Slides aus Vorlesung 06

Lineare Algebra I
- 6.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
3. Körper
3 Körper
Formalisierung des Zusammenspiels von Addition und Multiplikation ...
19
Definition 3.1. Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ·) bestehend aus einer nicht-leeren Menge
K und zwei Verknüpfungen
+:K ⇥K
! K
(x, y) 7 ! x + y
und
·:K ⇥K
! K,
(x, y) 7 ! x · y
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
(K1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
(K2) (K ⇤ = K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(K3) Distributivgesetz: für alle x, y, z 2 K gilt
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
Schwächt man die Körperaxiome (K1-3) dahingehend ab, dass man statt (K2) lediglich
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Definition 3.2. Ein Ring ist ein Tripel (K, +, ·) wie in Definition 3.1, das (K1) und (K3)
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
Notation 3.2.1. Sei (K, +, ·) ein Körper, dann verwenden wir die folgenden Notationen:
• das Inverse von x in der Gruppe (K, +) bezeichnen wir mit x
• wir schreiben x y für x + ( y)
• das neutrale Element von (K ⇤ , ·) bezeichnen wir mit 1
3.1. Körper
1
1
⇤
3. Körper
3 K
Körper
örper
Formalisierung des Zusammenspiels von Addition und Multiplikation ...
19
19
Definition
Körper
ist ist
ein ein
Tripel
(K, +,
·) +,
bestehend
aus einer
Menge Menge
Definition3.1.
3.1.Ein
Ein
Körper
Tripel
(K,
·) bestehend
ausnicht-leeren
einer nicht-leeren
K
üpfungen
K und
undzwei
zweiVerkn
Verkn
üpfungen
+:K ⇥K
! K
+:K ⇥K ! K
(x, y) 7 ! x + y
und
und
(x, y) 7 ! x + y
·:K ⇥K
! K,
·:K ⇥K ! K,
(x, y) 7 ! x · y
(x, y) 7 ! x · y
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
so dass
Axiome
erfülltDas
sind
(K1)
(K,die
+) folgenden
ist eine abelsche
Gruppe.
neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
⇤ +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
(K1) (K
(K,
(K2)
= K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(K3)
fürist
alle
x, y,abelsche
z 2 K gilt
(K2) Distributivgesetz:
(K ⇤ = K \ {0}, ·)
eine
Gruppe.
(K3) Distributivgesetz: für alle x, y, z 2 K gilt
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
Schwächt man die Körperaxiome (K1-3) dahingehend ab, dass man statt (K2) lediglich
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Schwächt man die Körperaxiome (K1-3) dahingehend ab, dass man statt (K2) lediglich
die Assoziativit
Verkn
· fordert,
die Definition
eines
Rings:
Definition
3.2. ät
Einder
Ring
ist üpfung
ein Tripel
(K, +, ·)erh
wieält
in man
Definition
3.1, das (K1)
und
(K3)
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
Definition 3.2. Ein Ring ist ein Tripel (K, +, ·) wie in Definition 3.1, das (K1) und (K3)
Notation
3.2.1.
SeiMultiplikation
(K, +, ·) ein Körper,
dann verwenden
wir die folgenden Notationen:
erfüllt, und
dessen
· assoziativ
ist.
• das Inverse von x in der Gruppe (K, +) bezeichnen wir mit x
• wir schreiben
für+,
x+
Notation
3.2.1. xSei y(K,
·) (einy)Körper, dann verwenden wir die folgenden Notationen:
⇤
•• das
, ·) bezeichnen
mit 1 wir mit x
dasneutrale
Inverse Element
von x invon
der(KGruppe
(K, +) wir
bezeichnen
3.1. Körper
1
1
⇤
3. Körper
3 K
Körper
örper
3 Körper
Formalisierung des Zusammenspiels von Addition und Multiplikation ...
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19
19
Definition
Körper
ist ist
ein ein
Tripel
(K, +,
·) +,
bestehend
aus einer
Menge Menge
Definition3.1.
3.1.Ein
Ein
Körper
Tripel
(K,
·) bestehend
ausnicht-leeren
einer nicht-leeren
Definition
3.1. üpfungen
Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ·) bestehend aus einer nicht-leeren Menge
K
K und
undzwei
zweiVerkn
Verknüpfungen
K und zwei Verknüpfungen
+:K ⇥K
! K
+:K ⇥K ! K
y) K7 ! !
x +K
y
+ : (x,
K⇥
(x, y) 7 ! x + y
(x, y) 7 ! x + y
und
und
und
·:K ⇥K
! K,
·:K ⇥K ! K,
(x,
7 !
y K,
· :y)K ⇥
K x ·!
(x, y) 7 ! x · y
(x, y) 7 ! x · y
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
so dass
Axiome
erfülltDas
sind
(K1)
(K,die
+) folgenden
ist eine abelsche
Gruppe.
neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
so dass
die
folgenden
Axiome
erf
üllt
sind
⇤ +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
(K1)
(K,
(K2)
(K
\ {0},
ist eine abelsche
Gruppe.
(K1) (K,⇤=
+)Kist
eine·)abelsche
Gruppe.
Das neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
(K3)
fürist
alle
x, y,abelsche
z 2 K gilt
(K2) Distributivgesetz:
(K ⇤ = K \ {0}, ·)
eine
Gruppe.
(K2) (K = K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(K3)
ffür
alle
x,
y,
zz 2
K
gilt
(K3) Distributivgesetz:
Distributivgesetz:
ür
alle
x,
y,
2
K
gilt z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
· z = (x · z)
+ (y dahingehend
· z) und zab,
· (xdass
+ y)
= (z
· x)(K2)
+ (zlediglich
· y) .
Schwächt man (x
die+Ky)
örperaxiome
(K1-3)
man
statt
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Schw
Schwächt
ächt man
man die
die K
Körperaxiome
örperaxiome (K1-3)
(K1-3) dahingehend
dahingehend ab,
ab, dass
dass man
man statt
statt (K2)
(K2) lediglich
lediglich
die
Verkn
·· fordert,
die
eines
Rings:
Definition
3.2. ät
Einder
Ring
ist üpfung
ein Tripel
(K, +, ·)erh
wieält
in man
Definition
3.1, das (K1)
und
(K3)
die Assoziativit
Assoziativit
ät
der
Verkn
üpfung
fordert,
erh
ält
man
die Definition
Definition
eines
Rings:
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
Definition
Definition 3.2.
3.2. Ein
Ein Ring
Ring ist
ist ein
ein Tripel
Tripel (K,
(K, +,
+, ·)
·) wie
wie in
in Definition
Definition 3.1,
3.1, das
das (K1)
(K1) und
und (K3)
(K3)
Notation
3.2.1. SeiMultiplikation
(K, +, ·) ein Körper, dann verwenden
wir die folgenden Notationen:
erf
erfüllt,
üllt, und
und dessen
dessen Multiplikation ·· assoziativ
assoziativ ist.
ist.
• das Inverse von x in der Gruppe (K, +) bezeichnen wir mit x
• wir schreiben
für+,
x+
y)K
Notation
3.2.1.
·)
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
Notation
3.2.1. xSei
Sei y(K,
(K,
+,
·) (ein
ein
K
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
⇤
••
, ·) bezeichnen
mit 1 wir
das
Inverse
von
der
(K,
bezeichnen
3.1. Körper
• das
dasneutrale
Inverse Element
von x
x in
invon
der(KGruppe
Gruppe
(K, +)
+) wir
bezeichnen
wir mit
mit x
x
1
1
⇤
3. Körper
3 K
Körper
örper
Körper
örper
Formalisierung des Zusammenspiels von Addition und Multiplikation ...
33 K
19
19
19
19
Definition
Körper
ist ist
ein ein
Tripel
(K, +,
·) +,
bestehend
aus einer
Menge Menge
Definition3.1.
