Lösung 3

Physik III
Übung 3 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 20.12.2012
Aufgabe 1 [P] Diskussion: Eisenbahn I - Sup(r)a
Ein Supraleiter hat Eigenschaften, die denen eines perfekten Diamagnets sehr nahe kommen.
Überlege, wie man auf einem magnetischen Untergrund, z.B. einer “Bahnstrecke”, einen Supraleiter durch Ausnutzung dieses Effekts schweben lassen könnte. Diskutiere auch, warum der
Supraleiter auf der Bahn bleibt und nicht etwa an der Seite herunterfällt. Würde das Ganze
auch andersherum funktionieren, also mit einem festen Supraleiter und einem schwebenden
Magneten?
Lösungshinweise:Durch seine diamagnetischen Eigenschaften drückt ein Supraleiter die Magnetfeldlinien aus seinem Inneren heraus. Setzt man also einen Supraleiter auf einen Magneten, müsste er, je weiter er herunterfallen will, die Magnetfeldlinien stärker verbiegen. Das
kostet aber Energie, die aus seiner potentiellen Energie im Gravitationsfeld der Erde kommen
muss. Es ergibt sich also ein Gleichgewichtswert, an dem der Supraleiter sich zumindest nicht
mehr vertikal bewegen kann.
Die Frage, ob es sich hierbei um ein stabiles Gleichgewicht handelt, ist nicht so leicht zu beantworten. In einem homogenen Magnetfeld würde ein Supraleiter zunächst ein indifferentes
Gleichgewicht vorfinden, da er weder Energie gewinnt, noch verliert, wenn er sich horizontal
bewegt. In einem inhomogenen Magnetfeld, das nach außen hin abnimmt, müsste er ein instabiles Gleichgewicht vorfinden, das ihn nach außen treibt, da dort die Feldliniendichte geringer
ist und er somit Energie gewinnen kann, indem er wegdriftet.
Man könnte ihn so stabilisieren, dass man eine Bahn baut, deren Magnetfeldstärke nach außen
hin zunimmt. Das könnte man z.B. durch stärkere Magnete auf der Außenseite erreichen. Dann
müsste der Supraleiter von diesem Potential wieder zurückgedrängt werden.
In der Realität ergibt sich bei den sogenannten Typ-2-Supraleitern (Hochtemperatursupraleiter)
noch ein weiterer Effekt, das so genannte Flux Pinning. Typ-2-Supraleiter haben nicht überall die gleichen Eigenschaften, ihr Diamagnetismus ist an manchen Stellen schwächer ausgeprägt. Durch Kraftaufwand (Supraleiter und Magnet zusammendrücken) kann man erreichen,
dass Teile des Magnetfeldes in diese Schwachstellen eindringen und den Supraleiter durchdringen. Lenkt man nun den Supraleiter nur wenig aus, wird er durch diese Flussschläuche
wieder zurückgezogen. Lenkt man ihn stark aus, muss man genug Kraft aufwenden, um die
Magnetfeldlinien sozusagen wieder “aufzubiegen”.
1
Das Flux Pinning führt zusätzlich zur abstoßenden diamagnetischen Kraft zu einem anziehenden
Effekt. Man kann also mit dem Supraleiter z.B. den Magnet anheben oder auch andersherum.
Man kann auch Bahnen bauen, bei denen der Supraleiter unter dem Magnet schwebt, etc.
Aufgabe 2 [P] Diskussion: Einfacher Wechselstrommotor
Viele Geräte des täglichen Gebrauchs enthalten einfach Wechselstrommotoren, die vom Prinzip her so aufgebaut sind wie
der Motor in der Zeichnung. Der Eisenkern besteht dabei oft
aus dünnen Blechen, unten befindet sich eine Spule (in Realität mit deutlich mehr Wicklungen), an der das Wechselfeld
anliegt. Der Rotor besitzt keine Stromwicklung. Die Metallringe umschließen einen Teil des Eisenkerns, sie sind oft aus
Kupfer oder anderem gut leitenden Metall.
Rotor
Metallringe
Eisenkern
U~
Wie und warum dreht sich ein solcher Motor? Wie heißt er?
Lösungshinweise:
U
T
Der Motor heißt Spaltpolmotor. Im Eisenkern ändert sich kontinuierlich das magnetische Feld
bzw. der magnetische Fluss. Durch diese Änderung wird in den beiden Metallringen ein Strom
induziert, der seinerseits wieder einen magnetischen Fluss erzeugt. Diesen allerdings nur in
dem Teil des Eisenkerns, der vom Ring umhüllt ist. Nach Lenz’scher Regel wirkt dieser Fluss
immer seiner Ursache entgegen. Das heißt, solange der Fluss insgesamt ansteigt, wird er in
