Struktur der Quantenmechanik Vorlesungsunterlagen

Struktur der Quantenmechanik
Vorlesungsunterlagen
Armin Scrinzi
January 13, 2016
Contents
1 Darstellung von Messgrössen in der Quantenmechanik
1.1 Quantenmechanische Darstellung einer Ortsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2 Wellenfunktion (Ortsdarstellung)
2.1 Wissen in der QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wellenfunktion (Impulsdarstellung) . . . . . . . . . . .
2.3 Wellenfunktion (Spektraldarstellung) . . . . . . . . . .
2.4 Punktspektrum und kontinuierliches Spektrum . . . . .
2.5 Spektraldarstellung der klassischen Mechanik . . . . . .
2.6 Spektraldarstellung und Diagonalisierung von Matrizen
2.7 Messwerte und Erwartungswerte in Spektraldarstellung
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5
6
6
7
8
8
8
8
3 Impuls
3.1 Definition des Impulsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Vertauschung und Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
11
11
4 Zusammenfassung
12
5 Kombination verschiedener Ψi : Superpositionsprinzip
13
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6 Hilbertraum
14
6.0.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.1 Mathematische Anmerkungen zum L2 (dx, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 “Das Buch der Natur. . . ”
17
1
8 Lineare Operatoren
8.1 Hermitisch konjugierter Operator .
8.1.1 Hermitischer Operator . . .
8.2 Unitarität . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Mathematische Anmerkung
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9 Zeitentwicklung und Schrödingergleichung
bt . . . . . . . .
9.1 Zeitentwicklungsoperator U
9.1.1 Eigenschaften der Zeitentwicklung .
9.2 Herleitung der Schrödingergleichung . . . .
9.3 Lösung der Schrödingergleichung . . . . .
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10 Spektraldarstellung eines Operators
10.1 Spektralsatz für Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Normaliät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Wie bestimmt man das Spektrum? . . . . . . .
10.2 Spektraldarstellung und Eigenvektoren . . . . . . . . .
b b durch Eigenvektoren . . . .
10.2.1 Darstellung von U
A
10.2.2 Eigenfunktionen des Impulses und des Ortes(?)
10.2.3 Eigenvektor und Eigenfunktion . . . . . . . . .
10.2.4 Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums
10.3 Funktionen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Bedeutung der Spektraldarstellung . . . . . . . . . . .
10.5 Eigenschaften hermitischer Operatoren . . . . . . . . .
10.6 Bedeutung des abstrakten Ψ . . . . . . . . . . . . . . .
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28
11 Bra-Ket Notation
28
11.1 Fouriertransformation und Bra-Ket Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
11.3 Bra-Ket Notation für hermitische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12 Zustand nach einer Messung — “Kollaps des Wellenpakets”
31
12.0.1 Kollaps und Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.1 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.1.1 Bra-Ket Notation von Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
13 Postulate der QM
13.0.2 i: Zustand . . . . . . .
13.0.3 ii: Observable . . . . .
13.0.4 iii: Messresultat . . . .
13.0.5 iv: Wahrscheinlichkeit
13.0.6 v: Zeitentwicklung . .
13.0.7 Zustand nach Messung
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33
33
33
34
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35
Die Newton’schen Gesetze sind die Grundlage der klassischen Mechanik, der Phasenraum ist der
Rahmen, in dem wir diese Gesetze darstellen. Eine zentrale Idee der Newtonschen Mechanik —
der Massepunk mit genauem Ort und Impuls ist uns gerade abhanden gekommen. Wir machen
einen Schritt zurück vor Newton, aber versuchen dann eine Theorie zu bauen, die so viele bekannte
Konzepte wie möglich übernimmt.
Ich muss hier warnen, dass es keine “Deduktion” der Quantenmechnik gibt. Die Theorie ist nicht
logisch notwendig. Aber das ist die klassische Mechanik auch nicht. Diese Einführung dient in erster
Linie dazu, klarer zu machen, dass in das, was wir als “logisch” betrachten, meist schon Konzepte
einfliessen, die wir nicht überprüfen. Die Anzahl der Annahmen ist in der Quantenmechanik geringer
als in der klassischen Mechanik!
Alle Überlegungen im Folgenden sind im 1-dimensionalen, die 3-dimensionale Verallgemeinerung
folgt später.
1
Darstellung von Messgrössen in der Quantenmechanik
Wir geben die (abstrakte) Idee des Massepunkts auf und bescheiden uns damit anzunehmen, dass
wir eine Versuchsanordnung so präparieren können, dass wir Wahrscheinlichkeitsaussagen über bestimmte Messgrössen machen können. In Alltagssprache: Experimente sind mit einer gewissen
Genauigkeit wiederholbar.
1.1
Quantenmechanische Darstellung einer Ortsmessung
1. Wir nehmen an, dass das gesamte Wissen über ein Teilchen — die Verteilung der Messergebnisse
aller denkbaren Messungen bei gegebener Präparation des Teilchens — in einem Satz von
Zahlen erfasst wird. Wir bezeichnen diesen Satz von Zahlen in der QM mit Ψ. In der KM
hatten wir ihn ρ genannt. Ψ soll also alles zusammenfassen, was die Messergebnisse von Ort,
Impuls, Energie, Drehimpuls etc. beeinflussen kann.
2. Wir betrachten es als Faktum, dass wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort eines
Teilchens kennen können, dass wir also zumindest im Prinzip sagen können, wie gemessene
Orte bei wiederholten Messungen verteilt sein werden. Z.B. wie oft ein Pixel auf unserem
Photochip ansprechen wird.
3. Wir nehmen an, dass wir feststellen können, ob ein Teilchen in einem Ortsintervall anzutrefb[x ,x ] und
fen ist, oder nicht. Wir assoziieren mit einer solchen Anordnung die Messgrösse C
0 1
bezeichnen Erwartungswert dafür, dass wir das nach Ψ präparierte Teilchen dort finden als
b[x ,x ] iΨ .
hC
0 1
(1)
b[x ,x ] iρ ist offensichtlich. Wir haben aber hier nicht festDie Analogie zum klassischen Fall hC
0 1
gelegt, welche und wieviel Information Ψ über unser Teilchen enthält. Bei ρ ist das klar: neben
der Orstverteilung enthält es auch die Impulsverteilung. Für Ψ legen wir uns vorerst nicht fest.
3
4. Klarerweise können wir Orstmessungen kombinieren, z.B. an zwei verschiedenen (der Einfachheit halber disjunkten) Intervallen messen
b[x ,x ]+[x ,x ] =: C
b[x ,x ] + C
b[x ,x ] .
C
0 1
2 3
0 1
2 3
(2)
Die linke Seite definiert, was eine Addition der bisher nicht weiter definierten Objekte auf der
rechten Seite bedeutet. Ortsmessungen lassen sich in diesem Sinn addieren. Wir können auch
trivial eine “Multiplikation” unserer Ortsmessungen mit eine Zahle definieren, sogar mit einer
komplexen Zahl α: wie schon in der klassischen Mechanik schreiben wir der Tatsache, dass wir
ein Teilchen in einem Interval gefunden haben (“click”) die Zahl 1 zu. Die können wir natürlich
auch mit einer beliebigen Zahl α multiplizieren. Mathematisch heisst das: (verallgemeinerte)
Ortsmessungen bilden einen linearen Raum:
b1 , C
b2 ∈ { verallg. Orstm.} ⇒ αC
b1 + β C
b2 ∈ { verallg. Orstm.} .
C
(3)
Durch entsprechende Summen lässt sich jede komplexwertige Funktion f (x) beliebig gut approximieren. Wir beützen die Notation
n
o
b . . . gewöhnliche Funktion .
{ verallg. Orstm.} =: f (X)|f
(4)
5. Wir nehmen idealisierend an, dass wir beliebig genaue Ortsmessungen machen können. Diese
Idealisierung haben die klassische und die quantenmechanische Theorie gemeinsam. D.h. es
gibt eine Wahrscheinlicheitsdichte für den Aufenthalt des Teilchens am Ort x:
1 b
(5)
µΨ (x) := lim hC
[x,x+] iΨ .
→0 R∞
µΨ ist klarerweise eine nicht-negative Funktion von x und −∞ dxµΨ (x) = 1. Im der klassischen
(kl)
Mechanik erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort µρ (x) aus ρ(x, p), wenn wir über
alle Impulse integrieren.
Z
∞
µ(kl)
ρ (x)
dp ρ(x, p).
=
(6)
−∞
Wir sehen, dass unsere Funktion ρ(x, p) sehr viel mehr Information enthält als wir zur Bestimmung des Ortes benötigen: zu jedem Punkte x gib es unendlich viel zusätzliche Information
über unser System, nähmlich die Wahrscheinlichkeitsdichte für p. In der QM wird das nicht
der Fall sein.
b[x ,x ] und C
b[x ,x ] wieder Ortsmessungen an 2 möglicherweise verschiedenen Intervallen.
