Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik II für Chemiker

Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur
Mathematik II für Chemiker
Aufgabe 1 Stellen Sie fest, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und
berechnen Sie sie gegebenenfalls.
Z ∞
Z 2
1
1
(a)
dx,
(b)
dx.
2
3
x
1
0 x
Aufgabe 2 Stellen Sie fest, ob die folgenden Grenzwerte existieren! Berechnen Sie sie
gegebenenfalls!
(a)
2x + y 2
,
(x,y)→(1,2) 4x − y
(b)
lim
y 2 − x2
.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim
Aufgabe 3 Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen der Funktion u =
f (x, y, z) = z sin(x + y)!
Aufgabe 4 Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
z(x, y) = 3(x − 1)2 + 2y 2
und stellen Sie fest, ob es sich um Minima oder Maxima handelt!
Aufgabe 5 Bestimmen Sie die lokale Extrema der Funktion
z(x, y) = 2x + 3y
unter der Nebenbedingung x2 + y 2 = 4!
Aufgabe 6 Gegeben seien die Matrizen




0 2
−1 2 1
1 1 , B = 1 1 
A= 0
0 −1
1 −1 2
und C =
µ
¶
0 −1 1
.
−1 1 0
(a) Berechnen Sie B T A + 2C!
(b) Berechnen Sie die Determinante von A !
Aufgabe 7 Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Vektoren ~a = (1, 2, 3)T und ~b =
(4, 5, 6)T !
Aufgabe 8 Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6)
und C = (7, 8, 10) aufgespannten Dreiecks! Besitzt das Dreieck einen rechten Winkel?
Aufgabe 9 B sei das Gebiet oberhalb der Funktion y = x − 1 und unterhalb der
Parabel y = 2 − x2 ! Stellen Sie B als Normalbereich bzgl. (a) der x- und (b) der
y-Achse dar.
Aufgabe 10 Berechnen Sie das Doppelintegral
Z 1Z 0
(x − y)dydx.
0
−x
Aufgabe 11 Gegeben sei das Gebiet B = {(x, y) |0 ≤ x ≤ 1, x − 1 ≤ y ≤ x + 1}.
Berechnen Sie den Flächeninhalt von B !
Aufgabe 12 Gegeben sei das Gebiet B = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. %(x, y) =
1 + 13 x + 16 y sei die Flächendichte. Berechnen Sie den Schwerpunkt von B !
Aufgabe 13 Berechnen Sie das Integral
Z 1Z 0 Z 2
(x − y)zdzdydx.
0
−x
1
Aufgabe 14 B ⊆ R3 sei das Gebiet, für das x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 und x + y + z ≤ 2
gilt. Stellen Sie B als Normalbereich dar und berechnen Sie das Volumen von B!
Aufgabe 15 Die Funktion x = f (z) = zez sei für 0 ≤ z ≤ 1 definiert und werde um
die z-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers!
Aufgabe 16 Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y 0 y = 4x.
Aufgabe 17 Lösen Sie das Anfangswertproblem
4
y 0 (x) − y(x) = 6;
x
y(1) = 12.
Aufgabe 18 Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y 00 − 2y 0 − 8y = x2 .
Hinweis: Benutzen Sie als Ansatz für die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yp = Ax2 + Bx + C.
Ergebnisse
Aufgabe 1 (a) 1, (b) ∞
Aufgabe 2 (a) 3, (b) nicht definiert.
Aufgabe 3
ux = z cos(x + y),
uy = z cos(x + y),
uz = sin(x + y).
Aufgabe 4 An der Stelle (x, y) = (1, 0) besitzt z ein Minimum.
Aufgabe 5 An der Stelle (x, y) = (1, 1094; 1, 6641) besitzt z unter der gegebenen
Nebenbedingung ein Maximum, 7, 2111; an der Stelle (x, y) = (−1, 1094; −1, 6641) ein
Minimum, −7, 2111.
Aufgabe 6
(a)
µ
¶
0 −1 3
,
−5 8 1
(b)
−2
Aufgabe 7 Der Winkel beträgt 12,9325 Grad.
Aufgabe 8 Flächeninhalt 2, 1213. Senkrecht: nein.
Aufgabe 9 Schnittpunktberechnung, Skizze anfertigen ...
mit
B = {(x, y)| − 2, 3028 ≤ x ≤ 1, 3028; x − 1 ≤ y ≤ 2 − x2 }
p
= {(x, y)| − 3, 3028 ≤ y ≤ 2; − 2 − y ≤ x ≤ e
h(y)}
(
y + 1,
−3, 3028 ≤ y ≤ 0, 3028,
e
h(y) = √
2 − y, 0, 3028 ≤ y ≤ 2.
Aufgabe 10 0, 5.
Aufgabe 11 2.
Aufgabe 12 Schwerpunktkoordinaten (0, 5222; 0, 5111).
Aufgabe 13 3/4.
Aufgabe 14 4/3.
Aufgabe 15 5, 01795.
√
Aufgabe 16 y(x) = ± 4x2 + C, C ∈ R.
Aufgabe 17 y(x) = −2x + 14x4 .
Aufgabe 18
y(x) = −
3
1
1
+ x − x2 + c1 e−2x + c2 e4x ,
64 16
8
c1 , c2 ∈ R.