den beringten Teilen (Polen) abgeschwächt. Wenn er insgesamt abnimmt wird er dort verstärkt.
Die Zeichnung zeigt symbolhaft Feldlinien im Verlauf einer Periode. Durch diesen Effekt ergibt
sich ein Drehfeld im Bereich des Rotors und er beginnt zu rotieren. Im gezeichneten Fall im
Uhrzeigersinn.
Solche Motoren können sehr preisgünstig gebaut werden und sind relativ wartungsarm, daher werden sie oft in Verbrauchergeräten eingesetzt (Waschmaschinen, Mixer etc.). Sie haben
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jedoch einen Nachteil: Sie können nur in eine bestimmte Richtung laufen. Um beide Drehrichtungen zu ermöglichen, baut man oft zwei dieser Motoren hintereinander - spiegelverkehrt,
aber um den gleichen Rotor.
Aufgabe 3 [P] Wechselstromgenerator
Wir bauen einen Wechselstromgenerator. Dazu haben wir einen rotierenden Permanentmagneten, den wir um eine feste Spule (Querschnittsfläche A, Windungszahl N ) mit einer Kreisfrequenz ω drehen. Über die gesamte Spule ist das Feld räumlich homogen.
a) Berechne die in der Leiterschleife induzierte Spannung.
b) Wie groß muss ω sein, damit in der Spule eine Maximalspannung von 100 V induziert wird,
wenn A = 100 cm2 , N = 100 und B = 1 T ist?
c) Wir benötigen für unsere Anwendung eine Spannung von 16 kV. Wie können wir das bewerkstelligen?
Lösungshinweise:
a) Bei t = 0 sei das Magnetfeld senkrecht zur Querschnittsfläche der Spule.
U =−
=−
dφ
dt
d
(N AB cos (ωt))
dt
= N ABω sin (ωt)
b) Maximalspannung bedeutet sin ωt = 1
Um = N ABω
Um
ω=
N AB
=
102
102
× 102
= 100 rad s
× 10−4
−1
×1
rad s−1
c) Am einfachsten mit Hilfe eines Transformators (z.B. auf der einen Seite 10 Windungen, auf
der anderen 1600). Man kann quasi beliebig hohe Spannungen erzeugen, das geht allerdings
auf Kosten der Stromstärke.
3
Aufgabe 4 [P] Magnetische Resonanz (vorher anschauen, auch für die Präsenzübung!)
Prof. Fujara arbeitet, wie er schon mehrfach in der Vorlesung erwähnt hat, auf dem Gebiet der
Kernspinresonanz (Nuclear Magnetic Resonance, NMR). Wir wollen mit dieser Aufgabe versuchen, das Prinzip der NMR auf einem sehr grundlegenden Niveau zu verstehen.
Einen Atomkern (genauer, seinen Spin) kann man als einen kleinen magnetischen Dipol µ
~ be~ 0 , das in z-Richtung zeigt. Wie wir
trachten. Wir setzen ihn in ein homogenes Magnetfeld B
wissen, richten sich Magnete bevorzugt entlang des Feldes aus, denn das ist für sie energetisch
günstiger. Die kleinen Magnete können aus quantenphysikalischen Gründen allerdings nicht
ohne Weiteres ihre z-Komponente verändern. Analog zu einem Kreisel im Gravitationsfeld der
~ 0 zu präzedieren, und zwar mit einer isotopenspezifischen
Erde fangen sie deshalb an, um B
charakteristischen Frequenz ω L = −γB0 , der sogenannten Larmorfrequenz. Es gilt
~
µ
~˙ = γ~
µ×B
Addiert man die ganzen kleinen magnetischen Momente zusammen, ergibt sich eine Gesamt~ , die dem gleichen Gesetz gehorcht
magnetisierung M
~˙ = γ M
~ ×B
~
M
~ 0.
a) Zu t = 0 liege die Magnetisierung in der x-z-Ebene mit einem Winkel von α = 30◦ zu B
~ (t) hin.
Schreibe M
b) Nun wird von außen ein magnetisches Wechselfeld der Kreisfrequenz ω angelegt
~ 1 = cos (ωt)~e x + sin (ωt)~e y
B
~ (t = 0) = M0~ez . Beschreibe die Bewegung der Magnetisierung
Betrachte den Fall ω = ω L und M
unter Einfluss beider Felder. Betrachte hierzu ein mit der Larmorpräzession mitrotierendes Koor~ 0 wegtransformiert während B
~ 1 zeitunabhängig
dinatensystem. In diesem wird der Einfluss von B
wird.
c) Die Situation in Aufgabenteil b) bezeichnet man als magnetische Resonanz. Überlege quali~ 1 “off-resonant”, also mit einer anderen Frequenz als ω L oszilliert.
tativ, was passiert, wenn B
Lösungshinweise:
Vorweg: Die Aufgabe ist vergleichsweise schwierig.
a) Wir wissen aus der Mechanik, dass die Magnetisierung sich drehen muss. Wir setzen an:
M x = M0 cos ω L t sin α
M y = M0 sin ω L t sin α
Mz = M0 cos α
4
Wir berechnen die linke Seite der Gleichung:


