Eine weit reichende Wohlordnung der naturlichen zahlen

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE LYON
WALTER F ELSCHER
Eine weit reichende Wohlordnung der naturlichen zahlen
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1979, tome 16, fascicule 3-4
p. 47-61.
<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1979__16_3-4_47_0>
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Publications
du
D é p a r t e m e n t de
Mathématiques
Lyon 1 9 7 9 1 . 1 6 - 3 . 4
EINE WEIT REICHENDE WOHLORDNUNG DER NATURLICHEN
ZAHLEN
par
V/alter FELSCHER
Université de TUBINGEN
In diesem Paragraphen soll als Beispiel die Menge
uu
mit einer
Wohlordnung versehen werden, deren Ordinalzahl schon ziemlich weit in der
z w e i t e n Zahlklasse
liegt.
Die hier zu Grüne
liegende
Idee geht sehr anschaulich von dem Versuch aus, die îfenge
U) entlang
d e r Ordinalzahlreihe auf möglichst ökonomische Art durchzuzählen. Man beginnt
n ä m l i c h mit
2
2
, 2*
0, 1 , 2 , 2
2
2
2
(2 )
2 ^
( 2 ^ %
= 2 ^ , 2
= 2
' , ...
;
u n d erhält damit eine Abbildung
0,
V
welche die Ordinalzahl
r e i n e n Zweierpotenzen abbildet. Um die Abbildung
s e t z e n , bietet sich für Nachfolgerzahlen
tion
X
0(x + 1) = 2 ^ ^
x + 1
0
tu auf diese sehr
jenseits von
0) fortzu­
sogleich die rekursive Defini­
an ; es bleibt daher übrig, die Punktion
0 noch für
möglichst viele Limeszahlen zu erklären. Für die erste Limeszahl,
co
selbst,
i s t es notwendig, einen Wert vorzuschreiben, der nicht von der Art jener reinen
Zweierpotenzen ist ; man setzt daher
allgemein
0(CD(I +
X
) ) = 2*^.3,
0(w) = 3,
also auch
sodass man etwa
0(o) ) = 2.3
2
0(<» ) = 2 * ^ . 3
und
3
= 2 .3
e r h ä l t . Diese Zählung der Limeszahlen ist solange möglich, wie die Ungleichung
x
<
+ x)
gilt und damit eine rekursive Definition ermöglicht
m a n die erste Ordinalzahl
x
mit
x = tu(,1 + x ) ,
nämlich
w i e d e r u m nötig, einen neuartigen Wert vorzuschreiben.
0(0) ) = 3
,
; erreicht
so wird es
Man setzt deshalb
und kann damit für die nächstfolgenden Limeszahlen, welche
jener
U n g l e i c h u n g genügen, gemäss dem zuvor angegebenen Verfahren weiterzählen, bis
47
Eine w e i t r e i c h e n d e wohlordnung d e r naturali c h e n zahlen
man zur nächsten Lösung der Gleichung
Verfahren ganz allgemein für Zahlen
bleibt nur übrig , die Funktion
0
x = u>(l + x )
x
mit
gelangt. Da das angegebene
x < u)( 1 + x)
in Kraft bleibt,
für die Lösungen der Gleichung
zu definieren ; das aber sind genau die Ordinalzahlen der Gestalt
x =
+
x
)
<*> (1 + y ) .
Um ihnen Werte zuzuordnen, bedenkt man, dass das vorhandene Verfahren den
Nichtlösungen nur solche natürlichen Zahlen zuordnet, welche
Exponenten
1
tt)
2
0(<*> ) = 3
enthalten ; im Einklang mit
X
2
0(CD (1 + x)) = 2 ^ ^ . 3 .
3
mit dem
definiert man deshalb
Dies ist solange eine rekursive Definition, wie
CD
$,
x < 0) (1 + x )
gilt, sodass nur übrig bleibt, die Funktion
U),
0 für die Lösungen
V
der Gleichung
x =tt)(1 + x ) zu definieren ; das aber sind genau die Ordinal2
2
tt) /
2
zahlen der Gestalt tt) \\ + y ) . Für diese ist der Faktor 3
verfügbar,
2
,
v
2
sodass man definiert
0(CD (1 + x)) = 2
.3 , solange nicht die Gleichung
N
2
x = 0) (1 + xj
gilt.
Nun sind aber ganz allgemein, für jede Ordinalzahl
die Lösungen der Gleichung
u>
u>
v+1
x = tt) (1 + xj
v
t
genau die Ordinalzahlen der Gestalt
,
U
+ y) ; dies legt zunächst für natürliche Zahlen
X
0(0^ (1 + x)) = 2^ \
3^
1 + v
)
nahe, wobei
v
x < CÜ^ (l + x )
ist klar, dass dabei die Beschränkung auf natürliche Zahlen
die Definition
gelten muss. Jedoch
v
gar nicht nötig
ist ; man kann diese Definition daher auch für beliebige Ordinalzahlen
v
Q)
v
v
*
tt)
V
,
V
treffen, sofern dabei nur 1 + v < tt) (1 + x) gilt, was mit v < tt) (1 + x)
gleichbedeutend ist. Wegen dieser Bedingung an v ist also die Funktion
0
v
v
0)
tt)
für alle Zahlen
v
mit
v = tt) ,
also auch
V
1 + v = tt) ,
nicht so zu
definieren ; dies sind aber die einzigen Ausnahmestellen, denn aus
v
folgt erst recht
v < w
u) ,
(1 + x ) .
