¨Ubung Elektrische und magnetische Felder SoSe 2015

Übung
Elektrische und magnetische Felder
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Aufgabe 1
Berechnen Sie die Raumladungsdichte ρ für:
1.1 eine Linienladungsdichte τ(~r) auf einem Kreisring mit dem Radius R 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung eines Kreises mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
1.2 eine Flächenladungsdichte σ(~r) auf einer Kugeloberfläche mit Radius r 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit zugehörigem
Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an.
Die Flächenladungsdichte σ aus 1.2 sei nun konstant.
1.3 Berechnen Sie die Gesamtladung Q tot , die sich auf der Kugeloberfläche befindet.
Aufgabe 2
y
τf
h
−h
x
z
Berechnen Sie das Potential der in der Abbildung gegebenen, endlichen Linienladung mit Hilfe des
Coulomb-Integrals.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Linie mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
Aufgabe 3
Gegeben ist eine Kreisscheibe, die gleichmäßig mit der konstanten Flächenladungsdichte σ belegt ist.
Die Kreisscheibe mit Radius R 0 befindet sich in der Ebene z = 0.
3.1 Berechnen Sie die Gesamtladung auf der Kreisscheibe.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreisscheibe mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an.
3.2 Berechnen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für Aufpunkte auf der z-Achse.
3.3 Untersuchen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für die Grenzfälle z ≪ R 0 , z ≫ R 0
und R 0 → ∞ mit Hilfe der Taylorentwicklung.
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Aufgabe 4
Gegeben ist eine Kugelschale mit Radius r 0 und konstanter Oberflächenladungsdichte σ. Berechnen Sie
das Potential auf der z-Achse. Leiten Sie aus diesem Ergebnis eine im gesamten Raum gültige Lösung
her.
Aufgabe 5
Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung
im Vakuum.

 4

 R 




ρ f 0   , 0 ≤ R ≤ R0



R0

ρ f (~r) = 
 4


 R0 



1


− 3 ρ f 0  R  , R0 < R < ∞
5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit
dar? Begründen Sie Ihre Antwort.
5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E~ für 0 ≤ R < ∞.
a) Geben Sie die Variablen und die Richtung des elektrischen Feldes bei vorliegender Symmetrie an.
5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ(R) für 0 ≤ R < ∞. Überlegen Sie sich dazu eine
physikalisch sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials.
5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten: φ(R = 0, ϕ, z) = 0 und φ(R → ∞, ϕ, z) < ∞.
a) Leiten Sie aus den Gleichungen ∇ × E~ = 0 und ε0 ∇ · E~ = ρ die Poisson-Gleichung her.
b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf.
Aufgabe 6
Beweisen Sie die folgende Relation in kartesischen Koordinaten:
~ r − ǫ ~p)
~ r + ǫ ~p) − E(~
E(~
2
2
= (~p · ∇)E~
ǫ→0
ǫ
lim
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Aufgabe 7
Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-Achse angeordnet sind. Die
erste Linienladung mit dem Radius R1 befindet sich auf der Höhe z = h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 1 (ϕ) = Rτ11 sin2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem Radius R2 befindet sich auf der
Höhe z = −h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 2 (ϕ) = Rτ22 cos2 (ϕ) geladen. Es gilt τ1 , τ2 = konst.
7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
~ Berechnen Sie das Dipolmo7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit ~p = Qd.
ment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dass τ1 = −τ2 gilt.
Aufgabe 8
q
Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichte σ(R) = σ0 R−1 R21 + R22 geladene Kreisscheibe mit
Innenradius R1 und Aussenradius R2 , die sich konzentrisch um die z−Achse in der x − y−Ebene befindet
(σ0 = konst).
8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z−Achse.
8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez ,
wobei p0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen
Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio)
Aufgabe 9
9.1 Gegeben ist ein Punktdipol, der sich im Koordinatenursprung befindet und das Dipolmoment ~p =
p 0~ez besitzt.
a) Geben Sie das Potential und das elektrische Feld des Dipols in Kugelkoordinaten an.
Leiten Sie eine Gleichung für die Äquipotentialflächen und die elektrischen Feldlinien des Punktdipols her. Skizzieren Sie die Äquipotentialflächen und die Feldlinien.
9.2 Nun befindet sich im Ursprung eine Punktladung Q und der Dipol an der Stelle ~r D . Geben Sie die
Ausdrücke für Kraft und Drehmoment (bzgl. seiner eigenen Drehachse) auf den Punktdipol an,
der sich im Feld der Punktladung befindet.
a) Geben Sie das elektrische Feld E~ einer Punktladung im Ursprung an.
