zum unteren Niveau. Berechnen Sie den Wert UC(t), bei der
-0.5
1/e-te Restspannung
sich die Kondensatorspannung bis auf
-1.0
einen Rest 1/e ·USS an den unteren
Wert angeglichen hat. Setzen Sie den
-1.5
Eingabemarken auf diese Differenz
-1 ms
0 ms
1 ms
2 ms
3 ms
4 ms
5 ms
6 ms
Laufzeit
zum unteren Spannungswert (vgl.
Abb.). Jetzt ermitteln Sie die seit dem
Umpolen der Spannung vergangene Zeit mit den Marken der Zeitmessung. Diese Zeit ist die gesuchte Zeitkonstante τ. Berechnen Sie τ auch aus R und C. Die Werte R und C werden Ihnen gegeben bzw. sind mit einem Multimeter zu bestimmen. Vergleichen Sie die beiden Resultate für τ.
Zu 2.: Der Einfluss der Frequenz der angelegten Rechteckspannung auf die am Kondensator gemessene Impulsform wird für drei Frequenzen mit Halbperioden T/2 = ti << τ, ti = τ und ti >> τ
untersucht. T ist die Schwingungsdauer der angelegten Rechteckspannung mit der Frequenz f =
1/T. Bei den Relationen >> bzw. << muss mindestens der Faktor 10 realisiert werden. Drucken
Sie die jeweiligen Diagramme {Ue(t), UC(t) und UR(t)} aus und diskutieren Sie die Verformungen.
Zu 3.: Muskel- und Nervenfasern sind längliche Gebilde. Legt man lokal eine Spannung an (d.h.
eine negative Spannung U0 an die Membranoberfläche), so lädt ein Teil den "lokalen Kondensator"
C. Der Rest der Ladung fließt längs der Membran über deren Ohmschen Widerstand R und lädt die
nächste Membran (Kondensator) auf. Dadurch ändern sich die im Ruhezustand positiven Membranspannungen (Potentiale) in Abhängigkeit vom Abstand x vom Ort der Reizung. Zwischen der
wirksamen Spannung U(x) und deren Entfernung x vom Reizort x = 0 besteht die Beziehung:
U ( x) = U 0 e − x δ
.
(7.4)
Dabei nennt man δ die Membranlängskonstante. Durch Logarithmieren erhält man:
ln U ( x) = ln U 0 − x δ .
(7.5)
Für diese Untersuchung wird die gesamte Länge des fünffachen RC-Gliedes verwendet:
Ableitpositionen
1
Ort der
Reizung
R
2
C
R
3
C
R
4
C
R
5
C
R
C
biologische Länge
x = 10 mm
(Jedes einzelne RC-Glied hat demnach eine "biologische Länge" von 2 mm.)
Speisen Sie die Simulation der biologischen Membran mit einer Sinusspannung U0 = 2 V und
einer Frequenz 100 Hz. Messen Sie mit dem Oszillografen die Spitzenspannungen U(x) an den
Ableitpositionen 0 bis 5. Tragen Sie ln U(x) über der biologischen Länge x auf (PC-Programm linearer Ausgleich). Der Anstieg der Geraden ist -1/δ . Vergleichen Sie die von Ihnen bestimmte
Membranlängskonstante mit der Längskonstanten biologischer Membranen (0,1 mm bis 5 mm).
Literatur:
/1/ Beier/Pliquett: Physik für das Grundstudium Medizin
/2/ Beier/Dörner: Die Physik und ihre Anwendungen in Medizin und Biologie (Bd.1)
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