Formelsammlung für Elektrotechnik 1. Semester

Formelsammlung für Elektrotechnik
1. Semester
c
Andreas
Koch
[email protected]
Neustadt/Aisch, den 10. Januar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Das
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
elektrostatische Feld
Das Coulombsche Gesetz (S.8) . . . . . . . . . . . . . .
Die elektrische Feldstärke (S.8) . . . . . . . . . . . . . .
Die Arbeit und das elektrostatische Potential (S.12) . .
Die elektrische Spannung (S.16) . . . . . . . . . . . . . .
Die elektrische Flussdichte (elektrische Erregung) (S.16)
Feldstärke an leitenden Oberflächen (S.17) . . . . . . . .
Die dielektrische Polarisation (S.19) . . . . . . . . . . .
Das Verhalten der Feldgrößen an Grenzfächen (S.22) . .
Die Kapazität (S.23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Plattenkondensator (S.22) . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Kugelkondensator (S.23) . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Zusammenschaltung von Kondensatoren (S.26) . . . . .
1.11 Der Energiegehalt eines Feldes (S.27) . . . . . . . . . . .
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4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
stationäre elektrische Strömungsfeld
Der elektrische Strom und Stromdichte (S.29) . . . . . . . . . . . .
Definition eines stationären Strömungsfeldes (S.32) . . . . . . . . .
Ladungsbewegung im Leiter (S.32) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die spezifische Leitfähigkeit und der spezifische Widerstand (S.33)
Das Verhalten an Grenzflächen (S.35) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Sonderfall verschwindende Leitfähigkeit κ = 0 (S.36) . . . .
2.5.2 Sonderfall perfekte Leitfähigkeit κ → ∞ (S.36) . . . . . . .
2.6 Das Ohmsche Gesetz (S.36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Widerstand einer Hohlkugel (S.38) . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Energie und Leistung (S.39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
7
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7
7
7
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8
3 Stromleitungsmechanismen
3.1 Stromleitung im Vakuum im homogenen Feld (S.41) . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
4 Einfache elekrische Netzwerke
4.1 Die Kirchhoffschen Gleichungen (S.55) . . . .
4.2 Zusammenschaltung von Widerständen (S.57)
4.2.1 Spannungsteiler (S.58) . . . . . . . . .
4.2.2 Stromteiler (S.58) . . . . . . . . . . .
4.3 Leistungsanpassung und Wirkungsgrad (S.60)
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2 Das
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
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8
9
9
9
9
stationäre Magnetfeld
Kraft auf stromdurchflossene dünne Leiter (S.68)
Kraft auf geladene Teilchen (S.71) . . . . . . . .
Die magnetische Feldstärke (S.73) . . . . . . . .
Die magnetische Feldstärke (S.73) . . . . . . . .
Das Oerstedsche Gesetz (S.73) . . . . . . . . . .
5.5.1 Ein unendlich langer Linienleiter (S.75) .
5.5.2 Toroidspule (S.76) . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Gestreckte Zylinderspule (S.77) . . . . . .
5.6 Die magnetische Spannung (S.78) . . . . . . . . .
5.7 Der magnetische Fluss (S.78) . . . . . . . . . . .
5.8 Die magnetische Polarisation (S.79) . . . . . . . .
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9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
5 Das
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
2
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5.9 Das Verhalten der Feldgrößen an Grenzflächen (S.83) .
5.10 Die Analogie zw. elektrischem und magnetı́schen Kreis
5.11 Die Induktion (S.87) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Ringkernspule (S.88) . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.2 Doppelleitung (S.89) . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Der magnetische Kreis und der AL -Wert (S.90) . . . .
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11
11
12
12
12
12
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13
13
13
13
13
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15
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16
16
16
16
17
17
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18
18
19
19
19
19
20
20
20
21
21
22
22
8 Schaltvorgänge
8.1 RC-Netzwerk an Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 RL-Netzwerk an Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Lösen der Gleichungen in 3 Schritten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
23
9 Anhang
9.1 Variablen und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
6 Das
6.1
6.2
6.3
6.4
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(S.84)
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zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld
Das Induktionsgesetz (S.93) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Selbstinduktion (S.98) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenschaltung von Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . .
Die Gegeninduktion (S.100) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Die Gegeninduktion zweier Doppelleitungen (S.101) . . .
6.4.2 Die Koppelfaktoren (S.104) . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Der Energieinhalt eines Feldes (S.104) . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Anwendung der Bewegungsinduktion (S. 107) . . . . . . . . . . .
6.6.1 Das Generatorprinip (S.107) . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Der Drehstromgenerator (S.110) . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Anwendung der Ruheinduktion (S.112) . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Der verlustlose Übertrager (S.112) . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Die Punktkovention (S.115) . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.3 Der verlustlose streufreie Übertrager k = 1 (S.117) . . . .
6.7.4 Der ideale Übertrager: Rm → 0(S.117) . . . . . . . . . . .
6.7.5 Die Widerstandstransformation (S.119) . . . . . . . . . .
6.7.6 Ersatzschaltbilder für den verlustlosen Übertrager (S.119)
6.7.7 Der Spartransformator (S.124) . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Zeitlich periodische Vorgänge
7.1 Kurvenformen und ihre Kenngrößen (S.125) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Strom- und Spannungsbeziehungen an den Bauelementen (S.127) . . . . . .
7.3 Wechselspannung und Wechselstrom (S.129) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Der Ohmsche Widerstand an Wechselspannung (S.131) . . . . . . .
7.3.2 Induktivität an Wechselspannung (S.132) . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Der Kondensator an Wechselspannung (S.133) . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Die Diode an Wechselspannung (S.134) . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Komplexe Wechselstromrechnung (S.135) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Beispiel 1 (S.137) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Beispiel 2: Lösung mit der komplexen Wechselstromrechnung (S.140)
7.5 Resonanzerscheinungen (S.142) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Der Serienschwingkreis (S.142) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Der Parallelschwingkreis (S.146) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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1
1.1
Das elektrostatische Feld
Das Coulombsche Gesetz (S.8)
F~2 = ~er
1.2
1 Q1 Q2
4π0 r2
0 = 8, 854 · 10−12
As
Vm
(2.2)
Die elektrische Feldstärke (S.8)
Q1
4π0 r2
X ~ri
~ p) = 1
E(r
3 Qi
4π0
r
i
i
~ 1 = ~er
E
~ 1 Q2
F~2 = E
(2.3)
~ri = ~rP − ~rQi
ri = |~ri |
(2.5)
Die Feldlinien stehen auf leitenden (metallischen) Oberfächen senkrecht.