−M0 ω L sin ω L t sin α

~˙ = 
M
 M0 ω L cos ω L t sin α 
0
Die rechte Seite:


M0 γB0 sin ω L t sin α

~ ×B
~ =
γM
 −M0 γB0 cos ω L t sin α 
0
Setzt man die Beziehung ω L = −γB0 ein, sieht man, dass beide Seiten gleich sind.
~ 1 konstant. Wir wählen das KS so, dass B1
b) Im rotierenden Koordinatensystem (KS) bei ω L ist B
in x-Richtung zeigt. Dass B0 dadurch wegtransformiert wird, kann man sich so überlegen: Wir
betrechten den Fall ohne B1 -Einstrahlung. Dann muss die Magnetisierung im rot. KS konstant
sein, es darf also kein Feld existieren (oder höchstens eins in Richtung von M ). Das kann man
sich so vorstellen, dass in einem beschleunigten Koordinatensystem etwas analoges zu einer
Scheinkraft existieren muss, eine Art Scheinfeld, damit weiterhin die Bewegungsgleichung für
die Magnetisierung erfüllt bleibt.
Im rotierenden KS ergibt sich dann folgende Präzession um B1

0

~0 = 
M
 M0 sin ω1 t 
M0 cos ω1 t

wobei ω1 = −γB1
Transformieren wir das zurück ins Laborsystem erhalten wir eine Spirale auf einer Kugelfläche
analog zu Aufgabe a) mit α = ω1 t