3.1.Ein
Ein
Körper
Tripel
(K,
·) bestehend
ausnicht-leeren
einer nicht-leeren
Definition
3.1. üpfungen
Ein K
Körper
örper ist
ist ein
ein Tripel
Tripel (K,
(K, +,
+, ·)
·) bestehend
bestehend aus
K
Definition
3.1.
Ein
aus einer
einer nicht-leeren
nicht-leeren Menge
Menge
K und
undzwei
zweiVerkn
Verkn
üpfungen
K und
und zwei
zwei Verkn
Verknüpfungen
üpfungen
K
+:K ⇥K
! K
+:K ⇥K ! K
y) K7 ! !
x +K
y
+ :: (x,
K⇥
⇥
+
K
K
!
K
(x, y) 7 ! x + y
(x, y)
y) 7 7 !
! x
x+
+ yy
(x,
und
und
und
und
·:K ⇥K
! K,
·:K ⇥K ! K,
(x,
7 !
x ·!
y K,
K⇥
⇥
K
·· ::y)K
K
!
(x, y) 7 ! xK· ,y
(x, y)
(x,
y) 77 !
! x
x ·· yy
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
so dass
Axiome
erfülltDas
sind
(K1)
(K,die
+) folgenden
ist eine abelsche
Gruppe.
neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
so
dass
die
folgenden
Axiome
erf
üllt
sind
so
dass
die
folgenden
Axiome
erfüllt sind
⇤ +)
(K1)
(K,
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
(K2)
(K
=
K
\
{0},
·)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
(K1)
(K,
+)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
⇤
(K1)
(K,
+)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
(K3)
fürist
alle
x, y,abelsche
z 2 K gilt
(K2) Distributivgesetz:
(K ⇤ = K \ {0}, ·)
eine
Gruppe.
(K⇤ =
=K
K \\ {0},
{0}, ·)
·) ist
ist eine
eine abelsche
abelsche Gruppe.
Gruppe.
(K
Distributivgesetz:
ffür
alle
x,
y,
zz 2
K
gilt
Distributivgesetz:
ür
alle
x,
y,
2
K
gilt z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
(x + y) · z f=
· z)x,
+ y,
(yz· z)
Distributivgesetz:
ür(xalle
2 Kund
gilt
(x
+
y)
·· zz =
(x
·· z)
+
(y
·dahingehend
z)
und
zzab,
·· (x
+
y)
=
(z
·· x)
+
(z
·· y)
..
(x
+Ky)
y)
=
(x
z)
+
(y
·
z)
und
(x
+
y)
=
(z
x)
+
(z
y)
Schwächt man(x
die+
örperaxiome
(K1-3)
dass
man
statt
(K2)
lediglich
· z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Schw
Schwächt
ächt man
man die
die K
Körperaxiome
örperaxiome (K1-3)
(K1-3) dahingehend
dahingehend ab,
ab, dass
dass man
man statt
statt (K2)
(K2) lediglich
lediglich
Schw
ächt
man
die
K
örperaxiome
(K1-3)
dahingehend
ab,
dass
man
statt
(K2)
lediglich
die
Assoziativit
ät
der
Verkn
üpfung
·
fordert,
erh
ält
man
die
Definition
eines
Rings:
Definition
3.2.
Ein
Ring
ist
ein
Tripel
(K,
+,
·)
wie
in
Definition
3.1,
das
(K1)
und
(K3)
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
die
Assoziativit
ätMultiplikation
der Verknüpfung
· fordert,
erfüllt,
und dessen
· assoziativ
ist. erhält man die Definition eines Rings:
Definition
Definition 3.2.
3.2. Ein
Ein Ring
Ring ist
ist ein
ein Tripel
Tripel (K,
(K, +,
+, ·)
·) wie
wie in
in Definition
Definition 3.1,
3.1, das
das (K1)
(K1) und
und (K3)
(K3)
Definition
3.2.
Ein
Ring
ist
ein
Tripel
(K,
+,
·)
wie
in
Definition
3.1,
das
(K1)
und
(K3)
Notation
3.2.1.
SeiMultiplikation
(K, +, ·) ein Körper,
dann verwenden
wir die folgenden Notationen:
erf
üllt,
und
dessen
·
assoziativ
ist.
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
• dasund
Inverse
vonMultiplikation
x in der Gruppe· (K,
+) bezeichnen
erfüllt,
dessen
assoziativ
ist. wir mit x
• wir schreiben
für+,
x+
y)K
Notation
3.2.1.
·)
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
Notation
3.2.1. xSei
Sei y(K,
(K,
+,
·) (ein
ein
K
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
⇤
Notation
3.2.1.Element
Sei (K,
+,
·)(KGruppe
ein, ·)Kbezeichnen
örper,
dann
verwenden
wir
die folgenden
Notationen:
••
neutrale
von
wir
mit 1 wir
das
Inverse
von
x
in
der
(K,
+)
bezeichnen
mit
x
3.1.
Körper
• das
das
Inverse
von
x
in
der
Gruppe
(K,
+)
bezeichnen
wir
mit
x
1
1
⇤
(K2)
(K2)
(K3)
(K3)
(K3)
3. Körper
3 K
Körper
örper
19
19
19
19
Körper
örper
Formalisierung des Zusammenspiels von Addition und Multiplikation ...
33 K
Ring
Definition
Körper
ist ist
ein ein
Tripel
(K, +,
·) +,
bestehend
aus einer
Menge Menge
Definition3.1.
3.1.Ein
Ein
Körper
Tripel
(K,
·) bestehend
ausnicht-leeren
einer nicht-leeren
Definition
3.1. üpfungen
Ein K
Körper
örper ist
ist ein
ein Tripel
Tripel (K,
(K, +,
+, ·)
·) bestehend
bestehend aus
K
Definition
3.1.
Ein
aus einer
einer nicht-leeren
nicht-leeren Menge
Menge
K und
undzwei
zweiVerkn
Verkn
üpfungen
K und
und zwei
zwei Verkn
Verknüpfungen
üpfungen
K
+:K ⇥K
! K
und
·:K ⇥K
! K,
+:K ⇥K ! K
und
·:K ⇥K ! K,
y) K7 ! !
x +K
y
(x,
7 !
x ·!
y K,
+ :: (x,
K⇥
⇥
und
· ::y)K
K⇥
⇥
K
+
K
K
!
K
und
·
K
!
(x, y) 7 ! x + y
(x, y) 7 ! xK· ,y
(x, y)
y) 7 7 !
! x
x+
+ yy
(x, y)
77 !
x
·· yy
(x,
(x,
y)
!
x
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
so dass
Axiome
erfülltDas
sind
(K1)
(K,die
+) folgenden
ist eine abelsche
Gruppe.
neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
so
dass
die
folgenden
Axiome
erf
üllt
sind
so
dass
die
folgenden
Axiome
erfüllt sind
⇤ +)
(K1)
(K,
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
(K2)
(K
=
K
\
{0},
·)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
(K1)
(K,
+)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
⇤
(K1)
(K,
+)
ist
eine
abelsche
Gruppe.
Das
neutrale
Element
bezeichnen
wir
mit
0.
(K3)
Distributivgesetz:
fürist
alle
x, y,abelsche
z 2 K gilt
(K2)
(K
eine
Gruppe.
.
⇤ = K \ {0}, ·)
(K2) (K
(K⇤ =
=K
K \\ {0},
{0}, ·)
·) ist
ist eine
eine abelsche
abelsche Gruppe.
Gruppe. Multiplikation ist assoziativ.
(K2)
(K3)
Distributivgesetz:
ffür
alle
x,
y,
zz 2
K
gilt
(K3)
Distributivgesetz:
ür
alle
x,
y,
2
K
gilt z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
(x + y) · z f=
· z)x,
+ y,
(yz· z)
(K3) Distributivgesetz:
ür(xalle
2 Kund
gilt
(x
+
y)
·· zz =
(x
·· z)
+
(y
·dahingehend
z)
und
zzab,
·· (x
+
y)
=
(z
·· x)
+
(z
·· y)
..