V
Wegen
<D
v ^ tt) £ OD
v < CD
V
<D
ist aber
T
V
v = <ö
v
gleichbedeutend mit
dass sie die
v = CD ; von dieser Gleichung wurde aber in
«-Zahlen
v
kennzeichnet. ,
Damit ist gesichert, dass die Funktion
welche nicht
für alle
5. bemerkt,
0
für alle Ordinalzahlen
«-Zahlen sind, rekursiv definiert werden kann, sofern sie schon
«-Zahlen unterhalb von
z
48
bekannt ist. Zur Berechnung von
*(«)
s»
Eine w e i t r e i c h e n d e w o h l o r d n u n g d e r n a t u r a l i c h e n zahlen
ttT,
bedenkt man, dass es Zahlen
w
mit
z < <*>
V
0
z
+ )
gibt, denn ist etwa
r
eine
e-Zahl oberhzlb von z,
so gilt
z < r < r + 1 < U )
(1-fz);
wählt
man
w
in dieser Ungleichung minimal, so kann w keine Limeszahl sein, da
w
w
w
f
OU
sonst
0)
(Jü
das Supremum aller
f ü r gewisse solcher
w
f
(V
u>
mit
sodass im zweiten Falle
z
Falle kann man daher
in der Gestalt
w
0(z) = 0 ( y ) 3 * ( )
2
z
#
unterhalb von
w
1
< w
wäre und daher auch
gelten müsste. Mithin gilt
v
z
der
Gleichung
z = <w
^
w = 0
e
definiert. Für
«
0
oder
(1 + z)
(1 + y )
im Besonderen ist die Funktion
#
f
z < CD
w = v + 1,
genügt. In jedem
darstellen, und das ergibt
0 daher für alle Zahlen
jedoch muss man, ähnlich wie es zuvor
0
f ü r tt) der Fall war, einen neuen Wert vorschreiben, der nicht mehr rekursiv
a u s den bisherigen gewonnen wird
; es bietet sich die Definition
0(
€
) = 5
an.
o
Die Wertzuteilung für die weiteren
«-Zahlen geschieht nun im Prinzip nach
derselben Methode, die bisher angewandt wurde, allerdings fehlen bisher die
geeigneten Begriffe um zu sagen, welche
e-Zahl dann etwa den Wert
7
w i r d . Weiter ist es zwar plausibel, dass man nach hinreichend langer
erhalten
Zählarbeit
durch diese Verahren tatsächlich alle natürlichen Zahlen erschöpft, doch fehlen
bisher noch die feineren Werkzeuge zu einer Überlegung darüber, dass tatsächlich
keine
Lücken bleiben und alle möglichen Exponentenfolgen auch vorkommen. Um
diese Fragen systematischer zu behandeln, ist es angebracht, einige Hilfsmittel
bereit zu stellen.
Bereits in 4. wurde erklärt, dass man unter einer Normalfunktion
e i n e auf ganz OED definierte Funktion verstehe, für die aus
N(x) < N(y),
und die für Limeszahlen
x
1
E s folgt aus dem Zermelo sehen Lemma in
x
stetig ist :
2.,
dass dann
x < y
folgt
N(x) = sup (im(N
x ^ N(x)
N
| x)).
für alle
gilt ; der Wertebereich einer Normalfunktion ist daher eine unbeschränkte
Teilklasse von ORD. Aus der Stetigkeit von
tone Folge
o> mit
im(or) c iin(N)
auch
lim <x ein Element von
Umgekehrt ist eine unbeschränkte Teilklasse
49
N folgt weiter, dass für jede mono­
A
von
ORD,
im (N)
welche diese
ist.
Eine Weit r e i c h e n d e wahbr dnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
Abgeschlossenheitseigenschaft
hat, auch Wertebereich einer eindeutid
bestimmten Normalfunktion : da
A
oestimmten Ordnungsisomorphismus
ist
x
Leimes
Limeszahl, so ist
s
wieder zu
ooerhalb aller
A
unbeschränkt ist, gibt es einen eindeutig
N
von ORD auf
< N(z) ] z€x >
gehört, sodass
A ;
N
ist stetig, denn
eine monotone Folge in
Ä,
das kleinste Element von
s
N ( z ) , Z $ X , ist und daher unter
N
als Bild von
deren
A
x
auftreten muss.
Sei nun
x
eine Limeszahl und sei
eine Folge von
r-Iormalfunktionen so, dass aus
zeye
Klasse
Wertebreich
Ist zunächst
~
•
— einer
—
— Normalfunktion»
—
—
—
—
er
A = 0 < im(Hz ) \ z$x >
eine monotone Folge in
wegen der Stetigkeit von
A,
K
folgt
< H jzex >
z
x
so auch in jeder der Mengen
Um eine gegebene Ordinalzahl
b
er mit
ar(z)?im(H ) ,
z
die Zahl
indem man, für
Qf(z) < cr(y)
minimal dafür wählt, dass
sogleich, dass
or monoton ist ; aus
OSyex,
für alle
zeyex
dann ist die
z«y
z«x ;
also auch
durch eine Zahl aus
majorisieren, definiere man rekursiv eine Folge
b < a(o),
;
im(H ) ,
z
lim er e im(H ) ,
z
folgt daraus
z
lim or € A.
im(H ) c im(H )
y —
z
A
zu
def ( e r ) = x,
cr(y) in
im(H )
y
gilt, Induktion lehrt
folgt aber auch
cr(y) eim(H ) c im(H ) , sodass die Folge er von der Stelle z an in im(fl )
y —
Z
8
liegt. Wegen der Stetigkeit von H
folgt daraus lim er e im(H ) , und da
z
z
das für alle
ist also
z^x
gilt,
erhält man
lim er e A
;
wegen
lim er die gesuchte Majorante.
