Beispiel 1: Beispiel 2:

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik)
Blatt 6 (Austeilung am: 31.08.11, Abgabe am 07.09.11)
Beispiel 1:
Drehmoment und Drehimpuls [3 Punkte]
Ein Teilchen mit Einheitsmasse bewegt sich in einem Kraftfeld, welches gegeben sei durch:
¢
¡
¢
¡
F = 32 − 6 i + (12 − 6) j + 6 − 122 k 
(1)
Verwenden Sie zusätzlich die Annahme, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt  = 0 im Ursprung
befinden soll und die folgende Anfangsgeschwindigkeit hat:
v0 = v( = 0) = 4i − 5j + 10k 
(2)
Bestimmen Sie zum Zeitpunkt  = 2 Drehmoment und Drehimpuls des Teilchens um den Ursprung.
Lösung
Geht man vom Newtonschen Kraftgesetz aus, so kann man zunächst die Geschwindigkeit und die
Position des Teilchens zum Zeitpunkt  = 2 bestimmen. Mit  = 1 bekommt man
⎛
¢¯=2 ⎞ ⎛
¡
⎞
4 + 3 − 32 ¯=0
0
¡
¢¯ ⎟
⎜
v ( = 2) = ⎝ −5 + 62 − 6 ¯=2
(3)
⎠=⎝ 7 ⎠ 
=0
¢¯
¡ 2
=2
3
−10
¯
10 + 3 − 4 =0
⎛ ¡
¢¯=2 ⎞ ⎛ ⎞
4 + 14 4 − 3 ¯=0
4
¢¯=2 ⎟
⎜¡
3
2
⎝
⎠ 
¯
−6
(4)
r ( = 2) = ⎝ −5 + 2 − 3 =0 ⎠ =
¡
¢¯
=2
3
4
12
¯
10 +  −  =0
Hieraus bekommt man für Drehmoment und Drehimpuls schließlich:
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
4
0
0
N = r × F = ⎝−6⎠ × ⎝ 18 ⎠ = ⎝144⎠ 
12
−36
72
⎛
⎞
−24
L = r × v = ⎝ 40 ⎠ 
28
(5)
(6)
Beispiel 2:
Zweidimensionaler harmonischer Oszillator und konservative Kräfte [4 Punkte]
Ein Teilchen der Masse  bewege sich frei in der --Ebene unter dem Einfluss des Kraftfeldes
F = −2 r 
(7)
(a) Weisen Sie nach, dass sich das Teilchen entlang einer Ellipse um den Ursprung bewegt gemäß
µ
¶
 cos 
r () =

(8)
 sin 
(b) Zeigen Sie, dass das Kraftfeld konservativ ist. Geben Sie einen expliziten Ausdruck für die
resultierende potentielle Energie an.
(c) Berechnen Sie die Arbeit, die das Kraftfeld zwischen den Zeitpunkten  = 0 und  =
Teilchen verrichtet.

2
am
(d) Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Teilchens und vergewissern Sie sich, dass diese zeitlich
konstant ist.
1
Lösung:
(a) Unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes findet man für die Teilchenbahn
µ
¶
d2 r
− 2  cos 
 2 =
= − 2 r = F (r) 
− 2  sin 
d
(9)
(b) Man kann weiter zeigen, dass das Kraftfeld konservativ ist, indem man zunächst seine Rotation
ausrechnet:
∇ × F = − 2 ∇ × r = 0 
(10)
Demnach muss es eine potentielle Energie  (r) geben mit
F = −∇ 
(11)
Durch direkte Integration kommt man - bis auf Konstanten - auf den folgenden Ausdruck für
die potentielle Energie:
¡
¢ 1
1
 (r) =  2 2 +  2 =  2 2 
(12)
2
2
(c) Für die potentielle Energie zu den Zeiten  = 0 and  =

2
gilt
1
 ( = 0) =  2 2 
2

1
 ( =
) = 2 2 
2
2
(13)
(14)
Somit ist die Arbeit, die durch Bewegung des Teilchens in diesem Zeitintervall verrichtet wird
 ( = 0) −  ( =
¡
¢
1

) =  2 2 − 2 
2
2
(15)
(d) Um die Energieerhaltung zu demonstrieren, berechnet man zunächst die kinetische Energie an
jedem Punkt der Trajektorie,
µ ¶2
¢
dr
1 ¡
1
=  2  2 sin2  + 2  2 cos2  
 = 
2
d
2
(16)
Wie bereits gezeigt wurde, ist die potentielle Energie an jedem Punkt der Bahnkurve
¡
¢
1
1
 = 2 2 =  2 2 cos2  + 2 sin2  
2
2
(17)
Addiert man die beiden Beiträge, so ergibt sich
¡
¢
1
 =  +  =  2 2 + 2 
2
als Konstante in der Zeit, wie erwartet.
2
(18)
Beispiel 3:
Rakete [3 Punkte]
Eine Rakete hebe in senkrechter Richtung vom Boden ab und befinde sich unter dem Einfluss konstanter Gravitationskraft −. Die Anfangsmasse des Flugkörpers sei  (0) = 0 beim Start. Von
der Rakete aus betrachtet werde Gas mit einer konstanten Geschwindigkeit 0 und konstanter Rate
 = − ausgestoßen. Das Kräftegleichgewicht führt zu der folgenden Differentialgleichung
()
()
()
+ 0
=


