Wenn zwei Körper vollkommen elastisch, d.h. ohne Energieverluste

Wenn zwei Körper vollkommen elastisch, d.h. ohne Energieverluste, zusammenstoßen, reicht der
Energieerhaltungssatz nicht aus, um die Situation nach dem Stoß zu beschreiben.
Wenn wir als Beispiel zwei Wagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlichen
Geschwindigkeiten zusammenstoßen lassen, können wir berechnen, wie groß die kinetische
Energie jedes einzelnen Wagens vor dem Stoß ist:
1
1
E kin , 1 = ⋅m1⋅v 21 und E kin , 2 = ⋅m2⋅v 22
2
2
Die Gesamtenergie des Systems „Zwei Wagen“ vor dem Stoß ist dann:
1
1
E Ges , vor = ⋅m1⋅v 21  ⋅m2⋅v 22
2
2
Wir können die potentiellen Energien vernachlässigen, da wir praktischerweise das HöhenNullniveau auf die Fahrbahnebene setzen. Spannenergie ist in der Bewegung der Wagen nicht
enthalten.
Der Energieerhaltungssatz fordert nun, dass sich die Gesamtenergie durch den Stoß nicht
verändert. Das bedeutet für die Gesamtenergie nach dem Stoß:
1
1
E Ges , nach = E Ges ,vor = ⋅m1⋅u 21  ⋅m2⋅u22
2
2
Damit erhalten wir die Gleichung:
1
1
1
1
⋅m1⋅v 21  ⋅m2⋅v 22 = ⋅m1⋅u 21  ⋅m2⋅u22
2
2
2
2
Wir haben also eine Gleichung mit zwei unbekannten Größen, nämlich die beiden
Geschwindigkeiten u1 und u2 der Wagen nach dem Stoß. Damit können wir diese Größen nicht
bestimmen.
Zur Lösung des Problems suchen wir eine zweite Beziehung zwischen u1 und u2.
Diese wird uns geliefert, wenn wir uns die Stoßsituation näher betrachten:
Wenn zwei Körper aufeinanderstoßen, werden Kräfte übertragen. Körper 1 übt auf Körper 2 die
Kraft F1auf2 aus. Als Reaktion übt Körper 2 auf Körper 1 die Kraft F2auf1 aus. Beide Kräfte sind gleich
groß, aber entgegengesetzt gerichtet:
F 1auf2 = −F 2auf1
Dies ist das dritte Newton'sche Gesetz, das Wechselwirkungsprinzip. Zusammen mit dem zweiten
Newton'schen Gesetz, dem Aktionsprinzip, können wir daher schreiben:
m1⋅a 1 = −m2⋅a2
Wir wissen, dass die Beschleunigung a ein Maß für die Veränderung der Geschwindigkeit in einem
Zeitintervall ist:
a=
v
t
Damit wird das Wechselwirkungsprinzip zu:
m1⋅
 v1
t
= −m2⋅
 v2
t
Multipliziert mit dem Term ∆t:
m1⋅ v 1 = −m2⋅ v 2
Der Term ∆v ist gleichbedeutend mit dem Unterschied der Geschwindigkeiten vor und nach dem
Stoß:
v = u − v
Also folgt:
m1⋅  u 1 − v 1  = −m2⋅  u 2 − v 2
Durch Auflösen der Klammern und Umsortierung erhalten wir:
m1⋅u 1 − m1⋅v 1 = −m2⋅ u2  m2⋅v 2
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅u 1  m2⋅u 2
Dort stehen jeweils die Produkte aus Masse und
Geschwindigkeit. Diesem Produkt gab man den
Namen Impuls, mit dem Formelzeichen p.
p = m⋅v
Die Einheit des Impulses ist: [p ] = 1Ns
Auf der linken Seite der Gleichung ist die Summe der Impulse beider Wagen vor dem Stoß, auf der
rechten Seite die Summe der Impulse beider Wagen nach dem Stoß. Wir haben es also mit der
Erhaltung des Impulses zu tun:
Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß.
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅u 1  m2⋅u 2
Diese Gleichung können wir nun nach einer der unbekannten Geschwindigkeiten umformen und in
die Gleichung aus dem Energieerhaltungssatz einsetzen. Damit erhalten wir eine Gleichung mit
einer Unbekannten, die wir lösen können. Vorher aber sollten wir die Gleichung aus dem
Energieerhaltungssatz etwas vereinfachen:
1
1
1
1
⋅m1⋅v 21  ⋅m2⋅v 22 = ⋅m1⋅u 21  ⋅m2⋅u22
2
2
2
2
m1⋅v 21  m2⋅v 22 = m1⋅u 21  m2⋅u 22
m1⋅v 21 − m1⋅u 21 = m2⋅u22 − m2⋅v 22
m1⋅ v 21 − u 21  = m2⋅ u22 − v 22 
m1⋅ v 1 − u 1 ⋅ v 1  u1  = m2⋅ u2 − v 2⋅ u2  v 2 
Aus der Impulserhaltung können wir eine ähnliche Gleichung aufstellen:
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅u1  m2⋅u 2
m1⋅ v 1 −ù1  = m2⋅ u2 − v 2 
Wenn wir nun die beiden Gleichungen durcheinander teilen, erhalten wir:
v 1  u 1 = u2  v 2
u1 = u 2  v 2 − v 1
Eingesetzt in die Impulserhaltung:
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅u 1  m2⋅u2
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅ u2  v 2 − v 1  m2⋅u 2
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1⋅u2  m1⋅v 2 − m1⋅v 1  m2⋅u 2
u 2⋅ m1  m2  = 2 m1⋅v 1  m2⋅v 2 − m1⋅v 2
u2 =
Analog erhalten wir:
u1 =
2 m1⋅v 1   m2 − m1 ⋅v 2
m 1  m2
2 m2⋅v 2   m1 − m2 ⋅v 1
m1  m 2
Mit diesen beiden Formeln können wir nun die Geschwindigkeiten der beiden Wagen nach dem
Stoß berechnen.