(x
+Ky)
y)
=
(x
z)
+
(y
·
z)
und
(x
+
y)
=
(z
x)
+
(z
y)
Schwächt man(x
die+
örperaxiome
(K1-3)
dass
man
statt
(K2)
lediglich
· z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Schw
Schwächt
ächt man
man die
die K
Körperaxiome
örperaxiome (K1-3)
(K1-3) dahingehend
dahingehend ab,
ab, dass
dass man
man statt
statt (K2)
(K2) lediglich
lediglich
Schw
ächt
man
die
K
örperaxiome
(K1-3)
dahingehend
ab,
dass
man
statt
(K2)
lediglich
die
Assoziativit
ät
der
Verkn
üpfung
·
fordert,
erh
ält
man
die
Definition
eines
Rings:
Definition
3.2.
Ein
Ring
ist
ein
Tripel
(K,
+,
·)
wie
in
Definition
3.1,
das
(K1)
und
(K3)
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
die
Assoziativit
ätMultiplikation
der Verknüpfung
· fordert,
erfüllt,
und dessen
· assoziativ
ist. erhält man die Definition eines Rings:
Definition
Definition 3.2.
3.2. Ein
Ein Ring
Ring ist
ist ein
ein Tripel
Tripel (K,
(K, +,
+, ·)
·) wie
wie in
in Definition
Definition 3.1,
3.1, das
das (K1)
(K1) und
und (K3)
(K3)
Definition
3.2.
Ein
Ring
ist
ein
Tripel
(K,
+,
·)
wie
in
Definition
3.1,
das
(K1)
und
(K3)
Notation
3.2.1.
SeiMultiplikation
(K, +, ·) ein Körper,
dann verwenden
wir die folgenden Notationen:
erf
üllt,
und
dessen
·
assoziativ
ist.
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
• dasund
Inverse
vonMultiplikation
x in der Gruppe· (K,
+) bezeichnen
erfüllt,
dessen
assoziativ
ist. wir mit x
• wir schreiben
für+,
x+
y)K
Notation
3.2.1.
·)
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
Notation
3.2.1. xSei
Sei y(K,
(K,
+,
·) (ein
ein
K
örper,
dann
verwenden
wir
die
folgenden
Notationen:
⇤
Notation
3.2.1.Element
Sei (K,
+,
·)(KGruppe
ein, ·)Kbezeichnen
örper,
dann
verwenden
wir
die folgenden
Notationen:
••
neutrale
von
wir
mit 1 wir
das
Inverse
von
x
in
der
(K,
+)
bezeichnen
mit
x
3.1.
Körper
• das
das
Inverse
von
x
in
der
Gruppe
(K,
+)
bezeichnen
wir
mit
x
1
1
⇤
(4) xy + x( y) = x(y + ( y)) = x0 = 0 ) x( y) = xy. Ferner ( x)( y) = ( x)y =
( xy) = xy.
(5) Die Behauptung gilt wegen der Gruppeneigenschaft für x, y 2 K ⇤ . Falls nun x = 0, so
muß nach (3) auch y = 0 sein. Es folgt also auch in diesem Fall x = y.
Primkörper
Satz 3.5. Definiere das Produkt zweier Äquivalenzklassen [m], [n] 2 Z/pZ als
[m] · [n] := {M N + kp | M 2 [m] , N 2 [n] , k 2 Z} .
Dann gilt [m] · [n] = [mn]. Neben der Addition (vgl. Gleichung (2.1)) ist · also eine weitere
Verknüpfung auf Z/pZ. Falls p 2 N eine Primzahl ist, so ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) eine abelsche
Gruppe und (Z/pZ, +, ·) ein Körper, der auch Fp genannt wird.
Beweis. Es gilt
[m] · [n] = {(m + ap)(n + bp) + kn | a, b, k 2 Z}
= {mn + p(k + mb + na + abp) | a, b, k 2 Z} = {mn + pl | l 2 Z}
= [mn]
Dass (Z/pZ, +) eine abelsche Gruppe ist, ist bekannt. Kommutativität und Assoziativität
von · und das Distributivgesetz folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von Z. Das
neutrale Element von (Z/pZ \ {[0]}, ·) ist [1]. Für die Existenz von Inversen benötigt man
dass p eine Primzahl ist. In diesem Fall ist die Multiplikation mit [n] 6= [0] eine injektive
Abbildung auf Z/pZ. Denn aus [n][a] = [n][b] folgt, dass n(a b) durch p teilbar. Da p prim
ist, und n nicht durch p teilbar, muß (a b) durch p teilbar sein, also [a] = [b]. Da Z/pZ
eine endliche Menge ist, folgt aus der Injektivität auch die Surjektivität. Insbesondere gibt
es also ein [n0 ] mit [n] · [n0 ] = [1].
Bemerkung 3.6. Falls p keine Primzahl ist, so gibt es in Z/pZ sogenannte Nullteiler, d.h.
es gibt [n], [m] 2 Z/pZ \ {[0]} mit [m] · [n] = [0]. Falls nämlich p = ab mit a, b 2 N>1 , so
gilt [a], [b] 6= [0] aber [a] · [b] = [0]. Insbesondere ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) keine Gruppe. Da die
3.1. Körper
Multiplikation assoziativ ist, ist Z/pZ aber trotzdem noch ein Ring.
(4) xy + x( y) = x(y + ( y)) = x0 = 0 ) x( y) = xy. Ferner ( x)( y) = ( x)y =
( xy) = xy.
(5) Die Behauptung gilt wegen der Gruppeneigenschaft für x, y 2 K ⇤ . Falls nun x = 0, so
muß nach (3) auch y = 0 sein. Es folgt also auch in diesem Fall x = y.
Primkörper
Satz 3.5. Definiere das Produkt zweier Äquivalenzklassen [m], [n] 2 Z/pZ als
[m] · [n] := {M N + kp | M 2 [m] , N 2 [n] , k 2 Z} .
Dann gilt [m] · [n] = [mn]. Neben der Addition (vgl. Gleichung (2.1)) ist · also eine weitere
Verknüpfung auf Z/pZ. Falls p 2 N eine Primzahl ist, so ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) eine abelsche
Gruppe und (Z/pZ, +, ·) ein Körper, der auch Fp genannt wird.
Beweis. Es gilt
[m] · [n] = {(m + ap)(n + bp) + kn | a, b, k 2 Z}
= {mn + p(k + mb + na + abp) | a, b, k 2 Z} = {mn + pl | l 2 Z}
= [mn]
Außer diesen gibt es noch andere endliche Körper:
Bemerkung:
Dass (Z/pZ, +) eine abelsche Gruppe ist, ist bekannt. Kommutativität und Assoziativität
von · und das Distributivgesetz
folgen
aus
entsprechenden
Für alle Primzahlen
p und
alleden
n∈ℕ
gibt es (bis auf Eigenschaften
Isomorphie) von Z. Das
neutrale Elementgenau
von (Z/pZ
\ {[0]}, mit
·) ist
ür die Existenz
einen Körper
q =[1].
pn FElementen:
𝔽q . von Inversen benötigt man
dass p eine Primzahl ist. In diesem Fall ist die Multiplikation mit [n] 6= [0] eine injektive
Abbildung auf Z/pZ. Denn aus [n][a] = [n][b] folgt, dass n(a b) durch p teilbar. Da p prim
Dies sind alle endlichen Körper!
ist, und n nicht durch p teilbar, muß (a b) durch p teilbar sein, also [a] = [b]. Da Z/pZ
eine endliche Menge ist, folgt aus der Injektivität auch die Surjektivität. Insbesondere gibt
es also ein [n0 ] mit [n] · [n0 ] = [1].