9.3 Vergleichen Sie das elektrische Feld aus 9.1 mit der Kraft aus 9.2.
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Aufgabe 10
z
R0
Geben Sie die Raumladungsdichte für den skizzierten Kreiszy~ = P ~ez geladen sein
linder, der mit konstanter Dipoldichte P
0
soll, an. Berechnen Sie das Potential auf der z-Achse durch
Auswerten des Coulomb-Integrals. Der Zylinder befindet sich
im Vakuum.
z=+h
z=0
z=−h
Aufgabe 11
Ein in z-Richtung unendlich ausgedehnter Kreiszylinder mit Radius R0 ist senkrecht zur Achse polari~ = P0 e~y (P0 = const). Der Zylinder befindet sich im Vakuum. Gegeben seien die Lösungen
siert mit P
für das Potential im Innen- und Außenraum gemäß
φ(a) (R, ϕ) =
∞
X
an R−n sin(nϕ)
∞
X
bn Rn sin(nϕ)
für R0 ≤ R < ∞
n=1
(i)
φ (R, ϕ) =
für 0 ≤ R ≤ R0 .
n=1
11.1 Zeigen Sie, dass die angegebenen Lösungen des Potentials die Laplace-Gleichung erfüllen.
11.2 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(R, ϕ) im Innen- und Außenraum des Zylinders.
Benutzen Sie dafür die angegebenen Ansätze.
~ im Innen- und Außenraum des
11.3 Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E~ und die Flussdichte D
Zylinders und skizzieren Sie die Feldlinien.
y
ε0
P
ϕ
x
R0
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Aufgabe 12
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Die kugelsymmetrische Raumladungsdichte ρ(r) = ρ0 rr2 für 0 ≤ r ≤ r1 ist umgeben von einer dielek1
trischen Kugelschale (Innenradius r1 , Außenradius r2 , Dielektrizitätskonstante εr ). Der übrige Raum sei
ladungsfrei.
~ E~ und P
~ für den gesamten Raum.
12.1 Berechnen Sie das D,
12.2 Berechnen Sie φ für den gesamten Raum, wenn φ im Unendlichen zu Null werden soll.
12.3 Berechnen Sie die Polarisationsraumladungsdicht ρPV im Innern des Dielektrikums und die Polarisationsoberflächenladungsdichten σP (r1 ) und σP (r2 ).
12.4 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik eine DGL für φ her und berechnen Sie
φ mit Randbedingungen die Sie aus 12.2 ermitteln können.
Aufgabe 13
Der Zwischenraum ri < r < ra eines idealen Kugelkondensators ist mit einem Dielektrikum gefüllt,
dessen Permittivität gemäß
r
ε(r) = ε0 εi i
r
vom Ort abhängt. Die Außenelektrode ist geerdet, während die Innenelektrode auf dem konstanten Potential φi gehalten wird.
13.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ im Innern des Kugelkondensators.
Wie groß ist die Energie, die im Kondensator gespeichert ist?
a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie DGL für das Potential her.
b) Geben Sie die Variablen des Potentials für die gegebene Symmetrie der Anordnung an.
~ des Mediums, das den Zwischenraum des Kondensators ausfüllt.
13.2 Berechnen Sie die Polarisation P
Bestimmen Sie weiterhin die Polarisations-Oberflächenladungsdichten σpi und σpa auf den Elektroden.
Aufgabe 14
Ein ebener Plattenkondensator mit dem Abstand d und Plattenfläche F, der senkrecht zur x−Achse
angeordnet ist, ist mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen Dielektrizitätskonstante gemäß
x
εr (x) = ε1 + (ε2 − ε1 )
d
vom Ort abhängt. Die Elektroden werden auf den konstanten Potentialen φ(0) = 0 und φ(d) = φ0
gehalten. Randeffekte aufgrund der endlichen Plattengröße sind zu vernachlässigen.
14.1 Berechnen Sie das Potential φ zwischen den Elektroden.
~ und die Flussdichte D
~ zwischen den Elektroden.
14.2 Berechnen Sie das elektrische Feld E
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14.3 Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σ f (0) und σ f (d) auf den Kondensatorelektroden.
14.4 Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
Aufgabe 15
Eine Punktladung Q befindet sich vor einer geerdeten
Metallkugel mit Radius r0 . Der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und der Punktladung beträgt p. Das Potential für den Außenraum der Kugel läßt sich mit Hilfe einer Spiegelladung im Innern der Kugel ermitteln.
Berechnen Sie die Position p′ und den Betrag der Spiegelladung Q′ , damit die Randbedingung φ|Kugelrand = 0
erfüllt werden kann. Geben Sie das Potential im gesamten Raum an.
Q′
p′
Q
p
z
a) Geben Sie einen Ausdruck für das von Q und Q′ erzeugte Potential an, wenn die Kugel nicht
vorhanden wäre.
b) Berechnen Sie den Abstand von ~r jeweils zu ~r p und ~r p′ .
Aufgabe 16
Bei z = 0 befindet sich eine geerdete, leitende, unendlich ausgedehnte Ebene. Oberhalb dieser Ebene
befindet sich ein Punktdipol am Ort ~rD = d~ez mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez .
16.1 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ für z ≥ 0.
a) Geben Sie das Potential eines Punktdipols an.