Unter einem Fixpunkt einer Normalfunktion
Ordinalzahl
K
1
= N
b < cr(o) < lim er
x mit
x = N(x).
und definiert, für
x
die Iterierten
; weiter sei noch
N ^ x ) = sup < N ^ x ) l 0«ne<o > erklärt.
Fixpunkt, so folgt aus
versteht man eine
Zur Konstruktion von Fixpunkten setzt man
Oen«U),
für jedes
N
x < N(X)
n
x
n
N
von
N
durch
durch
nicht schon selbst ein
und der Monotonie von
< N ( x ) ] 0«ne<D > eine monotone Folge
50
Ist
N
N,
dass
er ist, und aus der Stetigkeit von ~ H
Line w e i t r e i c h e n d e wohlordnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
| Oeneoo > = lim < N* * I Oeneuj > = lim er
n
1
folgt, dass :;(Lim er) = lim < i:(v {x))
gilt. Dahpr ist dann lim er
der kleinste Fixpunkt
auch
N^x) < y
y
ein Fixpunkt oberhalb von
mit
für alle
n
x < y,
mit
denn aus
Oenea),
tion lehrt, dass die Fixpunkte von
N
1
x,
und zwar sogar
N(x) < N(y) = y
lim Cr ^ y.
also
folgt
Diese Konstruk­
eine unbeschränkte Teilklasse von ORD
bilden ; weiter enthält diese Klasse zu jeder monotonen Folge ihrer Elem^nt^
auch deren Limes, denn wegen der Stetigkeit von
N
ist das Supremum einer
Menge von Fixpunkten wieder ein solcher. Mithin bilden die Fixpunkte von
Ii
den Wertebereich einer Normalfunktion, die man als die (erste) Ableitung II
von
N
bezeichnet. Damit wird es möglich, zu jeder Ordinalzahl
Ableitung
N
von
N
zu erklären, idem man
N
X
Ableitung von
= N
setzt,
x-t-»
als vlip
X*4" 1
definiert, und für Limeszahlen
die Normalfunktion mit dem Wertebreich
die
N
O
N^
x
x
die
Funktion
0 < im(N l z€x >
11^ als
erklärt.
z
Eine Normalfunktion
gilt. Der erste Fixpunkt
O < N^O)
l^(o)
N
heisst nicht trivial, wenn
von
N
gilt. Daher gilt für jedes
N (0) < N (N (0))
ist dann von
x
auch
N (o)
folgt. Daher ist
0
0 < N(0)
verschieden, sodass
0 < N (o),
woraus
kein Fixpunkt von
N ,
sodass
X
X
X
X
X
N (0) <
(0)
gilt. Ist x eine Limeszahl, so ist, für jedes z«x, die
Zahl
N (0) das kleinste Element von im(N ) und die Folge er = < N (o)] zex >
z
z
z
N
x
x + 1
liegt von der Stelle
Mengen
im(íí ) ,
z
folgt aus
im(N )
z
z
v < lim a
Daher liegt
auch
v < N (o)
für ein
und daher auch nicht im Wertebereich von
L ( x ) = N (0)
lim er
im(N ) ,
also
N (o).
z«x,
N
in jeder der
N
sodass
N •
x
v
Andererseits
nicht in
liegt. Daher ist
x
Die Funktion
ist daher stetig, für nicht triviales
Normalfunktion. Ist
von
im(H ) .
z
also auch im Wertebereich der Normalfunktion
d a s kleinste Element von
D
an in
N
L
lim er
mit
also wieder eine
nicht trivial, so existiert daher auch die Ableitung
L ; sie heisst die (erste) Diagonalfunktion von
51
N,
und das Verfahren-
9
Eine weit r e i c h e n d e wohlordnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
welches von
N
zu
D
führt, heisst auch die erste
Diagonalkonstruktion.
&
Man vergrössere die Klasse ORD zu einer Klasse ORD ,
ein weiteres Element - 1 zu ORD
alle
x€0RD,
- « + x = x - 1
hinzufügt
für
Oexeco,
formuliert man den ersten Auflösungssatz
dass
im(N )
und sei
D
die Diagonalfunktion von
f(x) = [b , a j
X
(i)
(ii)
wenn
a
=
x
(iii)
~
1
N
gewiss nicht trivial i s t ) ,
als Ableitung von
auf
L
wie oben defi-
ORD x ORD
b < x,
x
xeim(L),
genau dann, wenn
x€im(D).
f
auf
im(L)
durch
f(N ( O ) ) = [z, - 1J,
z
x
aus
im(N)
liegt, folgt aus
gibt, wobei noch
aber nicht aus
x < N^(o),
y £ x
im(L).