Bemerkung 3.6. Falls p keine Primzahl ist, so gibt es in Z/pZ sogenannte Nullteiler, d.h.
es gibt [n], [m] 2 Z/pZ \ {[0]} mit [m] · [n] = [0]. Falls nämlich p = ab mit a, b 2 N>1 , so
gilt [a], [b] 6= [0] aber [a] · [b] = [0]. Insbesondere ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) keine Gruppe. Da die
3.1. Körper
Multiplikation assoziativ ist, ist Z/pZ aber trotzdem noch ein Ring.
3.2
Unterkörper und Körperhomomorphismen
Genau wie bei Gruppen adaptiert man die Begri↵e Untermenge und Abbildung derart, dass
3.2. Unterkörper
und
Körperhomomorphismen
sie mit der zusätzlichen
Körper-Struktur
kompatibel
sind, um damit Beziehungen zwischen
Körpern formulieren zu können.
Definition 3.8. Sei L ✓ K eine Teilmenge eines Körpers (K, +, ·), so dass (L, +) ✓ (K, +)
und (L \ {0}, ·) ✓ (K \ {0}, ·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
nennt ihn einen Unterkörper von K.
Definition 3.9. Seien (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) Körper, und f : K ! L eine Abbildung,
die mit der Addition und Multiplikation kompatibel ist, d.h.
f (x +K y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
dann nennt man f einen Körperhomomorphismus6 .
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
Man schreibt (K, +K , ·K ) ⇠
= (L, +L , ·L ).
(Handelt es sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe, nennt man f einen Ringhomomorphismus.)
p
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
':Z ! K
n 7 ! n · 1K := 1K + . . . + 1K
|
{z
}
n mal
3.2. Körper
Wenn man 0 und 1 als die logischen Werte ‘falsch’ und ‘wahr’ interpretiert, entsprechen die
3.2
Unterkörper und Körperhomomorphismen
Operationen + und · gerade den logischen Operationen _˙ (‘xor’) und ^ (‘und’).
Genau wie bei Gruppen adaptiert man die Begri↵e Untermenge und Abbildung derart, dass
3.2. Unterkörper
und
Körperhomomorphismen
sie
der zusätzlichen
Kund
örper-Struktur
kompatibel
sind, um damit Beziehungen zwischen
3.2mit Unterk
örper
Körperhomomorphismen
Körpern formulieren zu können.
Genau wie bei Gruppen adaptiert man die Begri↵e Untermenge und Abbildung derart, dass
Definition
3.8.
Sei L ✓KK
eine Teilmenge
eines Körpers
·), soBeziehungen
dass (L, +) ✓
(K, +)
sie mit der zus
ätzlichen
örper-Struktur
kompatibel
sind, (K,
um +,
damit
zwischen
und
(L \formulieren
{0}, ·) ✓ (K
·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
Körpern
zu\k{0},
önnen.
nennt ihn einen Unterkörper von K.
Definition 3.8. Sei L ✓ K eine Teilmenge eines Körpers (K, +, ·), so dass (L, +) ✓ (K, +)
Definition
3.9.
Seien
+K·), ·Untergruppen
·L ) Kso
örper,
und+,f·): K
! Lein
eineKörper,
Abbildung,
K ) und (L, +L ,sind,
und (L \ {0},
·) ✓
(K \(K,
{0},
ist (L,
selber
man
die
mitihn
dereinen
Addition
undörper
Multiplikation
nennt
Unterk
von K. kompatibel ist, d.h.
f (x +K
y)+=K f, ·(x)
+L f(L,
(y) +
; und
f (x ·K y) =und
f (x)
, eine Abbildung,
Definition 3.9. Seien
(K,
f :·LKf (y)
!L
K ) und
L , ·L ) Körper,
die mit der Addition und Multiplikation kompatibel ist, d.h.
dann nennt man f einen Körperhomomorphismus6 .
Ist f bijektiv, so nennt
man
f K
örperisomorphismus,
und
f (x +K
y) =
f (x)
+L f (y) ; und f (x ·K y)
= fdie
(x)beiden
·L f (y)K, örper isomorph.
Man schreibt (K, +K , ·K ) ⇠
= (L, +L , ·L ).
6
dann nennt
f einen
KKörperhomomorphismus
.
(Handelt
es man
sich bei
(K, +
, ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe,
nennt man f einen RinghomoIst f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
morphismus.)
⇠
Man schreibt (K, +K , ·K ) p
= (L, +L , ·L ).
Beispiel
3.10.
Q[+ 2], · ⇢) und
R sind
Unterk
örper
und die
jeweiligen
Inklusionen
sind
(Handelt es
sich Q
bei⇢(K,
(L,
+
,
·
)
um
Ringe,
nennt
man
f
einen
RinghomoK K
L L
K
örperhomomorphismen.
morphismus.)
p
Lemma
3.11.
Sei
K
ein
örper.
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ K2]
⇢ RDann
sind ist
Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen. ' : Z ! K
n Dann
7 ! nist· 1K := 1K + . . . + 1K
Lemma 3.11. Sei K ein Körper.
|
{z
}
':Z
! K
n mal
3.2. Körper
Wenn man 0 und 1 als die logischen Werte ‘falsch’ und ‘wahr’ interpretiert, entsprechen die
3.2
Unterk
örper
und
K)örperhomomorphismen
Definition
3.9.
Seien
(K,
+den
und (L,Operationen
+L , ·L ) Körper,
und f und
:K!
L eine Abbildung,
K , ·Klogischen
Operationen
+ und
· gerade
_˙ (‘xor’)
^ (‘und’).
die mitwie
derbei
Addition
undadaptiert
Multiplikation
kompatibel
ist, d.h.
Genau
Gruppen
man die
Begri↵e Untermenge
und Abbildung derart, dass
3.2. Unterkörper
und
Körperhomomorphismen
sie
der zusätzlichen
Kund
örper-Struktur
kompatibel
sind, um damit Beziehungen zwischen
3.2mit Unterk
örper
K
örperhomomorphismen
f (x +K y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
Körpern formulieren zu können.
6
Genau
wie bei
Gruppen
man die Begri↵e Untermenge
und Abbildung derart, dass
dann nennt
man
f einenadaptiert
Körperhomomorphismus
.
Definition
3.8.
Sei L ✓KK
eine Teilmenge
eines Körpers
(K,
+,
·), soBeziehungen
dass (L, +) ✓
(K, +)
sie
mit
der
zus
ätzlichen
örper-Struktur
kompatibel
sind,
um
damit
zwischen
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
und
(L \formulieren
{0}, ·) ✓ (K
\k{0},
·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
KMan
örpern
zu
önnen.
⇠
schreibt (K, +K , ·K ) = (L, +L , ·L ).
nennt ihn einen Unterk
örper von K.
(Handelt es3.8.
sich Sei
bei L(K,
, ·K ) Teilmenge
und (L, +Leines
, ·L ) um
Ringe,(K,
nennt
f einen
RinghomoDefinition
✓+
KK eine
Körpers
+, ·),man
so dass
(L, +)
✓ (K, +)
morphismus.)
Definition
3.9.
Seien
+K·), ·Untergruppen
·L ) Kso
örper,
und+,f·): K
! Lein
eineKörper,
Abbildung,
K ) und (L, +L ,sind,
und
(L \ {0},
·) ✓
(K \(K,
{0},
ist (L,
selber
man
p
die
mitihn
dereinen
Addition
undörper
Multiplikation
kompatibel ist, d.h.
nennt
Unterk
von
K.
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
f (x +K
y)+=K f, ·(x)
+L f(L,
(y) +
; und
f (x ·K y) =und
f (x)
, eine Abbildung,
Definition
3.9. Seien
(K,
f :·LKf (y)
!L
K ) und
L , ·L ) Körper,
die
mit der3.11.