16.2 Berechnen Sie die auf der Ebene influenzierte Oberflächenladungsdichte σ f .
Aufgabe 17
y
b
a
x
Gegeben Sei der obige Potentialkasten, für den die 2D Poisson-Gleichung
∇2 φ = 0
in 0 < x < a und 0 < y < b
mit den vorgegebenen Randbedingungen
φ (0, y) = φ (a, y) = φ (x, 0) = 0 ,
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φ (x, b) =
V0
a2
x (a − x) .
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17.1 Berechnen Sie für das obige Randwertproblem das Potential φ(x, y) mit Hilfe des Separationsansatzes. Benutzen Sie dabei die Orthogonalitätseigenschaft der Sinusfunktion:
Z a
nπx mπx a
sin
dx = δmn
sin
a
a
2
0
17.2 Im Folgenden soll das Potential numerisch berechnet werden. Leiten Sie dazu
mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung eine Vorschrift zur Berechnung des Potentials φ xk , yl = φk,l aus den Nachbarwerten φk+1,l , φk−1,l , φk,l+1 und φk,l−1 her. Nehmen Sie dazu eine äquidistante Unterteilung des
Lösungsgebietes an xk = kh, yl = lh .
∂φ ∂φ φ (x, y) ≈ φ xk , yl +
xk , yl x − xk +
xk , yl y − yl
∂x
∂y
2
2
2
2
1 ∂2 φ 1∂ φ
∂ φ x
,
y
xk , yl y − yl
x
−
x
+
+
x
,
y
x
−
x
y
−
y
k l
k
k l
k
l +
2
2
2 ∂x
∂x∂y
2 ∂y
17.3 Benutzen Sie nun zur numerischen Berechnung des Potentials ihr Ergebnis aus 17.2. Tragen Sie
ihre Ergebnisse im Gesamtschrittverfahren in die vorbereiteten Gitter ein und skizzieren Sie die
Äquipotentiallinien.
192
256
192
192
256
192
0
0
0
0
0
0
0
0
0. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
1. Schritt
0
0
3. Schritt
0
0
Aufgabe 18
x
Betrachtet wird ein in + z–Richtung unendlich ausgedehntes Rohr
mit rechteckförmigem Querschnitt. Die Außenwände des Metallrohrs sind geerdet, während der Deckel an der Stelle z = 0 auf
dem konstanten Potential φ(x, y, z = 0) = V0 liegt. Überlegen Sie
sich eine sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials in z–
Richtung. Berechnen Sie das Potential φ(~r) innerhalb der Anordnung.
TET
a
0
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z
b
y
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a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie Differentialgleichung für
das Potential im Innern des Rohres her.
b) Wählen Sie geeignete Koordinaten, formulieren Sie dafür die Differentialgleichung und machen
Sie einen geeigneten Ansatz zur Separation.
Aufgabe 19
Gegeben ist eine Kreisscheibe mit dem Radius R0 . Auf dem Rand der Kreisscheibe ist das Potential mit
φ(R0 , ϕ) = φ0 (sin3 (ϕ) + cos3 (ϕ)) vorgegeben. Berechnen Sie das Potential innerhalb der Kreisscheibe
mit Hilfe des Separationsansatzes, wenn das Potential im Zentrum der Scheibe beschränkt und in der
ϕ-Abhängigkeit periodisch sein soll.
Aufgabe 20
Gegeben ist die folgende Anordnung, bestehend aus zwei konzentrischen Elektroden, umhüllt von einem
endlichen nichtleitenden Gefäß. Die innere Elektrode bei r1 liegt auf dem konstanten Potential φ1 , die
äußere Elektrode bei r2 liegt auf dem konstanten Potential φ2 .
φ1
r1
φ2
r2
20.1 Berechnen Sie die Matrix der Kapazitätskoeffizienten.
20.2 Berechnen Sie die Ladung auf den beiden Elektroden.
20.3 Berechnen Sie die Energie, die in dem System gespeichert ist.
Aufgabe 21
Gegeben sind die folgenden Widerstände mit entsprechender Leitfähigkeit κ(z):
z
z
!(z )
b
a
a
!0
!
z"
" $$$1 % ###
$&
a '#
!0
!(z )
b
1%
y
x
0
a
0
3z 2
2a 2
y
x
In den folgenden Berechnungen sind Randeffekte in Feldstrukturen zu vernachlässigen.
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21.1 Leiten Sie unabhängig von der Geometrie und ausgehend von den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik und der Kontinuitätsgleichung eine partielle Differentialgleichung zur Bestimmung des
Potentials φ her. Begründen Sie dabei Ihr Vorgehen.
21.2 Lösen Sie diese Differentialgleichung für die oben abgebildeten Anordnungen. Benutzen Sie dabei ein entsprechendes Koordinatensystem und passen Sie Ihre Randbedingungen bezüglich des
Potentials φ an. Berechnen Sie zudem das elektrische Feld E~ und die Stromdichte ~j der Anordnungen.
21.3 Berechnen Sie mittels der Stromdichte ~j den Strom I, der durch die jeweilige Anordnung fließt.
Bestimmen Sie im Anschluß die zugehörigen Widerstände für den Fall, dass φ 0 > 0 gilt.