1.3
Die Arbeit und das elektrostatische Potential (S.12)
ZP1
Die Arbeit:
We = −
F~ · d~s = −Q
P0
I
Im Quellenfeld gilt:
Arbeit durch
potentielle Energie:
ZP1
~ · d~s
E
(2.12)
P0
~ · d~s = 0
E
(2.14)
P

Z1
~ · d~s = Q [ϕe (P1 ) − ϕe (P0 )]
We = Q  (−E)
(2.15)
P0
1.4
Absolute potentielle
Energie für P0 → ∞
denn ϕe (P0 ) → 0:
We (P1 )
=−
ϕe (P1 ) =
Q
Potentielle Energie
in einem radialen Feld:
ϕe (r2 ) =
ZP1
~ · d~s
E
(2.17)
P0
Q1
4π0 r2
(2.19)
Die elektrische Spannung (S.16)
ZP2
U12 = ϕe (P1 ) − ϕe (P2 ) =
~ · d~s
E
(2.22)
P1
Im Plattenkondensator:
1.5
U = Ed
Die elektrische Flussdichte (elektrische Erregung) (S.16)
~ = 0 E
~
D
II
Ψe =
D(r) =
~ · dA
~=Q
D
II
=
Q
4πr2
(2.26, 2.29)
~ · dA
~
0 E
4
(2.28)
1.6
Feldstärke an leitenden Oberflächen (S.17)
Ladung auf der
Kugeloberfläche:
bei ortsabhängiger
Ladungsverteilung:
1.7
σ=
Q
4πa2
(2.30)
~ =σ
~ = ~n · 0 E
~n · D
(2.32)
Komponenten von E:
Et = 0, En =
σ
0
(2.33)
Komponenten von D:
Dt = 0, Dn = σ
(2.33)
Die dielektrische Polarisation (S.19)
~ = r 0 E
~ = E
~
D
(2.34)
Die dielektrische Polarisation beschreibt einerseits die Reduzierung der ele.
Feldstärke im Dielektrikum bei konstant gehaltener Flussdichte, andererseits kann
sie aber auch interpretiert werden als die Erhöhung der Flussdichte im Dielektrikum
bei konstant gehaltener ele. Feldstärke.
Wenn zwei Körper sich anziehen, so müssen sie nicht zwangsläufig versch. Gesamtladungen haben (andere Anziehungsmöglichkeit: Polarisation).
Aber: Wenn sich zwei Körper abstoßen, so haben sie gleiche Gesamtladungen.
1.8
1.9
Das Verhalten der Feldgrößen an Grenzfächen (S.22)
Normalkomponenten:
Dn1 = Dn2
Tangentialkomponenten:
Et1 = Et2
Dt1
1
=
Dt2
2
→
(2.37)
(2.39)
(unabhängig von der Geometrie)
(2.42)
Plattenkondensator (S.22)
(2.26)
E =
D
0 r
(2.33)
=
σ
Q
=
0 r
0 r A
Somit:
1.9.2
1 En1 = 2 En2
Die Kapazität (S.23)
Q=CU
1.9.1
→
C=
somit
C=
Q (2.22) E 0 r A
=
U
Ed
0 r A
A
=
d
d
(2.44)
(2.46)
Kugelkondensator (S.23)
Zb
Uab =
a
Q
~ · d~r (2.29)
E
=
4π0
Somit:
Kapazität gegen eine
unendlich ferne Hülle:
Zb
a
1
Q b − a (2.42) Q
=
2 dr = 4π
C
r
0 ba
C = 4π0
ba
b−a
C = 4π0 a
(2.47)
(2.47)
(2.49)
5
1.10
Zusammenschaltung von Kondensatoren (S.26)
Cges =
Parallelschaltung:
n
X
Ck
k=1
n
X 1
1
=
Cges
Ck
Reihenschaltung:
k=1

 U1 = · · · = U2
ϕe (C1 ) = · · · = ϕe (Ck )
(2.50)

Qges = Q1 + · · · + Qk

 Uges = U1 + · · · + Uk
ϕges = ϕe (C1 ) + · · · + ϕe (Ck ) (2.51)

Q1 = · · · = Qk
Reihenschaltung: Die Gesamtkapazität ist kleiner als die kleinste Einzelkapazität.
1.11
Der Energiegehalt eines Feldes (S.27)
(2.15)
(2.22)
(2.42)
dWe = (ϕea − ϕeb ) dq = Uab dq =
1
We =
C
ZQ
q dq =
1 Q2
2 C
1
q dq
C
1
We = CU 2
2
(2.42)
→
(2.53)
(unabhängig von
der Geometrie)
(2.54)
0
Energie eines
homogenen Feldes:
Energiedichte:
Energie eines
ortsabhängigen Feldes:
We =
1 A
1
(2.34) 1
(E d)2 = E 2 |{z}
Ad =
EDV
2 d
2
2
V
1 ~ ~
E·D
2
ZZZ
ZZZ
1
We =
ωe dV =
E D dV =
2
VZ Z Z
V
1
~
~
We =
E · D dV
2
ωe =
(2.55)
(2.56)
(2.57)
V
2
2.1
Das stationäre el. Strömungsfeld (S.29)
Der elektrische Strom und Stromdichte (S.29)
Stromstärke:
Stromdichte:
Raumladungsdichte:
Flussdichte durch
Raumladungsdichte:
Strom durch Fläche:
I=
dQ
dt
dt → 0
∆I
∆A
∆Q
ρ=
∆V
J=
(3.3)
(3.4)
(3.5)
V
∆x
z }| {
z }| {
∆Q
ρ ∆x ∆A
ρ vx ∆t ∆A (3.4) ~
I=
=
=
→ J = ρ ~v (3.11)
∆t
t
∆t
ZZ
~
I=
(3.13)
J~ · dA
A
6
2.2
Definition eines stationären Strömungsfeldes (S.32)
II
Beim Gleichstrom gilt:
~=0
J~ · dA
(3.14a)
A
2.3
Ladungsbewegung im Leiter (S.32)
~
~v = −µe E
2.4
µe = Beweglichkeit (Materialabh.)
Die spezifische Leitfähigkeit und der spezifische Widerstand (S.33)
κ = spez. Leitfähigkeit
(3.15)
~ = n e µe E
~ = κE
~ n = Anzahl der e− pro V
J~ = ρ ~v = (−e n)(−µe E)
| {z }
e = Elementarladung
κ
1
spezifischer Widerstand: ρR =
κ
Temperaturabhängigkeit: ρR (T ) = ρR (20◦ C)·[1+α(T-20◦ C)]
2.5
2.5.1
(3.16)
(3.18)
(3.19)
Das Verhalten an Grenzflächen (S.35)
Normalkomponenten:
Jn1 = Jn2
→
κ1 En1 = κ2 En2
(3.20)
Tangentialkomponenten:
Et1 = Et2
→
Jt1
κ1
=
Jt2
κ2
(3.22)
Sonderfall verschwindende Leitfähigkeit κ = 0 (S.36)
Jn1 = Etn1 = 0
2.5.2
(3.15)
(3.24)
Sonderfall perfekte Leitfähigkeit κ → ∞ (S.36)
Jt1 = Et1 = 0
(3.25)
An einer Trennebene zu einem nicht leitenden Bereich verlaufen Stromdichte und
ele. Feldstärke tangential. Aus einem perfekt leitenden Bereich treten ele. Feldstärke
und Stromdichte senkrecht aus.
