Lösung zur¨Ubung 17 SS 2012 - AK

Lösung zur Übung 17 SS 2012
62
Zeigen Sie die Richtigkeit der folgenden Gleichung: Für eine komplexe Zahl mit dem Betrag
α
r und dem Argument α gilt: logi (z) = 2 ln(r)
iπ + 2 π
Lösung durch Basisumrechnung
z = r · eiα
(1)
Wir werfen einmal den ln auf die Formel
ln(z) = ln(r · eiα )
(2)
ln(z) = ln(r) + iα
(3)
Da wir den Logarithmus zur Basis i am Ende haben möchten machen wir nun die erste
Basisumrechnung
logi (z)
= ln(r) + iα
logi (e)
logi (z) = [ln(r) + iα] · logi (e)
ln(z) =
(4)
(5)
jetzt kommt die nächste Basisumrechnung
ln(e)
ln(i)
1
logi (z) = [ln(r) + iα] ·
ln(i)
logi (z) = [ln(r) + iα] ·
(6)
(7)
Ein kleiner Exkurs
Durch die Eulerscheformel kennen wir folgenden Zusammenhang
eiπ = −1
(8)
Das können wir natürlich auch anders schreiben
iπ = ln(−1)
(9)
welches wiederum durch i2 dargestellt werden kann
iπ = ln(i2 )
(10)
iπ = 2 ln(i)
iπ
= ln(i)
2
(11)
1
(12)
Diesen Ausdruck setzen wir in unsere Gleichung ein
logi (z) = [ln(r) + iα] ·
logi (z) = [ln(r) + iα] ·
1
ln(i)
1
iπ
2
(13)
(14)
nur noch ausklammern und wir haben das Ergebnis
logi (z) =
2 ln(r) 2α
+
iπ
π
2
(15)
63
Zeigen Sie, dass der Satz des Pythagoras in der Form sin2 (z) + cos2 (z) = 1 für beliebige
komplexe Zahlen z gültig ist.
Lösung mithilfe der Additionstheoreme
sin2 (z) + cos2 (z) = 1
(16)
Zuerst schreiben wir die Komplexe Zahl in der kartesischen Form aus
sin2 (x + iy) + cos2 (x + iy) = 1
(17)
Nun wenden wir die Additionstheoreme an
[sin(x) cos(iy) + sin(iy) cos(x)]2 + [cos(x) cos(iy) − sin(x) sin(iy)]2 = 1
sin2 (x) cos2 (iy)+2 sin(x) cos(iy) sin(iy) cos(x)+ sin2 (iy) cos2 (x)
+ cos2 (x) cos2 (iy)−2 cos(x) cos(iy) sin(x) sin(iy)+ sin2 (x) sin2 (iy) = 1
sin2 (x) cos2 (iy) + sin2 (iy) cos2 (x)+ cos2 (x) cos2 (iy)+ sin2 (x) sin2 (iy) = 1
(18)
(19)
(20)
Ein bisschen hin und her schieben, sodass wir Terme erkennen die wir ausklammern können
sin2 (x) cos2 (iy) + cos2 (x) cos2 (iy) + sin2 (iy) cos2 (x) + sin2 (x) sin2 (iy) = 1
cos2 (iy) sin2 (x) + cos2 (x) + sin2 (iy) cos2 (x) + sin2 (x) = 1
sin2 (x) + cos2 (x) cos2 (iy) + sin2 (iy) = 1
Da beide Klammern einem Wert von 1 entsprechen ist das Produkt ebenfalls 1
3
(21)
(22)
(23)
64
Gegeben ist die Parameterfunktion z(t) mit z(t) =
1
1+it
t∈R
a)
Formen Sie z(t) in z(t) = x(t) + iy(t) um.
Lösung
Wir nehmen die Funtkion einfach mal so hin wie sie ist und erweitern im ersten Schritt
mit der komplex konjugierten des Nenners
1
1 − it
·
1 + it 1 − it
1 · (1 − it)
z(t) =
(1 + it) (1 − it)
1 − it
z(t) =
1 + t2
−t
1
+i
z(t) =
1 + t2
1 + t2
z(t) =
(24)
(25)
(26)
(27)
Sowohl der Realteil <, als auch der Imaginärteil = kann daher als Funktion von t geschrieben werden.
1
1 + t2
−t
= = y(t) =
1 + t2
< = x(t) =
(28)
(29)
b)
2
2
Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt x(t) − 12 + y 2 (t) = 12 . Was beschreibt diese
Gleichung?
Lösung
Wir beginnen einfach mal damit die Klammern zu bestimmen
1
1
+ y 2 (t) =
4
4
x2 (t) − x(t) + y 2 (t) = 0
x2 (t) − x(t) +
(30)
(31)
nun setzen wir für x(t) und y(t) die Funktionen ein
2
2
1
1
−t
−
+
=0
1 + t2
1 + t2
1 + t2
1
1
t2
−
+
=0
(1 + t2 )2 1 + t2 (1 + t2 )2
4
(32)
(33)
2
nun bringen wir alles auf den gleichen Nenner 1 + t2 .
1
(1 + t2 )2
−
1 + t2
+
t2
(1 + t2 )2 (1 + t2 )2
1 − 1 − t2 + t2
(1 + t2 )2
0
(1 + t2 )2
5
=0
(34)
=0
(35)
=0
(36)
65
Gegeben ist die Funktion w = f (z) = az+b
cz+d für die komplexe zahlen z. Die Zahlen
a, b, c und d seien reell. Diese Funktion ist eine spezielle Möbius-Transformation.
a)
Zeigen Sie, dass w komplex ist und sich darstellen lässt zu w = u + iv
az + b
cz + d
(37)
=
a(x + iy) + b
c(x + iy) + d
(38)
=
ax + iay + b
cx + icy + d
(39)
w=
mit z = x + iy
Ausmultiplizieren führt zu
Da a, b, c&d reell sind, können wir die Realteile zusammenfassen
=
(b + ax) + iay
(d + cx) + icy
(40)
Der Übersichtlichkeit halber substituieren wir
w=
p = b + ax
q = ay
r = d + cx
s = cy
p + iq
r + is
(41)
Nun erweitern wir mit der Konjugiert-Komplexen des Nenners
p + iq r − is
·
r + is r − is
pr − ips + iqr + qs
=
r 2 + s2
=
(42)
(43)
Jetzt können wir das Ganze umstellen und auseinander ziehen
=
pr + qs
qr − ps
+i· 2
r 2 + s2
r + s2
(44)
Dies entspricht der geforderten Form w = u + iv
w=
(b + ax)(d + cx) + (ay)(cy)
(ay)(d + cx) − (b + ax)(cy)
+i·
(d + cx)2 + (cy)2
(d + cx)2 + (cy)2
6
(45)
b)
Zeigen Sie, dass sich die Funktion f (z) umkehren lassen kann zu z = g(w) =
−dw+b
cw−a .
az + b
=w
cz + d
w(cz + d) = az + b
(47)
wcz + wd = az + b
(48)
f (z) =
(46)
wd − b = az − wcz
(49)
−(−wd + b) = −(−a + wc)z
−wd + b
=z
−a + wc
(50)
CC-BY-SA 3.0 Martin Labus / Mario Krieg
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
7
(51)