Aufgaben: Zuverlässigkeit von Systemen

Ein System, das aus einer Serien-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann,
wenn beide einzelnen Komponenten gleichzeitig funktionieren.
A
B
Die Komponenten A bzw. B seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,99 bzw.
P(B) = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A bzw. B
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den Additionssatzes).
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des
Additionssatzes).
Das System funktioniert, wenn A UND B gleichzeitig funktionieren.
A:
Komponente A funktioniert.
A : ______________________
B
A
B
B : ______________________
B
B : ______________________
A
B
R : System funktioniert
F : System funktioniert nicht.
1
Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann,
wenn mindestens einer der beiden Komponenten funktionieren.
B
A
Die Komponenten A bzw. B seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,99 bzw.
P(B) = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A bzw. B
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den Additionssatzes).
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des
Additionssatzes) .
Das System funktioniert, wenn A ODER B funktionieren.
A:
Komponente A funktioniert.
A : ______________________
B
A
B
B : ______________________
B
B : ______________________
A
B
R : System funktioniert
F : System funktioniert nicht.
2
Folgendes gemischtes System ist gegeben.
A
B
C
Die Komponenten A , B bzw. C seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,9 P(B) = 0,9
bzw. P(C) = 0,8 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A , B bzw. C
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
der Definition von unabhängigen Ereignissen und des Additionssatzes.
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und des
Additionssatzes) .
Das System funktioniert, wenn „A UND B“ ODER C funktionieren.
A:
_____________________
A : ______________________
B : ______________________
B : ______________________
C : ______________________
C : ______________________
3
Die Airline DA bestellt für ihre Langstreckenflüge dreistrahlige Passagierjets der Marke Tri-Star
mit Turbinen vom Hersteller RR. Diese haben nach Angaben des Herstellers während eines
Langstreckenfluges eine Ausfallwahrscheinlichkeit von p = 0,01. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass während eines Langestreckenflugs
keine Turbine ausfällt (Ereignis E 0 )?
eine Turbine ausfällt (Ereignis E 1 )?
! 2 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 2 )
" alle 3 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 3 )
.
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
eines Ereignisbaums.
einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
A:
_____________________
A : ______________________
B : ______________________
B : ______________________
C : ______________________
C : ______________________
E0 =
P( E 0 ) =
E1 =
P( E 1 ) =
E2 =
P( E 2 ) =
E3 =
P( E 3 ) =
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
4
Beim Ausfallen der Turbinen gerät ein Flugzeug in Absturzgefahr. Die Wahrscheinlichkeit für die
Absturzgefahr des Flugzeugtyps aus der vorigen Aufgabe
beträgt 0,001, wenn keine Turbine ausfällt.
beträgt 0,1, wenn eine Turbine ausfällt.
beträgt 0,7, wenn 2 Turbinen ausfallen.
beträgt 1, wenn alle 3 Turbinen ausfallen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug in Absturzgefahr gerät?
Lösung mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit.
: ______________________
: ______________________
: ______________________
: ______________________
G : Flugzeug gerät in die Absturzgefahr.
G
=
P( G ) =
_________________________________________________________
________________________________________________________
5
# Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit 4 Komponenten besteht, funktioniert
dann, wenn mindestens einer der 4 Komponenten funktionieren. Die 4 Komponenten seien
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass jeweils eine Komponente
funktioniert beträgt 0,9
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System ausfällt.
dass das System funktioniert.
Das System fällt aus wenn alle Komponenten gleichzeitig ausfallen.
p = 0,9
q = 0,1
P(F) = 0,1 4 = 0,0001
P(R) = 1 – P(F) = 0,9999
Beide Teilaufgaben sind auch mit Hilfe der Binomialverteilung mit n = 4 und p = 0,9 lösbar.