2.6
Das Ohmsche Gesetz (S.36)
Das Ohmsche Gesetz:
(2.22)
U12 = ϕe1 − ϕe2 =
~ = ~ex Ex = ~ex I
E
κA
l
l
l
Z
Z
Z
Il
(3.28) I
~ex Ex · ~ex dx =
Ex dx =
dx =
κA
κA
~
J~ = κE
x=0
→
x=0
l
ρR l
=
κA
A
elektrische Widerstand:
R=
Spannung:
U = RI
elektrische Leitwert:
G=
(3.26)
(3.29)
x=0
(3.31)
(3.32)
1
R
(3.34)
7
2.6.1
Widerstand einer Hohlkugel (S.38)
I
~ = 1 J~ = 1 ~er J(r) = ~er
E
κ
κ
4π κ r2
Widerstand der
Hohlkugel:
2.7
R=
(2.22)
Zb
U =
~ · d~r =
E
a
Zb
~er
a
I
· ~er dr (3.37)
4π κ r2
U
1 b−a
=
I
4π κ b a
(3.38)
Energie und Leistung (S.39)
We = (ϕe1 − ϕe2 ) ∆Q = U ∆Q = U I ∆t
Z
dWe
P =
= U I → We = P dt
dt
Arbeit:
Leistung:
(3.39)
(3.40)
t
Verlustleistung“ am
”
Widerstand:
Verlustleistungsdichte:
Leistung in einem
ortsabhängigen Feld:
3
3.1
P = U I = I 2R =
U2
R
(3.41)
dP
~ · J~
=E
dV
ZZZ
ZZZ
~ · J~ dV
P =
pV dV =
E
pV =
(3.43)
(3.43)
Stromleitungsmechanismen (S.41)
Stromleitung im Vakuum im homogenen Feld (S.41)
F = m0 a =
eU
d
→
dV
→
dt
Zt
1 eU 2
y = vt =
t
2 m0 d
a=
eU
m0 d
eU
v=
t
m0 d
a=
(4.3)
(4.4)
eU
v(y) =
m0 d
r
2
m0 d y
eU
(4.5)
0
r
v(y) =
2U
e y
m0 d
Raumladungsgesetz:
4
4.1
An der Anode: y = d
4 0 A
I=
9 d2
r
→
v = max
2e 3/2
U
m0
(4.6)
(4.10)
Einfache elekrische Netzwerke (S.53)
Die Kirchhoffschen Gleichungen (S.55)
Maschenregel:
X
Uges = UR1 + · · · + URn
U =0
(5.4)
M asche
Knotenregel:
X
(5.7)
I=0
Knoten
8
4.2
Zusammenschaltung von Widerständen (S.57)
n
X
Rges =
Reihenschaltung:
Rk
k=1
n
X 1
1
=
Rges
Rk
Parallelschaltung:
k=1
Leitwerte bei
der Parallelschaltung:
Parallelschaltung für
zwei Widerstände:
4.2.1
und
und
max. Leistung bei:
(5.11)
Gk
k=1
R 1 R2
R1 + R 2
(5.10)
U2
R2
=
U
R 1 + R2
(5.12)
I2
U 1
R1
G2
=
=
=
I
R2 I
R1 + R2
G1 + G 2
(5.13)
Rges =
2
PL = I R L =
Ri = RL
max. Ausgangsleistung:
PLmax =
Wirkungsgrad:
η=
Leistungsverhältnis:
5.1
(5.9)
Leistungsanpassung und Wirkungsgrad (S.60)
Leistungsabfall am
Widerstand RL
5
Iges = I1 + · · · + In
U1 = · · · = Un
Stromteiler (S.58)
I1
R2
G1
=
=
I2
R1
G2
4.3
Gges =
(5.8)
Spannungsteiler (S.58)
U1
R1
=
U2
R2
4.2.2
n
X
I1 = · · · = In
Uges = U1 + · · · + Un
U0
Ri + RL
2
RL
(5.15)
Ri = Innenwiderstand
RL = Lastwiderstand
(5.17)
U0 2
4Ri
(5.18)
PL
RL
· 100%
· 100% =
Pges
Ri + RL
PL
PLmax
(5.15)
=
U0 2 RL 4Ri
4Ri RL
2
2 =
(Ri + RL ) U0
(Ri + RL )2
(5.19)
(5.23)
Das stationäre Magnetfeld (S.67)
Kraft auf stromdurchflossene dünne Leiter (S.68)
Rechte Handregel:
Daumen = Bewegungsrichtung der pos. Ladungen
Zeigefinger = Magnetfeldrichtung
Mittelfinger = Kraftrichtung
Kraftbetrag auf einen
Metallstab:
~ × I~s|
F = |F~ | = B I s sin α = |B
(6.4)
Kraft auf einen
Metallstab:
~
F~ = I~s × B
(6.5)
9
Kraft auf ein
Leiterstück:
F~AB = I
ZB h
i
~ r)
d~r × B(~
(6.6)
A
Kraft auf eine
Leiterschleife:
F~ = I
I h
i
~ r)
d~r × B(~
(6.7)
C
5.2
5.3
Kraft auf geladene Teilchen (S.71)
Lorentzkraft:
~
F~ = Q ~v × B
Kraft in beiden Feldern:
~ + ~v × B)
~
F~ = Q(E
(6.10)
(6.11)
Die magnetische Feldstärke (S.73)
~ = µ0 H
~
B
5.4
Q = bewegte Ladungsmenge
mit
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Am
(6.16)
Die magnetische Feldstärke (S.73)
I1
µ0 I1
→
B1 =
(6.13)
ρ
2π ρ
Gleichgerichtete Ströme ziehen sich an, entgegengesetzt gerichtete Ströme stoßen
einander ab.
B1 ∼
5.5
Das Oerstedsche Gesetz (S.73)
~ = ~eϕ I
~ = 1B
H
µ0
2πρ
(6.17)
I
Oerstedsche Gesetz:
~ · d~s = I
H
(6.19)
C
Durchflutung:
Θ=
X
I
Ik = I1 + I2 + · · · − I3 =
k
I
Durchflutungsgesetz:
~ · d~s
H
(6.21)
C
~ · d~s = Θ =
H
C
ZZ
~
J~ · dA
(6.22)
A
Das Oerstedsche Gesetz kann im allg. nicht zur Bestimmung der mag. Feldstärke verwendet werden, da aus der bekannten Durchflutung nur eine Aussage über das Um~ nicht aber über die ortsabhängige Verteilung der mag. Feldstärke
laufintegral von H,
gemacht werden kann.