Nun werden die Widerstände folgendermaßen verschaltet (es ändert sich nur die Höhe der Widerstände, alle anderen Grössen bleiben unverändert):
R3
R2
R1
3
b ! 2a
b ! 2a
1
2
R5
4
b !a
b !a
R4
b ! 4a
9U 0
21.4 Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung. Benutzen Sie dabei Ihre vorherigen Ergebnisse und die Definition des Widerstandes R0 = κ01a .
21.5 Berechnen Sie die Potentiale φ1 , φ2 , φ3 und φ4 in Anhängigkeit von der Quellspannung U0 .
Aufgabe 22
Gegeben ist der dargestellte Leiter mit rechteckigem Querschnitt. Bei ϕ = 0 liegt der Leiter auf dem
konstanten Potential φ0 und bei ϕ = π/2 ist der Leiter geerdet. Die Leitfähigkeit κ(~r ) im Innenraum des
Leiters ist endlich und vom Ort abhängig.
y
z
φ=0
κ(~r)
h
φ = φ0
x
R0
3
2
R0
Für die Leitfähigkeit des Leiters gilt
κ(~r ) = κ0
TET
R ϕ2 + π2 /4
R0
πϕ
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22.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ für den Innenraum des Leiters.
22.2 Berechnen Sie die Stromdichte ~j und den Gesamtstrom I im Innenraum des Leiters.
22.3 Berechnen Sie den ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die im System umgesetzte Verlustleistung PΩ .
Aufgabe 23
Gegeben ist der dargestellte kreiszylindrische Leiter mit Länge 2L und Radius R. Die Leitfähigkeit κ(~r)
sei endlich und vom Ort abhängig. Bei z = −L bzw. z = L wird der Leiter auf den konstanten Potentialen
φ1 und φ2 gehalten. An der Stelle z = 0 ist eine Kerze positioniert, deren Wärme folgende Leitfähigkeit
im Leiter erzeugt:
φ1
φ2
κ
2R
z2 + a2
.
κ = κ(z) = κ0 2
z + a2 + 1
z = −L
z=0
z=L
23.1 Berechnen Sie das elektrische Potential φ, die elektrische Feldstärke E~ und die elektrische Stromdichte ~j im Innenraum des Leiters.
23.2 Berechnen Sie den elektrischen Strom I, den Ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die umgesetzte Verlustleistung P.
Aufgabe 24
~ auf der Achse eines kreisförmigen Drahtrings, der vom Gleichstrom I
Berechnen Sie das Magnetfeld B
durchflossen wird, mittels des Biot-Savartschen Gesetzes. Skizzieren Sie den Verlauf des Magnetfeldes
längs der Achse.
y
x
R0
I
z
Aufgabe 25
Eine Zylinderspule der Länge 2h und mit n Windungen
wird vom Gleichtrom I durchflossen. Berechnen Sie das
~ der Zylinderspule auf der Achse mit Hilfe
Magnetfeld B
des Superpositionsprinzips. Nehmen Sie dafür an, daß n
sehr groß ist.
TET
R0
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z
2h
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Aufgabe 26
L0
Als Helmholtz-Spulen bezeichnet man die dargestellte Anordnung zweier, als Stromringe mit dem Radius
R0 und dem Abstand L0 idealisierter, jeweils mit dem
Gleichstrom I durchflossener Spulen, mit denen man ein
nahezu homogenes Magnetfeld erzeugen kann.
2R0
z
x
26.1 Berechnen Sie das Magnetfeld der Helmholtzspulen auf der Symmetrieachse der Spulen.
~ der Spulen gemäß den Normierungsvorschriften B
~ =
26.2 Normieren Sie das Magnetfeld B
L0 = 2aR0 und z = R0 η.
µ0 I ∗
~
2R0 B ,
26.3 Formulieren Sie die Forderung nach optimaler Homogenität des magnetischen Feldes im Koordinatenursprung mathematisch und bestimmen Sie aopt .
~ ∗ für a = aopt .
26.4 Skizzizieren Sie das Magnetfeld B
Aufgabe 27
z
Ein linienförmiger Gleichstrom I fließt aus dem Unendlichen“
”
kommend längs der positiven z–Achse eines kartesischen Koordinatensystems bis zum Koordinatenursprung und von dort längs
der negativen y–Achse wieder ins Unendliche. Berechnen Sie das
Magenetfeld für den gesamten Raum.
I
y
x
Aufgabe 28
Gegeben ist der in der Abbildung dargestellte, in z–Richtung unendlich ausgedehnte, zylinderförmige Hohlleiter (Innenradius Ri ;
Außenradius Ra ). Die Achsen des Leiters und des Hohlraums sind
identisch.
Im Zwischenraum ist eine homogene Stromdichte ~j0 = j0~ez gegeben. Berechnen Sie das von der Anordnung erzeugte Magnetfeld
~ für den gesamten Raum, und skizzieren Sie | B(x)|
~
B
für x > 0.
