Klassischer Ladungstransport - Auf dem Weg zur Nanoelektronik
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Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Klassischer Ladungstransport Auf dem Weg zur Nanoelektronik Faouzi Saidani Universität Freiburg 12. Mai 2010 Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Inhalt Das Drudemodell und seine Grundannahmen Gleichstromleitfähigkeit Halleffekt und Magnetwiderstand Wechselstromleitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit Zusammenfassung Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall übertrage kinetische Gastheorie auf Metalle Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Einleitung betrachte Leiter als Ionenkristall übertrage kinetische Gastheorie auf Metalle Einzelatome eines Metallelements kommen zusammen ⇒ Valenzelektronen spalten sich ab Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar ~ auss = 0 Falls E ⇒ gleichförmige Elektronenbewegung auf einer Geraden Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 1 WW der Elektronen untereinander vernachlässigbar ~ auss = 0 Falls E ⇒ gleichförmige Elektronenbewegung auf einer Geraden ~ auss 6= 0 Falls E ⇒ Bewegung nach newtonscher Bewegungsgleichung Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Annahme 2 Faouzi Saidani Stöße als momentane Ereignisse, ändern Geschwindigkeit des Elektrons aprupt Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit τ =Relaxationszeit=Stoßzeit =Zeit, in der sich ein herausgegriffenes Elektron frei bewegen kann Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 3 Elektronen stoßen mit Wahrscheinlichkeit 1/τ pro Zeiteinheit τ =Relaxationszeit=Stoßzeit =Zeit, in der sich ein herausgegriffenes Elektron frei bewegen kann τ ist von Ort und Geschwindigkeit des Elektrons unabhängig Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 4 Elektronen erreichen das thermodynamische Gleichgewicht ausschließlich durch Stöße Das Drudemodell und seine Grundannahmen Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Annahme 4 Elektronen erreichen das thermodynamische Gleichgewicht ausschließlich durch Stöße Je wärmer die Region, in der ein Stoß stattfindet, desto schneller geht ein Elektron aus dem Stoß hervor Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Drude-Modell sagt I ∝ V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Drude-Modell sagt I ∝ V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Drude-Modell sagt I ∝ V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Drude-Modell sagt I ∝ V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte ~ = ρ~j E Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz I ∝V Drude-Modell sagt I ∝ V voraus und liefert Abschätzung für Größe des Widerstands ρ =spezifischer Widerstand j = I /A Stromdichte ~ = ρ~j E ⇒ R = ρL/A Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: ~j = −ne~v Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: ~j = −ne~v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: ~j = −ne~v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: ~j = −ne~v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ j = σE ; σ = ne 2 τ m Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Das ohmsche Gesetz an jedem Ort im Metall bewegen sich die Elektronen in viele verschiedene Richtungen effektive Stromdichte: ~j = −ne~v ohne äußeres Feld: Elektronen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede(irgendeine) Richtung Leitfähigkeit σ := 1/ρ j = σE ; σ = ⇒τ = m ρne 2 ne 2 τ m Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani elektrische Leitfähigkeit betrachte Elektronenimpuls p(t) und Coulomb-Kraft f (t) Gleichstromleitfähigkeit Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani elektrische Leitfähigkeit betrachte Elektronenimpuls p(t) und Coulomb-Kraft f (t) dp(t) dt = − p(t) τ + f (t) Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E.W. Hall wollte herausfinden, ob Lorentzkraft auf A: den stromführenden Draht oder auf die B: Elektronen wirkt. Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E.W. Hall wollte herausfinden, ob Lorentzkraft auf A: den stromführenden Draht oder auf die B: Elektronen wirkt. Annahme: B, d.h. auf die Elektronen Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani ~ Resultierende Lorentz-Kraft:FL = − ce ~v x H Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani ~ Resultierende Lorentz-Kraft:FL = − ce ~v x H ⇒ Strom in x-Richtung Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani ~ Resultierende Lorentz-Kraft:FL = − ce ~v x H ⇒ Strom in x-Richtung Magnetwiderstand ρ(H) = Ejxx (unabhängig von Ey (H-Feld)) Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani ~ Resultierende Lorentz-Kraft:FL = − ce ~v x H ⇒ Strom in x-Richtung Magnetwiderstand ρ(H) = Ejxx (unabhängig von Ey (H-Feld)) E Hallkoeffizient RH = jx Hy Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands Hallkoeffizient RH = Ey jx H Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Im stationären Zustand: 0 = −eEx − ωc py − pτx p 0 = −eEy − ωc px − τy mit ωc = eH