24 Ausbreitung der Wärme

334
24
Ausbreitung der Wärme
2. Wo liegt der Taupunkt für diesen Fall?
In der Tabelle findet man ihn bei 11
oe (in der Mitte zwischen 9,4 und 10,7 g1m 3 ).
3. Ein Küchenraum der Abmessungen 2, 50 rnx 2,96 rn x 2,70 m kühlt ich von l8
ab auf 8°C. We1che Was ermenge schlägt sich nieder?
oe mit cp = 0,65
Zunäch t erfolgt Abkühlung auf den Taupunkt. Die zugehörige Sättigung menge beträgllaut Tabelle
fmaxl = 10 05 gjm 3 , bei 8 °C nur noch fmax.2 = 8, 3 gjm 3 .
Nach (23.6) werden mD = Cfmax.l - fmax(2) . V = 1,75 gjm3 ·20 m 3 = 35 g niedergeschlagen.
24 Ausbreitung der Wärme
Die Wärmeenergie kann sich auf folgende Weise ausbreiten:
1. Konvektion:
Da erwärmte Flüssigkeiten und Gase eine geringere Dichte als kalte
haben, können sich durch den entstehenden Auftrieb Strömungen
bilden. Wenn die Erwärmung von unten erfolgt, tritt in geschlossenen Räumen oder Rohrsystemen eine Zirkulation ein. Es strömt
also nicht die Wännemenge selbst, sondern das Medium, welches
die Energie mit sich führt.
2. Wärmeleitung:
Ausbreitung von Wärmeenergie innerhalb eines Körpers;
3. Wärmeübergang: Übertragung von Wärmeenergie bei der Berührung von Körpern
verschiedener Temperatur;
4. Wärmestrahlung: Abstrahlung von Wärmeenergie auch durch den leeren Raum.
Da für die Wärme trahlung Gesetze gelten, denen alle elektromagnetischen Wellen gehorchen, wird diese nicht hier, sondern erst später (Temperaturstrahlung in 34.2) behandelt.
24.1
Wärmeleitung
Es können gute und schlechte Wärmeleiter unterschieden werden. Am besten leiten die
MetaJle, schlecht leiten keramische Stoffe, am schlechtesten die Luft.
Befinden sich zwei Stellen eines System, das kann ein fester Körper sein oder ein Gasvolumen oder eine Flüssigkeit, auf unterschiedlicher Temperatur, so kommt es zu einem
Wärme trom von der wärmeren zur kälteren Stelle. Das System strebt dem thermischen
Gleichgewicht zu. Das verlangen der O. und der 2. Hauptsatz der Wärmelehre. Die Wärmeübertragung erfolgt von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines Stoffes mittels MolekülstöBen . Auch die beweglichen Elektronen der Metalle nehmen arn Wärmetransport teil. Daher
die gute Wärmeleitung der Metalle.
Betrachtet wird nun die Wärmeleitung durch eine Wand der Dicke I, an deren Außenftächen
die Temperaturen tJl und tJ2 herrschen (Bild 24.1). Der Quotient <P au der tran portierten
Wärmeenergie Q und der Zeit t während der der Transport erfolgt, heißt
24.1
Wärmeleitung
335
9
92
I··..··..·..············..
x
Bild 24.1: Wänneleitung durch eine Wand
I~ ;
[<P]
=W
I
Wärmestrom (mittlerer)
(24.1)
(Watt)
Versuche zeigen, daß der Wärmestrom proportional zur (konstanten) Temperaturdifferenz
~l - f}2 und zur Größe Ader bei den Flächen sowie umgekehrt proportional zur Dicke i des
Prüflings ist.
Es ist demnach
Wärmestrom durch einen
ebenßächig begrenzten Körper
(stationäre Wärmeleitung)
(24.2)
Der Proportionalitätsfaktor hängt vom vorliegenden Material ab und wird als Wärmeleitfähigkeit)" bezeichnet.
Ihre Einheit ergibt ich aus (24.2) zu
[)..] =
[<P][i]
[ß t? HA]
=
Wm
K m2
=
W
m K (Watt je Meter und Kelvin)
1 W / (m K) ist die Leitfähigkeit eines Körpers, wenn ein durch ihn fließender
Wärmestrom von 1 W je 1 m Länge und je 1 m 2 Fläche ein Temperaturgefälle
von 1 K hervorruft.