Geben Sie dazu die markanten Punkte an.
y
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Ri
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
z
TET
~j0
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x
Ra
11
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Aufgabe 29
z
y
I0
a
b
~b = b~ex
x
a
Gegeben sei eine quadratische Leiterschleife in der Ebene z = 0. Die Kantenlänge ist mit a gegeben, in
der Leiterschleife fließt der Strom I0 .
~ ~r. Argumentieren Sie
29.1 Die Leiterschleife erzeugt im gesamten Raum ein magnetisches Feld B
1
mit Hilfe von Symmetrie und der speziellen Anordnung oben, welche Richtungskomponenten das
~ ~r im Punkt ~r = ~b besitzt. Begründen Sie außerdem, welches Koordinatenmagnetische Feld B
1
system am Besten für Berechnungen geeignet ist.
29.2 Mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart könnte man nun das Magnetfeld exakt berechnen. Unter bestimmten Bedingungen ist es jedoch auch möglich, die exakte Berechnung durch eine Dipolnäherung zu ersetzen. Nennen Sie eine Bedingung, mit der die exakte Berechnung des magne~ ~r durch die Dipolnäherung ersetzt werden kann.
tischen Feldes B
1
29.3 Geben Sie das Dipolmoment m
~ 1 der Leiterschleife an.
~ ~r der Leiterschleife in Dipolnäherung mit dem Ergebnis
29.4 Berechnen Sie das magnetische Feld B
1
aus Teilaufgabe 29.3.
29.5 Skizzieren Sie das exakte magnetische Feld und das magnetische Feld in Dipolnäherung entlang
der x–Achse für x ∈ (−∞, ∞). Verwenden Sie dazu eine gemeinsame Skizze.
Aufgabe 30
z
R0
~ = M ~ez homogen magnetisierter Zylinder
Ein in Achsenrichtung mit M
0
mit Radius R0 und Länge 2h befindet sich im Vakuum. Berechnen Sie das
~ und die magnetische Feldstärke H
~ auf der Symmetrieachse
Magnetfeld B
des Zylinders.
h
y
M0~ez
x
−h
Aufgabe 31
Eine homogen magnetisierte Kugel mit Radius r0 und Magnetisierung
~ = M~ez ∀ r ∈ (0, r ] befindet sich im Vakuum.
M
0
~ für den gesamten Raum. Nehmen
31.1 Berechnen Sie das Magnetfeld B
~ im Innern der Kugel homogen
Sie dazu an, dass das Magnetfeld B
i
~ a im Außenist. Nutzen Sie außerdem aus, dass das Magnetfeld B
~
raum mit dem B-Feld der entsprechenden Dipolnäherung identisch
ist.
z
x
~
M
r0
y
~ und das H–Feld
~
31.2 Skizzieren Sie das B–
für die Ebene x = 0.
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Aufgabe 32
Längs der z–Achse fließt der linienförmige Gleichstrom I in positive z–Richtung.
~ an.
32.1 Geben Sie die kartesischen Komponenten des Magnetfeldes B
32.2 Im Feld des Linienstroms befindet sich ein magnetischer Punktdipol mit dem Dipolmoment
m
~ = m0~ex . Berechnen Sie die Kraft und das Drehmoment auf den Punktdipol.
Aufgabe 33
x
2l
L1
µ0
L3
IL
L2
a
2d
IM
z
y
Ein unendlich langer, ebener Metallstreifen wird von einem gleichmäßig über die Streifenbreite 2d verteilten Gleichstrom I M durchflossen. In der x−z–Ebene befindet sich im Abstand a über dem Streifenleiter eine vom Gleichstrom IL durchflossene Leiterschleife. Während das Leiterstück L3 der Leiterschleife
die konstante Linienmassendichte ρm (Masse/Länge) besitzt, ist die Masse der Zuführungsleitungen L1
und L2 vernachlässigbar.
~ r) des Streifenleiters für den gesamten Raum.
33.1 Berechnen Sie das Magnetfeld B(~
33.2 Durch das vom Streifenleiter erzeugte Magnetfeld wird eine Kraft auf den Linienleiter ausgeübt.
Begründen Sie anschaulich, welche Leiterstücke des Linienleiters bei der Berechnung der Kraft
nicht weiter berücksichtigt werden müssen. Berechnen Sie den Strom I M in Abhängigkeit von IL
und der Geometrie der Anordnung, so daß die Leiterschleife im Abstand a vom Streifenleiter frei
schwebt, wenn auf die Leiterschleife in negative x–Richtung die Erdanziehungskraft F~g wirkt.
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U ind
Aufgabe 34
R
vx
z
B
x
Gegeben ist ein in der positiven x-Halbebene gelegenes, homogenes Magnetfeld mit der magnetischen
~ = Be~y . Eine in der x − z-Ebene liegende, kreisrunde Leiterschleife mit Radius R wird mit
Flussdichte B
der konstanten Geschwindigkeit ~v = v x e~x in positive x-Richtung bewegt. Zum Zeitpunkt t = 0 liegt die
Leitschleife wie in der Abbildung skizziert.