für die Rakete, wobei  für die gesamte äußere Kraft stehen soll.
(a) Was ist die Bedingung für ein unmittelbares Abheben der Rakete (Beschleunigung ungleich Null
bei  = 0) in Abhängigkeit der Entweichgeschwindigkeit des Gases 0 und der Anfangsmasse 0 .
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Rakete () als Funktion der Zeit.
Lösung:
(a) Die Bedingung für ein unmittelbares Abheben der Rakete kann geschrieben werden als
0 =
( = 0)
0

Mit  = − bei  = 0 bekommt man aus der Differentialgleichung
0 0 − 0 = −0 
and somit
0 = 
0
− 0
0
=⇒

0 

0
(b) Die Differentialgleichungen
() = 0 − 


− 0 =  = −

können umgeschrieben werden zu
()
0 
= − +


0 − 
Nach Integration dieser Gleichung bekommt man
 = − − 0 ln (0 − ) +  
Mit Hilfe der Anfangsbedingung ( = 0) = 0 bestimmt man die Integrationskonstante zu
 = 0 log 0 
Hiermit ergibt als abschließende Lösung für die Raketengeschwindigkeit:
¶
µ
0

 = − + 0 ln
0 − 
3
Beispiel 4:
Periodische Bewegung [4 Punkte]
Ein Teilchen der Masse  bewege sich entlang der -Achse unter dem Einfluss eines konservativen
Kraftfeldes mit Potential  (). Das Teilchen befinde sich zu den Zeiten 1 und 2 an den Orten 1
and 2 und  bezeichne die Gesamtenergie. Zeigen Sie, dass
r Z 2

d
p

(19)
2 − 1 =
2 1
 −  ()
Zeigen Sie weiter, dass wenn das Kraftfeld durch das Potential eines harmonischen Oszillators
1
 () = 2
(20)
2
gegeben ist und das Teilchen in Ruhe von  =  startet, sich für seine Bewegung die folgende Trajektorie ergibt
p
() =  cos  
(21)
Beschreiben Sie die Bewegung des Teilchens.
Lösung:
Die Energieerhaltung liefert
1
 = ̇2 +  ()
2
(22)
oder
2
( −  ()) 

Zieht man die Quadratwurzel hieraus, bekommt man
r

d
p
d =
2  −  ()
̇2 =
bzw. nach Integration
Z
2
1
d = 2 − 1 =
r

2
Mit dem Potential eines harmonischen Oszillators
Z
2
1
d
p

 −  ()
1
 () = 2
2
und dem Startpunkt 1 =  bekommt man weiter für die Gesamtenergie
1
 = 2 
2
Dies führt auf das Integral
r Z 

d
p
=
2 
 −  ()
r Z 

d
√
=
2
 
 − 2
r


arccos( )
=


und somit zu
() =  cos
4
p
 
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
Beispiel 5:
Rutschen auf einer Kugel [4 Punkte]
Ein Teilchen der Masse  ruhe auf dem Nordpol einer reibungsfreien, fixierten Kugel mit Radius .
Das Teilchen werde dann leicht gestört, sodass es die Kugel unter dem Einfluss der Gravitationskraft
hinunterrutscht, ohne zu rollen. An welcher Stelle wird das Teilchen die Kugeloberfläche verlassen
und wie hoch wird hier seine Geschwindigkeit sein?
Lösung
Solange die Masse in Kontakt mit der Kugel ist, gilt für die Beschleunigung :
 = −
2
 − ̇ 

 =  ( −  sin ) −  cos  
 =  + 
Betrachtet man die radiale Komponente, so gilt:
−
2
=  −  sin  

Die Geschwindigkeit kann durch die Energieerhaltung zum Ort in Beziehung gebracht werden. Die
Gesamtenergie des Teilchens am Nordpol ist
 () =  () +  () =  + 0 
P bezeichne den Punkt von Interesse - hier beträgt die Gesamtenergie des Teilchens:
1
 ( ) +  ( ) =  sin  +  2 
2
Da keine dissipativen Kräfte am Werk sind gilt die Erhaltung der Energie:
 () +  () =  ( ) +  ( ) ⇒ 2 = 2 (1 − sin ) 
5
Setzt man nun  2 in den Ausdruck für die Beschleunigung ein, so erhält man:
−
2
= −2 (1 − sin ) =  −  sin 

⇒  =  (3 sin  − 2) 
Das Teilchen verlässt die Kugeloberfläche sobald  = 0, also
 (3 sin  − 2) = 0 ⇒ sin  =
µ ¶
2
2
⇒  = arcsin

3
3
Für die Geschwindigkeit an diesem Punkt ergibt sich dann
r
µ
¶
2
2
2
=
⇒=
 
 = 2 (1 − sin ) =  = 2 1 −
3
3
3
2
2
6