6. Seien C
0 1
2 3
Es gilt, dass Wahrscheinlichkeiten, das Teilchen in einem oder dem anderen oder in beiden,
wenn sie sich überschneiden, Intervallen zu find, addieren:
b[x ,x ]+[x ,x ] iΨ = hC
b[x ,x ] + C
b[x ,x ] iΨ = hC
b[x ,x ] iΨ + hC
b[x ,x ] iΨ .
hC
0 1
2 3
0 1
2 3
0 1
2 3
(7)
Das ist nur natürlich und völlig analog zur klassischen Mechanik. Analog kann die Multiplikation mit einer beliebigen komplexen Zahl α aus dem Erwartungswert herausziehen:
b Ψ = αhCi
b Ψ
hαCi
4
(8)
7. Wieder in die präzise Sprache der Mathematik gefasst heisst das, dass das Bilden eines Erb
wartungswerts ein lineares Funktional auf dem Raum der f (X):
n
o
bB
b ∈ f (X)
b : hαA
b + β Bi
b Ψ = αhAi
b Ψ + βhBi
b Ψ
A,
(9)
8. Das typische lineare Funktional ist das Integral, wie in den Übungen diskutiert. Reale Messungen können immer nur endliche Messresultate ergeben. (Ein Messresultat ∞ weist auf einen
b kann
gröberen Unfall im Labor hin.) Mit dieser Einschränkung der erlaubten Messungen f (X)
man zeigen, dass in der Tat auch unser Erwartungswert für eine beliebige Orts-Messgrösse
b als Integral geschrieben werden kann:
f (X)
Z ∞
b ψ=
dx f (x)µΨ (x).
(10)
hf (X)i
−∞
(Der Beweis erfordert einige mathematische Konzepte, aber keine weiteren Annahmen.)
Vergleiche wieder die klassische Mechanik
Z
b (kl) )iρ =
hf (X
∞
dx f (x)µ(kl)
ρ (x).
(11)
−∞
Bis zu diesem Punkt unterscheiden sich KM und QM nicht. Der entschiedende Unterschied ist, wieviel
(kl)
wir ausser der Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ort µΨ (x) bzw. µρ (x) über unser Teilchen noch
wissen können. Hier symbolisieren Ψ bzw. ρ jeweils die prinzipiell verfügbarer Information. In KM
(kl)
enthält ρ(x, p) unendlich viel mehr Wissen als nur die Ortsinformation µρ (x): für die kontinuierlich
vielen p jeweils spezifische Verteilungen. Die Funktion ist reellwertig und “zweidimensional”, die
Ortswahrscheinlichkeit ergibt sich als ein Integral
Z ∞
(kl)
µρ (x) =
dp ρ(x, p).
(12)
−∞
In der Quantenmechanik haben wir statt p nur 2 diskrete Indices, nennen wir sie r und i. Statt eines
Integrals über den Impuls p ist µΨ (x) die Summe aus 2 Beiträgen
(r)
(i)
µΨ (x) = µΨ (x) + µΨ (x).
(13)
Es erweist sich, dass die gesamte über ein quantenmechanisches (also soweit wir heute wissen:
reales, nicht erträumtes) “Teilchen” verfügbare Information durch 2 Funktionen dargestellt werden
kann. Diese schreibt man vorteilhaft als Real- und Imaginärteil einer komplexwertigen Funktion der
Ortsvariablen x, in der sogenannten
2
Wellenfunktion (Ortsdarstellung)
Ψ(x) = <(Ψ(x)) + i=(Ψ(x))
Die Ortswahrscheinlichkeit enthält diese beiden Zahlen in der Form einer Summe ihrer Quadrate
µΨ (x) = [<(Ψ(x))]2 + [=(Ψ(x))]2 = |Ψ(x)|2 .
5
(14)
Beachten Sie, dass weder <(Ψ(x)) noch =(Ψ(x)) positiv sein müssen,
da nur die jeweiligen Quadrate in die Wahrscheinlichkeitsamplitude eingehen.
2.1
Wissen in der QM
Ausser den beiden Zahlen <(Ψ(x)) und =(Ψ(x)) am jeweiligen Ort x wissen wir nichts über ein
“Teilchen”. Die QM baut darauf auf, dass wir tatsächlich nicht mehr wissen können, dass alle
Phänomene, die wir beobachten, vollständig durch die Wellenfunktion bestimmt sind. Aus dieser
Perspektive ist das suggerierte “Wissen” über Ort und Impuls in der klassischen Mechanik eine
Illusion. In der konkreten Form der klassischen Mechanik ist es nicht nur eine Illusion, sondern falsch:
selbst wenn wir bloß annehmen, dass diese Information grundsätzlich da, aber vor jeder Messung und
damit vor uns Menschen verborgen ist (“verborgene lokale Parameter” bzw. “hidden variables”), führt
dies zu Widersprüchen mit den experimentellen Befunden (Verletzung der Bell’schen Ungleichung!).
Der bescheidenere Wissensanspruch der QM ist hingegen weitgehend überprüft und bisher ohne
Widersprüche.
Wichtig: wir haben an dieser Stelle in keiner Weise “bewiesen”, dass eine korrekte physikalische Theorie der Phaenomene die Form der QM haben muss, sondern nur darauf hingewiesen, wie
Quantenmechanik tatsächlich aussieht und wo der grundlegende Unterschied zur KM auftritt.
2.2
Wellenfunktion (Impulsdarstellung)
Wenn Sie den obigen Argumenten aufmerksam gefolgt sind, werden Sie sich vielleicht fragen, ob man
für den Impuls nicht ebenso argumentieren könnte. Nimmt man an, dass man Impuls ebenso gut
messen kann wie den Ort, so gelangt man an den Punkt, dass es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
im Impulsraum geben muss:
Z ∞
b
dp f (p)µ̃Ψ (p).
(15)
µ̃Ψ (p) : hf (P )iΨ =
−∞
A priori wissen wir nicht, welche Struktur µ̃Ψ haben soll.
Wir erinnern uns hier aber wieder an den Phasenraum der klassischen Mechanik, wo Ort und
Impuls völlig gleichwertig behandelt werden. Wenn das in der Quantenmechanik auch so ist, dann
sollte gelten
(16)
µ̃Ψ (p) = |Ψ̃(p)|2 !
für eine komplexwertige “Wellenfunktion” Ψ̃:
Ψ̃(p) = <[Ψ̃(p)] + i=[Ψ̃(p)]
(17)
Enthält nun Ψ̃ neue Information? Dann wäre die obige Aussage falsch, dass Ψ(x) die gesamte
Information über das Teilchen enthält. Wir werden später sehen, dass die beiden Funktionen durch
Fouriertransformation verbunden sind, also die gleiche Information in jeweils anderer Form enthalten
Ψ̃(p) = F[Ψ](p) ⇔ Ψ(x) = F −1 [Ψ̃](x)
6
(18)
2.3
Wellenfunktion (Spektraldarstellung)
Wenn wir die Information äquivalent in 2 Formen darstellen können, gibt es dann noch weitere
äquivalente und nützliche Darstellungen? Z.B. “Energiedarstellung” oder, meinetwegen, “Drehimpulsdarstellung”? Diese spezifischen “Darstellungen” der in der Wellenfunktion enthaltenen Information zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass Erwartungswerte besonders einfach als das
Intergral über ein Produkt der Werte mal einer Wahrscheinlichkeit für den Wert geschrieben werden
kann. Für den Ort
Z
b
hXiΨ = dx x|Ψ(x)|2 ,
(19)
für den Impuls
Z
hPbiΨ =
dp p|Ψ̃(p)|2 .
(20)
da a|ΨAb(a)|2
(21)
b auch
Gilt also für eine beliebige Messgrösse A
?
bΨ=
hAi
Z
Im Prinzip ja! Ein paar Dinge verallgemeinern sich:
b läuft das Integral nicht unbedingt über (−∞, ∞). Z.B. kann kinetische
• Je nach Messgrösse A
Energie nie negativ werden, das Integral läuft nur über [0, ∞). Allgemein läuft das Integral
b der Messgrösse A.
b
über die möglichen Messwerte, das Spektrum σ(A)
• Wie wir schon besprochen hatten, kommt Energie für bestimmte Systeme nur in diskreten
Werten vor. Dies gilt auch für andere Messgrössen, z.B. Drehimpulse. Beachten Sie, dass
dies zuallererst eine Beobachtung ist (z.B. Spektrallinien!), die dann von der mathematischen
Theorie adäquat wiedergegeben wird. In dem Fall wird aus dem Integral eine diskrete Summe.
• Bestimmte Messgrössen haben ein viel kleineres Spektrum als (−∞, ∞), z.B. die characterb mit σ(C)
b = {0, 1}. Die entsprechende Wellenfunktion bestünde nur aus
isitische Funktion C
den Werten ΨCb (0), ΨCb (1). Das enthält natürlich bei weitem nicht so viel Information wie Ψ(x)
oder Ψ̃(p). Es muss also an den Punkten c = 0 und c = 1 noch mehr Werte von ΨCb geben.
Man sagt, der Messwert 1 ist entartet. Wir indizieren diese weiteren Werte mit λ: Ψ(c, λ) und
schreiben dann den Erwartungswert
XZ
b
hCiΨ =
dλ c|ΨCb (c, λ)|2 .