Die Fläche F, die sich im Magnetfeld befindet, stellt sich als Funktion der Eindringtiefe x wie folgt dar:
F(x) =
p
R−x
πR2
− (R − x) R2 − (R − x)2 − R2 arcsin(
)
2
R
34.1 Stellen Sie die Fläche F als Funktion der Zeit t dar und geben Sie den magnetischen Fluss durch
die Fläche F an.
34.2 Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung Uind , vereinfachen Sie Ihr Ergebnis
soweit wie möglich und skizzieren Sie qualitativ den Verlauf als Funktion der Zeit t. Markieren
Sie dabei charakteristische Zeiten.
34.3 Nehmen Sie an, dass die Klemmen der Leiterschleife mit einem Widerstand Ra abgeschlossen
sind. Geben Sie an und begründen Sie, in welche Richtung (Uhrzeiger-/Gegenuhrzeigersinn) der
Strom Ia durch die Leiterschleife fließt.
Aufgabe 35
v
Ein Drahtrechteck bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit v von
einem langen Draht weg, in dem ein konstanter Strom I1 fließt. Während
der Bewegung bleiben Draht und Drahtrechteck in einer Ebene. Welcher
Strom I2 (t) wird in dem Drahtrechteck induziert, wenn dieses den Widerstand RΩ hat? Die Rechnung soll über den magnetischen Fluss durchgeführt werden.
Zur Kontrolle:
J2 (t) =
µ0 hdJ1 v
l = l(t).
2πR (l + d)l
l(t)
h
I1
d
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Aufgabe 36
Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems sitzt ein magnetischer Punktdipol mit Dipolmoment m
~ . Der Punktdipol liegt in der Ebene y = 0 und besitzt somit keine Komponente in y-Richtung. Er
schließt, wie in der Abbildung dargestellt, mit der x-Achse den zunächst konstanten Winkel γ ein. Weiterhin befindet sich in der Ebene z = 0 eine rechteckige Drahtschleife, wie in der Abbildung dargestellt.
z
y
γ
x=a
m
~
x=b
u(t)
h/2
h/2 x
~ für Aufpunkte in der Ebene z = 0
36.1 Geben Sie die kartesischen Komponenten des Magnetfeldes B
~ dabei eine Funktion des Winkels γ ist.
an. Beachten Sie, dass B
36.2 Berechnen Sie den magnetischen Fluss, der die Drahtschleife durchsetzt.
36.3 Berechnen Sie die in der Drahtsschleife induzierte Spannung u, wenn der Winkel γ nun als lineare
Funktion der Zeit γ = ωt angenommen wird.
Aufgabe 37
Ein Ringkern mit quadratischem Querschnitt, der radialsymmetrisch um die z-Achse liegt, besteht aus
zwei Materialien unterschiedlicher relativer Permeabilität. Im Bereich 0 ≤ z ≤ h gilt µ = µ1 und im
Bereich −h ≤ z < 0 gilt µ = µ2 . Der Kern ist mit N Windungen eines dünnen Drahtes gleichmäßig
bewickelt. Im Draht fließt der Gleichstrom I.
37.1 Skizzieren Sie die Anordnung.
37.2 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik das Durchflutungsgesetz her.
~ die magnetische Flussdichte B
~ und die Magnetisie37.3 Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H,
~ im Kern.
rung M
37.4 Berechnen sie die magnetische Energie, die in der Anordnung gespeichert wird.
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Aufgabe 38
Ein Ringkern mit rechteckigem Querschnitt, der radialsymmetrisch um die z-Achse liegt, besteht aus
zwei Materialien unterschiedlicher relativer Permeabilität. Im Bereich R1 ≤ R ≤ R2 gilt µ = µ1 und im
Bereich R2 < R ≤ R3 gilt µ = µ2 . Der Kern ist mit N Windungen eines dünnen Drahtes gleichmäßig
bewickelt. Im Draht fließt der Gleichstrom I.
38.1 Skizzieren Sie die Anordnung.
~ die magnetische Flussdichte B
~ und die Magnetisie38.2 Bestimmen Sie die magnetische Feldstärke H,
~ im Kern.
rung M
38.3 Berechnen sie die magnetische Energie, die in der Anordnung gespeichert wird.
Aufgabe 39
Gegeben ist ein zylinderförmiger, in z-Richtung unendlich ausgedehnter Leiter, der von dem gleichmäßig
über den Querschnitt verteilten Gleichstrom I durchflossen wird. Der Leiter hat die Permeabilität µ0 und
den Radius Ra . Die Anordnung befindet sich im Vakuum. Der Leiter ist in der Abbildung in Bereich (a)
dargestellt. Der Bereich (b) ist zunächst nicht vorhanden.
z
I
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
(a)
µ0
39.1 Geben Sie die Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik (in Materie) und die Übergangsbedingungen
~ und die magnefür die magnetische Flussdichte B
~
tische Feldstärke H an.
µ0
000000000000000000
111111111111111111
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
(b)
µ
l
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
x
~ und
39.2 Bestimmen Sie die magnetische Flussdichte B
~
die magnetische Feldstärke H für den gesamten
Raum.