AdditionKund
Multiplikation
kompatibel ist,
Lemma
einK
Körperhomomorphismus
örper. Dann ist
6 d.h.
dann
nennt manSei
f einen
.
Ist f bijektiv, so nennt
man
f :K
örperisomorphismus,
und
f (x +K
y) '
=
fZ(x)
+
(y) ; und f (x ·K y)
= fdie
(x)beiden
·L f (y)K, örper isomorph.
L fK
!
Man schreibt (K, +K , ·K ) ⇠
= (L, +L , ·L ).
7 !(L,n+· 1K
:= 1K +
6 . . . + 1K
dann nennt
f einen
KKörperhomomorphismus
.{z nennt
(Handelt
es man
sich bei
(K, +
, ·K n
) und
man f einen Ringhomo| Ringe,
}
L , ·L ) um
n mal
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus,
und die beiden Körper isomorph.
morphismus.)
⇠
p
Man
schreibt
(K,
+
,
·
)
= (L, +L , ·L ).
K
K
ein
Ringhomomorphismus.
Beispiel
3.10.
Q[+ 2], · ⇢) und
R sind
Unterk
örper
und die
jeweiligen
Inklusionen
sind
(Handelt es
sich Q
bei⇢(K,
(L,
+
,
·
)
um
Ringe,
nennt
man
f
einen
RinghomoK K
L L
K
örperhomomorphismen.
Beweis. Übungsaufgabe.
morphismus.)
p
Lemma
3.11.
Sei
K
ein
örper.
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ K2]
⇢ RDann
sind ist
Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Anders ausgedrückt müssen f : (K, +K ) ! (L, +L ) und f |K ⇤ : (K ⇤ , ·K ) ! (L⇤ , ·L ) GruppenhomomorKphismen
örperhomomorphismen.
':Z ! K
sein.
6
n Dann
7 ! nist· 1K := 1K + . . . + 1K
Lemma 3.11. Sei K ein Körper.
|
{z
}
':Z
! K
n mal
3.2. Körper
Wenn man 0 und 1 als die logischen Werte ‘falsch’ und ‘wahr’ interpretiert, entsprechen die
3.2
Unterk
örper
und
Definition
3.9.
Seien
(K,
+den
,K
·Klogischen
)örperhomomorphismen
und (L,Operationen
+L , ·L ) Körper,
und f und
:und
K!
L(‘und’).
eine Abbildung,
Operationen
+ und
und
gerade
den
logischen
Operationen
(‘xor’)
K
˙˙ (‘xor’)
Operationen
+
·· gerade
__
^^ (‘und’).
die mitwie
derbei
Addition
undadaptiert
Multiplikation
kompatibel
ist, d.h.
Genau
Gruppen
man die
Begri↵e Untermenge
und Abbildung derart, dass
3.2. Unterkörper
und
Körperhomomorphismen
sie
der
zusätzlichen
Kund
örper-Struktur
kompatibel
sind, um damit Beziehungen zwischen
3.2mit Unterk
Unterk
örper
und
K
örperhomomorphismen
3.2
örper
K
örperhomomorphismen
f (x +K y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
Körpern formulieren zu können.
6
Genau
wie bei
bei
Gruppen
adaptiert
man die
die Begri↵e
Begri↵e Untermenge
Untermenge
und Abbildung
Abbildung derart,
derart, dass
dass
Genau
wie
Gruppen
man
und
dann nennt
man
f einenadaptiert
Körperhomomorphismus
.
Definition
3.8.
Sei L ✓K
K
eine Teilmenge
eines Körpers
(K,
+,
·), soBeziehungen
dass (L, +) ✓
(K, +)
sie
mit
der
zus
ätzlichen
örper-Struktur
kompatibel
sind,
um
damit
zwischen
sie
mit
der
zus
ätzlichen
K
örper-Struktur
kompatibel
sind,
um
damit
Beziehungen
zwischen
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
und
(L \formulieren
{0}, ·) ✓ (K
\kk{0},
·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
K
örpern
zu
önnen.
⇠
K
örpern
formulieren
zu
önnen.
Man schreibt (K, +K , ·K ) = (L, +L , ·L ).
nennt ihn einen Unterk
örper von K.
(Handelt es sich Sei
bei (K, +
, ·K ) Teilmenge
und (L, + , ·L ) um
Ringe, nennt
man dass
f einen +)
RinghomoDefinition
Definition 3.8.
3.8. Sei LL ✓
✓K
KK eine
eine TeilmengeLeines
eines K
Körpers
örpers (K,
(K,+,
+,·),
·), so
so dass (L,
(L, +) ✓
✓ (K,
(K,+)
+)
morphismus.)
Definition
3.9. Seien
(K, +K·), ·Untergruppen
·L ) Kso
örper,
und+,f·): K
! Lein
eineKörper,
Abbildung,
K ) und (L, +L ,sind,
und
ist
(L,
selber
man
und (L
(L \\ {0},
{0},·)·) ✓
✓ (K
(K \\ {0},
{0},
·)
Untergruppen
sind,
so
ist
(L,
+,
·)
selber
ein
K
örper,
man
p
die
mitihn
dereinen
Addition
undörper
Multiplikation
kompatibel ist, d.h.
nennt
Unterk
von
K.
nennt
ihn
einen
Unterk
örper
von
K.
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
fSeien
(x +K
y)+
=K f,,·(x)
+
(y)
;+und
f))(x
·örper,
f (x)
·:LK
f (y)
,L eine
L f(L,
K y) =
Definition
(K,
)
und
+
,
·
K
örper,
und
f
:
!
L
K
L
L
Definition 3.9.
3.9. Seien
(K,
+
·
)
und
(L,
,
·
K
und
f
K
!
eine Abbildung,
Abbildung,
K K
L L
die
mit
der
Addition
Multiplikation
kompatibel
Lemma
3.11.
Sei
Kund
einK
K
örper. Dann ist
6 d.h.
die
mit
der
Addition
und
Multiplikation
kompatibel ist,
ist,
dann
nennt
man
f einen
örperhomomorphismus
. d.h.
Ist f bijektiv, so nennt
man
f :K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K, örper isomorph.
ff(x
+
y)
=
f
(x)
+
f
(y)
;
und
f
(x
·
y)
=
f
(x)
·
f
(y)
K
L
K
L
'
Z
!
K
(x + y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
Man schreibt (K, +K , ·KK) ⇠
= (L, +L , ·L ).
n
7 !(L,n+· 1K
:=
1K +
6 . . . + 1K
dann
nennt
man
f
einen
K
örperhomomorphismus
(Handelt
es
sich
bei
(K,
+
,
·
)
und
,
·
)
um
Ringe,
man f einen Ringhomo|
}
K
K
L
L
dann nennt man f einen Körperhomomorphismus6..{z nennt
n mal
Ist
ff K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K
örper
isomorph.
morphismus.)
Ist ff bijektiv,
bijektiv, so
so nennt
nennt man
man
K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K
örper
isomorph.
⇠
Man
schreibt
(K,
+
(L,
+
=
K ,,··K ))p
L ,,··L ).
⇠
ein
Ringhomomorphismus.
Man
schreibt
(K,
+
(L,
+
=
K Q[
K
L sind
L ). Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Beispiel
3.10.
Q
⇢
2]
⇢
R
(Handelt es sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe, nennt man f einen Ringhomo(Handelt
es
sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe, nennt man f einen RinghomoK
örperhomomorphismen.
Beweis.
Übungsaufgabe.
morphismus.)
morphismus.)
p
Lemma
3.11.
Sei
K
ein
K2]
örper.
Dann
ist
p
Beispiel
3.10.