(22)
c=0,1
Spektraldarstellung der Wellenfunktion nennt man die Darstellung der Information Ψ bezüglich
b Die Wellenfunktion im Ortsraum Ψ(x) ist also die Spektraldarsteleiner spezifischen Messgrösse A.
b die Wellenfunktion im Impulsraum
lung der gesamten Information Ψ bezüglich Ortsmessungen X,
Ψ̃(p) ist die Spektraldarstellung der gesamten Information Ψ bezüglich Impulsmessungen Pb, etc.
7
2.4
Punktspektrum und kontinuierliches Spektrum
Stichworte: Wasserstoffatom hat Punkt- und kontinuierliches Spektrum, harmonischer Oszillator
hat nur Punktspektrum, Impuls und kinetischen Enerigie haben nur kontinuierliches Spektrum, unb haben reines Punktspektrum mit den Werten σp (C)
b = {0, 1}.
sere Operatore C
Summe über Punktspektrum und Integral über kontinuierliches Spektrum
Z
Z
X
X
da f (a) :=
f (ai ) +
daf (a)
(23)
b
σ(A)
2.5
b
ai ∈σp (A)
b
σc (A)
Spektraldarstellung der klassischen Mechanik
In der klassichen Mechanik ist die Ortsmessung bezüglich des Impulses entartet und umgekehrt:
Z
Z
Z
Z
(kl)
(kl)
b
b
hX iρ = dx dp x ρ(x, p), bzw. hP iρ = dx dp p ρ(x, p).
(24)
ρ spielt die Rolle eines |Ψ(kl) (x, p)|2 . Da in der klassischen Mechanik nur Messgrössen angenommen
werden, die Funktion von Ort und Impuls sind, können alle Messgrössen in dieser einen “Spektraldarstellung” angegeben werden, wie wir das in der KM gewöhnt sind. Es besteht keine Notwendigkeit,
auf irgendwelche darunterliegenden Strukturen, z.B. “Ψ(kl) (x, p)”, zurückzugreifen.
Wenn wir aber die besondere Eigenschaft der wechselseitigen Entartung von Ort und Impulsmessung aufgeben, betreiben wir Quantenmechanik.
2.6
Spektraldarstellung und Diagonalisierung von Matrizen
Die diagonalisierte Form einer Matrix ist die Spektraldarstellung der Matrix. Davon werden Sie sich
anhand eines Übungsbeispiels überzeugen.
2.7
Messwerte und Erwartungswerte in Spektraldarstellung
Ganz allgemein berechnet sich der Erwartungswerte (= Mittelwert bei wiederholten Messungen) für
b in der entsprechenden Spektraldarstellung als Integral über das Spektrum
ein Messarrangement A
b
σ(A):
Z
Z
Z
b
A
b
da dλ |Ψ b(a, λ)|2 a.
hAiΨ =
da µ (a)a =
(25)
Ψ
A
b
σ(A)
b
σ(A)
b gegeben als
Hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichte bezüglich der Spektralwerte a ∈ σ(A)
Z
b
µA
dλ|ΨAb(a, λ)|2
Ψ (a) =
(26)
In der jeweiligen Spektraldarstellung können wir die Messgrösse durch ihren jeweiligen Messwert a
darstellen.
Wie aber können wir den Erwartungswert, z.B. des Impulsoperators berechnen, wenn wir nur die
Wellenfunktion im Ortsraum kennen? Dazu muss man sich zunächst klar werden, was die Messgrösse,
in unserem Beispiel der Impuls, eigentlich “ist”. Dann können wir auch bestimmen, durch welches
mathematische Objekt anstelle der Multiplikation mit a sie im Ortstraum dargestellt wird.
8
3
Impuls
“. . . , though of real knowledge there be little, yet of books there are plenty.” (H. Melville, Moby Dick,
Cetology)
Was ist Impuls eigentlich? Also schon in der klassischen Mechanik? Der Impulsbegriff wurde
gewissermassen durch Newton’s 2tes und 3tes Gesetz eingeführt: (Newton 2) setzt Kraft mit einer
Eigenschaftänderung des Massepunkts gleich (die sich als Masse mal Beschleunigung berechnen lässt),
(Newton 3) setzt Kräfte paarweise entgegengesetzt gleich. Damit folgt, dass es eine Eigenschaft aller
Massepunkte gemeinsam gibt, die jedenfalls erhalten bleibt: dies ist der (Gesamt-)Impuls. Dies ist
die definierende Eigenschaft des Impulses.
Wann gilt das aber? Die Erhaltung des Impulses gilt, wenn der Raum homogen ist, d.h. wenn
es nichts gibt, was die Eigenschaften des Teilchens an einem Ort anders erscheinen liesse als an
einem anderen. Dem Impulsebegriff liegt also eine Idee zugrunde, eine Vorstellung von der Natur des
Raums, oder vielleicht einfach nur ein Denkrahmen. Der Denkrahmen hat sich als nützlich erwiesen.
Die Verbindung zwischen Symmetrien (wie die Homogenität des Raums) und Erhaltungsgrössen
(hier: Impuls) ist rein mathematischer, also logischer Natur: es sind nur zwei Formen, das gleiche zu
sagen. Emmy Noether hat das in ihrem berühmten Theorem mathematisch ausgearbeitet. (Emmy
Noether, 1882-1935, als Frau habilitiert 1908 mit Ausnahmeerlaubnis des preussischen Staats, 1933
geflüchtet in die USA vor dem Nazi-Regime, mit Hilfe von Hermann Weyl, der zuvor emigriert war.)
Die jeweilige Erhaltungsgrösse ist auch die “Erzeugende” der dazugehörigen Symmetrietransformation.
Verschiebung der Wellenfunktion Wir führen den Impuls in der Quantenmechanik ein, indem wir ein Objekt suchen, das Verschiebungen der Wellenfunktion bewirkt. Wir suchen also eine
Differentialgleichung
d
b a]
Ψa = D[Ψ
(27)
da
b so dass
mit irgendeinem “Operator” D,
Ψa (x) := Ψ(x − a),
und insbesondere so, dass die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt, also
Z
Z
Z
2
2
dx|Ψ(x)| = dx|Ψa (x)| := dx|Ψ(x − a)|2 .
Die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit muss auch für beliebig kleine a gelten, also
Z
1
0 = lim
dxΨ∗ (x − a)Ψ(x − a) − Ψ∗ (x)Ψ(x)
a→0 a
auch für die Ableitung
Z
∗
0 = ∂a dxΨ (x − a)Ψ(x − a)
Z
=
a=0
9
dxΨ∗ (x) [∂x Ψ(x)] + [∂x Ψ∗ (x)] Ψ(x)
(28)
(29)
(30)
(31)
Mittels partieller Integration sieht man sogleich, dass dies gilt, wenn die Integrale überhaupt existieren, insbesondere Ψ(x) → 0 bei x → ±∞. Wir finden also, dass ein Ψa (x), das der Differentialgleichung
d
Ψa (x) = −∂x Ψa (x)
(32)
da
genügt, die Wahrscheinlichkeit erhält und auch einer verschobenen Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht.
Der Impulsoperator Ist also −∂x das Objekt, das unseren Impuls darstellen wird? Wenn ja,
welche Messwerte können wir mit einem solchen Objekt erwarten? Wir wollen natürlich beliebige
p ∈ R erhalten können, es soll gelten Spektrum σ(Pb) = (−∞, ∞). Auf den ersten Blick gibt eine
solche Aussage über ein Objekt wie eine Ableitung keinen Sinn. Wir erinnern uns aber daran, dass wir
die in der Wellenfunktion Ψ enthaltenen Information auf unterschiedliche Weisen darstellen können,
insbesondere können wir uns jetzt auf die Suche nach der Spektraldarstellung machen.
Die Ortswellenfunktion Ψ(x) war die “Spektraldarstellung” der Wellenfunktion für Ortsmessunb auf Ψ(x)
gen. Wir können an ihr sehen, welchen Effekt die “Anwendung” des Ortsoperators X
hat:
Z
Z
∗
b Ψ = dxΨ (x)xΨ(x) =: dxΨ∗ (x)(XΨ)(x),
b
hXi
(33)
also einfach die Multiplikation mit den Möglichen Messwerten x. Analog können wir der Ableitung
−∂x “Messwerte” zuschreiben, wenn wir eine Darstellung finden wo −∂x die Form einer Multiplikation
annimmt. Eine solche Darstellung kennen wir aber schon aus den Übungen: es ist die Darstellung
im Fourierraum
F[−∂x Ψ](k) = −ikF[Ψ](k) = −ik Ψ̃(k).
(34)
Wir sehen, dass unser −∂x noch den Schönheitsfehler hat, imaginäre Werte zu liefern. Das ist aber
leicht repariert, indem wir die Ableitung mit i multiplizieren: −i∂x . Wir haben nun mal einen
Operator mit dem gewünschten Spektrum, nun fehlen uns nur noch die richtigen Dimensionen und
geeignete Einheiten. ∂x hat die Dimension [Länge]−1 . Wir hatten schon argumentiert, dass die
Dimension von [Impuls×Länge]=[Wirkung] gilt. Also hat [Wirkung× − i∂x ] die Dimension eines
1
als
Impulses! Zuletzt bleibt noch die Wahl der Einheiten, wo sich die Definition eines Faktors 2π
nützlich erweist. Damit erhalten wir die
3.1
Definition des Impulsoperators
h
Pb = −i ∂x
2π
Um unnötiges Schreiben von Faktoren 2π zu vermeiden, verwendet man statt h meist ~
~ :=
h
,
2π
Pb = −i~∂x
10
(35)
(36)
Erwartungswert des Impulses
Z ∞
Z
∗
b
hP i =
dpΨ̃ (p) pΨ̃(p) =
−∞
∞
∗
Z
∞
dxΨ (x)(PbΨ)(x) =
−∞
dxΨ∗ (−i~∂x Ψ)(x)
(37)
−∞
Das 2te Gleichheitszeichen folgt aus dem Parseval-Theorem für die Fouriertransformation.
