1x1

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Grundlagen der
Theoretischen Informatik
Till Mossakowski
Fakultät für Informatik
Otto-von-Guericke-Universität
Magdeburg
Sommersemester 2015
2
Wir betrachten nun bezüglich Knotenfärbbarkeit Einschränkungen
auf planare Graphen, gradbeschränkte Graphen und planare,
gradbeschränkte Graphen, sowie außenplanare Graphen.
A
B
3
planar-3-colorability =
{hGi | G ist ein 3-knotenfärbbarer, planarer Graph}
Satz: planar-3-colorability ist NP-vollständig.
Beweisskizze:
Planarität kann in polynomieller Zeit getestet werden, eine
gegebene 3-Färbung in polynomieller Zeit verifiziert werden.
Also ist planar-3-colorability in NP.
4
Wir zeigen
3-färbbarkeit
P
planar-3-colorability
Zu gegebenem G konstruieren wir einen planaren Graphen G0 , der
genau dann 3-färbbar ist, wenn G 3-färbbar ist, und zu gegebenem
G in polynomieller Zeit konstruiert werden kann.
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Wir betrachten eine Einbettung von G, die alle Knoten auf
unterschiedliche Punkte auf dem Einheitskreis abbildet und alle
Kanten geradlinig, so dass keine drei oder mehr Kanten sich in
einem Punkt schneiden.
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Crossover Gadget mit Portalknoten x, x0 , y und y0 (links)
und seine Symboldarstellung (rechts):
x
x
y0
y
y0
y
x0
x0
7
x
x
y0
y
x0
y0
y
x0
In jeder 3-Färbung des Crossover Gadgets haben sowohl x und x0
als auch y und y0 jeweils die gleiche Farbe. Dabei können x und y
alle 9 Farbkombinationen annehmen.
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Jede Kreuzung in der Einbettung von G wird durch ein Crossover
Gadget ersetzt, entlang der Einbettung einer Kante benachbarte
Portalknoten werden zu einem Knoten verschmolzen. Ferner wird
bei jeder nicht kreuzungsfrei eingebetteten Kante einer der beiden
Endknoten der Kante mit dem benachbarten Portalknoten auf der
Kante verschmolzen.
u
v
u
Der resultierende planare Graph ist G0 .
v
9
Lemma: G ist genau dann 3-färbbar, wenn G0 3-färbbar ist.
Beweisskizze:
Eine 3-Färbung c von G0 liefert eine 3-Färbung von G und
umgekehrt, denn die Crossover Gadgets entlang einer Kante
propagieren die Farbe des verschmolzenen Endknotens zu dem zum
nicht verschmolzenen Endknoten benachbarten Portalknoten.
u
v
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Definition:
Ein Graph heißt außenplanar, wenn er so kreuzungsfrei in die
Ebene eingebettet werden kann, dass alle Knoten auf dem Rand
des äußeren unbeschränkten Gebietes liegen.
outerplanar-3-colorability =
{hGi | G ist ein 3-knotenfärbbarer, außenplanarer Graph}
Satz:
outerplanar-3-colorability ist in P.
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Im Folgenden bezeichne ∆(G) den maximalen Grad eines Knotens
in einem Graphen G.
Satz: [Brooks]
Ein Graph G, der weder vollständig noch ein Kreis ungerader Länge
ist, ist ∆(G)-knotenfärbbar, d.h.
χ0 (G)
≤
∆(G)
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degree-restricted-3-colorability = {hG, `i | G ist ein
Graph mit maximalem Knotengrad ` und G ist mit 3 Farben
knotenfärbbar}
Satz: degree-restricted-3-colorability ist NP-vollständig.
Beweisskizze:
Der maximale Knotengrad kann in polynomieller Zeit getestet
werden, eine gegebene 3-Färbung in polynomieller Zeit verifiziert
werden. Also ist degree-restricted-3-colorability in NP.
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Wir zeigen
3-färbbarkeit
P
degree-restricted-3-colorability
Zu gegebenem G konstruieren wir einen Graphen G0 mit
maximalem Knotengrad ` = 4, der genau dann 3-färbbar ist, wenn
G 3-färbbar ist, und zu gegebenem G in polynomieller Zeit
konstruiert werden kann.
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Gradreduktionsgadget mit 3 Portalknoten:
2
1
2
3
1
Das Gadget hat Maximalgrad 4. Bei allen 3-Färbungen des
Gadgets haben alle Portalknoten die gleiche Farbe.
3
15
Ein Gadget mit k Portalknoten lässt sich durch Kombination von
k − 2 Kopien des Gadget mit 3 Portalknoten erzeugen:
2
1
3
4
5
16
Jeden Knoten v in G mit Grad d > 4 ersetzen wir durch ein Gadget
mit d Portalknoten, die d inzidenten Kanten verbinden wir dabei
mit unterschiedlichen Portalknoten. Der resultierende Graph G0 hat
Maximalgrad höchstens 4.
Lemma: G ist genau dann 3-färbbar, wenn G0 3-färbbar ist.
Beweisskizze:
Da stets alle Portalknoten eines Gadgets bei einer 3-Färbung die