M0 cos ω L t sin ω1 t

~0 = 
M
 M0 sin ω L t sin ω1 t 
M0 cos ω1 t

c) Wenn B1 off-resonant ist, hat man im rotierenden KS ein effektives Feld, das nicht mehr in der
x- y-Ebene liegt, da B0 nicht komplett wegtransformiert wird. Die Amplitude der sog. Nutation
aus b) geht also runter und die Magnetisierung bewegt sich im rotierenden Koordinatensystem
auf einem Kreis, der nicht mehr senkrecht zu einer der Achsen steht. Trägt man z.B. die xMagnetisierung im Laborsystem nach kurzer B1 -Einstrahlung über der Frequenz von B1 auf,
erhält man eine typische Resonanzkurve analog zu denen aus der Mechanik.
5
Aufgabe 5 [H] Diskussion: Wer braucht schon Wirbelströme?
Überlegt euch Anwendungen, bei denen Wirbelströme eine wichtige Rolle spielen. Wie funktionieren sie jeweils?
Lösungshinweise:
Abfalltrennung Schon von Thomas A. Edison (hatte ein Patent) wurde die Abfalltrennung
mithilfe von Wirbelströmen erfunden. Durch geschickte Anordnung rotierender Magneten wird in nicht magnetischen Metallen ein Wirbelstrom erzeugt, wordurch sie von den
Magneten abgestoßen werden. Dadurch können sie von Plastik und anderem Müll getrennt
werden.
Bremsen In einer rotierenden Scheibe oder in befahrenen Schienen werden durch Magneten
Wirbelströme induziert. Diese wirken ihrer Ursache entgegen und können daher bremsende Wirkung haben - das ganze geschieht kontaktfrei und damit verschleißarm.
Induktionsherd Durch eine Spule (unter der Abdeckung) werden in den Böden von Töpfen Wirbelströme induziert. Die zum Kochen genutzte Wärme ist die Verlustleistung der Wirbelströme durch den spezifischen Widerstand der Topfböden.
Gelderkennung in Automaten Spezielle Münzen (auch nicht magnetische) weisen spezielle
Wirbelstromsignaturen auf, wenn sie etwa an einem Magneten vorbeifallen. Diese können wieder gemessen werden.
Weitere Anwendungen, ohne Funktionsbeschreibung: Oberflächenanalyse bei Metallen, Legierungssortierung, Positionssensoren rotierender Wellen.
Aufgabe 6 [H] Eisenbahn II
Auf einer Eisenbahnstrecke fährt ein Zug, die Schiene hat eine Spurweite b = 1.5 m. Der Zug
fährt mit einer Geschwindigkeit v = 200 km/h. In der Region, in der der Zug fährt hat das
Erdmagnetfeld eine Stärke von B = 10−4 T und einen Winkel von α = 65◦ zur Senkrechten.
Welche Spannung wird zwischen den beiden Schienen induziert?
Lösungshinweise:
Die Komponente des B-Feldes senkrecht zur Fahrtrichtung und zum Leiter (Abstand zwischen
den Schienen) ist:
B⊥ = B cos 65◦
6
Für die Spannung gilt (sieht man es als Potentialdifferenz, ist das Vorzeichen egal):
U=
=
dΦ
dt
∂ B⊥
∂t
|{z}
· A + B⊥ ·
=0
∂A
∂t
|{z}
=v b
= v bB⊥
Vs
200 m
· 1.5m · 0.4 × 10−4 2 ≈ 3 × 10−3 V
=
3.6 s
m
Aufgabe 7 [H] Gezogene Induktion
Eine quadratische Drahtschleife der Seitenlänge a wird von einem dazu senkrechten Magnetfeld der Stärke B durchflossen. Zwei gegenüberliegende Seiten werden nun mit konstanter Geschwindigkeit auseinandergezogen. Während des Auseinanderziehens bleibt die Schleife immer
in der Form eines Rechtecks. Das Auseinanderziehen dauert die Zeit ∆t. Die Leiterschleife hat
einen Widerstand R.
a) Wie groß ist die mittlere induzierte Spannung?
b) Wie groß ist die durch die induzierte Spannung insgesamt bewegte Ladung?
Lösungshinweise:
Die Aufgabenstellung war so gemeint, dass die gesamte Drahtlänge (der Umfang des Rechtecks)
beim ziehen konstant bleibt.
a) Wir ziehen so, dass sich jede Seite mit einer Geschwindigkeit v2 von ihrem Ursprungsort