3.2
Vertauschungsrelationen
b und
Die mathematischen Objekte — Operatoren — die wir mit den Messmöglichkeiten für Ort X
Impuls Pb identifiziert haben, sind nicht vertauschbar. Wir finden die Vertauschungsrelationen
b Pb] = i~
[X,
(38)
b Pb]Ψ(x) = (X
b Pb − PbX)Ψ(x)
b
[X,
= x(−i~∂x )Ψ(x) + i~∂x (xΨ)(x) = i~Ψ(x) ∀Ψ(x).
(39)
Das bedeutet
Natürlich soll Ψ(x) hier differenzierbar sein.
Die Nichtvertauschbarkeit ist der eigentliche Kernpunkt der QM. Ihre spezifische Form Gl. (38)
legt im die Darstellung von Ort/Impuls as Paar von (Multiplikationsoperator/Ableitungsoperator)
schon fest (Übungsbeispiel). Alles vorangegangene kann auch von diesem Punkt aus verstanden
werden. Alles weitere ist Technik (Mathematik) und Variation des selben Themas.
Die Nichtvertauschbarkeit ist eine empirische Tatasache. Ich habe Sie hier über verschiedene
plausible Annahmen, wie wir Information kodieren können, was grundsätzlich über ein “Teilchen”
gesagt werden kann, usw. an diese Darstellung herangeführt. Im Grund aber hat man, wenn man
Nichtvertauschbarkeit zulässt, die allgemeine Struktur der Quantenmechanik schon beinahe fixiert.
3.3
Vertauschung und Unschärfe
Aus der Vertauschungsrelation des Orts- mit dem Impulsoperator folgt die berühmte Heisenberg’sche
Unschärferelation
~
(40)
∆x∆p ≥ .
2
Problem 3.1: Die allgemeine Unschärferelation schreibt man als
b B
b ≥ 1 |h[A,
b B]i|,
b
∆A∆
2
q
b2 i − hQi
b 2 die Varianz bezeichnet. Führen Sie den Beweis nach der folgenden
b = hQ
wobei ∆Q
einfachen Anleitung aus:
b ein beliebiger (auch nicht-hermitischer) Operator. Zeigen Sie
1. Sei C
b† Ci
b ψ ≥ 0 ∀Ψ.
hC
11
b = hBi
b = 0. Schreiben Sie C
b := λA
b+ iB
b und verwenden Sie
2. Nehmen Sie zunächst an hAi
λ
das Obige um eine Ungleichung zu erhalten. Passen Sie λ so an, dass die Unschärferelation für
bB
b folgt.
diese speziellen A,
b hBi
b =
3. Verallgemeinern Sie für hAi,
6 0.
4
Zusammenfassung
Hier eine Liste der wichtigsten Begriffe und Aussagen bisher:
1. Alle denkbare Information über ein Teilchen ist in der Wellenfunktion Ψ zusammengefasst.
b und B
b mögliche Messun2. Messungen bilden einen linearen Raum (= Vektorraum): sind A
gen, dann kann man die “Summe” von Messungen bilden, um eine neue mögliche Messung zu
erhalten:
b = αA
b + β B,
b α, β ∈ C
C
(41)
b nennt man das Spektrum von A
b : σ(A).
b
3. Die möglichen Messwerte für eine Messgrösse A
4. Die mathematische Darstellung von Messgrössen erfolgt durch Operatoren, d.h. Objekten
die einer Wellenfunktion eine neue Wellenfunktion zuordnen:
b : A(Ψ)
b
A
= Φ.
(42)
5. Die Information der Wellenfunktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden: als
b
Ortswellenfunktion Ψ(x), als Impulswellenfunktion Ψ̃(p), oder, für jede beliebige Messgrösse A,
in der jeweiligen Spektraldarstellung der Wellenfunktion ΨAb(a, λ). λ ist ein Wert, der das
mögliche mehrfache Vorkommen (Entartung) von a in der Wellenfunktion nummeriert. λ kann
entweder diskrete Werte λ0 , λ1 , . . . oder auch kontinuierliche Werte λ ∈ (−∞, ∞) annehmen.
b zu messen ist
6. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, einen Wert a einer Messgrösse A
2
µA
b(a)|
Ψ (a) = |ΨA
b
(43)
bzw., falls a entartet ist
b
µA
Ψ (a)
Z
dλ|ΨAb(a, λ)|2
=
Falls λ diskrete Werte λi annimmt, kommt statt des Integrals eine Summe
X
b
µA
(a)
=
|ΨAb(a, λi )|2
Ψ
i
12
(44)
(45)
b ist daher
7. Der Erwartungswert einer Messgrösse A
Z
Z
Z
2
b
hAiΨ =
da a dλ|ΨAb(a, λ)| =
b
σ(A)
da aµA
Ψ (a)
b
(46)
b
σ(A)
b der möglichen Messwerte a. Falls diese diskrete
Das Integral läuft über das Spektrum σ(A)
Punkte sind, wird aus dem Integral eine Summe
X
bΨ=
hAi
ai µΨ (ai )
(47)
i
8. Impuls ist der Erzeugende Operator einer Verschiebung der Wellenfunktion im Ortsraum
i
d
Ψa = PbΨa ,
da
Ψa (x) := Ψ(x − a)
(48)
9. Die Vertauschungsrelation von Ort und Impuls
b Pb] = i~
[X,
(49)
10. Konkrete Formen der Darstellung
Ortsdarstellung:
Impulsdarstellung:
b = x, Pb = −i~∂x
X
b = i~∂p , Pb = p
X
(50)
(51)
Beachten Sie den Vorzeichenunterschied, vergleichen Sie mit der Hamilton’schen KM!
5
Kombination verschiedener Ψi: Superpositionsprinzip
Dies ist der letzte wesentliche Stein im Fundament der Quantenmechanik. Er giesst letztlich unsere
“seltsamenen Beobachtungen” in mathematisch Form. Während sich in der KM Wahrscheinlichkeiten
einfach addieren, können sich in der QM Wahrscheinlichkeiten “gegenseitig auslöschen”, wie bei
Interferenzphänomenen.
In der KM gilt
b(kl) iαρ +(1−α)ρ = αhA
b(kl) iρ1 + (1 − α)hA
b(kl) iρ2
hA
(52)
1
2
In der QM jedoch
(!)
b(qu) iαΨ +(1−α)Ψ 6= αhA
b(qu) iΨ1 + (1 − α)hA
b(qu) iΨ2
hA
1
2
(53)
Wir müssen erst noch defininieren ob und wie wir zwei verschiedene Ψ1 und Ψ2 addieren können.
Hier postulieren wir
13
Quantenmechanische Wellenfunktionen bilden einen linearen Raum Bezeichnen wir diesen
Raum mit H, dann gilt
Ψ1 , Ψ2 ∈ H ⇒ αΨ + βΨ1 ∈ H, α, β ∈ C.
(54)
Wieder sei drauf hingewiesen, dass diese Eigenschaft eigentlich kein unabhängiges Postulat ist, sonb + β B,
b abgeleitet
dern schon aus allgemeinene Eigenschaften der Messgrössen wie Linearität, also αA
werden kann (genauer für Mathematiker: daraus, dass die Messgrössen Teilmenge einer C ∗ Algebra
sind).
Für eine konkrete Darstellung der Wellenfunktion ist die Addition einfach durch Addition der
Funktionswerte definiert:
(αΨ1 + βΨs )(a, λ) = αΨ1 (a, λ) + βΨ2 (a, λ)
(55)
Da die Wellenfunktion aber quadratisch in den Erwartungswert eingeht, verliert man natürlich die
Linearität des Erwartungswerts bezüglich der Wellenfunktion, wie in Gl. (53) ausgedrückt.
Interferenz Die dramatische Folge der Linearität der Ψ ist aber, dass sich Wahrscheinlichkeiten
auslöschen können. Zunächts macht Linearität notwendig, dass Ψ z.B. auch negative Werte annehmen kann. Wir hatten das bei der Einführung der Wellenfunktion schon nicht ausgeschlossen,
b und
nun aber müssen wir es zulassen. Sei Ψ ∈ H und Ψ(x) ≥ 0, dann ist auch −1 × Ψ = −Ψ ∈ H,
natürlich −Ψ(x) ≤ 0. Allgemeiner muss Ψ auch komplexe Werte haben können.
Beispiel: Sei Ψg (x) (g für “gerade”)
1 für |x| < 1
Ψg (x) =
(56)
0 sonst
und (u für “ungerade”)

 1
−1
Ψu (x) =

0
für 0 < x < 1
für − 1 < x < 0
sonst
(57)
Diese grundlegende Eigenschaft — also das Superpositionsprinzip — erlaubt es, den experimentellen Befund des Doppelspaltexperiements korrekt zu beschreiben.