Da
N
dann auch nicht
dass es ein kleinstes
gilt. Dieses
liegt. Folglich gilt
x
y
y
b ^ < x.
y = v +.1 ; definiert
wegen nicht
Es gibt nun eine Darstellung
xeim(L)
gilt
0 < w .
x =
N
y
Weiter liegt
denn sonst folgte aus
w
y
im Bild von
man
b = v,
x
gibt es ein kleinstes
von
K
v+1
4
kann
u
u
w
x
)
= N Au)
v+i
auch
so, dass
w^ < N
N,
so
eindeutigem
nicht in
X
t
x
(
w
X
mit nicht
kann nach Definition von
o
folgt
derart»
a < x.
x
keine Limeszahl sein, es ist aber auch positiv, da
also von
Damit
eine Normalfunktion so,
N
vor. im(H)
CD ^ x.
(ii), (iii) die ersten Bedingungen jedenfalls aus den zweiten
im(D)
im(Ny)
N,
f
so
genau dann, wenn
folgen. Sei nun
x€im(N )
Sei
für
für
gilt
Zum 3eweis definiert man zunächst
im
:
- 1 < x
X
x«im(N) - im(D),
b^ = x
sodass in
- 1 + x = x
nur aus Limeszahlen besteht (sodass
niert. Dann gibt es eine Bi.iektion
dass mit
; man setze fest
indem man
;
im(N
),
v+1
x = N (N
(u) ) = N ( u ) . Mithin
v v+1
v+1
4
(u)
gilt, und wegen der Stetigkeit
keine Limeszahl sein, sodass
u = 0
oder
u = z + 1
gilt.
Man setze
c = 0
x
und definiers
d
X
definiere
im ersten,
durch
w
= c
X
c = N ,(z)
x
v+1
im zweiten Falle
+ d
c
X
; wegen
X
52
X
< w
X
gilt
0 < d
x
; man .
Eine w e i t r e i c h e n d e wohlordnung d e r n a t u r a l i c h e n zahlen
a
:•:
Da
x
nicht in im(M
, )
V +
D a m i t ist
f
- c + (- 1 + d ) .
x
x
liegt, gilt schliesslich
a
bioektiv auf
ORD x ORD
in
e i n kleinstes
k
= 0
< N (w ) = x.
A.
Jv
V
definiert, und ( i ) , ( i i ) , ( i n ) gelten. Zum Nachweis, dass
d i e gewünschte Bijektion ist, genügt es nun, dass
O R D x ORD
* w
Jv,
|
wie folgt. Zu Ordinalzahlen
a < :! ,(k) ; wieder ist
b+ i
k = m + 1 gilt ; man setze
oder
mit
c
u n d definiere
d
a
die Menge
im(N) - im(L)
abbildet. Dazu definiers man eine Abbildung
im(N) - im(L)
k
f
= 0 im ersten,
durch
a = c
a
+ d
a
k
b
f
und
g
a
von
gibt es
keine Limeszahl, sodass
c = N, . (m)
a
b+1
im zweiten Falle
; damit setze man
w
a
= c
a
a
+ (1 + d )
a
und
g(b, a) = N. (w ) .
b a
D a stets
0 <w
gilt, liegt
a
g(b, a)
nicht in
im(L).
Beweis die folgende Beobachtung nützlich sein. Sei
zahlen, sei
p
eine Ordinalzahl nicht in
v o n der man nur weiss, dass sie
p
B
B
Weiter wird beim
eine Menge von Ordinal­
und sei
q
eine Ordinalzahl,
oder der unmittelbare Vorgänger von
p
(sofern es einen solchen Oberhaupt gibt) ist. Dann gilt : eine Ordinalzahl
i s t genau dann maximal in
B
m a x i m a l für die Eigenschaft
für die Eigenschaft
r ^ q
X
gleich
w
xcim(ll) - im(L)
Aus der Definition von
a
X
oder unmittelbarer Vorgänger von
w
r
in
im(ll,
X
ist. Setzt man
r
a
= L\ ,(m)
o+i
in
. )
r ^ a
a
x
a = a ,
X
genau dann maximal für
r < w ,
X
D+J
w e n n es maximal für
c
folgt
X
so ist daher ei:
B
folgt nämlich, dass
x
X
b = b ,
wenn sie in
ist.
Damit sieht man, dass aus
g ( f ( x ) ) = g(b , a ) = x.
r < p,
r
ist. Folglich gilt
c = N „(v)
x
b+1
genau dann, wenn
gilt, und ceide Elempnte sind dann dieselben. Gibt es aber solche
im(i:. .)
o+i
.--ich-:, so gilt ohnehin
jedem Falle ; wegen
c = c =0.
x
a
a = c + d
= c + (- 1 + d )
a
a
x
x
53
Daher gilt
folgt daraus
c = c
x
a
d
in
= - 1 + *
a
x
Eine w e i t r e i c h e n d e wohlordnung d e r natura liehen zahlen
und damit
g(b, a) = N. (c
0
+ ( l + ( - 1 + d ) ) ) *
X
Umgekehrt gilt für Ordinalzahlen
I-ian setze nämlich
xeim(K,
,)
b
gilt. Sonst nämlich wäre
folgte daraus
von
w eim(l\ ,)
a
i
T
wäre. Aus
ergäbe
und wegen
Daraus aber folgte
a
x
a = w
a
a auch
damit
x
a
Fixpunkt von
folgte nun, dass
X
)
b =
a
V
w
N
; wegen
sodass auch
w
Fixpunkt
a
Limeszahl wäre, und das
a
= a.