Q
⇢
Q[
⇢
R
sind
Unterkörper und die
jeweiligen
Inklusionen sind
6
⇤
⇤
Beispiel
Q ⇢müssen
Q[ 2]
Unterk
örper
Inklusionen sind
Anders 3.10.
ausgedrückt
f :⇢
(K,R
+Ksind
) ! (L,
+L ) und
f |K ⇤und
: (K die
, ·K )jeweiligen
! (L , ·L ) GruppenhomomorKphismen
örperhomomorphismen.
':Z ! K
sein.
Körperhomomorphismen.
n Dann
7 ! nist· 1K := 1K + . . . + 1K
Lemma 3.11. Sei K ein Körper.
|
{z
}
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
n mal
':Z ! K
3.2. Körper
':Z ! K
Wenn man 0 und 1 als die logischen Werte ‘falsch’ und ‘wahr’ interpretiert, entsprechen die
3.2
Unterk
örper
und
Definition
3.9.
Seien
(K,
+den
,K
·Klogischen
)örperhomomorphismen
und (L,Operationen
+L , ·L ) Körper,
und f und
:und
K!
L(‘und’).
eine Abbildung,
Operationen
+ und
und
gerade
den
logischen
Operationen
(‘xor’)
K
˙˙ (‘xor’)
Operationen
+
·· gerade
__
^^ (‘und’).
die mitwie
derbei
Addition
undadaptiert
Multiplikation
kompatibel
ist, d.h.
Genau
Gruppen
man die
Begri↵e Untermenge
und Abbildung derart, dass
3.2. Unterkörper
und
Körperhomomorphismen
sie
der
zusätzlichen
Kund
örper-Struktur
kompatibel
sind, um damit Beziehungen zwischen
3.2mit Unterk
Unterk
örper
und
K
örperhomomorphismen
3.2
örper
K
örperhomomorphismen
f (x +K y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
Körpern formulieren zu können.
6
Genau
wie bei
bei
Gruppen
adaptiert
man die
die Begri↵e
Begri↵e Untermenge
Untermenge
und Abbildung
Abbildung derart,
derart, dass
dass
Genau
wie
Gruppen
man
und
dann nennt
man
f einenadaptiert
Körperhomomorphismus
.
Definition
3.8.
Sei L ✓K
K
eine Teilmenge
eines Körpers
(K,
+,
·), soBeziehungen
dass (L, +) ✓
(K, +)
sie
mit
der
zus
ätzlichen
örper-Struktur
kompatibel
sind,
um
damit
zwischen
sie
mit
der
zus
ätzlichen
K
örper-Struktur
kompatibel
sind,
um
damit
Beziehungen
zwischen
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
und
(L \formulieren
{0}, ·) ✓ (K
\kk{0},
·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
K
örpern
zu
önnen.
⇠
K
örpern
formulieren
zu
önnen.
Man schreibt (K, +K , ·K ) = (L, +L , ·L ).
nennt ihn einen Unterk
örper von K.
(Handelt es sich Sei
bei (K, +
, ·K ) Teilmenge
und (L, + , ·L ) um
Ringe, nennt
man dass
f einen +)
RinghomoDefinition
Definition 3.8.
3.8. Sei LL ✓
✓K
KK eine
eine TeilmengeLeines
eines K
Körpers
örpers (K,
(K,+,
+,·),
·), so
so dass (L,
(L, +) ✓
✓ (K,
(K,+)
+)
morphismus.)
Definition
3.9. Seien
(K, +K·), ·Untergruppen
·L ) Kso
örper,
und+,f·): K
! Lein
eineKörper,
Abbildung,
K ) und (L, +L ,sind,
und
ist
(L,
selber
man
und (L
(L \\ {0},
{0},·)·) ✓
✓ (K
(K \\ {0},
{0},
·)
Untergruppen
sind,
so
ist
(L,
+,
·)
selber
ein
K
örper,
man
p
die
mitihn
dereinen
Addition
undörper
Multiplikation
kompatibel ist, d.h.
nennt
Unterk
von
K.
nennt
ihn
einen
Unterk
örper
von
K.
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper Ringe
und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
fSeien
(x +K
y)+
=K f,,·(x)
+
(y)
;+und
f))(x
·örper,
f (x)
·:LK
f (y)
,L eine
L f(L,
K y) =
Definition
(K,
)
und
+
,
·
K
örper,
und
f
:
!
L
K
L
L
Definition 3.9.
3.9. Seien
(K,
+
·
)
und
(L,
,
·
K
und
f
K
!
eine Abbildung,
Abbildung,
K K
L L
die
mit
der
Addition
Multiplikation
kompatibel
Lemma
3.11.
Sei
Kund
einK
K
örper. Dann ist
6 d.h.
die
mit
der
Addition
und
Multiplikation
kompatibel ist,
ist,
dann
nennt
man
f einen
örperhomomorphismus
. d.h.
Ist f bijektiv, so nennt
man
f :K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K, örper isomorph.
ff(x
+
y)
=
f
(x)
+
f
(y)
;
und
f
(x
·
y)
=
f
(x)
·
f
(y)
K
L
K
L
'
Z
!
K
(x + y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
Man schreibt (K, +K , ·KK) ⇠
= (L, +L , ·L ).
n
7 !(L,n+· 1K
:=
1K +
. + nennt
1K
6 . .Ringhomomorphismus
dann
nennt
man
f
einen
K
örperhomomorphismus
6.{z
(Handelt
es
sich
bei
(K,
+
,
·
)
und
,
·
)
um
Ringe,
man f einen Ringhomo|
}
K
K
L
L
dann nennt man f einen Körperhomomorphismus .
Ringe
n mal
Ist
f
bijektiv,
so
nennt
man
f
K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K
örper
isomorph.
morphismus.)
Ist f bijektiv, so nennt man
f
K
örperisomorphismus,
und
die
beiden
K
örper
isomorph.
⇠
Man
schreibt
(K,
+
(L,
+
=
K ,,··K ))p
L ,,··L ).
⇠
ein
Ringhomomorphismus.
Man
schreibt
(K,
+
(L,
+
=
Ringisomorphismus
K Q[
K
L sind
L ). Unterk
Beispiel
3.10.
Q
⇢
2]
⇢
R
und die
jeweiligen
Inklusionen
sind
(Handelt es sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) örper
um Ringe,
nennt
man f einen
Ringhomo(Handelt
es
sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe, nennt man f einen RinghomoK
örperhomomorphismen.
Beweis.
Übungsaufgabe.
morphismus.)
morphismus.)
p
Lemma
3.11.
Sei
K
ein
K2]
örper.
Dann
ist
p
Beispiel
3.10.
Q
⇢
Q[
⇢
R
sind
Unterkörper und die
jeweiligen
Inklusionen sind
6
⇤
⇤
Beispiel
Q ⇢müssen
Q[ 2]
Unterk
örper
Inklusionen sind
Anders 3.10.
ausgedrückt
f :⇢
(K,R
+Ksind
) ! (L,
+L ) und
f |K ⇤und
: (K die
, ·K )jeweiligen
! (L , ·L ) GruppenhomomorKphismen
örperhomomorphismen.
':Z ! K
sein.
Körperhomomorphismen.
n Dann
7 ! nist· 1K := 1K + . . . + 1K
Lemma 3.11. Sei K ein Körper.
|
{z
}
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
n mal
':Z ! K
3.2. Körper
':Z ! K
p
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
':Z ! K
n 7 ! n · 1K := 1K + . . . + 1K
|
{z
}
n mal
ein Ringhomomorphismus.
Beweis. Übungsaufgabe.
Anders ausgedrückt müssen f : (K, +K ) ! (L, +L ) und f |K ⇤ : (K ⇤ , ·K ) ! (L⇤ , ·L ) Gruppenhomomorphismen sein.
6
3.2. Körper
p
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
':Z ! K
n 7 ! n · 1K := 1K + . . . + 1K
|
{z
}
n mal
ein Ringhomomorphismus.
22
Beweis. Übungsaufgabe.