Wärmeleitfähigkeit in WI (m K)
Silber
Kupfer
Aluminium
Messing
Stahl
418,6
377 ,8
209
106
41,7 . .. 55,6
Blei
Beton
Glas
Wasser
Ziegelmauer
35,0
1,3
0,92
0,58
0,81
Holz
Schlackenwolle
Luft bei 0 oe
Wa serstoff bei
0,2
0,06
°oe
0,023
0,19
336
24
Ausbreitung der Wärme
Die Wärmeleitfähigkeit ist keine Konstante, sondern hängt von der Temperatur ab. E
nun grund ätzlich zwei Fälle zu unterscheiden.
ind
1. Stationäre Wärmeleitung. Hierbei müssen die Temperaturen 01 und 02 an den beiden
Endflächen, deren Abstand gleich 1 ist, während des ganzen Vorgangs konstant bleiben, wie
es im Bild 24.1 der Fall ist. Es herrscht also zwischen ihnen ein konstantes Temperaturgefälle ('19-1 - '19-2) /1. So i t es beispielsweise, wenn ein Dampfkessel auf gleicher Innentemperatur gehalten wird und die Temperatur der Außenluft sich ebenfalls nicht ändert. Dann
ist auch Gleichung (24.2) anwendbar.
2. Nichtstationäre Wärmeleitung. Ein isoliert gedachter Körper sei an einem Ende auf
die Temperatllf '19-2 erhitzt. Das kühlere Ende habe anfangs die Temperatur '19-1. Dann wird
sich der Temperaturunterschied infolge der Wärrneleitung im Laufe der Zeit ausgleichen
und der ganze Körper einheitliche Temperatur annehmen. Da Temperaturgefrtlleist hierbei
weder örtlich noch zeitlich konstant, und die Berechnung wird komplizierter. Maßgebend
für die zum Temperaturausgleich benötigte Zeit ist der Quotient a aus der Wärmeleitfahigkeit A und dem Produkt aus der Dichte Q und der spezifischen Wärmekapazität c p. Er
heißt
Temperaturleitfähigkeit
Ca]
=
[A]
[Q][cp]
=
3
_W
__
m_ _kg_K_
mK kg
J
(24.3)
Wm2
= Wm2
J
Ws
(Quadratmeter
je Sekunde)
= 109.10-6
m
Au (24.3) folgt hiernach für Kupfer
a
=
377,8
2
2
109.10- 3 m
3
8, 93 . 10 . 383 -;- = 0,
s
m
2
s
Wie sich 1eicht nachrechnen läßt, ergeben sich dann folgende weitere Werte:
Temperaturleitfähigkeit in 10- 6 m 2/8
Blei
Luft 0 oe
Wasserstoff
24
18
14
Wie zu erkennen ist, gleichen sich Temperaturunterscbiede in Ga en trotz der sehr verchiedenen Wärmeleitfälllgkeiten etwa ebenso rasch aus wje in Metallen (ungeachtet der
ausgleich fördernden Wirkung der Strömung!).
BeispieJ:
An der AuBenfläche einer 50 cm dicken Hauswand (Ziegelmauer) von 8 mx 15 m werden 5 oe und
an der Innenfläche 12 oe gemessen. Welche Wärmemenge geht während 12 Stunden durch die Wand
verloren?
ach (24.2) wird mit (24.1) und dem TabeUenwert)..
Q
=
AAl CUt -
I
= 0, 81 W j(mK)
~2) = 0,81 W· 120 m2 . 12· 3,6· 103 s· (12 - 5) K
mK· 0, 5 m
= 60 MJ
24.2
Wärmeübergang
337
Es muß betont werden, daß die in diesem Beispiel erwähnten Temperaturen an der Oberfläche der Wand bestehen und nicht mit der Zimmer- bzw. Außentemperatur zu verwechseln
sind.
24.2
Wärmeübergang
Wasser, heiße Verbrennungsabgase, Luft usw., die mit einer festen Wand in Berührung
stehen, geben Wärme an deren Oberfläche A ab oder empfangen Wärme von ihr.