6
Hilbertraum
Wir fassen nun die mathematischen Eigenschaften der Ψ in einem Begriff “Hilbertraum” zusammen.
Für die Ψ unserer Theorie sind Linearität und Normierbarkeit wesentliche Elemente. Wir nehmen
ausserdem noch an, dass es mindestens eine Menge von (möglicher weise unendlich vielen) Elementen
φn ∈ H gibt, so dass man jedes beliebige Ψ beliebig gut mittels der (möglicherweise unendlichen)
Summe dieser Elemente approximieren kann:
Ψn ≈
N
X
φn cn ,
cn ∈ C, lim ΨN = Ψ.
N →∞
n=1
14
(58)
An dieser letzen Eigenschaft ist für uns wichtig, das n die Zahlen 1, 2, . . . ist und somit eine Summe
geschrieben werden kann. Es ist ein diskreter Index, der nur eine Summe, kein Integral erfordert.
Diese Eigenschaft nennt man Separabiliät.
Definition Ein Separabler Hilbertraum H über den komplexen Zahlen C ist eine Menge {Ψ}
mit den folgenden Eigenschaften
1. Es ist ein linearer Raum über C:
Ψ1 , Ψ2 ∈ H ⇒ α1 Ψ1 + α2 Ψ2 ∈ H,
αi ∈ H.
2. Es existiert ein Skalarprodukt auf dem Raum, das je 2 Elementen Φ, Ψ eine komplexe Zahl
zuordnet
hΦ|Ψi = c ∈ C.
Das Skalarprodukt ist linear im 2-ten Faktor
hΦ|α1 Ψ1 + α2 Ψ2 i = α1 hΦ|Ψ1 i + α2 hΦ|Ψ2 i
Das Skalarprodukt ist anti-linear im 1-Faktor
hβ1 Φ1 + β2 Φ2 |Ψi = β1∗ hΦ1 |Ψi + β2∗ hΦ2 |Ψi
Beachten Sie, dass ausserhalb des Skalarprodukts das komplex konjugierte βi∗ auftritt: →
“anti”-linear.
Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h.
hΨ|Ψi ∈ [0, ∞) und hΨ|Ψi = 0 ⇒ Ψ = 0.
Der “Nullvektor” ζ = 0 ist natürlich das Element mit der Eigenschaft: Ψ + ζ = ζ + Ψ = Ψ.
Wir benützen das Skalarprodukt, um die Norm (“Länge”) ||Ψ|| zu definieren.
p
||Ψ|| := hΨ|Ψi.
Der einzige Vektor mit Länge ist also der Null-Vektor: ||Ψ|| = 0 ⇒ Ψ = 0.
3. Der Raum ist separabel, i.e. es existiert eine “Orthonormalbasis” {φn } mit den Eigenschaften
hφn |φm i = δnm , n, m ∈ 1, 2, 3, . . .
mittels der jeder Vektor Ψ beliebig gut approximiert werden kann
∃cn ∈ C : ||
N
X
φn cn − Ψ|| → 0 für N → ∞
n=1
4. H ist vollständig bezüglich || · ||, d.h. für jede Cauchy-Folge Ψn gibt es ein Ψ ∈ H:
lim ||Ψn − Ψ|| = 0.
n→∞
Diese Eigenschaft ist für fortgeschritteneres Arbeiten mit dem Hilbertraum von sehr grosser
Wichtigkeit, wir werden sie kaum je benützen müssen.
15
6.0.1
Beispiele
b µ b(a)], Cn
L2 (dx, R), L2 [σ(A),
A
Problem 6.2: Verwende die obigen Definitionen um zu zeigen: hΦ|Ψi = hΨ|Φi∗ . Hinweis: (Anti)Linearität und Positivität.
6.1
Mathematische Anmerkungen zum L2 (dx, R)
Eine wichtige Eigenschaft des Hilbertraums ist, dass ||Ψ|| = 0 ⇒ Ψ = 0. Diese Definition dessen,
was ein Nullvektor ist, deckt sich nicht genau mit dem, was man naiv erwarten könnte. Ein Beispiel
soll das illustrieren: es sei
1 xi , i = 1, 2, . . .
Ψ(x) =
(59)
0 sonst
Die endlich oder auch unendlich vielen Punkte xi tragen aber nichts zum Integral bei, daher
Z
dx|Ψ(x)|2 = 0 ⇒ Ψ = 0 im Sinn des L2 (dx, R).
(60)
Für unsere Zwecke machen einzelne Punkte in einem Kontinuum nichts aus, denn die Wahrscheinlichkeit auf einem endlichen Intervall ein Teilchen zu finden
Z x0 +
P (x0 , x0 + ) =
dx|Ψ(x)|2 = 0.
(61)
x0
Da die Wahrscheinlichkeitsdichte durch einen Limes
Z
1 x0 +
dx|Ψ(x)|2 = 0
µΨ (x0 ) : lim
→0 2 x −
0
(62)
definiert ist, ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichte durch diese Ambiguität nicht berührt.
Wir werden fast immer stetige Funktionen mit stetigen Ableitungen verwenden, wo dann solche
Unklarheiten von vorne herein ausgeschlossen sind.
Mathematisch feinsinnger kann man formulieren, dass Ψ die Äquivalenzklasse aller Funktionen
sind, die sich höchstens auf einer Menge mit Mass Null von einander unterscheiden.
Abgesehen von Spitzfindigkeiten kann diese Uneindeutigkeit aber auch zu Verwirrung führen,
wenn wir verlangen werden, dass “Eine Funktion und ihre Ableitung an einem Punkt stetig sein
sollen”: tatsächlich impliziert eine stetige Ableitung, dass auch die Funktion stetig ist wenn die
Funktion überall definiert ist. Wir haben aber gerade gesehen, dass unsere Funktionen im Hilbertraum an einzelnen Punkten undefiniert bleiben können. Der Stetigkeitsbegriff, den wir verwenden
werden, umgeht das Problem durch die Konstruktion
f an x0 stetig ⇔ lim f (x0 − ) − f (x0 + ) = 0.
→0
(63)
Hier muss f nur auf einer offenen Menge definiert sein, die x0 nicht notwendiger Weise enthält: (x0 −
, x0 + )\{x0 }. Beachten Sie aber, dass mit diesem Begriff z.B. die Ableitung der Heavisidefunktion
0 x<0
H(x) =
(64)
1 x>0
16
stetig am Punkt =0 wäre, obwohl die Ableitung selbst dort nicht exisitiert, oder, wenn Sie wollen,
die δ-Funktion ist, da ja formal
Z ∂x H(x) = H() − H(−) = 1
(65)
−
für beliebig kleine . Wir hätten hier also den Fall, dass die Ableitung nach unserer Definition am
Punkt x0 stetig ist, obwohl die Funktion an dem Punkt unstetig ist.
Diese Frage wird auftreten, wenn wir Wellenfunktion, die auf benachbarten Intervallen definiert
sind, miteinander verbinden wollen. Wir haben dabei immer die Möglichkeit, dies mit oder ohne Erscheinen von δ-Funktionen zu bewerkstelligen. Wir haben dazu die Freiheit, Stetigkeit oder definierte
Unstetigkeit der Funktion und ihrer Ableitung getrennt festzulegen. Wir haben dabei 2 freie Parameter.
Für mathematischen Feinspitze wieder: wenn aus unserer x-Achse ein Punkt fehlt, dann können
wir darauf einen hermitischen Operator definieren, z.B. für −i∂x oder ∂x2 . Um einen für die QM
relevanten “selbstadjungierten” Operator zu bilden, haben wir 2 Parameter frei um eine sogenannte
“selbstadjungierte Erweiterung” des Operators zu bilden. Wir müssen die beiden Parameter so
wählen, dass Funktion und Ableitung im obigen Sinn stetig sind. In jedem anderen Fall enhaltet
die Erweiterung δ-Funktionen, entweder in der Funktion oder in der Ableitung. D.h. wir haben 2
unabhängige Bedingungen an Funktion und Ableitung.
7
“Das Buch der Natur. . . ”
Als zwischenzeitliche Ermutigung für Ihren Umgang mit der Mathematik, Galilei’s berühmter Satz
im Wortlaut:
“La filosofia naturale e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi
agli occhi, io dico l’universo, ma non si puo intendere se prima non s’impara a intender la lingua e
conoscer i caratteri nei quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli,
cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi e impossibile a intenderne umanamente parola;
senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” Il Saggiatore, Galileo Galilei (15641642).
In meiner mässig kompetenten Übersetzung: “Die Naturphilosphie ist in diesem grossartigem
Buch geschrieben, das uns immer offen vor den Augen liegt, ich meine das Universum, doch man kann
es nicht verstehen, wenn man sich nicht zuvor lehrt, die Sprache zu verstehen und die Buchstaben, in
denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und die Buchstaben sind
Dreiecke, Kreise und andere geometrischen Figuren, und ohne diese Mittel ist es unmöglich davon
nach Menschenart ein Wort zu verstehen; ohne diese ist es ein nutzloses Irren durch ein dunkles
Labyrinth.”