Als Fixpunkt von
folgte nach Definition von
N, läge
b
c
a
w
daraus
in
a
c
a
= a.
€
w
folgt, dass a gleich
w
= c
x
+ (- 1 + d ) = (c
x
x
Sei nun
oder unmittelbarer Vorgänger
a
ist. Wie zuvor folgt daraus
a
a =
D
und zeige zunächst, dass nicht
a
a
X
d
der Definition von
w
X
= 0
und damit der Widerspruch
c + 1 = c + (1 + d ) =
a
a
a
a
Somit gilt x i m ( N ) - im(N, < ) , und das ergibt
b = b. Aus
b
b+«
x
+ d = c .
a
a
von
+ d ) = N (w ) = x.
D
N (w ) = x = w ,
b a
a
w = c + (1 + d ) = c + d
a
a
a
a
a
im(l>\ , ) ,
b+1
c
und
x = g(b, a) = N (w )
b a
x = IL (w ) = N, (x)
b a
D
K,
b
N (c
X
N
c = c ,
x
a
also auch
d
x
= 1 + d ,
a
und
+ (- 1 + (1 + d )) = c + d = a.
a
a
a
wieder eine nicht triviale Normalfunktion
; in systema­
tischer Schreibweise bezeichne man ihre Diagonalfunktion auch als
Nunmehr definiert man rekursiv für jede positive Ordinalzahl
funktion
N
< X >
,
indem man
N ^ * ^
x
die Normal­
als die erste Diagonalfunktion von
N
< X >
<x>
erklärt und, für eine Limeszahl
im(N
Da
< Z >
i:
),
< X + 1 >
zex,
(0)
folgt aus
x,
noch
definiert. Sei nun
L^
N
über den Durchschnitt der
die Funktion mit
der erste Fixpunkt a der Funktion
0 < a
auch
N
< X >
(o)
= N
< X >
(o)
;
dass
1
L
mit
N
<
< X >
(0).
>
H(y) = N ^ ( 0 )
< N ^ ( 0 )= a = N ^ ^ O ) ,
u
1
1
\
L (x) < L (x + 1)
H
L \ X )=
also
a
stetig ist, sieht man mit derselben Überlegung,
welche die Stetigkeit der Funktion
L
ergab. Daher ist
L^
eine nicht triviale
Normalfunktion. Zur Vereinfachung der Schreibweise werde nun festgesetzt
n
eine natürliche Zahl,
0 < k < n,
und sin
x
n
bezeichne
< x
n
>
x ^
; 0^ ^>
diejenige
54
x , .... x,
noch
k - 1
ist,
Nullen folgen.
x,
: ist
Ordinalzahlen, so
k
n-gliedrige Folge, in der auf
Eine w e i t r e i c h e n d e wohlordnung d e r naturali c h e n zahlen
Sei nun
:i eine natürliche
triviale Normalfunktio:i
(i)
N
Zahl,
1 < n.
Für .jede nicht
sei bereits folgendes geleistet :
für alle positiven
m,
m < n,
und für alle m-gliedrigen Folgen
< *
< x
x >
t . . .
f
x >
4
N
sind die nicht trivialen Normalfunktionen
4
m
B
I
definiert ;
(ii)
für alle positiven
k,
k < n,
ist die k-te Diagonalkonstruktion
definiert ;
(iii)
< X ; 0
n-1
1/
die Funktion
n-1
L " (x) = X
mit
n-2
"
>
(0)
ist eine nicht
triviale Normalfunktion.
<1 ;0
Dann definiert man
von
N
!I
aus
N
>
n
"
als die Ableitung von
heisst die
man für alle n-gliedrigen Folgen
x
x
4
L
; die Bildung
X l
Damit erklärt
von Ordinalzahlen die nicht
<x
n
>
n
'-' V r W l *
: aus N
durch die k-te Diagonalkonstruktion,
N
< X
'Vi'
n
k ^ n,
1
n-te Diagonalkonstruktion»
<x ,..V,
trivialen Normalfunktionen
erhält man N
-
und für eine Limeszahl
x
definiert man
<x
°k-1
>
N
z ; 0
\+r
n
X ;
k-1
>
über den Durchschnitt der Klassen
im(N
" ) für zcx.
Im Besonderen entsteht also aus M = N
durch Anwendung der n-ten
<1;0
>
<x+1;0
>
Diagonalkonstruktion die Funktion
M
"
= N
"
, wobei an
4
4
n
n
Stelle von
L ^ die entsprechende
<y;0
>
<x, y;0
H "" (y) = M
"
(0) = N
"
<x;0 _ >
L (x) = N
( 0 ) , so ist L ( x
1
11
n
n
4
n
n
erste Fixpunkt
^ " ^ O ) < H^U)
n
a
von
-1
H* "
1
n
n
n
n
<
; daraus folgt
n
= a = L (x + 1).
1
Normalfunktion H
mit
>
(0)
tritt. Definiert man L durch
<x+1 ;0
>
+ 1 ) , nämlich N
"
(o),
der
n
L (x) = N
X
;
n
°
n
Daher ist die Funktion
~
(0) =
L
n
strikt
monoton ; dass sie auch stetig ist, sieht man mit derselben Überlegung.
welche die Stetigkeit der Funktion
L
ergab. Mithin ist auch
und die Behauptungen ( i ) , ( i i ) , (iii) sind auch im Falle
55
L
n.+ 1
n
normal,
nachgewiesen.