Die übergehende Wärmemenge Q ist ähnlich wie beim Fall der stationären Wärmeleitung
proportional dem Temperaturunterschied tJ-l - tJ-2 zwischen der Wandoberftäche und dem
angrenzenden Medium, der Wandfläche A und der Zeitdauer t des Vorganges. So ist demnach
Übergehende Wärmeenergie
(24.4)
Der Proportionalitätsfaktor heißt Wärmeübergangskoeffizient a. Seine Einheit ergibt sich
aus (24.4) zu
[Q]
J
Ws
W
(Watt je Quadratmeter
[al = [A][t][ßtJ-] = m 2 K = m 2 sK = m 2 K
und Kelvin)
Dabei bereitet die Ermittlung des für den einzelnen Fall geltenden Wärmeübergangskoeffizienten meist große Schwierigkeiten, da er von vielen Faktoren abhängt. Gestalt, Lage und
Oberflächenbeschaffenheit der Wand sowie die Art der Strömung sind von au chlaggebendem Einfluß. Für a gibt es umfangreiche Tabellen und viele Hilfsformeln.
Wärmeübergangskoeffizienten in WI (m 2 K)
Wärmeübergang von:
ruhendem Wasser an Wände und Rohre
turbulent in Röhren trömendem Wasser
350 ... 560
2350 .. .4 700
Luft an glatte Flächen bei einer
Strömungsgeschwindigkeit v bis 5 mls
6+4';
24.3
v
mjs
Wärmedurchgang
Der stationäre (d. h. bei konstanten Temperaturen stattfindende) Übergang von Wärme zwischen zwei Medien durch eine trennende Wand vollzieht sich in drei Schritten (Bild 24.2).
a) Wärmeübergang vom Medium 1 an die linke Fläche:
b) Dieselbe Wärmemenge wird durch die Wand geleitet:
Q = ).. At (lJl - tJ-1I)
l
24
338
Au breitung der Wärme
Bild 24.2: Wärmedurchgang
c) Q geht chließlich von der rechten Fläche in da Medium 2 über:
1
1
Ql
Q2
Werden die e drei Gleichungen nach - , -
I
und - aufgelöst und addiert, so entsteht
A
Durchgehende Wärmeenergie
(24.5)
Der Proportionalitätsfaktor heißt Wärmedurchgangskoeffizient k; er hat natürlich die
gleiche Einheit wie Q.
Auf Grund der skizzierten Herleitung ergibt sich k für eine einschichtige ebene Wand aus
1
1
1
I
-=-+-+k
Ql
Q2
A
Wärmedurchgangskoeffizient in W/ (m 2 K)
Ziegel stei nmauer
Dicke
]2 cm
25 cm
38 cm
51cm
64cm
k
2,78
2,0
1,5
1,3
1,1
Fen ter
k
einfach
Doppelfenster
5,8
2,7
Für mehrschichtige ebene Wände gilt (z ist die Anzahl der Schichten)
43
600
Leitung des elektrischen Stromes in festen Körpern
bei gleicher Volumenkonzentration der Teilchen dafür eine Temperatur von fast 80000 K
haben! Das Elektronengas wird wegen seines anderen Verhaltens als entartet bezeichnet.
+1
+1
t
\
__1:
\
'<
.....
0)
t
T>OK
r.OK' .......
T>oKi v
T-OK
~
-
.
~
E-
b)
Er: E -
Bild 43.7: a) MAxwELL-Verteilung, b) FERMIVerteilung bei 0 K und bei Zimmertemperatur
Zur Beschreibung des Verhaltens großer Tei1chenmengen sind statistische Gesetze nötig. Für die Besetzung der Energiezustände von Gasmolekülen des idealen Gases gilt die
MAXWELL-Verteilungsfunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Energiezustand E bei der Temperatur T besetzt ist, und lautet
Maxwell-Verteilungsfunktion
für das ideale Gas
(43.14)
Dies ist eine fallende Exponentialfunktion (Bild 43.7) mit dem Anfangswert 1 für E = 0
(k ist die BOLTZMANN-Konstante). Für die Besetzung der Energiezustände durch Elektronen im Elektronengas gilt die Quantenstatistik nach FERMI und DIRAC. Für Teilchen mit
dem Spin ~ (und dazu gehören die Elektronen) gilt die Verteilungsfunktion
1
fp =
Eii F
1+e .
Fermi-Verteilungsfunktion
für das Elektronengas
(43.15)
°
Bei T = K erkennt man zwei Sonderfälle (Bild 43.7b): Für E < Ep (FERMI-Energie)
folgt fp = 1, und für E > Ep wird fp = O! Dies bedeudeut: Alle Elektronen füllen den
Potentialtopf gestapelt bis zur FERMI-Energie, oberhalb EF ist der Topf leer. Bei höheren
Temperaturen beginnt sich die bei Ep liegende Stufe in der Funktion immer mehr abzurunden. Beachtet man, daß Ep einige Elektronvolt beträgt, die Energie infolge Wärmebewegung bei Zimmertemperatur nur durch kT ~ 0,026 eV bestimmt wird, ist die Abweichung von der Stufenkurve hier noch recht gering. Erst weit über der Entartungstempartur
(TE = EF/ k, also weit über 10000 K) geht die FERMI- in die MAXWELL-Verteilung über.