17
8
Lineare Operatoren
Alle Messgrössen der Quantenmechanik können als lineare Operatoren am Hilbertraum aufgefasst
werden. Dies bedeutet
b
b
b
A(αΨ
(66)
1 + βΨ2 ) = αA(Ψ1 ) + β A(Ψ2 )
Dies ist eine neue Eigenschaft. Bisher hatten wir nur die Linearität von H, also die Addierbarkeit
b + β B.
b Wieder folgt diese
von Wellenfuktionen, und auch die Addierbarkeit von Operatoren: αA
scheinbar neue Eigenschaft aus allgemeineren mathematischen Prinzipien, die wir hier aber nicht
diskutieren. Wir werden von nun an die Klammern hinter den Operatoren weglassen, soweit die
Aussage eindeutig bleibt (Notation wie bei Matrix-Vektor Multiplikation):
b
b
b
A(αΨ
1 + βΨ2 ) = αAΨ1 + β AΨ2
8.1
(67)
Hermitisch konjugierter Operator
b ein Operator auf einem Hilbertraum:
Es sei Q
b =Φ∈H
Ψ ∈ H : QΨ
b† mit der Eigenschaft
Es existiert dann ein hermitisch konjugierter Operator Q
b† Φ = χ : hΦ|QΨi
b = hQ
b† Φ|Ψi ∀Ψ, Φ ∈ H
Q
Problem 8.3: Zeige, dass die obige Definition den Operator Qb† eindeutig bestimmt.
Hint: Ein Satz von Riez-Frechet besagt, dass ein Vektor χ ∈ H eindeutig bestimmt ist, wenn hχ|Ψi
für alle Ψ ∈ H bekannt ist.
In endlichen Hilberträumen mit Basis {φn } entspricht jedem linearen Operator eine Matrix
b n i.
Qmn = hφm |Qφ
(68)
Man sofort, dass dem hermitisch konjugierten Operator die Matrix
(Q† )mn = (Qnm )∗
(69)
entspricht.
8.1.1
Hermitischer Operator
Ein hermitischer Operator hat die Eigenschaft
b† = A,
b
A
(70)
ist also gleich seinem hermitisch konjugierten.
Problem 8.4: Benütze partielle Integration um zu überprr̈ufen, ob der Impulsoperator Pb =
−i~∂x ein hermtischer Operator in L2 (R, dx) ist.
18
8.2
Unitarität
Eine unitäre Abbildung ist eine Abbildung von einem Hilbertraum auf sich selbst, die das Skalarprodukt unverändert lässt:
b Ψ → Ψ(u) ∈ H : hΦ|Ψi = hΦ(u) |Ψ(u) i = hU
b Φ|U
b Ψi ∀Ψ, Φ ∈ H
Ψ∈H:U
b † gleich dem inversen
Daraus kann man insbesondre schliessen, dass der hermitisch konjugierte U
Operator ist:
b †U
b=U
bU
b † = 1 also U
b† = U
b −1
U
b
Damit dies gilt, muss man noch zeigen, dass jedenfalls “fast alle” Vektoren als Abbildung von U
b sei dicht in H”.
b Das erreicht
auftauchen, in präziser mathematischer Terminologie’: “das Bild von U
man jedenfalls, wenn man die Existenz eines Inversen Operators auf ganz H voraussetzt.
8.2.1
Mathematische Anmerkung
Ohne eine solche Voraussetzung der Surjektivität folgt in unendlichdimensionalen Hilberträumen die
Unitarität nicht aus der Erhaltung des Skalarprodukts. Hier ein Gegenbeispiel: sei φi eine Basis und
2 beliebige Vektoren im Hilbertraum
Ψ=
∞
X
φ i ai ,
Φ=
i=0
b sei
Die Abbbildung A
b =
AΨ
∞
X
∞
X
φi bi .
(71)
i=0
φi+1 ai ,
b =
AΦ
i=0
∞
X
φi+1 bi .
(72)
i=0
b AΨi.
b
Man sieht leicht, dass hΦ|Ψi = hAΦ|
Aber
b† A
b 6= A
bA
b† .
A
(73)
Dies ist einfach zu sehen, wir verfolgen es hier aber nicht weiter.
9
Zeitentwicklung und Schrödingergleichung
Wir haben nun die nötigen mathematischen Instrumente — Hilbertraum, Unitariät, Hermitizität —
um die Schrödingergleichung zu formulieren und zu beweisen.
Schrödingergleichung Es sei Ψt der Vektor eines Teilchens zum Zeitpunkt t. Seine Zeitentwicklung gehorcht einer Differenzialgleichung der Form
i~
d
b t,
Ψt = HΨ
dt
19
(74)
b ein hermitischer Operator, der Hamiltonoperator ist. Als Erzeugende der Zeitentwickwobei H
b die Energie dar.
lung stellt H
Die Schrödingergleichung ist kein eigentliches Postulat, sondern folgt aus elementaren und “selbstverständlichen” Annahmen über das Wesen der Zeit. Um das zu sehen, definieren wir zuerst den
9.1
bt
Zeitentwicklungsoperator U
Sei Ψt ein beliebiger Vektor aus Ψt , der das Teilchen zum Zeitpunkt t beschreibt, dann definieren
wir den Zeitenwicklungsoperator Ut durch
bt : Ψ0 → Ut Ψ0 := Ψt .
U
(75)
Wobei Ψ0 der Zustand zur Zeit t = 0 ist.
9.1.1
Eigenschaften der Zeitentwicklung
1. Wir nehmen an, dass die Zeitentwicklung mit der linearen Struktur der QM verträglich ist.
bt (αΨ1 + βΨ2 ) = α(U
bt Ψ1 ) + β(U
bt Ψ2 ).
U
(76)
Diese Annahme scheint natürlich, doch sie ist aus dem bisher gesagten nicht notwendig. Tatsächlich
kann man sich im Prinzip Zeitentwicklungen denken, die nichtlinear sind aber keine der bisherigen Zutaten unserer QM verletzen. Allerdings verletzt jede nicht-lineare Zeitentwicklung den
2ten Hauptsatz der Wärmlehre. In dem Sinn ist die Linearität der Zeitentwicklung doch tief
in der uns bekannten Physik verankert, wenn wir die Linearität der Ψ akzeptieren.
2. Wenn wir die Zeit als homogen auffassen dürfen, hängen die Ut nur von der Zeitdauer t, aber
nicht vom Zeitpunkt ab. Ut beschreibt jede Zeitenwicklung über Zeitintervalle [t0 , t0 + t]:
bt Ψt0
Ψt0 +t = U
∀t0
(77)
Dies gilt natürlich nicht, wenn äussere Veränderungen verschiedene Zeitpunkte unterscheidbar
machen, z.B. in einem zeitlich variablen äusseren Potential.
3. Im Fall homogener Zeit gilt daher
bt U
bt0 = U
bt+t0
U
(78)
4. Wir nehmen an, dass die Zeit reversibel ist, d.h. dass in der Zeitentwicklung “eigentlich” keine
Information verloren geht. Daher muss Ut invertierbar sein:
bt )−1 : (U
bt )−1 Ψt = Ψ0
∃(U
(79)
5. In Kombination mit der Homogenität der Zeit folgt dann, dass die Inverse auf allen Wellenfunktionen Ψ definiert ist.
20
6. Aus Linearität, Erhaltung der Wahrscheinlichkeit (=Skalarprodukt), der Invertierbarkeit, und
bt unitär ist:
der Tatsache, dass die Inverse für alle Ψ ∈ H definiert ist, folgt dann, dass U
b−t
bt† = U
bt−1 = U
U
(80)
bt ist differenzierbar bez. t. Wir verlangen natürlich, dass U
b0 = 1,
7. Differenzierbarkeit: U
d.h. “in keiner Zeit passiert nichts”. Die ist wieder eine (sehr natürliche) Annahme: “in
beliebig kurzer Zeit verändert sich ein Zustand beliebig wenig” (Stetigkeit), die Veränderung
ist ungefähr proportional zu dem (kurzen) Zeitinterval Ψt ≈ Ψ0 + τ Φ + O(()τ 2 ), Φ ∈ H.
9.2
Herleitung der Schrödingergleichung
bτ − 1) ist für beliebig kleine, aber endliche τ ein linearer Operator. Man kannn
Der Operator τ −1 (U
also hoffen, dass auch im Limes τ → 0 nichts Schlimmes passiert und er Limes wieder ein linearer
Operator ist. Mathematisch ausgedrückt:
1b
1
∃! lim (Uτ − 1) =: −i H,
τ →0 τ
~
(81)
bt nennen wir also −iH.
b Damit folgt
Die Ableitung ~ dtd U
i~
d
b t
Ψt = HΨ
dt
(82)
b hermitisch
Um die exakte Form der Schrödingergleichung zu erhalten, müssen wir nur zeigen, dass H
ist. Dies bleibt als kleines Übungsbeispiel.
Satz von Stone (1930) Mathematisch ist zu beweisen, dass limτ →0 tatsächlich Sinn als linearer
Operator hat. Das ist nicht-trivial und Inhalt des Satzes von Stone. Wir danken den Mathematikern
für die Gewissheit, die sie uns hier verschafft haben, inbesondre Herrn Stone.