gleiche Farbe haben, liefert eine 3-Färbung von G0 eine 3-Färbung
von G und umgekehrt.
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degree-4-restricted-planar-3-colorability = {hGi | G ist
ein mit 3 Farben knotenfärbbarer, planarer Graph, dessen Knoten
maximal Grad 4 haben}
Satz: degree-4-restricted-planar-3-colorability ist
NP-vollständig.
Beweisskizze:
Zunächst wird Planarität forciert, dann der Grad reduziert.
Letzteres ist möglich, ohne die Planarität zu zerstören, da die
Gradreduktionsgadgets selbst planar sind und eine passende
Zuordnung der Portalknoten aus einer Einbettung abgeleitet
werden kann.
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Eine Färbung der Kanten eines Graphen G heißt zulässig, falls für
jeden Knoten alle zu ihm inzidenten Kanten verschiedene Farben
haben.
Ein Graph ist k-kantenfärbbar, falls es eine zulässige
Kantenfärbung mit k Farben gibt.
Das kleinste k, für das es eine zulässige Kantenfärbung von G mit
k Farben gibt, heißt der chromatische Index von G und wird mit
χ1 (G) bezeichnet.
kantenfärbbarkeit = {hG, ki | G ist k-kantenfärbbar}
Satz: [Vizing] Sei G ein einfacher Graph. Dann gilt
χ1 (G) ∈ {∆(G), ∆(G) + 1}
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Satz: [Holyer] kantenfärbbarkeit ist NP-vollständig.
Zum Beweis des obigen Satzes zeigt man
Lemma: 3-sat P kantenfärbbarkeit.
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Starke NP-Vollständigkeit
Zur Erinnerung: Beim Problem partition sind a1 , a2 , . . . , an ∈ N
gegeben und es ist zu entscheiden, ob es I ⊆ {1, 2, . . . , n} gibt,
so dass
∑ ai = ∑ ai
i∈I
i6∈I
partition =
{bin(a1 )# · · · #bin(an ) | ∃ I ⊆ {1, 2, . . . , n} so dass
∑ ai = ∑ ai }
i∈I
i6∈I
21
n
H=
1
2
∑ aj
j=1
B(i) = {b ≤ H | ∃ Ii ⊆ {1, 2, . . . , i} so dass
∑ aj = b}
j∈Ii
1
2
3
4
5
6
B(0) ← {0}
for i ← 1 to n
do B(i) ← B(i − 1)
for j ← ai , ai + 1, ai + 2, . . . , H
do if (j − ai ∈ B(i − 1))
then B(i) ← B(i) ∪ {j}
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Die Laufzeit des Algorithmus ist polynomiell in n und H,
aber nicht polynomiell in der Länge der Eingabe, in der die
ganzzahligen Größen binär dargestellt sind!
Algorithmen für Probleme, die Zahlen beinhalten, nennen wir
pseudopolynomiell, wenn ihre Laufzeit bei unärer Kodierung der
Zahlen in der Eingabe polynomiell ist.
Für n ∈ N0 bezeichne un(n) die unäre Kodierung von n.
unary-partition =
{un(a1 )# · · · #un(an ) | ∃ I ⊆ {1, 2, . . . , n} so dass
∑ ai = ∑ ai }
i∈I
unary-partition ∈ P
i6∈I
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Definition:
Ein Entscheidungsproblem heißt stark NP-vollständig, wenn es
auch dann noch NP-vollständig ist, wenn wir nur Probleminstanzen
betrachten, in denen die Größe der vorkommenden Zahlen
polynomiell in der Länge der Eingabe ist.
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Beispiele für stark NP-vollständige Probleme:
• sat
• 3-sat
• nae-3-sat
• vertex-cover
• hamilton-kreis
• knotenfärbbarkeit
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Parametrisierte Komplexität
O(nk )
O(22k · n)
Definition:
Eine Parametrisierung der Wörter über einem Alphabet Σ ist eine
in polynomieller Zeit berechenbare Abbildung κ : Σ∗ → N.
Definition:
Ein parametrisiertes Problem ist gegeben durch eine Sprache
L ⊆ Σ∗ und eine Parametrisierung κ : Σ∗ → N.
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3-cnf = {hφ i | φ ist eine Boolesche Formel in konjunktiver
Normalform, in der alle Klauseln aus drei Literalen
bestehen}
3-sat
⊆
3-cnf
⊆
Σ∗


 k falls x = hφ i ∈ 3-cnf und in φ
kommen k Variablen vor
κ(x) =

 1 sonst
(3-sat, κ)
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Fixed-Parameter Tractability
Definition:
Ein parametrisiertes Problem (L, κ) ist festparameterhandhabbar
(fixed-parameter tractable), falls es einen Algorithmus A, ein
Polynom p(n) und eine berechenbare Funktion f (n) gibt, so dass A
für alle x ∈ Σ∗ in Zeit
f (κ(x)) · p(|x|)
entscheidet, ob x ∈ L.
Satz:
(3-sat, κ) ist festparameterhandhabbar.
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Beweisskizze:
Für jede der 2k möglichen Belegungen der k Variablen können wir
jeweils in Linearzeit testen, ob die Formel bei der Belegung erfüllt
ist.
X1 = 0
X1 = 1
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knotenfärbbarkeit
(
κ(x) =
⊆
Σ∗
k falls x = hG, ki
1 sonst
Satz:
Falls P 6= NP, so ist das parametrisierte Problem
(knotenfärbbarkeit, κ) nicht festparameterhandhabbar.