000000000
111111111
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
Ra
Rb
Nun umgibt den Leiter ein Isolator mit dem Außenradius Rb und der Höhe l (Bereich (b) in der Abbildung). Der Isolator hat die Permeabilität µ = µ0 µr .
~ und die magnetische Feldstärke H
~ im gesamten Raum
39.3 Geben Sie die magnetische Flussdichte B
~ des Isolators.
an und bestimmen Sie außerdem die Magnetisierung M
39.4 Das Material des Isolators wird nun so verändert, dass im Bereich (b) µ = µ0 gilt. Dennoch soll im
~ aus Aufgabenpunkt 39.3 erhalten bleiben. Bestimmen
Bereich (b) die magnetische Flussdichte B
Sie die dazu notwendigen Oberflächenstromdichten k~f auf allen Grenzflächen des Isolators.
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Aufgabe 40
Gegeben ist ein Kondensator der mit einem leitfähigen Dielektrikum gefüllt ist (ǫ(~r ) , κ(~r)).
40.1 Leiten Sie aus den vollständigen Maxwell-Gleichungen in Materie die Kontinuitätsgleichung her.
40.2 Leiten Sie daraus, mit Hilfe der Matrialgleichungen, einen Zusammenhang zwischen ρ f , ~j f , κ und
ǫ her.
40.3 Zum Zeitpunkt t = 0 soll ρ f (0) = ρ0 gelten. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Raumladungsdicht ρ f (t), wenn der Kondensator ab diesem Zeitpunkt isoliert wird und ǫκ = const gilt.
40.4 Vergleichen Sie den Verschiebungsstrom mit dem Strom der freien Ladungsträger.
Aufgabe 41
Die Maxwell-Gleichung und adäquate Materialbeziehungen beschreiben allgemein elektromagnetische
Phänomene, sowohl im Vakuum als auch in Materie.
41.1 Leiten Sie die Näherung der Maxwell-Gleichungen für langsam veränderliche Felder mittels Skalenüberlegungen her (quasistationäre Näherung).
41.2 Leiten Sie aus dieser Näherung eine partielle Differentialgleichung für die elektrische Stromdichte
her, die den Skineffekt in einem Medium der Permeabilität µ 0 und konstanter Leitfähigkeit κ
beschreibt. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang kurz den Skineffekt.
41.3 Geben Sie die hergeleitete Differentialgleichung in Phasorschreibweise an. Erläutern Sie dazu
kurz, wann eine Einführung von Phasoren sinnvoll ist und welchen Vorteil sie bietet.
Aufgabe 42
Im folgenden Aufgabenteil soll der Skineffekt in einem leitfähigen Medium untersucht werden. Für
x > 0 sei ein leitfähiges, isotropes Medium gegeben, welches nicht magnetisiert und nicht polarisiert ist.
In diesem Medium sei der Verschiebungsstrom zu vernachlässigen, und der Zusammenhang zwischen
Stromdichte und E-Feld sei gegeben durch
~j = κE.
~
Die Konstante κ bezeichnet dabei die Leitfähigkeit des Mediums.
42.1 Formulieren Sie eine koordinatenfreie Differentialgleichung für das B-Feld im leitfähigen Medium und lösen Sie diese für den Sonderfall, dass das B-Feld durch folgende Form beschrieben
werden kann:
h
i
~ r, t) = Re B(x)~ey eiωt
B(~
.
42.2 Skizzieren Sie den Feldverlauf und kennzeichnen Sie charakteristische Größen!
42.3 Bedeutung des Skineffekts diskutieren (Plasma, HF Kabel, Hohlleiter).
42.4 Wie kann der Skineffekt beeinflusst werden (Materialauswahl)?
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Aufgabe 43
~ einer symmetrischen Kegelleitung ist gegeben durch
Der Phasor der elektrischen Flussdichte D
!
D0 e−ikr
eikr
~
+β
D(r, ϑ) =
~eϑ , r > 0 , ϑ0 < ϑ < π − ϑ0 .
sin(ϑ) kr
kr
~ = 0 und H
~ = 0 im Wandmaterial.)
Die Wände der Leitung bestehen aus ideal leitendem Material (D
z
ϑ
ϑ0
=
ϑ
=
π
−
0
ϑ
ϑ0
~ ϑ) der magnetischen Feldstärke in der Leitung.
43.1 Berechnen Sie den Phasor H(r,
43.2 Berechnen Sie den Phasor ~k f der auf der Wand bei ϑ = ϑ0 fließenden Oberflächenstromdichte.
43.3 Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert der Energiestromdichte S~ in der Leitung.
Aufgabe 44
Prüfen Sie, ob die unten angeschriebenen Felder mit den zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen im
Vakuum vereinbar sind. Geben Sie jeweils die Maxwell-Gleichungen an, die nicht erfüllt sind.