Bei homogener Feldverteilung gibt es folgende Ausnahmen:
5.5.1
Ein unendlich langer Linienleiter (S.75)
Z2π
Z2πZρ I
ρ2
[~eϕ H(ρ)] · [~eϕ ρ dϕ] = 2πρ H(ρ) =
~ez 2 · [~ez ρ dρ dϕ] = 2 I
πa
a
0
innerhalb des Leiters:
(6.22)
(6.24)
0 0
~ = ~eϕ I ρ
H
2πa a
für
10
ρ≤a
(6.25)
außerhalb des Leiters:
5.5.2
~ = ~eϕ I a
H
2πa ρ
für
ρ≥a
(6.25)
Toroidspule (S.76)
(6.21)
Z2π
~eϕ H(ρ) · ~eϕ ρ dϕ = 2π ρ H(ϕ)
NI = Θ =
(6.26)
0
~ = ~eϕ N I
H
2πρ
Somit:
5.5.3
(6.26)
Gestreckte Zylinderspule (S.77)
~ = ~ex N I
Toroidspule mit 2πρ = l: H
l
5.6
(6.27)
Die magnetische Spannung (S.78)
ZP2
Vm12 =
~ · d~s
H
(6.28)
P1
Das Umlaufintegral der mag. Spannung ist nur dann 0, wenn der mit der eingeschlossenen Fläche verkettete Strom auch verschwindet.
5.7
Der magnetische Fluss (S.78)
ZZ
Ψm =
~ · dA
~
B
(6.29)
A
II
Umlaufintegral:
~ · dA
~=0
B
(6.30)
A
5.8
Die magnetische Polarisation (S.79)
~ = µr µ0 H
~ = µH
~
B
5.9
5.10
µ = µr µ0 = Permeabilität
(6.31)
Das Verhalten der Feldgrößen an Grenzflächen (S.83)
Normalkomponenten:
Bn1 = Bn2
→
µ1 Hn1 = µ2 Hn2
(6.36)
Tangentialkomponenten:
Ht1 = Ht2
→
µ1
Bt1
=
Bt2
µ2
(6.38)
Die Analogie zw. elektrischem und magnetı́schen Kreis (S.84)
(6.28)
(6.31)
V23 = H2 l2 =
B2 (6.29) l2
l2 =
Ψm
µ
µA2
(6.46)
l
µA
magnetischer
Widerstand:
Rm =
Ohmsches Gesetz des
magnetischen Kreises:
Vm = Rm Ψm
(6.46)
(6.47)
11
µA
1
=
Rm
l
X
X
Θ=
Rm Ψm =
Vm
magnetischer Leitwert:
Λm =
Maschenregel:
M asche
X
Knotenregel:
(6.48)
(6.49)
M asche
Ψm = 0
(6.50)
Knoten
5.11
Die Induktion (S.87)
Induktivität:
5.11.1
Ringkernspule (S.88)
ZZ
ΨmA =
(6.26)
~ ·A
~ =
B
Zh Zb
~eϕ
µN I
µN I h
b
· ~eϕ dρ dz =
ln
2π ρ
2π
a
z=0 ρ=0
A
Fluss durch den
Ringquerschnitt:
Induktivität:
für b − a a :
5.11.2
(6.51)
Ψm = N ΨmA = LI
µN Ih
b
ln
2π
a
µh
b
N ΨmA
= N2
ln
L=
I
2π
a
µA
L = N2
lm
ΨmA =
(6.52)
(6.53)
(6.56)
Doppelleitung (S.89)
Zb
Il
µ0 I l
b
1
Ψm,a =
dx =
ln
~ey µ0 Hy · ~ey dx dz = µ0
2π
x
2π
a
| {z } | {z }
x=a
z=0 x=0
~
~
B
dA
Ψm,a
µ0 l
b
äußere Induktivität:
La =
=
ln
I
2π
a
(6.29)
dΨm,i
Z l Zb
(6.57)
µ0 I x
= Bx dx dz =
dx dz
2π a2
innere Induktivität:
1
Li =
I
Die zugehörige Feldlinie umfasst
aber nicht den gesamten Strom, sondern nur: (x/a)2 I
Z l Za
z=0 x=0
Gesamtinduktivität
pro l:
5.12
Za
x2
µ0 l
2 dΨm,i =
a
2π a4
x3 dx =
(6.59)
(6.60)
µ0 l
(6.61)
8π
x=0
L
2(Li + La )
µ0
=
=
l
l
π
1
b
+ ln
4
a
(6.62)
Der magnetische Kreis und der AL -Wert (S.90)
Θ = (RmK + RmL ) ΨmA = Rm ΨmA lm ≈ π(a + b) − d
lm
d
1
Θ=NI=
+
ΨmA =
(lm + d µr ) ΨmA
µr µ0 A µ0 A
µ0 µr A
µ0 µr A
mag. Fluss im Kern:
ΨmA = N I
lm + d µr
12
(6.63)
(6.66)
(6.67)
Induktivität:
Der AL -Wert
Induktivität mit
AL -Wert:
6
6.1
N ΨmA
µ0 µr A
= N2
I
lm + d µr
1
AL = Λm =
Rm
(6.68)
L=
(6.70)
L = N 2 AL
(6.69)
Das zeitl. veränderliche ele.mag. Feld (S.93)
Das Induktionsgesetz (S.93)
U =−
dΨm
dt
= vx Bz l
(7.4)
Der in einer Leiterschleife induzierte Strom wirkt der ihn verursachenden Flussänderung entgegen.
Achtung: Nicht der Fluss, sondern dessen zeitliche Änderung soll verhindert werden.
dA
~ ·A
~ = Bz A
für B = konstant :
U =−
Bz
mit B
(7.3)
dt
dB
~ ·A
~ = Bz A
A
mit B
(7.9)
für A = konstant :
U =−
dt
ZZ
dΨm
d
Faradaysches
~ · dA
~
u(t) = R i(t) = −
=−
B
(7.10)
Induktionsgesetz:
dt
dt
A
I
in integraler Form:
~ · d~s = − d
E
dt
C
6.2
(7.11)
A
di
dt
(7.15)
Zusammenschaltung von Induktivitäten
Reihenschaltung:
Lges =
n
X
Lk
k=1
n
Parallelschaltung:
X 1
1
=
Lges
Lk
k=1
Parallelschaltung für
zwei Induktivitäten:
6.4
~ · dA
~
B
Die Selbstinduktion (S.98)
uL = L
6.3
ZZ
Lges =
L1 L2
L1 + L2
i1 = · · · = in
uges = u1 + · · · + un
(7.18)
iges = i1 + · · · + in
u1 = · · · = un
(7.16)
(7.17)
Die Gegeninduktion (S.100)
Der erste Index von Ψ kennzeichnet die Schleife, die von dem Fluss durchsetzt wird,
der zweite Index dagegen den Strom, der den Fluss erzeugt.