3.3 Die komplexen Zahlen
6
⇤
⇤ : ist
Anders ausgedr
ückt
müssen
f : (K, +K ) !eines
(L, +LK
) örpers
und f |KK
(K ⇤definiert
, ·K ) ! (Lals
, ·L ) GruppenhomomorDefinition
3.12.
Die
Characteristik
phismen sein.
⇢
0,
n · 1K 6= 0 8 n 2 N
char(K) :=
.
min{n 2 N | n · 1K = 0} , sonst
Proposition 3.13.
(1) Die Charakteristik p
eines Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl.
(2) char(Q) = char(Q[ 2]) = char(R) = 0
(3) Sei p eine Primzahl. Dann ist char(Fp ) = p.
Beweis. (1) Nehme an, dass char(K) = ab mit a, b 2 N>1 . Da die Abbildung ' ein
Ringhomomorphismus ist, folgt 0 = '(ab) = '(a) ·K '(b). Nach Bemerkung 3.4(3) folgt,
'(a) = 0 oder '(b) = 0. Das ist ein Widerspruch zur Definition der Charakteristik, denn
a, b < char(K).
p
(2) In Q, Q[ 2], R gilt n · 1 = n 6= 0 für alle n 2 N.
(3) In Fp gilt n · [1] = [n]. Das ist gleich 0 = [0] in Fp genau dann wenn n 2 pZ.
3.2. Körper
p
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q[ 2] ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
':Z ! K
n 7 ! n · 1K := 1K + . . . + 1K
|
{z
}
n mal
ein Ringhomomorphismus.
22
Beweis. Übungsaufgabe.
22
3.3 Die komplexen Zahlen
3.3 Die komplexen Zahlen
6
⇤
⇤ : ist
Anders ausgedr
ückt
müssen
f : (K, +K ) !eines
(L, +LK
) örpers
und f |KK
(K ⇤definiert
, ·K ) ! (Lals
, ·L ) GruppenhomomorDefinition
3.12.
Die
Characteristik
phismen sein.
⇢
0,
· 1Kist6=definiert
0 8 n 2 Nals
Definition 3.12. Die Characteristik
eines Körpersn K
char(K) := ⇢
.
min{n 2 N | n · 1K = 0} , sonst
0,
n · 1K 6= 0 8 n 2 N
char(K) :=
.
Proposition 3.13.
min{n 2 N | n · 1K = 0} , sonst
(1) Die Charakteristik p
eines Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl.
Proposition
(2) char(Q) =3.13.
char(Q[ 2]) = char(R) = 0
(1) Sei
Diep Charakteristik
eines ist
Körpers
entweder
0 oder eine Primzahl.
p
(3)
eine Primzahl. Dann
char(Fist
)
=
p.
p
(2) char(Q) = char(Q[ 2]) = char(R) = 0
>1
Beweis.
(1)
Nehme
an,
dass
char(K)
=
ab
mit
a,
b
2
N
. Da die Abbildung ' ein
(3) Sei p eine Primzahl. Dann ist char(Fp ) = p.
Ringhomomorphismus ist, folgt 0 = '(ab) = '(a) ·K '(b). Nach Bemerkung 3.4(3) folgt,
Beweis.
(1) Nehme
an,Das
dass
= ab mit
a, b 2 N>1
. Da
die Abbildung
'(a)
= 0 oder
'(b) = 0.
ist char(K)
ein Widerspruch
zur Definition
der
Charakteristik,
denn' ein
Ringhomomorphismus
ist, folgt 0 = '(ab) = '(a) ·K '(b). Nach Bemerkung 3.4(3) folgt,
a,
b < char(K).
p
'(a)
'(b)
Das
Widerspruch
zur Definition der Charakteristik, denn
(2)
In =
Q,0Q[oder
2], R
gilt=n ·0.1 =
n 6=ist0 ein
für alle
n 2 N.
a, bIn
< Fchar(K).
(3)
n · [1] = [n]. Das ist gleich 0 = [0] in Fp genau dann wenn n 2 pZ.
p giltp
(2) In Q, Q[ 2], R gilt n · 1 = n 6= 0 für alle n 2 N.
3.2. Körper
3.3 Die komplexen Zahlen
Satz 3.14: Die Menge
R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R} mit den Verknüpfungen
(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y)
und
(a, b) · (x, y) = (ax
by, ay + bx)
ist ein Körper.
3.3. Die komplexen Zahlen
3.3 Die komplexen Zahlen
Satz 3.14: Die Menge
R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R} mit den Verknüpfungen
(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y)
und
(a, b) · (x, y) = (ax
by, ay + bx)
ist ein Körper.
Dabei ist:
0 = (0, 0)
1 = (1, 0)
(x, y) = ( x, y)
✓
◆
x
y
1
(x, y) =
, 2
für (x, y) 6= (0, 0)
2
2
2
x +y x +y
3.3. Die komplexen Zahlen
3.3 Die komplexen Zahlen
Satz 3.14: Die Menge
R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R} mit den Verknüpfungen
(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y)
und
(a, b) · (x, y) = (ax
by, ay + bx)
ist ein Körper.
Dabei ist:
0 = (0, 0)
1 = (1, 0)
(x, y) = ( x, y)
✓
◆
x
y
1
(x, y) =
, 2
für (x, y) 6= (0, 0)
2
2
2
x +y x +y
Beweis: Übungsaufgabe!
3.3. Die komplexen Zahlen
Die Abbildung
Er identifiziert
R
x
!
7 !
C
(x, 0)
ist ein injektiver Körperhomomorphismus.
R⇠
= {(x, 0) | x 2 R} ⇢ C als Unterkörper der komplexen Zahlen.
3.3. Die komplexen Zahlen
Die Abbildung
Er identifiziert
R
x
!
7 !
C
(x, 0)
ist ein injektiver Körperhomomorphismus.
R⇠
= {(x, 0) | x 2 R} ⇢ C als Unterkörper der komplexen Zahlen.
Definiert man die imaginäre Einheit
so läßt sich jede komplexe Zahl schreiben als
i := (0, 1)
z = (x, y) = x + i y
3.3. Die komplexen Zahlen
Die Abbildung
Er identifiziert
R
x
!
7 !
C
(x, 0)
ist ein injektiver Körperhomomorphismus.
R⇠
= {(x, 0) | x 2 R} ⇢ C als Unterkörper der komplexen Zahlen.
Definiert man die imaginäre Einheit
so läßt sich jede komplexe Zahl schreiben als
i := (0, 1)
z = (x, y) = x + i y
Realteil:
x = <(z)
Imaginärteil:
y = =(z)
3.3. Die komplexen Zahlen
Die Abbildung
Er identifiziert
R
x
!
7 !
C
(x, 0)
ist ein injektiver Körperhomomorphismus.
R⇠
= {(x, 0) | x 2 R} ⇢ C als Unterkörper der komplexen Zahlen.
Definiert man die imaginäre Einheit
so läßt sich jede komplexe Zahl schreiben als
Es gilt:
i2 =
i := (0, 1)
z = (x, y) = x + i y
Realteil:
x = <(z)
Imaginärteil:
y = =(z)
1
3.3. Die komplexen Zahlen
Definition 3.15. Die Abbildung
C ! C
z = x + iy 7 ! z = x
iy
nennt man die komplexe Konjugation.
Proposition 3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. In
sondere gilt
z + w = z + w , und z w = z w .
Desweiteren gilt
• z=z
• z=z ) z2R⇢C
• <(z) = 12 (z + z), =(z) = 2i1 (z z)
• z z = x2 + y 2 2 R 0 für z = x + iy
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert d
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
3.3. Die komplexen Zahlen
Abbildung 3: Gaußsche Zahlenebene: (a) Real- und Imaginärteil, (b) komplexe Konjugation,
(c) Absolutbetrag und Argument
Definition 3.15. Die Abbildung
Definition 3.15. Die Abbildung
C ! C
z =C
x + iy
7 ! z=x
! C
z = x + iy 7 ! z = x
nennt man die komplexe Konjugation.
iy
(3.1)
iy
nennt man die komplexe Konjugation.