44.1
E x , E y , E z = E0 eikz , 0 , E0 eikz
k
Bx , By , Bz = 0 , − E0 eikz , 0
ω
44.2
E x , E y , E z = E0 e−ikz , E0 e−ikx , E0 e−iky
k
k
k
Bx , By , Bz =
E0 e−iky ,
E0 e−ikx ,
E0 e−ikz
ω
ω
ω
44.3
E x , E y , E z = E0 eikz , 0 , E0 eikz
k
Bx , By , Bz = 0 , − E0 eikz , 0
ω
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Aufgabe 45
Prüfen Sie, ob die unten angeschriebenen Felder mit den zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen im
Vakuum vereinbar sind. Geben Sie jeweils die Maxwell-Gleichungen an, die nicht erfüllt sind.
45.1
E x , E y , E z = E0 eikz , 0 , E0 eikz
k
Bx , By , Bz = 0 , − E0 eikz , 0
ω
45.2
E x , E y , E z = E0 e−ikz , E0 e−ikx , E0 e−iky
k
k
k
Bx , By , Bz =
E0 e−iky ,
E0 e−ikx ,
E0 e−ikz
ω
ω
ω
Aufgabe 46
In dieser Aufgabe soll Wellenausbreitung betrachtet werden.
46.1 Leiten Sie ausgehend von den vollständigen Maxwell-Gleichungen die Wellengleichung für das
elektrische Feld im Vakuum her.
46.2 Erläutern Sie die Eigenschaften ebener Wellen und geben Sie explizit den elektrischen Feldstärkevektor einer beliebigen, ebenen Welle an.
46.3 Überprüfen Sie, ob die von Ihnen in 2) angegebene ebene Welle die Wellengleichung aus Aufgabenpunkt 1) erfüllt.
46.4 Geben Sie die Maxwell-Gleichungen für elektrisch leitfähige Medien in Doppelphasorschreibweise an. Berücksichtigen Sie dabei auch den Verschiebungsstrom.
Im Folgenden wird die Wellenausbreitung in einem elektrisch leitfähigen Medium betrachtet. Es
gilt:
~ = By (x)~ey ,
B
E~ = Ez (x)~ez ,
~k = k~ex ,
κ = κp =
ε0 ω2g
iω
~ t) an.
46.5 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen einen Ausdruck für | ~k | her und geben Sie E(x,
46.6 Geben Sie die Ausbreitungsrichtung der Welle und die Polarisationsrichtung des elektrischen Feldes an.
~ t) für ω < ωg und ω > ωg an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis physikalisch.
46.7 Geben Sie E(x,
46.8 Wovon hängt der Parameter ωg ab? Welche Auswirkungen hat ωg auf die Funkübertragung?
46.9 Anwendung diskutieren (Funkwellenreflektion an der Ionosphäre, Radio).
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Aufgabe 47
Gegeben ist eine elektromagnetische Welle im Vakuum durch den Phasor des magnetischen Feldes
~ r) = B0 e−iky~ez .
B(~
~ r) des elektrischen Feldes und das elektrische Feld E(~
~ r, t).
47.1 Berechnen Sie den Phasor E(~
47.2 Geben Sie die Ausbreitungsrichtung der Welle und die Polarisationsrichtung des elektrischen Feldes an.
Aufgabe 48
Gegeben ist eine Dipolantenne der Länge h im freien Raum (Der Einfluß der Erdoberfläche soll unberücksichtigt bleiben.). Die Antenne wird mit einem harmonischen Strom I(t) mit der Frequenz ω =
2π f gespeist.
48.1 Berechnen Sie den Phasor des Dipolmomentes ~p.
~ r, t) und B(~
~ r, t) für Entfernungen von Antenne, die wesentlich größer sind als
48.2 Bestimmen Sie E(~
die Länge der Antenne.
48.3 Ermitteln Sie die Richtcharakteristik dieser Antenne.
48.4 Berechnen Sie die Leistung, die von der Antenne in den Raum gestrahlt wird.
Aufgabe 49
49.1 Geben Sie die vollständigen Maxwell-Gleichungen an, und leiten Sie daraus die Maxwell-Gleichungen
in Doppelphasorschreibweise für Vakuum her. (Begründen Sie Ihr Vorgehen!)
Gegeben ist nun eine elektromagnetische Welle im Vakuum durch den Phasor des magnetischen Feldes
~ r) = B0 e−ikz~ex .
B(~
~ r) und das elektrische Feld E(~
~ r, t).
49.2 Berechnen Sie den Phasor des elektrischen Feldes E(~
Im Feld der Welle befindet sich in der skizzierten Lage eine rechteckige Drahtschleife, deren Rückwirkung
auf das Feld vernachlässigt werden kann.
x
z
b
a
y
Uind
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49.3 Berechnen Sie den magnetischen Fluß Ψm (t) durch die Schleife, und vereinfachen Sie Ihr Ergebnis
mit
x − y
x + y
sin
.
sin(x) − sin(y) = 2 cos
2
2
49.4 Berechnen Sie die vom Meßgerät angezeigte Spannung Uind (t).
49.5 Bestimmen Sie den kleinsten Wert von a (a > 0), für den die Amplitude von Uind (t) maximal
wird. Drücken Sie a als Funktion der Wellenlänge λ aus. Es gilt k = 2π
λ.
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