di1
di2
dΨm11 dΨm12
Spannung in der
u1 (t) =
±
= L11
± L12
(7.21)
dt
dt
dt
dt
Leiterschleife 1
13
Spannung in der
Leiterschleife 2
6.4.1
u2 (t) = ±
dΨm21 dΨm22
di1
di2
+
= ± L21
+ L22
(7.21)
dt
dt
dt
dt
Die Gegeninduktion zweier Doppelleitungen (S.101)
ZZ
Ψm21r =
(6.25)
~ · dA
~ =
B
−i1
µ0 i1
~eϕ
· (−~eϕ ) dρ dz =
l
2π ρ
2π
z=0 ρ=a
A2
Ψm21r =
Z l Zb
µ0 i1
b
l ln
2π
a
Gesamtfluss Ψm21
Zb
1
dρ
ρ
(7.22)
ρ=a
µ0 i1
d
l ln
2π
c
b
µ0 l
d
bc
µ0 l
=
i1 ln − ln
i1 ln
=
2π
a
c
2π
ad
Ψm21l = −
(7.23)
Ψm21
(7.24)
Ψm21
µ0 l
bc
=
ln
i1
2π
ad
Gegeninduktivität:
L21 =
Symetrie der
Gegeninduktivität:
Lik = Lki = M
(7.25)
M = Bezeichnung für die
Gegeninduktivität
(7.28)
Wahl der Vorzeichen von Punkt 6.5:
Unterstützen sich die entstehenden Flüsse der Selbst- und Gegeninduktion, so werden
die Vorzeichen gleich gewählt:
u1 (t) =
d
di1
di2
di1
di2
(Ψm11 + Ψm12 ) = L11
+ L12
= L11
+M
dt
dt
dt
dt
dt
(7.29)
d
di1
di2
di1
di2
u2 (t) =
(Ψm21 + Ψm22 ) = L21
+ L22
=M
+ L22
dt
dt
dt
dt
dt
6.4.2
Die Koppelfaktoren (S.104)
Ψm21
M
Ψm12
M
=
k12 =
=
Ψm11
L11
Ψm22
L22
p
M
k = k12 k21 = p
L11 L22
k21 =
u1 (t) = L11
(7.30)
(7.31)
p
di1
di2
+ k L11 L22
dt
dt
(7.32)
p
di1
di2
+ L22
u2 (t) = k L11 L22
dt
dt
6.5
Der Energieinhalt eines Feldes (S.104)
Energiezuwachs einer
Spule:
Gesamte Energie der
Spule:
dWm = uL iL dt = L iL
diL
dt = L iL diL
dt
ZI
Wm = L
iL diL
→
Wm =
1
L I2
2
(7.33)
(7.34)
0
Die Beziehung ist unabhängig von der Spulenform. L muss bei der Int. unabhängig
von iL sein, dies gilt bei konstanter Permeabilität.
14
Energie eines
2-Leistersystems:
Wm =
1
1
L11 I1 2 + M I1 I2 + L22 I2 2
2
2
n
Energie eines
n-Leistersystems:
Wm =
n
1 XX
Lik Ii Ik =
2
1
µ A lm 2 (6.26) 1 2
(6.56) 1
I =
L I2 =
N2
H µ A lm
2
2
2
lm 2
1
Energie eines
Wm = H B V
homogenen Feldes:
2
∧
lm = π (a + b) = 2π ρ
(7.42)
1
1 ~ ~
·B
HB = H
2
2
ZZZ
ZZZ
1
~ ·B
~ dV
=
ωm dV =
H
2
Energiedichte:
ωm =
(7.43)
Energie eines
ortsabhängigen Feldes:
Wm
(7.44)
V
6.6.1
(7.40)
i=1 k=1
1
1
1
1
L11 I1 2 + L12 I1 I2 + L21 I1 I2 + L22 I2 2
2
2
2
2
Wm =
6.6
(7.39)
V
Anwendung der Bewegungsinduktion (S. 107)
Das Generatorprinip (S.107)
Scheitelwert, Amplitude
oder Spitzenwert:
(6.29)
Ψm (t = 0) = Ψ̂m = Bx A = Bx a b
Drehwinkel:
ϕ(t) = ω t
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
2π
T
Frequenz:
f=
1
T
(7.46)
(7.47)
(7.48)
→
ω = 2π f
(7.49)
~
~
dA
B
Z Z z }|
}|
{
{ z
(7.46)
Ψm (t) =
~ex Bx · (~ex cos ϕ + ~ey sin ϕ) dA = Bx A cos ϕ =
(6.29)
A
(7.47)
zeitabhängige Fluss:
Ψm (t) = Ψ̂m cos ϕ = Ψ̂m cos ωt
Induzierte Spannung:
u(t) = −
d
(7.50)
Ψm (t) = ω Ψ̂m sin ωt = û sin ωt
dt
(7.50)
(7.51)
Dort wo eine der beiden Funktionen eine Nullstelle hat, hat die andere einen Extremwert. Sie sind gegeneinander phasenverschoben.
Der Wechselstrom hat den selben sinusförmigen Verlauf und Frequenz wie die Spannung
6.6.2
Der Drehstromgenerator (S.110)
Die an einer einzelnen Spule anliegende Spannung bzw. Strom wird als Strangspannung bzw. Strangstrom bezeichnet.
Als Leiterspannung bezeichnet man die jeweils zwischen zwei zum Verbraucher
geführten Leitungen anliegende Spannung. Der Strom in einer Leitung zwischen Verbraucher und Generator heißt Leiterstrom.
15
Ringschaltung bzw. Dreiecksschaltung:
√
Bei der Dreiecksschaltung sind die Leiterströme um den Faktor 3 größer als die
Strangströme, Leiterspannung und Strangspannung haben gleiche Amplituden.
Sternschaltung:
√
Bei der Sternschaltung sind die Leiterspannungen um den Faktor 3 größer als die
Strangspannungen, Leiterströme und Strangströme haben gleiche Amplituden.
6.7
6.7.1
Anwendung der Ruheinduktion (S.112)
Der verlustlose Übertrager (S.112)
di1
di2
−M
dt
dt
di1
di2
0 = R2 i2 − M
+ L22
dt
dt
Spannung im
Primärkreis:
Spannung im
Sekundärkreis:
u0 = R1 i1 + L11
(7.57)
(7.57)
Der Strom, der in Spule des Sekundärkreises induziert wird, erzeugt einen Fluss der
dem Fluss der Spule des Primärkreises entgegenwirkt.
6.7.2
Die Punktkovention (S.115)
Fließen an den mit den Punkten markierten Anschlussklemmen beide Ströme zu den
Punkten hin oder weg, dann sind die Gegeninduktivitäten M mit gleichem Vorzeichen
wie die Hauptinduktivitäten L in die Gleichung einzusetzten.
Im anderen Fall, bei dem der eine Strom zum Punkt hin fließt, der andere aber
vom Punkt weg, sind die Ausdrücke M und L mit unterschiedlichen Vorzeichen
einzusetzen.