Proposition 3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. In
Proposition
sondere
gilt 3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. Insbesondere gilt
z + w = z + w , und z w = z w .
z + w = z + w , und z w = z w .
Desweiteren
gilt
Desweiteren gilt
•• zz ==zz
•• zz ==zz ))z 2
R⇢
z2
RC
⇢C
1 1
1
•• <(z)
=
(z
+
z),
=(z)
=
(z 1 z) z)
<(z) =
2 2 (z + z), =(z)2i= 2i (z
2
0
•• zzzz==xx
++
y 2y22 R
2
0 z = x + iy
2 R für
für z = x + iy
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
Definition 3.17. Der Absolutbetrag peiner komplexen
Zahl z = x + iy ist definiert d
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
Bemerkung 3.18. Es gilt
• |zw| = |z| |w|
|z| = |x + iy| =
p
zz =
p
x2 + y 2 .
3.3. Die komplexen Zahlen
Abbildung
3: Gaußsche
(c) Absolutbetrag
und Zahlenebene:
Argument (a) Real- und Imaginärteil, (b) komplexe Konjugation,
(c) Absolutbetrag und Argument
Definition 3.15. Die Abbildung
Definition 3.15. Die Abbildung
Definition 3.15. Die Abbildung
C ! C
C ! C
z =C
x + iy
7 ! z=x
! C
z = x + iy 7 ! z = x iy
z = x + iy 7 ! z = x iy
iy
(3.1)
(3.1)
nennt man die komplexe Konjugation.
nennt man die komplexe Konjugation.
nennt man die komplexe Konjugation.
Proposition
3.16.Die
Diekomplexe
komplexe
Konjugation
ist K
ein
Körperisomorphismus
CInsbe! C. In
Proposition 3.16.
Konjugation
ist ein
örperisomorphismus
C ! C.
Proposition
3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. Insbesondere
gilt
sondere gilt
gilt
sondere
z + w z=+
z,+, w
, zund
zww
und
w z=
z. w=. z w .
z z++ww==z +
ww
und
wz =
Desweiterengilt
gilt
Desweiteren
gilt
Desweiteren
=
=zzz
••• zz =
z=
=
)
22
⇢C
CC
••• zz
zz2
RR⇢
=zzz )
)
z
R
⇢
111(z + z), =(z) =1 1 (z
<(z)
=
••• <(z)
=
(z + z), =(z) = 2i
(z 1 (z
z)z) z)
<(z) =
222 (z + z), =(z)2i=
zzz ==xx222++yy2 2222RR0 0für
f0ürz z==x2ix
••• zz
++
iy
z = x + y 2 R für z =
x iy
+ iy
Beweis.
Beweis. Das
Dasrechnet
rechnetman
manleicht
leichtnach.
nach.
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition
komplexen
Zahl
z =z x=+xiy+ist
durch
Definition 3.17.
3.17.Der
DerAbsolutbetrag
Absolutbetrageiner
einer
komplexen
Zahl
iy definiert
ist definiert
durch
Definition 3.17. Der Absolutbetrag peiner
Zahl z = x + iy ist definiert d
pp
p komplexen
|z||z|==|x|x
++
iy|iy|
= = zzzz
= = x2 x
+2 y+2 .y 2 .
p
p
Bemerkung
Bemerkung 3.18.
3.18.Es
Esgilt
gilt
• |zw| = |z| |w|
|z| = |x + iy| =
zz =
x2 + y 2 .
3.3. Die komplexen Zahlen
Abbildung
3: Gaußsche
(c) Absolutbetrag
und Zahlenebene:
Argument (a) Real- und Imaginärteil, (b) komplexe Konjugation,
(c) Absolutbetrag und Argument
Definition 3.15. Die Abbildung
Definition 3.15. Die Abbildung
Definition 3.15. Die Abbildung
C ! C
C ! C
z =C
x + iy
7 ! z=x
! C
z = x + iy 7 ! z = x iy
z = x + iy 7 ! z = x iy
iy
(3.1)
(3.1)
nennt man die komplexe Konjugation.
nennt man die komplexe Konjugation.
nennt man die komplexe Konjugation.
Proposition
3.16.Die
Diekomplexe
komplexe
Konjugation
ist K
ein
Körperisomorphismus
CInsbe! C. In
Proposition 3.16.
Konjugation
ist ein
örperisomorphismus
C ! C.
Proposition
3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. Insbesondere
gilt
sondere gilt
gilt
sondere
z + w z=+
z,+, w
, zund
zww
und
w z=
z. w=. z w .
z z++ww==z +
ww
und
wz =
Desweiterengilt
gilt
Desweiteren
gilt
Desweiteren
=
=zzz
••• zz =
z=
=
)
22
⇢C
CC
••• zz
zz2
RR⇢
=zzz )
)
z
R
⇢
111(z + z), =(z) =1 1 (z
<(z)
=
••• <(z)
=
(z + z), =(z) = 2i
(z 1 (z
z)z) z)
<(z) =
222 (z + z), =(z)2i=
zzz ==xx222++yy2 2222RR0 0für
f0ürz z==x2ix
••• zz
++
iy
z = x + y 2 R für z =
x iy
+ iy
Beweis.
Beweis. Das
Dasrechnet
rechnetman
manleicht
leichtnach.
nach.
Beweis: leichtes Nachrechnen!
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition
komplexen
Zahl
z =z x=+xiy+ist
durch
Definition 3.17.
3.17.Der
DerAbsolutbetrag
Absolutbetrageiner
einer
komplexen
Zahl
iy definiert
ist definiert
durch
Definition 3.17. Der Absolutbetrag peiner
Zahl z = x + iy ist definiert d
pp
p komplexen
|z||z|==|x|x
++
iy|iy|
= = zzzz
= = x2 x
+2 y+2 .y 2 .
p
p
Bemerkung
Bemerkung 3.18.
3.18.Es
Esgilt
gilt
• |zw| = |z| |w|
|z| = |x + iy| =
zz =
x2 + y 2 .
3.3. Die komplexen Zahlen
• <(z) = 2 (z + z), =(z) = 2i (z z)
• z z = x2 + y 2 2 R 0 für z = x + iy
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
Bemerkung 3.18. Es gilt
• |zw| = |z| |w|
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
3.3. Die komplexen Zahlen
• <(z) = (z + z), =(z) = 2i (z z)
Desweiteren22gilt 2
• z z = x + y 2 R 0 für z = x + iy
• z=z
• z =Das
z )
z 2 Rman
⇢ Cleicht nach.
Beweis.
rechnet
• <(z) = 12 (z + z), =(z) = 2i1 (z z)
• z z = x2 + y 2 2 R 0 für z = x + iy
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
Bemerkung
3.18. Der
Es gilt
Definition 3.17.
Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
• |zw| = |z| |w|
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
Bemerkung 3.18. Es gilt
• |zw| = |z| |w|
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
3.3. Die komplexen Zahlen
• <(z) = (z + z), =(z) = 2i (z z)
Desweiteren22gilt 2
• z z = x + y 2 R 0 für z = x + iy
• z=z
• z =Das
z )
z 2 Rman
⇢ Cleicht nach.
Beweis.
rechnet
• <(z) = 12 (z + z), =(z) = 2i1 (z z)
• z z = x2 + y 2 2 R 0 für z = x + iy
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
Bemerkung
3.18. Der
Es gilt
Definition 3.17.
Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
• |zw| = |z| |w|
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
Bemerkung 3.18. Es gilt
• |zw| = |z| |w|
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
Beweis: Auch das rechnet man leicht nach!
3.3. Die komplexen Zahlen