Dann kann EF gegenüber E und 1 gegenüber eCE-Ep)/CkT) vernachlässigt werden.
43.7
Thermoelektrische Erscheinungen
Werden die bei den Enden eines Metallstabes auf unterschiedliche Temperatur gebracht,
o tritt innerhalb des Metalls eine Ver chiebung der Elektronenkonzentration auf. Bei höherer Temperatur beginnt eine zunehmende Anzahl von Elektronen das FERMI-Niveau zu
überschreiten (Bild 43.6) und zugleich nach der Seite tieferer Temperatur des Leiters zu
diffundieren. Zwischen den Stabenden entsteht eine elektrische Spannung. Außerdem neh·
men die FERMI-Niveaus der Metalle mit steigender Temperatur in verschiedenem Maße
43.7
Thermoelektri che Erscheinungen
601
geringfügig ab. Beide Er cheinungen wirken beim thermoelektrischen (SEEBEcK-)Effekt
zu ammen. Ein Thermoelement besteht aus zwei verschiedenen Metalldrähten, die an beiden Enden miteinander fe t erbunden sind (gelötet, geschweißt). An der Berührung teIle
gehen Elektronen de Metalls mit der größeren FERMI-Energie (geringere Austrittsarbeit)
in das Metall mit der kleineren FERMI-Energie über. Die entstehende Berührungsspannung
i t temperaturabhängig. Nun hat ein Thermoelement zwei Berührungsstellen. I t die Temperaturdifferenz zwi chen diesen gleich null, gleichen sich die Kontaktspannungen au .
Be teht zwi chen beiden Lötstellen ein Temperaturunterschied (Bild 43.8) entsteht eine
Thermo pannung Uth. Größe und Richtung der Thermospannung für 100 K Temperaturunter chied der bei den Lötstellen ersieht man aus der thermoelektrischen Spannung reihe:
Thermoelektrische Spannungsreihe Uth in mV, bezogen auf Platin
(Temperatur der Löt teIlen 0 °C und 100°C)
Sb
Fe
Cu
Ag
Al
Pt
Ni
Konstantan
Bi
+47
+18
+0,75
0,7
+0,4
0
-1,5
-36
-7
thermoefekfn'sch
positiv
T,
T2 < T,
warm
~:::~
kalt
2
Bild 43.8: Stromrichtung im Thermoelement
Bild43.9: Schaltbild eine Thermoelement:
1 Hauptlöt teUe, 2 NebenJöt teIle
An der kälteren Lötstelle ist jedes in dieser Reihe links stehende Metall gegenüber einem
rechts davon stehenden thermoelektrisch positiv. Die Thermo pannung eine Thermoele-
mentes kann in sehr guter Näherung durch folgende Gleichung be ehrieben werden, in
der D.t die Temperaturdifferenz zwischen den Löt tellen, a und b Materialwerte für die
gewählte Metallkombination sind:
I Uth = a!:>t + b(!:>t)21
(43.16)
Thermospannung
Bild 43.9 zeigt das Schaltbild für ein Thermoelement zur Temperaturme sung. AI Metallkombinationen werden bevorzugt Eisen-Konstantan (100 Fe - 45 Ni 55 Cu) KupferKonstantan (100 Cu - 45 Ni 55 Cu), sowie Platin-PlatinlRodium (100 Pt - 10 Rh 90 Pt)
einge etzt. Die Werkstoffe für Thermoelemente und ihre phy ikali ehen Eigenschaften
ind genormt. Die Tabelle enthält die Thermospannungen für die genannten Thermopaare.
Thermospannungen in mV (Temperatur der Nebenlöt teIle 0 °C)
Temperatur der
Hauptlötstelle in °C
-100
100
200
300
400
600
900
Eisen-Kon tantan
-4,75
5,37
10,59
16,56
22,16
33,66
53 14
Kupfer-Konstantan
-3,40
425
920
14,90
21,00
3431
0,645
1,44
2,32
3,26
5,24
Platin-Platin/Rhodium
8.54
1400
14.37