Bei perfekter Kopplung ist es gleichgültig, ob man die Induktivität aus der Gesamtwindungszahl mit Gl. (6.69) direkt berechnet, oder ob man zwei Teilinduktivitäten
als Einzelinduktivität betrachtet und deren gegenseitige Kopplung berücksichtigt.
6.7.3
Der verlustlose streufreie Übertrager k = 1 (S.117)
u1 = N1
d
(Ψm1 − Ψm2 )
dt
Übersetzungsverhältnis:
6.7.4
u2 = N2
d
N2
(7.62)
(Ψm2 − Ψm1 ) = −u1
dt
N1
u1 N1
=
u2 N2 = ü
(7.63)
(7.64)
Der ideale Übertrager: Rm → 0(S.117)
(6.49)
(6.46)
Θ = N1 i1 − N2 i2 = Rm Ψm = Rm (Ψm1 − Ψm2 ) =
Näherungslösung
für Rm → 0 gilt:
kein Leistungsverlust:
Ideale Übertrager:
l
(Ψm1 − Ψm2 )
µA
i1
N2
1
=
=
i2
N1
ü
P1 = u1 i1 = (−ü u2 )
up
Np
is
=
= ü =
us
Ns
ip
16
(7.65)
(7.66)
i2
= −u2 i2 = R2 i2 2 = P2
ü
(7.67)
und up ip = us is
(7.69)
6.7.5
Die Widerstandstransformation (S.119)
Re =
6.7.6
up
up us is
=
ip
ip us is
(7.69)
= ü us
ü
= ü2 R2
is
(7.70)
Ersatzschaltbilder für den verlustlosen Übertrager (S.119)
dip
dis
−M
dt
dt
dip
dis
0 = R2 is − M
+ L22
dt
dt
dip
dis
−M
dt
dt
dip
dis
us = R2 is = M
− L22
dt
dt
up = u0 − R1 ip = L11
u0 = R1 ip + L11
(7.71)
(7.71)
Einführung eines Ersatznetzwerkes mit L11 − M = Ls1 und L22 − M = Ls2 als
Streuinduktivitäten und M = Lh als Hauptinduktivität. Somit gelten folgende
Maschenumläufe:
dip
dip
is
d
1 dis
ip −
u0 − R1 ip = (Ls1 + Lh )
+ Lh
− Lh
u0 = R1 ip = Ls1
|
{z
}
dt
dt
ü
dt
ü dt
|{z}
L11
M
d
is
d is
1 dip
1 dis
0 = ü us = −Lh
ip −
+ Ls2
us = Lh
− Ls2 + Lh ) 2
dt
ü
dt ü
ü dt
|{z}
|
{z ü } dt
M
L22
vgl. mit Gl. (7.71):
Ls1 = L11 − ü M
Lh = ü M
Ls2 = ü2 L22 − ü M (7.73)
Dies entspricht somit den Gl. (7.71). Das Übersetzungsverhältnis ü darf somit frei
gewählt werden.
Diese Vorgehensweise dient der Vereinfachung des Netzwerkes.
Das Übersetzungsverhältnis kann aber auch so gewählt werden, das eine der beiden
Streuinduktivitäten verschwindet. Wie im Folgenden: Ls2 = 0
p
r
M
L11 (7.31)
L11
M
2
p
Ls2 = 0 = ü L22 − ü M = ü L22 − M → ü =
=p
= k
2
L22
L22
L22
L11
L11
L22
analog
für Ls1 = 0 gilt:
1
ü =
k
Streuung oder
Streugrad:
σ = 1 − k2
r
L11
(7.31) p
ü =
und M =
L11 L22
L22
verlustlos + streufrei:
σ = 0 bzw. k = 1
6.7.7
N p 2 AL
Np 2
=
N s 2 AL
Ns 2
für Ls2 = 0 gilt:
(6.69)
=
r
→
ü = k
Np
Ns
1 Np
L11
=
L22
k Ns
(7.75)
(7.76)
(7.74)
Der Spartransformator (S.124)
Der Pimärkreis hat
weniger Windungen
als der Sekundärkreis:
up
Np
N1
=
=
us
Ns
N1 + N2
ip
Ns
N1 + N2
=
=
is
Np
N1
(7.77)
Der Pimärkreis hat
mehr Windungen
als der Sekundärkreis:
up
Np
N1 + N2
=
=
us
Ns
N1
ip
Ns
N1
=
=
is
Np
N1 + N2
(7.78)
17
7
7.1
Zeitlich periodische Vorgänge (S.125)
Kurvenformen und ihre Kenngrößen (S.125)
Für periodische
Signalverläufe gilt:
u(t + n T ) = u(t)
tZ
0 +T
1
ū =
T
Mittelwert:
1
u(t) dt =
2π
1
|ū| =
T
ϕZ
0 +2π
1
u(ϕ) dϕ =
2π
ϕ=ϕ0
t=t0
Gleichrichtwert:
Effektivwert
der Spannung:
u(ω t) d(ω t)
ϕ=ϕ0
ϕZ
0 +2π
|u(ω t)| d(ω t) (8.4)
ωt=ϕ0
Z2π
Zπ
û
| sin(ω t) d(ω t) =
| sin(ω t) d(ω t)
π
0
0
π
−û
2
=
cos(ω t) = û
π
π
0
v
v
u tZ0 +T
u
ϕZ
0 +2π
u
u
u1
u 1
2
ueff = t
[u(ω t)]2 d(ω t)
[u(t)] dt = t
T
2π
û
|ū| =
2π
(8.5)
(8.6)
ωt=ϕ0
t=t0
Momentanwert der
Verluste an einem
Widerstand mit
u(t) und i(t):
p(t) = u(t) i(t) = [i(t)]2 R =
Zeitl. Mittelwert der
Verluste an einem
Widerstand mit
ueff und ieff :
1
P̄ =
T
sinusförmiger Verauf
von i(t) = î sin(ω t):
(8.3)
ωt=ϕ0
1
|u(ϕ)| dϕ =
2π
1
|u(t)| dt =
2π
(8.1)
ϕZ
0 +2π
ϕZ
0 +2π
tZ
0 +T
t=t0
sinusförmiger Verauf
von u(t) = û sin(ω t):
u(ω t + n 2π) = u(ω t)
[u(t)]2
R
(8.7)
1
ueff 2
R
(8.8)
(3.41)
tZ
0 +T
p(t) dt = ieff 2 R =
t=t0
ieff
v
u Z2π
u
u 1
=t
[î sin(ω t)]2 d(ω t)
2π
(8.9)
0
1
Mit dem Additionstheorem sin2 x = (1−cos 2x) und dem verschwindenden Integral
2
über die cos-Funktion (der nachfolgenden Gleichung) gilt:
v
v
s
u Z2π
u Z2π
u 2
u 2
1
î2
î
u î
u î
ieff = t
[1 − cos(2ω t)] d(ω t) = t
d(ω t) =
= √ =I
(8.10)
2π
2
4π
2
2
0
Spitze-Spitze Wert:
7.2
0
uss = 2û
Strom- und Spannungsbeziehungen an den Bauelementen (S.127)
u(t) = R i(t)
→
i(t) =
18
1
u(t)
R
(8.11)
diL (t)
dt
Z
1
iC (t) dt
uC (t) =
C
uL (t) = L
7.3
→
iC (t) = C
Z
uL (t) dt
duC (t)
dt
(8.12)
(8.14)
u(t) = û cos(ω t + ϕu ) = û sin(ω t + ϕu + π/2)
i(t) = î cos(ω t + ϕi ) = î sin(ω t + ϕi + π/2)
(8.15)
Der Ohmsche Widerstand an Wechselspannung (S.131)
u(t) = û sin(ω t)
7.3.2
iL (t) =
Wechselspannung und Wechselstrom (S.129)
zeitlich periodische
Signalformen:
7.3.1
1
L
→
→
(8.11)
i(t) =
u(t)
û
=
sin(ω t)
R
R
→
û = R î
Induktivität an Wechselspannung (S.132)
Z
Z
1
û
−û
i(t) =
u(t) dt =
sin(ω t) dt =
cos(ω t) + I0
L
L
ωL
û
û
u(t) = û sin(ω t) →
i(t) = −
cos(ω t) = −
sin(ω t − π/2)
ωL
ωL
→ û = ω L î
(8.17)
(8.18)
(8.19)
An einer Induktivität sind Wechselspannung und Wechselstrom um 90 bzw. π/2 phasenverschoben, wobei der Strom nacheilt.