$
Erstellen Sie eine allgemeine Formel für die Zuverlässigkeits- bzw. AusfallWahrscheinlichkeit eines Serien-System mit n unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen
Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,
Für die Ausfallwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Komponenten gilt:
q 1= 1 – p 1 ; q 2= 1 – p 2 ; . . . ; q n= 1 – p n
A1
A2
An
$
Erstellen Sie eine allgemeine Formel für die Zuverlässigkeits- bzw. AusfallWahrscheinlichkeiten eines Parallel-System mit n unabhängigen Komponenten mit den
jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,
Für die Ausfallwahrscheinlichkeiten der jeweiligen Komponenten gilt:
q 1= 1 – p 1 ; q 2= 1 – p 2 ; . . . ; q n= 1 – p n
A1
A2
An
6
% Ein Flugzeugtyp besitzt 3 identische Bord-Computer die unabhängig voneinander gleiche
Aufgaben (Eingaben aus den Sensoren) bearbeiten. Die Ausgaben (Outputs) dieser 3 Computer
werden miteinander verglichen, wenn mindestens 2 Ausgaben identisch sind, wird das Ergebnis
vom Steuerungssystem ausgeführt. Falls einer der 3 Computer einen Fehler macht, funktioniert
das System immer noch. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Computer einen Fehler
macht, beträgt 10%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass das System zuverlässig funktioniert?
dass das System einen Fehler macht?
Binomialverteilung mit n = 3 und p = 0,9.
P(R) = P(X > 1) = 1 – P(X
1) = 0,972
P(F) = 1 – P(R) = 0,028
& Zur Messung des Druckes werden in einer Dampfturbine 3 von einander unabhängige
Sensoren eingebaut. Ein Auswertungssystem vergleicht die Ausgaben (Output-Signale) der 3
Sensoren miteinander. Wenn mindestens 2 dieser Ausgaben identisch sind, wird das
Messergebnis angenommen und für andere Steuergeräte verwendet.
S
Sensorensystem
S
S1
S1
W
W
S1
Auswertungssystem
Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass jeder Sensor einen Fehler macht, beträgt 10%.
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das System zuverlässig funktioniert
(d.h., dass 2 oder 3 Sensoren keinen Fehler machen) 0,972 beträgt.
Das Auswertungssystem verwendet immer die Messergebnisse, wenn mindestens 2 der
Ergebnisse identisch sind. In 1% der Fälle kommt es aber leider vor, dass 2 oder 3 Sensoren
den gleichen Fehler machen, so dass das Auswertungssystem die Ergebnisse als richtig
annimmt und weiter verwendet.
In wie viel Prozent der Fälle insgesamt werden die Ergebnisse der Sensoren vom
Auswertungssystem angenommen?
! Wenn ein Messergebnis angenommen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
dieses Ergebnis Fehlerhaft ist?
7
Binomialverteilung mit n = 3 und p = 0,9.
P(S)=P(X > 1)= 1– P(X
1 ) = 0,972
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
P ( W | S ) = 1,0 ; P ( W | S ) = 0,01
P ( W ) = 0,97228
! Satz von Bayes
P ( S | W ) = 0,00028
' Die folgende Maschine besteht aus 4 Komponenten. Die Komponenten A ; B ; C1 bzw.
C2 funktionieren unabhängig von einander. Es seien P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,8 ; P(C1) = 0,6
bzw. P(C2) = 0,6 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A ; B ; C1 bzw. C2
(zuverlässig) funktionieren.
Die Maschine funktioniert dann zuverlässig, wenn die Komponenten
„A und B und C1 „ oder „A und B und C2 „ oder „alle 4 Komponenten“
zuverlässig funktionieren.
C1
A
B
C2
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass die Maschine zuverlässig funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass die Maschine ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
Wie viele weitere Komponenten C mit P(C) = 0,6 müssen parallel zu den beiden
Komponenten C1 und C2 geschaltet werden, damit die Wahrscheinlichkeit für die
Funktionsfähigkeit (Zuverlässigkeit) der Maschine mindestens 70% (d.h. 70% oder mehr als
70%) beträgt?
P(R) = 0,6048 ; P(F) = 0,3952
Es müssen noch 2 weitere C-Komponenten parallel geschaltet werden.
8