Eine weit r e i c h e n d e wohlordnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
Für jede positive natürliche Zahl
n
definiert die nicht
<i;0 >
t = N
(o),
die
n
n - 1
triviale Normalfunktion
N
daher Ordinalzahlen
eine monotone Folge bilden ; mit
Weiter bezeichne
8 .
I.
bezeichne man den Limes der
0 < x ,
n
<r , s>
s aus
Auflösungssatz ; Ist
oder
9
N
>T
N
< x^,..., x^, r, s >
oder
s = - 1 .
W
so, dass aus
>T
0 < i ^ n,
r < x,
eine Normalfunktion derart, dass
x^,..., x ^ r
im(N^)
von
nur
im(N) fl 8^
x.< x
für
s < x.
h(x) = < b , a
X
h
h(x) = < x , ..., x,, r, s > folgt
Zum Beweis definiert man
als
mit
Dann besagt der zweite
aus Limeszahlen besteht« so gibt es eine Bijektion
auf
t .
W_. die Menge aller endlichen, wenigstens zweigliedrigen
Folgen der Gestalt
aus
9^
>
mit
h
zunächst auf
f (x) = [b , a ]
X
X
im(N) - i n ^ N ^ ^ ) 0
aus dem ersten Auf lösungssatz ;
X
es ist klar dass dabei zweigliedrige Folgen aus
W
entstehen. Um
einzusehen, dass sämtliche zweigliedrigen Folgen aus
W
so auftreten,
n
genügt es zu zeigen, dass die Umkehrabbildung
g
von
f
die Paare
[b, a]
aus
8 x 8..
auf Werte N, (w ) aus 8__ sendet. Dazu bedenkt man, dass
N N
b a
N
aus z < y auch N (w) £ N (w) für alle Argumente w folgt ; weiter
y
folgt aus ycim(N
) stets y = N ( w ) , sodass y Fixpunkt aller N
<rx
x >
mit z < y ist ; wegen im(N
) C im(N
) folgt also aus
z
7
n < m,
aber
n < m
t < t
n
m
t
n
und
t
m
auch
N
(t ) = t . Zu
t
m
m
n
b < t , a < t ,
n
m
mit
wählen ; wegen
Z
w
^ a + 1
[b, a ] aus
gilt dann auch
N (w ) £ N. (t ) = t < 8 .
n a
t
m
m
N
x 8
N N
findet man
und dabei kann man noch mit
w
a
ergibt
8
Es bleibt also
< t ,
a m
h
auf
und das
1>
i m ( N ^ ) fl 8
N
zu definieren.
< 1 >
Eine Zahl x aus i m ( N )
ist damit Wert wenigstens einer
<x^, • • •,
Funktion N
. Aus x < 8
folgt x < t. für ein passendes i,
<1;0. >
und wegen t. = N
(o)
ist x dann nicht mehr Wert der Funktionen
<x , • • • x ^
N
mit m > i
Somit kann man n maximal dafür wählen, dasa
N
f
#
56
1
Eine w e i t r e i c h e n d e uohlordnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
<x ,...,
Ii
r
x
Wert einer Funktion
X
l
>
ist. Sei
k ^ n
und seien
1
x^,..., x ^
f
so bestimmt, dass für alle k
mit k < k
gilt :
<x^,..., x^, »y^i^-j» • • • $
ist maximal dafür, dass
irgend welchen
y
x
in
im(N
^»•••t y^
gilt
diese Aussage leer. Die Funktion
H
*
)
x^,
mit
; dabei ist im trivialen Fall
mit
H(z) = N
n
K
+
k = n
'
(0)
ist eine Normalfunktion ; aus x < x + 1 ^ H(x + 1) =
<x ..., x
, x + ^ O ^ ^
N
(o)
folgt daher, dass x nicht Bild unter der
n >
k + 1
<x ,...,
N
y
n
Funktionen
wähle
y^_
f . F
k
y ^
mit
minimal für diese Eigenschaft.
<x
. . n"-"
Vi'
(
y
V
— ' i\
sein kann ; man
Aus
.
r
xm\.\
x < y
Vi-
VV^v
A
) £ imU«
)
Definition der zweiten dieser Klassen folgt aber, dass
y
A
und der
dann keine
Iv
Limeszahl sein kann ; man definiere
x^ durch y^ = x^ + 1, sodass
<x ,..., x , y
. . . F
y>
x = N
(w) mit passenden y
. . . y^ w
gilt.
n
k
K
-
}
R
fc
Induktion lehrt daher, dass
x eindeutig eine Folge
diesen Bedingungen bestimmt. Dabei gilt noch
x^ < x
1 f
f
f
x ,... x^
mit
f
für .jedes
x^
f
denn sonst folgte
x £ H(x) £
H(3l)
= h
<x ,...,x
n
also
x = H ( x ) , sodass
malität von
V0; £ N
;0>
(w) = x
k + 1
x€im(N
)
im Widerspruch zur Maxi-
wäre.