induktiver Widerstand
oder induktiver
Blindwiderstand
û
= ω L = XL
î
induktiver Bindleitwert:
BL =
1
1
=
XL
ωL
(8.20)
(8.20)
Der Widerstand steigt linear mit der Frequenz an. Für Gleichspannung stellt die
Induktivität einen Kurzschluss dar, bei sehr hoher Frequenz wird sie zum Leerlauf.
7.3.3
Der Kondensator an Wechselspannung (S.133)
i(t) = C
d
[û sin(ω t)] = ω C û cos(ω t) = ω C û sin(ω t + π/2)
dt
1
î
→ û =
ωC
(8.21)
An einer Kapazität sind Wechselspannung und Wechselstrom um 90 bzw. π/2 phasenverschoben, wobei die Spannung nacheilt.
kapazitiver Widerstand
oder kapazitiver
Blindwiderstand
û
1
=
= XC
ωC
î
kapazitiver Bindleitwert:
BC =
1
= ωC
XC
19
(8.22)
(8.22)
Der Widerstand nimmt mit steigender Frequenz ab. Für Gleichspannung stellt der
Kondensator einen Leerlauf dar, bei sehr hoher Frequenz wird er zum Kurzschluss.
7.3.4
Die Diode an Wechselspannung (S.134)
i(t) =
7.4
1
1
[u(t) − Uk ] = [û sin(ω t) − Uk ]
r
r
(8.23)
Komplexe Wechselstromrechnung (S.135)
u = Re{u} + j Im{u} = û cos(ω t + ϕu ) + j û sin(ω t + ϕu )
(8.24)
u = û [cos(ω t + ϕu ) + j sin(ω t + ϕu )] = û e j (ω t+ϕu ) = û e j ϕu e j ω t
(8.25)
Den in die komplexe Ebene übertragenen Spannungszeiger u kann man darstellen als
das Produkt aus einem zeitunabhängigen Faktor û e j ϕu und dem Zeitfaktor e j ω t
Die komplexen
Amplituden:
7.4.1
u = û e j ϕu e j ω t = Û e j ω t
i = î e j ϕi e j ω t = Iˆ e j ω t
Û = û e j ϕu
Iˆ = Iˆ e j ϕi
(8.26)
Beispiel 1 (S.137)
Schritt 1:
u(t) = û sin(ω t + ϕu ) = û cos(ω t + ϕu − π/2)
Komplexe Amplitude
für u(t) = û sin(ω t + ϕu ) → Û = û e j(ϕu −π/2)
Schritt 2:
i
d h
Û e j ω t = j ω Û e j ω t →
dt
Z
1
Û e j ω t →
Û e j ω t dt =
jω
d
→ jω
dt
Z
1
dt →
jω
(8.27)
(8.28)
(8.29)
Es gelten somit folgende Beziehungen zwischen den komplexen Amplituden:
Ohmschen Widerstand:
Û = R Iˆ
(8.30)
Induktivität:
Û = j ω L Iˆ
(8.31)
Kapazität:
Û =
Impedanz
(zeitl. unabhängig):
u (8.26) Û e j ω t
Û
=
=
=U
j
ωt
i
ˆ
Iˆ
Ie
p
mit
|Z| = R2 + X 2
Z = R + j X = |Z| e j ϕ
1 ˆ
I
jωC
(8.32)
→
und
Û = Z Iˆ
tan ϕ =
(8.33)
X
R
(8.34)
Für den ohmschen Widerstand R (hat nur einen Realteil), die Induktivität L und
die Kapazität C (beide haben nur einen Imaginärteil) gilt:
ZR = R
Z L = j ω L = j XL = XL e j π/2
20
ZC =
1
= −j XC = XC e −j π/2
jωC
Admittanz:
Y = |Y | e j Ψ =
X
Maschenregel:
1
1
1 −j ϕ
=
=
e
j
ϕ
Z
|Z|
|Z| e
Û = 0
(8.36)
(8.37)
M asche
X
Knotenregel:
Iˆ = 0
(8.38)
Knoten
Schritt 3:
Multiplikation der komplexen Amplitude mit dem Zeitfaktor e j ω t und anschließende
Realteilbildung.
7.4.2
Beispiel 2: Lösung mit der komplexen Wechselstromrechnung (S.140)
Schritt 1:
Ermittlung der komplexen Amplituden:
n
o
n
o
n
o
û cos(ω t + ϕu ) = Re û e j(ω t+ϕu ) = Re û e j ϕu e j ω t = Re Û e j ω t
n
o
n
o
n
o
î cos(ω t + ϕi ) = Re î e j(ω t+ϕi ) = Re î e j ϕi e j ω t = Re Iˆ e j ω t
Somit:
Û = û e j ϕu
(8.39)
(8.40)
Iˆ = Iˆ e j ϕi
Schritt 2:
(8.33)
(8.35)
Maschenumlauf: Û = Û R + Û L = Z R Iˆ + Z L Iˆ = (R + j ω L) Iˆ = Z Iˆ (8.51)
q
ωL
Berechnung der
Z = R + j ω L = R2 + (ω L)2 e j ϕ mit ϕ = arctan
(8.52)
Impedanz:
R
q
j ϕu = î R2 + (ω L)2 e j ϕ e j ϕi
ˆ
I
(8.53)
Û
=
Z
→
û
e
Somit:
Es ergeben sich nun folgende Gleichungen, diese sind in die Gleichungen (8.49)
und (8.50) einzusetzen.