mc Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Im stationären Zustand: 0 = −eEx − ωc py − pτx p 0 = −eEy − ωc px − τy mit ωc = σ0 Ex = ωc τ jy + jx eH mc Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Im stationären Zustand: 0 = −eEx − ωc py − pτx p 0 = −eEy − ωc px − τy mit ωc = σ0 Ex = ωc τ jy + jx σ0 Ey = −ωc τ jx + jy eH mc Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Im stationären Zustand: 0 = −eEx − ωc py − pτx p 0 = −eEy − ωc px − τy mit ωc = σ0 Ex = ωc τ jy + jx σ0 Ey = −ωc τ jx + jy H jx Ey = − ωσc0τ jx = − nec eH mc Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands E Hallkoeffizient RH = jx Hy ~ = −e E ~ + 1 ~v x H ~ F c dP ~ − ~ + P~ x H = −e E dt mc P τ Im stationären Zustand: 0 = −eEx − ωc py − pτx p 0 = −eEy − ωc px − τy mit ωc = σ0 Ex = ωc τ jy + jx σ0 Ey = −ωc τ jx + jy H jx Ey = − ωσc0τ jx = − nec 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec eH mc Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec ist unabhängig von Metall Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec ist unabhängig von Metall hängt von Ladungsträgerkonzentration ab Halleffekt und Magnetwiderstand Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Hallkoeffizient und Berechnung des Magnetwiderstands 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec ist unabhängig von Metall hängt von Ladungsträgerkonzentration ab Abhängig von Magnetfeld und Temperatur Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E ~(t) = Re(E (ω)e −iωt ) Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E ~(t) = Re(E (ω)e −iωt ) j(ω) = σ(ω)E (ω) Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E ~(t) = Re(E (ω)e −iωt ) j(ω) = σ(ω)E (ω) σ(ω) = σ0 1−iωτ Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E ~(t) = Re(E (ω)e −iωt ) j(ω) = σ(ω)E (ω) σ0 1−iωτ ne 2 τ m σ(ω) = σ0 = Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani E ~(t) = Re(E (ω)e −iωt ) j(ω) = σ(ω)E (ω) σ0 1−iωτ ne 2 τ m σ(ω) = σ0 = Gleichung für die Ausbreitung von elektromagnetischer Strahlung in Metall Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge ~ = ω22 (ω)E ~ mit Maxwell-Gleichungen: − 52 E c Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge ~ = ω22 (ω)E ~ mit Maxwell-Gleichungen: − 52 E c mit Dielektrizitätskonstante (ω) = 1 + 4πiσ ω Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge ~ = ω22 (ω)E ~ mit Maxwell-Gleichungen: − 52 E c mit Dielektrizitätskonstante (ω) = 1 + Falls ωτ 1: 4πiσ ω Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge ~ = ω22 (ω)E ~ mit Maxwell-Gleichungen: − 52 E c mit Dielektrizitätskonstante (ω) = 1 + Falls ωτ 1: (ω) = 1 − ωp2 ω2 4πiσ ω Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Berechnung der Plasmaresonanz Annahme: λ > l mit l=mittlere freie Weglänge ~ = ω22 (ω)E ~ mit Maxwell-Gleichungen: − 52 E c mit Dielektrizitätskonstante (ω) = 1 + Falls ωτ 1: (ω) = 1 − ωp2 ω2 mit der Plasmafrequenz ωp : ωp2 = 4πne 2 m 4πiσ ω Wechselstromleitfähigkeit, dielektrische Funktion und Plasmaresonanz Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Widermann-Franzsches Gesetz κ σ ∝T Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Widermann-Franzsches Gesetz κ σ ∝T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Widermann-Franzsches Gesetz κ σ ∝T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit Erklärung durch Drude-Modell Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Widermann-Franzsches Gesetz κ σ ∝T κ Wärmeleitfähigkeit σ el. Leitfähigkeit Erklärung durch Drude-Modell ⇒ Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Betrachte: Metallstab Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes j q = −κ∇T Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Betrachte: Metallstab T-Änderungn entlang des Stabes j q = −κ∇T ⇒ Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe Wärmeleitfähigkeit eines Metalls Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Zusammenfassung Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Die vier Grundannahmen vom Drudemodell 1 Vernachläßigung der Wechselwirkung der Elektronen 2 Stöße als momentane Ereignisse 3 τ =Relaxationszeit=Stoßzeit 4 Rolle der Temperatur Zusammenfassung Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Gleichstromleitfähigkeit Das ohmsche Gesetz I ∝ V Leitfähigkeit σ := 1/ρ ⇒τ = m ρne 2 elektrische Leitfähigkeit dp(t) dt = − p(t) τ + f (t) Zusammenfassung Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Halleffekt und Magnetwiderstand ~ Resultierende Lorentz-Kraft:FL = − ce ~v x H Magnetwiderstand ρ(H) = Ex jx 1 ⇒ Hall-Koeffizient: RH = − nec Zusammenfassung Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Wechselstromleitfähigkeit σ0 1−iωτ ne 2 τ m σ(ω) = σ0 = Die Dielektrizitätskonstante (ω) = 1 + Die Plasmafrequenz ωp : ωp2 = 4πne 2 m 4πiσ ω Zusammenfassung Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Wärmeleitfähigkeit Widermann-Franzsches Gesetz κ σ ∝T Erklärung durch Drude-Modell ⇒ Wärmeleitung durch Elektronen, viel weniger durch Atomrümpfe Ende Klassischer Ladungstransport Faouzi Saidani Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