<
Mit den so gewonnenen
Mit
f
x^,..., x^
bezeichne man die zu der Normalfunktion
Auflösungssatz bestimmte Bijektion ; mit
Maximalitat von
x
h(x) = < x
x,, r, s > mit
n
1
nun, dass
r = b
r = M (0),
(A )
r = 0,
2
a
x
< x
l
,
= M(0),
•* •
(A_. «)
r = 0,
= ... = x ^ - O r X , ,
57
,
X
1
>
folgt wegen der
gilt. Man definiert nun
r
X
#
nach dem ersten
; tritt einer der F S U e
X
(A^
M
,
n *-
H = N
f(x) = [b^, a^]
b^ < x,
I
setze man
X
='«(0)
Eine weit r e i c h e n d e uohlordnung der n a t u r a l i c h e n zahlen
ein, so setzt man
man
s = a^
s = - 1 + a.^
als Fall
gewünschten Art in
; tritt keiner dieser Fälle ein, so setzt
( З ) . TTONRI t. i st
W„
in
im(N
< 1 >
) П 0__
J
И
wie folgt. Zu
im(M)
die Normalfunktion
auf
ORD x 0 R D
v
П
v >
f
die Bijektion von
aus dem ersten Auflösungssatz. Dann sei
(A^,...,
(A
1
M^(w) = f ( r , 1 + s)
1
M ( w ) = f" (r, s)
im Falle
r
in den Fällen
(в).
Aus diesen Definitionen folgt sogleich, dass
für
x
aus
im(ll
<1:>
W
1
und sei
x^, r, s) = M^(w) mit
),
< x , ..., x., r, s > aus
N
j(x
n + 1
h eine Bijektion ist.
der wenigstens dreigliedrigen Folgen
<X
sei
definiert und liefert Werte der
W... Es bleibt zu zeigen, dass
Dazu definiers man eine Abbildung
aus
h
) П 9
gilt. Umgekehrt sei
>T
x = j(h(x))
С eine folge aus
W ,
>T
С = < x ,..., X , , r, s >
; zum Nach weis von h(j(£)) = С is^ dann zu
n
i
zeigen, dass die Ordinalzahl j(C) unter dem Algorithmus zur Gewinnung
einer maximalen Darstellung von
=
x
wieder die
x ,
n
x.
i
bestimmt. Dazu ist es angebracht, die folgenden Eigenschaften der Funktion
f
1
aus dem ersten Auflösungssatz zu bemerken. Gilt
1
f ( b , a) = g(b, a) = R (w ) = x
о
von
1^
mit
0 < w
а
ist. Hingegen gilt
< x,
0 ^ a,
da
x
so
kein Fixpunkt
а
f ( b , - 1) = M^(o) = x
- 1
mit
0 < x,
da
0 < M(O) ^ M ^ ( 0 ) .
Man zeigt nun zunächst, dass bei gegebenem
und
x =
die Zahl
ist. Denn aus
x
1
< у
x
das maximale
folgte auch
,x
* * * 1^
К = N
w = 0, also
xeim(M
nach Definition von
r = M (o)
r
f
f
у mit xeim(N
<x ....,x , x +1>
xeim(N
f
1
),
f
)
)
j
x = M (o).
sodass der Fall
gälte ; wegen
spruch
r < x
r
Im Falle
x
mit -r £ x.
x = M ( w ) = f ( r , 1 + s)
0 < w.
9
f
mit
<1>
also
x = M (w)
£ = <x^,.., x r s
(A )
1
Andererseits gilt
Im Falle
folgte
vorläge und
0 £ 1 + s
wären Werte unter
58
r = x
ergäbe das den WiderFixpunkte unter
>
Eine w e i t r e i c h e n d e wohlordnung d e r n a t u r a l i c h e n zahlen
sodass aus
K ,
r
Sei nun
0 < k
f
x = M ( o ) = M (w)
x
r
mit
k
1< k ^ n
x,
das maximale
f
xeimU'*
y
y
Gäbe es nämlich ein
k
1
mit
y^^^..., y
x^_ die entsprechende
gilt ;
MaximaleigenschafT
mit x^ < y,
xeimU
) E
imU
<x
•»t
n
I*
folgte,
ist, für das
) mit nässenden
wie folgt sieht man, dass auch
hat.
x = w
gegeben und sei schon für alle
gezeigt, dass
< k
der Widerspruch
i
m
U
) £
) , so folgte mit H = N
<1;0. >
<x;0 >
k-1
„
k-2 , v
= H
nun x = H
(Oj ; andererseits
9
,x +1;0
>
k+1 k
k-1
gilt wegen
4
auch
M = H
x = H
(w). Im Falle
r
X
k-1
X
*
f
0
l
g
t
e
d
a
u
s
x
xcim(H
x^_ ^
-
1
= x,
= ... = x
2
(A^) vorläge ; wegen
0 < w.
Widerspruch
von
r
k
sodass der Fall
wegen
a
Im Falle
) c im(H
vorläge.
folgte
"
)
x^
r = 0
w = 0,
f
ergffbe das den
+ 1< x
f
sodass
ein Widerspruch zur Maximali TAT
- Endlich findet man, dass sich
# , y
f
x = f \r, 1 + s)
< x
x^
= 0
4
x
auch nicht als Wert
>
^m' ••
i
N
mit n < m schreiben lässt«
denn
<1 ;0 >
auch in im(N
) , und dieselbe Überlegung wie soeben
unter einer Funktion
sonst läge
x
n
ergibt dann unter Ausnutzung des Falles
Maximalität von
einen Widerspruch zur
x .
n
Damit ist gezeigt, dass
n
(A , )
n+i
a l s maximal bestimmt, damit dann
x =
x
n
zunächst die natürliche Zahl
und der Reihe nach
x
...
n-i
als maximal. Der Algorithmus der Maximalen Darstellung liefert
also wieder die Normalfunktion
M, die aus
4 f
Bijektion
liefert, die schon in £
aufraten. Dies lehrt
r
und s
über
M
und die zugehörige
h(j(C)) = £ und beendet den Beweis des zweiten
AuslSsungssatzes.