wegbewegt. Also vergrößert sich die gesamte Schleife mit der Geschwindigkeit v , die wir als
a
v = ∆t
definieren. Dann gilt für die Seiten bzw. die Fläche:
x(t) =a + v t
y(t) =a − v t
A(t) =x(t) · y(t) = a2 − v 2 t 2
Das Magnetfeld ist zeitlich konstant, eine Spannung wird hier also nur aufgrund der veränderlichen Fläche induziert:
7
U(t) = − B
Ū =
dA
dt
Z∆t
1
= 2B v 2 t
2B v 2 tdt
∆t
0
2
=B v ∆t
=
a2 B
∆t
b)
Q=
Z∆t
Idt
0
=
1
Z∆t
U(t)dt
R
0
1
= v 2 ∆t 2
R
a2
=
R
Aufgabe 8 [H] Eisenbahn III (Eisenbahn mit Köpfchen...)
r
Eine Person steht an einem Bahnsteig und schaut in Richtung der Schienen. Die Strecke ist elektrifiziert, an der Oberleitung liegt ein Wechselω
strom der Form I(t) = I0 cos(ωt) an (I0 = 400 A, 2π
= 16 32 ). Der Kopf
befindet sich im Abstand R = 2 m zur Oberleitung.
a) Wie groß ist die im Kopf der Person induzierte Spannung? Betrachte
den Kopf vereinfacht als Kreisschleife mit Radius r = 10cm, wie in der
Abbildung. Das magnetische Feld kann über den ganzen Kopf als homogen
angenommen werden.
b) Die Person läuft nun in Richtung des Stromflusses mit v = 5 km/h. Wie verändert sich
dadurch die Spannung?
c) Der Zug ist 10 Minuten zu spät. Solange ist der Kopf den Kreisströmen ausgesetzt. Wie groß
ist die deponierte Energie? Nimm einen Widerstand von R k = 100 Ω für die Hirnmasse an!
8
Lösungshinweise:
Für alle Aufgaben: Das Magnetfeld in der Mitte des Kopfes ist
B(t) =
µ0 I(t)
2πR
=
µ0 I 0
2πR
cos(ωt)
a)
U = − ḂA
µ0 I 0
=
ω sin(ωt)A
2πR
µ0 I0 ωr 2
sin(ωt)
=
2R
b) Diese Aufgabe war missverständlich gestellt. Durch die Bewegung der Schleife gibt es eine
Potentialdifferenz zwischen oberer und unterer Seite. Die Potentialdifferenz durch das veränderliche Magnetfeld dagegen würde messbar, wenn man die gedachte Schleife an beliebiger
Stelle auftrennt, und zwischen den beiden Enden die Spannung misst. Das ganze lässt sich dann
aber nicht mehr einfach addieren.
c)
W=
=
10min
Z
U(t)I(t)dt
0
10min
Z
U2
R
dt
0
=
µ20 I02 ω2 r 4
10min
Z
4R k R2
sin2 (ωt)dt
0
2 2 2 4
µ I ω r
= 0 0 2 · 300s
4R k R
−7
=8.2 × 10 J
Aufgabe 9 [H] Koaxialkabel
Ein Koaxialkabel bestehe aus zwei dünnen, konzentrischen Hohlzylindern mit Radius r I bzw. rA.
Im inneren Leiter fließt ein Strom I, der über den Außenleiter wieder zurückfließt.
a) Berechne die magnetische Energie, die in einem Leiterstück der Länge l des Kabels gespeichert ist.
9
b) Berechne die Induktivität dieses Kabelstücks.
Lösungshinweise:Zunächst berechnen wir das Magnetfeld. Dazu benutzen wir das Amperesche
Gesetz, analog zur Donut-Aufgabe in Übung 2.
Im Inneren des kleineren Hohlzylinders muss das Feld 0 sein, da die Stromdichte nur auf dem
Rand des Hohlzylinders fließt. Genauso muss außen das Feld 0 sein, da durch jede Fläche der
Strom I einmal in die eine und einmal in die andere Richtung fließt.
Zwischen den Leitern wählen wir aus Symmetriegründen einen Zylinder des Radius r als Integrationsfläche, dort muss das Feld betragsmäßig konstant sein und radial nach außen zeigen.
Es ergibt sich ein Feld
2πr B = µ0 I
µ0 I
B=
2πr
a) Die Energiedichte des Magnetfeldes ist (zweite Zeile im Vakuum bzw. in guter Näherung auch
in Luft)
1
~ ·B
~
H
2
B 2 1 µ0 I 2
w=
=
2
8 πr
w=
Für ein Stück des Kabels der Länge l integrieren wir in Zylinderkoordinaten über einen Hohlzylinder von r I bis rA
W=
Z
wdV =
Z2π
Zl
dz
0
V
= l2π
ZrA
dr
ZrA
dr r w
dφ
0
rI
µ20 I 2
8π2 r
rI
=
µ20 I 2 l
4π
ln
rA
rI
b) Die Induktivität erhält man aus der im Kabel gespeicherten Energie
1
LI 2
2
µ20 l rA
2W
L= 2 =
ln
2π
rI
I
W=
10