9.3
Lösung der Schrödingergleichung
Formal ist die Lösung der Schrödingergleichung sehr einfach:
i~
d
b
b t ⇒ Ψt = e−itH/~
Ψt = HΨ
Ψ0 .
dt
(83)
b = Pb2 /2m, also der Hamiltonoperator eines freien Teilchens ist? Sie
Was bedeutet das, wenn H
können das schon beantworten und die Effekte studieren: Sie kennen ja die Spektraldarstellung
b =
von Pb und können daher beliebige Funktionen davon bilden. Im allgemeineren Fall, z.B. H
2
b mit einer Potentialfunktion V (x), ist das wesentlich schwieriger und beschäftigt
Pb /2m + V (X)
Legionen von Quantenmechanikern bis zum heutigen Tag.
Wir präzisieren hier noch mal für den allgemeinen Fall den Begriff der
21
10
Spektraldarstellung eines Operators
Wir weiten den Begriff der “Unitarität” ein wenig aus auf Abbildungen zwischen verschiedenen
Hilberträumen
b b : H → H b.
U
(84)
A
A
Eine Abbildung ist unitär in diesem erweiterten Sinn, wenn sie das Skalarprodukt erhält und surjektiv
ist. Wir bezeichnen die Vorschriften zur Berechnung des Skalarprodukts in H als h·|·i, in HAb mit
h·|·iAb. Unitarität in diesem erweiterten Sinn bedeutet dann
b bΦ|U
b bΨi b.
hΦ|Ψi = hU
A
A
A
(85)
b b invertertierbar ist.
Es folgt im Übrigen (ohne Beweis), dass U
A
Nun können wir präziser formulieren:
10.1
Spektralsatz für Operatoren
b ein Operator, der mit
(Mit nur geringen Kompromissen in der mathematischen Exaktheit.) Sei A
†
† b
b
b
b
seinem adjungierten Operator kommutiert AA = A A, dann gibt es die Menge seiner Spektralwerte
b und eine unitäre Abbildung U
bb
σ(A)
A
Z
X
2
2
b
da |Φ(a)|2 < ∞}
(86)
UAb : LAb → H, LAb := {Φ(a)|
b
σ(A)
so dass gilt
b −1 AΨ)(a)
b
(U
= aΨAb(a),
b
A
b −1 Ψ.
ΨAb = U
b
A
(87)
Die Bedeutung ist, dass in der Spektraldarstellung jeder Operator einfach als die Multiplikation
mit den jeweiligen Spektralwerten erscheint.
In der Form
b −1 , dbbΨ b(a) := Ψ b(a)a
b=U
b bdbbU
A
(88)
b
A
A A
A A A
erkennen wir hier die “Diagonalisierung einer Matrix” in verallgemeinerter Form wieder. In seiner
Spektraldarstellung ist jeder Operator einfach die Multiplikation mit dem Spektralwert.
Falls die Spektralwerte entartet sind, d.h. zu jedem a benötigen wir einen Index λ ∈ Λa ,
verallgemeinert sich das zu:
Z
Z
X
X
2
2
b b : L b → H, L b := {Φ(a, λ)|
U
da
dλ |Φ(a, λ)|2 < ∞}
(89)
A
A
A
b
σ(A)
Λa
so dass
b −1 AΨ)(a)
b
= aΨAb(a, λ),
(U
b
A
b −1 Ψ.
ΨAb = U
b
A
(90)
und
b=U
b bdbbU
b −1 ,
A
b
A A A
dbAbΨAb(a, λ) := aΨAb(a, λ) .
22
(91)
Anmerkung Der entartete Fall ist eher der Normalfall als die Ausnahme. Die Formeln werden
nur hässlicher, die Grundstruktur ändert sich aber nicht wesentlich.
b b multiplizieren und erhält
Erläuterung Man kann Gl. (91) von rechts mit U
A
bU
bb = U
b bdbb
A
A
A A
(92)
b durch U
b b verwandelt es sich in eine einfache Multiplikation: dbb.
Beim “Durchziehen” von A
A
A
b auf ein
Die Prozedur kann man wie folgt zusammenfassen: Zur Anwendung eines Operators A
beliebiges Ψ ∈ H
b −1 Ψ.
1. Transformiere auf die zugehörige Funktion in der Spektraldarstellung ΨAb ∈ HAb: ΨAb = U
b
A
b
Das UAb gibt es, auch wenn wir es oft nicht explizit kennen.
2. Multipliziere ΨAb mit dem diagonalen Operator dbAb, d.h. multipliziere mit den Spektralwerten
a: (dbAbΨAb)(a) = aΨAb(a)
b −1 Ψ.
b bdbbU
b bdbbΨ b = U
3. Transformiere zurück in den ursprünglichen Hilbertraum H: U
b
A A A
A A A
4. Es gilt dann
b −1 Ψ
b =U
b bdbbU
AΨ
b
A A A
b = ∂x und die Fouriertransformation U
b −1 = F
Genau das ist die Prozedur, die wir für die Ableitung A
∂x
schon wiederholt angewendet haben.
10.1.1
Normaliät
Haben alle Operatoren eine Spektraldarstellung? Nein, die Übungen geben ein elementares Gegenbeispiel. Jedoch lässt sich die Existenz der Spektraldarstellung beweisen, wenn gilt (normaler Operator)
b† A
b=A
bA
b† .
A
(93)
Jeder “normale Operator” hat eine Spektraldarstellung, nicht-normale Operatoren haben keine. Normalität ist also ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Existenz der Spektraldarstellung.
b =H
b †.
Für hermitische Operatoren gilt sie trivial, da ja H
Problem 10.5: Motivation: das typische Beispiel für nicht-normale Operatoren sind sogenannte
“Leiteroperatoren”. Sie haben die grundsätzliche Struktur wie in diesem Übungsbeispiel. Sie tauchen
auf bei, z.B.: harmonischer Oszillator, Drehimpuls, Festkörperphysik und Quantenfeldtheorie, gerne
auch unter dem Namen “Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren”.
1. Überzeuge dich, dass für (b
a)ij = δi+1,j , i, j ∈ N gilt b
ab
a† 6= b
a† b
a.
2. Wie wirken b
a und b
a† auf die Einheitsvektoren ~ek ? Warum können sie nicht kommutieren?
3. Berechne beide Ausdrücke explizit b
ab
a† und b
a†b
a weise auf den Unterschied hin.
23
4. Suche alle Eigenvektoren von b
a† für den Fall i, j ∈ {0, 1}. Zeige, dass sie die Matrix nicht
diagonalisieren.
10.1.2
Wie bestimmt man das Spektrum?
b ist
Das “Spektrum” verallgemeinert den Begriff der “Eigenwerte”. Ein Eigenwert eines Operators A
ein a ∈ C für den die Eigenwertgleichung
b a = φa a
Aφ
(94)
erfüllt ist. Das mathematische Problem dabei ist, dass die φa nicht immer sinnvoll als Elemente
eines Hilberraums oder auch nur als normale Funktionen definierbar sind. Daher erfolgt die präzise
Definition des Spektrums auf einem Umweg. Schreibt man Gl. (94) als
b − a)φa = 0,
(A
(95)
b keine inverse Abbildung existiert. Diese Eigenschaft führt auf die
dann sieht man, dass für a ∈ σ(A)
Allgemeine Definition des Spektrums:
b − a)−1 ⇔ a ∈ σ(A).
b
6 ∃(A
(96)
Wir werden von dieser allgemeinen Definition kaum Gebrauch machen. In den Beispielen die wir
verwenden, werden wir immer schon von vorneherein das kontinuierliche Spektrum σc kennen (“ungebundene Zustände”, “Streuzustände”) und “nur” die Eigenfunktionen bestimmen müssen. Für das
Punktspektrum σp gibt es ja eine wohldefinierte Eigenwertgleichung und diese werden wir mit verschiedenen Methoden lösen.
10.2
Spektraldarstellung und Eigenvektoren
In der Spektraldarstellung kann man formal auch gleich die Eigenfunktionen φa zum Spektralwert a
hinschreiben:
1 für a0 = a
0
φa (a ) =
(97)
0 sonst
Dann gilt natürlich
dbAbφa (a0 ) = aφa (a0 ).
(98)
Z
X
hφa |φa iAb =
da0 |φa (a0 )|2 = |φa (a)|2 = 1
(99)
Für das Punktspektrum a ∈ σp gilt
b b die Norm erhält, ist es
Wir sehen, dass φa in der Spektraldarstellung korrekt normiert ist und, da U
A
b gilt das nicht: Sie werden sich in den Übungen
in jeder Darstellung korrekt normiert. Für a ∈ σc (A)
davon überzeugen, dass Eigenfunktionen zu werden a ∈ σc niemals normierbar sind, sondern dass
gilt hφa |φ0a i = δ(a − a0 )
24
10.2.1
b b durch Eigenvektoren
Darstellung von U
A
b b kann als “Matrix” aufgefasst werden, deren die Spalten die Eigenvektoren von A
b im Raum H
U
A
b hat ein rein diskretes Spektrum σ(A)
b = {ai , i = 1, 2, . . .}. Das
sind. Angenommen unser Operator A
bedeutet, dass die Funktionen in ΨAb ∈ L2Ab durch den Vektor ihrere Werte ΨAb(ai ) bestimmt sind und
wir jede Funktion in der Form
X
ΨAb(a) =
φaj (a)cj , φai ∈ L2Ab
(100)
j
schreiben können. Insbesondere gilt auch
ΨAb(ai ) = ci .