Diese Formeln gelten aber nur für elastische Stöße, bei denen keine Energie „verloren“ geht.
Bei den unelastischen Stößen wird Energie, besser Bewegungsenergie der Stoßpartner, abgegeben.
Damit gilt der Energieerhaltungssatz hier nicht. Mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes können wir
aber trotzdem weitermachen, denn für die vollkommen unelastischen Stöße gilt:
Beide Stoßpartner bewegen sich nach dem Stoß als Einheit weiter.
Sie besitzen dieselbe Geschwindigkeit.
Damit wird der Impulserhaltungssatz zu:
m1⋅v 1  m2⋅v 2 = m1  m2⋅u
Damit können wir die Geschwindigkeit nach dem Stoß einfach berechnen:
u=
m1⋅v 1  m2⋅v 2
m1  m2
Beispiele:
1. Ein Güterwaggon der Masse m1 = 25 t rollt ein 50 m langes, unter 2° gegen die Horizontale
geneigtes Gleis hinab und stößt dann auf einen dort abgestellten, ruhenden Güterwaggon
der Masse m2 = 18 t. Beim Anstoßen kuppeln beide Wagen zusammen und bilden eine
Einheit.
a) Mit welcher Geschwindigkeit stößt der erste Waggon an den zweiten?
b) Mit welcher Geschwindigkeit rollen beide Waggons weiter?
Lösung:
a)
Folgende Geometrie liegt vor:
50 m
h
2°
Wenn wir die Höhe h kennen, können wir unter Vernachlässigung der Reibung den
Energieerhaltungssatz nutzen, um die Geschwindigkeit des ersten Waggons am unteren Ende der
Steigung zu berechnen.
h
50 m
h = 50 m⋅sin2 °
h = 1,745 m
sin  =
Im Zustand 1, am oberen Ende der Steigung, ist die Gesamtenergie ausschließlich als potentielle
Energie vorhanden:
E Ges = m⋅g⋅h
m
E Ges = 25000kg⋅9,81 2 ⋅1,745m
s
E Ges = 427961,25 J
Am unteren Ende der Steigung befinden wir uns im Zustand 2. Die gesamte Energie liegt als
kinetische Energie vor:
1
E Ges = ⋅m⋅v 2
2
2⋅E Ges
v=
m
2⋅427961,25 J
v=
25000 kg
m
v = 5,85
s


A: Der erste Waggon stößt mit einer Geschwindigkeit von 5,85 m/s an den zweiten Waggon.
b)
Da beide Waggons nach dem Stoß als Einheit weiterrollen, liegt ein vollkommen
unelastischer Stoß vor. Die Geschwindigkeit nach dem Stoß lässt sich nach folgender Formel
berechnen:
u=
m1⋅v 1  m2⋅v 2
m1  m2
Mit den gegebenen Werten versehen:
m
m
 18000kg⋅0
s
s
25000 kg  18000kg
m
u = 3,40
s
25000kg⋅5,85
u=
A: Beide Waggons rollen mit einer Geschwindigkeit von 3,4 m/s nach dem Stoß weiter.
2. Ein Körper der Masse m1 = 2 kg und der Geschwindigkeit v1 = 24 km/h trifft elastisch auf
einen zweiten, ruhenden Körper der Masse m2. Nach dem Stoß bewegen sich beide Körper
mit gleich großer, aber entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit voneinander weg.
Wie groß ist die Masse m2 des zweiten Körpers und wie groß der Geschwindigkeitsbetrag
nach dem Stoß?
Lösung:
Die gegebene Geschwindigkeit des ersten Körpers muss erst umgerechnet werden:
v1 = 24 km/h = 6,67 m/s
Wir kennen die Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
u1 = -u2
Mit den beiden Formeln für die Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß können wir
also schreiben:
2 m2⋅v 2   m1 − m2 ⋅v 1
2 m1⋅v 1   m2 − m1 ⋅v 2
u1 =
=−
= −u 2
m1  m2
m1  m2
0   m1 − m2 ⋅v 1
2 m1⋅v 1  0
=−
m1  m2
m1  m2
 m1 − m2 ⋅v 1 = − 2 m1⋅v 1
m1  m2
m 1  m2
 m1 − m2⋅v 1 = −2 m1⋅v 1
−m2⋅v 1 = −3 m1⋅v 1
m2 = 3 m1
Damit kann m2 mit 6 kg berechnet werden.
Mit
u1 =
2 m2⋅v 2   m1 − m2 ⋅v 1
m1  m2
kann die Geschwindigkeit nach dem Stoß berechnet werden:
0   2kg − 6 kg ⋅6,67
u1 =
m
s
2 kg  6 kg
m
u1 = −3,34
s
Zur Überprüfung:
u2 =
2 m1⋅v 1   m2 − m1 ⋅v 2
m1  m2
2⋅2kg⋅6,67
u2 =
m
s
8 kg
m
u2 = 3,34
s
Der Geschwindigkeitsbetrag beider Körper nach dem Stoß ist also 3,34 m/s.