û
ωL
î = q
und ϕu − ϕi = ϕ = arctan
(8.54)
R
R2 + (ω L)2
Schritt 3:
Rücktransformation entfällt, da dies bereits unter Schritt 1 geschehen ist.
Berechnung des zeitabhängigen Spannungsverlaufs and der Induktivität:
Komplexe
Û L = Z L IˆL = j ω L IˆL = e j π/2 ω L î e j ϕi = ω L î e j(ϕi + π/2) (8.55)
Amplitude:
n
o
n
o
uL (t) = Re Û L e j ω t = Re î ω L e j(ω t+ϕi +π/2)
(8.56)
ωL
π
ωL
uL (t) = û q
cos ω t + + ϕu − arctan
2
R
R2 + (ω L)2
7.5
Resonanzerscheinungen (S.142)
Quellenstrom und Quellenspannung sind bei der Resonanzfrequenz in Phase.
21
7.5.1
Der Serienschwingkreis (S.142)
1
(8.34)
Widerstand:
Z = R+j ωL−
= |Z| e j ϕ
ωC
Resonanzfrequenz:
ω0 L −
1
=0
ω0 C
(8.60)
ω0 = 2π f0 = √
→
L Û
1
Spannung an
Û = j ω0 L Iˆ = j √
=j
R
R
der Induktivität: L
LC
r
Güte des
1
L
Qs =
SerienschwingR C
kreis:
r
1
(8.62)
LC
L
Û
C
Û C = −Û L
(8.63)
(8.64)
Da die Güte wesentlich größer als 1 werden kann, kann die Spannung an Spule und
Kondensator ein Vielfaches der Quellspannung betragen.
7.5.2
Der Parallelschwingkreis (S.146)
1
1
(8.36)
Admittanz:
Y = +j ωC −
= |Y | e j Ψ
R
ωL
Resonanzfrequenz:
ω0 C −
1
ω0 L
=0
(8.67)
ω0 = 2π f0 = √
→
√
LC ˆ
I R = −j R
L
1
Strom an
Iˆ = −j
Û = −j
ω0 L
der Induktivität: L
r
Güte des
C
Parallelschwing- Qp = R
L
kreis:
r
1
LC
C ˆ
I
L
(8.69)
IˆC = −IˆL
(8.70)
(8.71)
Da die Güte wesentlich größer als 1 werden kann, kann die Stromamplitude durch
Spule und Kondensator ein Vielfaches des Quellenstroms betragen.
8
8.1
Schaltvorgänge (S.159)
RC-Netzwerk an Gleichspannung
τ = RC
(9.6)


t − t0
t − t0
−
−


uC (t) = uC (t0 ) e Rg C + uC∞ 1 − e Rg C 
8.2
(9.13)
RL-Netzwerk an Gleichspannung
τ=
L
R
(9.19)


Rg
Rg
−
−
(t − t0 )
(t − t0 )

iL (t) = iL (t0 ) e L
+ iL∞ 1 − e L
22
(9.25)
8.3
Lösen der Gleichungen in 3 Schritten
Schritt 1 :
partikuläre Lösung uC∞ /iL∞
Kondensator wird ersetzt durch:
Leerlauf
Spule wird ersetzt durch:
Kurzschluss
Schritt 2 :
Kondensator bzw. Spule werden entfernt und Rg bestimmt.
Stromquelle wird ersetzt durch:
Leerlauf
Spannungsquelle wird ersetzt durch:
Kurzschluss
Schritt 3 :
uC (t0 )/iL (t0 ) wird bestimmt
23
9
9.1
Anhang
Variablen und Konstanten
Die Reihenfolge der Variablen im Vergleich zum Script ist von links nach rechts zu
lesen.
Kapitel 1: Das elektrostatische Feld:
~
E
Arbeit im el. Feld/
Energie des el. Feldes
We
elektrostatische Potential ϕe
elektrische Spannung
U
elektrische Flussdichte/
elektrische Erregung
~
D
elektrische Fluss
Ψe
Oberflächenladung
σ
Kapazität
C
Dielektrititätskonstante/ elektrische Feldkonstante
Energiedichte des
ωe
el. Feldes
elektrische Feldstärke
Kapitel 2: Das stationäre elektrische Strömungsfeld:
Stromstärke
I
Stromdichte
J~
Raumladungsdichte
ρ
Beweglichkeit
µe
spezifische Leitfähigkeit
κ
spezifischer Widerstand
ρR
elektrische Widerstand
R
elektrische Leitwert
G
Leistung
P
Verlustleistungsdichte
ρV
Innenwiderstand
Ri
Kapitel 3: Stromleitungsmechanismen:
Knickspannung
Uk
Kapitel 4: Einfache elektrische Netzwerke:
Lastwiderstand
RL
Wirkungsgrad
ν
Kapitel 5: Das stationäre Magnetfeld:
magnetische Flussdichte
~
B
magnetische Feldstärke
~
H
Permeabilität/
magn. Feldkonstante
µ
Durchflutung
Θ
Windungszahl
N
magnetische Spannung
V
magnetische Fluss
Ψm
magnetische Widerstand Rm
magnetische Leitwert
Λm
Induktivität
AL -Wert
AL
L
Kapitel 6: Das zeitliche veränderliche elektromagnetische Feld:
Gegeninduktivität
M
Koppelfaktor
24
k
Arbeit im magn. Feld/
Wm
Energie des magn. Feldes
Energiedichte des
magn. Feldes
ωm
Scheitelwert des Flusses
Ψ̂m
Winkelgeschwindigkeit
ω
Frequenz
f
Scheitelspannung
û
Übersetzungsverhältnis
ü
Scheitelstrom
î
Spannung im
Primärkreis
Streuinduktivität
Streuung/Streugrad
Spannung im
Sekundärkreis
Hauptinduktivität
up
Ls1
us
Lh
σ
Kapitel 7: Zeitlich periodische Vorgänge:
Mittelwert
u
Gleichrichtwert
û
Effektivspannung
ueff
Effektivstrom
ieff
P̄
Spitze-Spitze Wert
uss
uL
Spannung am der
Kondensator
uC
XL
induktiver Blindleitwert
BL
XC
kapazitiver Blindleitwert XC
Imaginärteil
j
komplexe Spannnungsamplitude
Û
komplexe Stromamplitude
Iˆ
Impedanz
Z
Scheinwiderstand
|Z|
Admittanz
Y
Scheinleitwert
|Y |
zeitl Mittelwert
der Leistung
Spannung an der
Induktivität
induktiver Widerstand/
induktiver Blindwiderst.
kapazitiver Widerstand/
kapazitiver Blindwiderst.
25