59
4
i
£ zur Definition von j(C)
x
wieder die Zahlen
x
zu
gebildet wurde ; damit ist aber klar, dass
f
f
Eine weit r e i c h e n d e wohlordnung d e r n a t u r a l i c h e n zahlen
nunmehr stehen alle Werkzeuge bereit, um die gesuchte Wohlordnung
cor natürlichen Zahlen auf bequeme Art zu konstruieren. Dazu gehe man aus
von der N-rmalfunktion
F
mit
F(x) = CDO
Limeszahlen sind ; die Ordinalzahl
Ableitungen
9
F (x) = u>
y
D
ist, deren Bilder sämtliche
die Folge der mit
1
(1 + x ) ,
0^.
Die
0
sodass
F
y
gleich der Funktion
P , p^,...
eieren Bilder sämtliche
bezeichne man auch als
F
berechnen sich gemäss
F
+ x),
man eine Abbildung
0(0) = 0 ,
0
von
= 5
0^
in
(
+
0(x) = 2 ^ '
+
3
+
>. <t>^
3
S ;
r
beginnenden Primzahlen, so definiert
CM durch
0(x + 1) =
0(x) = 2* '
€-Zahlen sind. Ist
für Nachfolgerzahlen
'
f
ü
. 3 ^''.5
r
X € i m
( ) - im(D),
F
R
... p
für
x + 1,
h(x) = < r , s>,
xCim(D), h(x) = < x
,..,x^r S>
n
1
9
n
mit
n
als der Bijekticn aus dem zweiten Auflösunssatz. Dies ist eine
rekursive Definition, denn aus
für
0 < i <> n,
r < X,
h(x) = < x
s < x.
x , r, s >
1
Weiter ist
folgt
4
n
0
x. < x
1
in.iektiv, denn
h
ist injektiv
und die Darstellung natürlicher Zahlen als Prinzahlpotenzen ist eindeutig.
Dass
0
sur.iektiv
ist, zeigt man durch Induktion in
u>,
wobei man sowohl
Induktion über die Grösserbeziehung oder Induktion über den Aufbau der
natürlichen Zahlen aus den Exponenten ihrer Primfaktoren verwenden kann.
In der Tat ist
a
0
Bilde unter
so folgt
2
b = 0(z)
ist, so folgt
x = h
1
0,
= 0(x + 1 ) . Gilt in
0 < z,
(- 1 + z, - 1 + y ) .
und gilt in
A
2 3
B
mit
a
2 ,
dass
a = 0(x)
0 < b,
dass
a = 0(y),
und man erhält
A
0(x) = 2 3
T>
ist,
mit
Entsprechend behandelt mant den Fall natürlicher
Zahlen mit einem Primfaktor
p ,
1 <. n,
ebenfalls mit der Surjektivität
<x ,...,x >
n
Die Funktionen
bereits von Vehlen
08
1
F
wurden (in anderer Schreibweise)
zur Aufstellung eines Bezeicnnungssystems für die
60
Eine weit r e i c h e n d e wohlordnung d e r n a t u r a l i c h e n zahlen
Ordinal*ahl^n unterhalb von
8^
eingeführt
; bei Vehlen finden sich auch
zum ersten Male die grundlegenden Tatsachen über Normalfunktionen und ihre
Ableitungen. Die Normalfunktion, die durch die Fixpunkte aller
< 1 ; 0
<x..,...,x >
1
F
(oder, einfacher, aller Funktionen
wird von Veblen als
Schütte hat in
54
5
notiert, und
9
Q
F
n-1
>
)
bestimmt wird,
ist die erste Vehlen'sehe
E-Zahl.
ein erheblich weiter reichendes Bezeichnungssystem für
Ordinalzahlen angegeben und es auf eine Konstruktive Art beschrieben ; Schütte
hat dabei bemerkt, dass durch dieses konstruktive Bezeichnungssystem die
Ordinalzahlen unterhalb von
0^
(bei Schütte
T]^ genannt) bijektiv auf
die natürlichen Zahlen abgebildet werden ; eine Variante dieser Konstruktion
findet sich auch in Schütte
60, § 11 ff. Die dadurch gewonnene Wohlordnung
der natürlichen Zahlen ist dieselbe welche hier betrachtet wurde ; die im
1
Vorangehenden gegebene Darstellung ist jedoch, ähnlich derjenigen V e h l e n s ,
mengentheoretisch und nicht konstruktiv, und sie geht auch nicht von der
Konstruktion eines Bezeichnungssystems sondern von der anschaulichen Suche
nach einer ökonomischen Wohlordnung der natürlichen Zahlen a u s . Das Studium
von Bezeichnungssystem für Ordinalzahlen ist eine wichtiges Werkzeug der
Beweistheorie.
61