(101)
Da sie orthonormal sind und wir jedes ΨAb mittels der φai schreiben können, bilden die φai (a) offenb b Skalarprodukte erhält, können wir mittels U
b b auch
sichtlich eine Basis in L2Ab. Da die Abbildung U
A
A
eine Basis im Ortsraum H (oder in jeder beliebigen anderen Darstellung) generieren
hχai |χaj i = δij ,
χai (x) = (UAbφai )(x),
χai ∈ H
b b auf unser Ψ b an:
Wenden wir nun U
A
A
X
X
X
b b(x, aj )Ψ b(aj )
b bφa )(x)cj =
b bΨ b)(x) =
(a
)
=:
U
χ
(x)Ψ
(
U
Ψ(x) = (U
b
j
a
j
A
A
A
A j
A A
j
j
(102)
(103)
j
b können wir also schreiben
Für rein diskretes Spektrum σ(A)
b b(x, ai ) = χa (x).
U
i
A
(104)
b b(x, ai ) auffassen:
Wir können die Eigenvektorn χai (x) als die Spalten der “Matrix” U
A
b b = (χa1 , χa2 , . . .)
U
A
10.2.2
(105)
Eigenfunktionen des Impulses und des Ortes(?)
Wir illustrieren das Problem mit den Eigenfunktionen im kontinuierlichen Spektrum anhand der
Eigenfunktionen des
und des Ortsoperators: Für den Impuls gilt in der OrtsdarstelR Impulsoperators
2
lung H = {Ψ(x)| dx|Ψ(x)| < ∞}
− i~∂x eikx = peipx/~ =: pφp (x),
(106)
aber φp (x) = eikx 6∈ H. Man kann der Funktion auch keine sinnvolle Aufenthaltswahrscheinlichkeit
zuschreiben:
|eipx/~ |2 ≡ 1.
(107)
25
Dramatischer wird die Sache, wenn Sie dem Ort eine Eigenfunktion Φx0 (x) zuschreiben wollen: das
müsste eine Funktion sein, die überall = 0 ausser am Punkt x0 = ∞ ist. Dort muss Sie so unendlich
sein, dass das Quadratintegral von Null verschieden ist; klingt nach δ-Funktion
xδ(x − x0 ) = δ(x − x0 )x0 .
(108)
Genaugenommen müsste die auch normiert sein, also
Z
dx|φx0 (x)|2 = 1,
(109)
p
also eher φx0 = ” δ(x − x0 )”? Solche Objekte sind kaum noch sinnvoll zu definieren. Im Impulsraum
vertauschen die beiden
Funktionen ihre Rollen, d.h. die Impulseigefunktion eipx/~ ist sinnvoll oder
√
unsinnig wie die δ-“Funktion”.
10.2.3
Eigenvektor und Eigenfunktion
Zur Unterscheidung diese beiden Situationen verwenden wir die Terminologie Eigenvektor ∈ H, der
weitere Begriff ist Eigenfunktion, was auch seltsame Objekte wie exp(ikx) und δ(x) mit einschliesst.
10.2.4
Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums
Das Problem mit den Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums kann man wie folgt auflösen:
b b und ihre Inverse U
b −1 existieren für alle (normalen) Operatoren, d.h. insDie Transformation U
b
A
A
b b und U
b −1 in der folgenden
besondere für jeden Operator, der eine Messgrösse darstellt. Falls die U
A
Form geschrieben werden können (der Einfachhheit halber ohne Entartung):
Z ∞
−1
b
dxU ∗ (x, a)Ψ(x)
ΨAb(a) = (UAb Ψ)(a) =
Z−∞
b bΨ b)(x) =
da U (x, a)ΨAb(a)
Ψ(x) = (U
A A
b
A
(110)
(111)
b
σ(A)
dann kann man legitimerweise
φa (x) := U (x, a)
(112)
als die Eigenfunktion im Ortsraum zum Eigenwert a auffassen. Hier verweisen wir auf die Analogie
b (x, ai ) des rein diskreten Spektrums. Es muss betont werden, dass die Existenz der U (x, a)
zu den U
nicht garantiert ist, jedoch oft gezeigt werden kann, wie z.B. beim Impuls:
U (x, p) = (2π~)−1/2 exp(ipx/~)
(113)
oder für das kontinuierliche Spektrum von Atomen.
In den Übungen werden Sie zeigen, dass so definierte Eigenfunktionen φa (x) des kontinuierlichen
Spektrums nach der Regel
(114)
hφa |φ0a i = δ(a − a0 )
normiert sein müssen. Dies erklärt auch den Faktor (2π~)−1/2 in Gl. (113).
26
10.3
Funktionen von Operatoren
Wir können nun auch beliebige Funktionen von Operatoren bilden. Dies ist kein “Trick” sondern die
mathematisch wasserdichte Definition. Hier die Anleitung zur Anwendung einer beliebigen Funktion
b auf einen Vektor Ψ ∈ H:
eines Operators f (A)
b −1 Ψ
1. Transformiere Ψ auf ΨAb = U
b
A
2. Multipliziere f (a)ΨAb(a), was man als f (dbAb)ΨAb schreiben kann.
b b zurück nach H
3. Transformiere mittels U
A
Zusammengefasst:
b := U
b bf (dbA )U
b −1
f (A)
b
A
A
(115)
Beispiele So können wir die Lösung der Schrödingergleichung hinschreiben
b −1
b b e−itdHb U
Ut = e−itH = U
b
H
H
b
(116)
b
e−itdHb . . . Multiplikation mit e−itE ,
b
b
E ∈ σ(H)
(117)
b[a ,a ] definieren
oder unseren Operator C
0 1
b[a ,a ] = χ[a ,a ] (A)
b =U
b b χ[a ,a ] (dbA ) U
b −1 ,
C
0 1
0 1
0 1
b
A
A
χ[a0 ,a1 ] (dbA ) . . . Multiplikation mit χ[a0 ,a1 ] (a),
10.4
(118)
b
a ∈ σ(A)
(119)
Bedeutung der Spektraldarstellung
Die Spektraldarstellung gehört zu den wichtigsten Instrumenten der Quantenmechanik, und dies gilt
auf zumindest zwei Ebenen:
1. Grundsätzlich bedeutete es, dass ein (normaler) Operator für sich im wesentlichen durch sein
Spektrum (und mögliche Entartung) charakerisiert ist. Jeder (normale) Operator kann ja, in
geeigneter Darstellung, als Multiplikation mit den Spektralwerten aufgefasst werden. Es zeigt
uns auch, wo die Grenzen dieser einfachen Situation erreicht sind: wenn 2 Operatoren nicht
kommutieren, dann kann es keine Spektraldarstellung geben, wo beide gleichzeitig einfache
Multiplikationen sind. Operatoren sind also einerseits durch ihr Spektrum, andrerseits durch
ihre Beziehung zu anderen Operatoren charaktersiert.
Problem 10.6: Überlege, warum 2 Operatoren, die nicht kommutieren, keine gemeinsame Spektraldarstellung haben können, d.h. es kann keine Darstellung geben, wo beide als
Multiplikationsoperatoren erscheinen.
27
2. Technisch ist die Spektraldarstellung extrem nützlich, weil das Rechnen in ihr vergleichsweise
sehr einfach ist: alle Funktionen eines Operators sind in der Spektraldarstellung sehr einfach
bt = exp[−itH].
b Daher besteht
auszurechnen. Dies gilt insbesondere für die Zeitenwicklung U
ein grosser Teil der Anfänger-Quantenmechanik und weit darüber hinaus darin, Eigenwerte
b zu bestimmen.
und Eigenvektoren eines Energieoperators H
10.5
Eigenschaften hermitischer Operatoren
Problem 10.7: Eigenschaften hermitischer Operatoren Ab = Ab†
1. Zeige, dass Eigenvektoren φn die zu unterschiedlichen Eigenwerten an 6= am einers hermitschen
b n |φm i − hφn |Aφ
b m i.
Operators gehören, orthogonal sein müssen. Anleitung: Betrachte hAφ
2. Zeige, dass das Spektrum eines hermitischen Operators reell sein muss. Anleitung: Betrachte
den Operator in Spektraldarstellung und verwende die Definition der hermitischen Konjugation
um den konjugierten Operator in der Spektraldarstellung zu bestimmen.
3. Benütze dieselbe Überlegung um zu beweisen, dass ein nicht-normaler Operator keine Spektraldarstellung haben kann.
10.6
Bedeutung des abstrakten Ψ
Wir können nun auch dem zunächst absichtlich etwas diffus definierten “Ψ” eine genauere Bedeutung
geben. Wir wissen, dass die Ortswellenfunktion Ψ(x) und Impulswellenfunktion Ψ̃(p) ineinander
durch die Fouriertransformation abbildbar sind, d.h. sie enthalten äquivalente Information Ψ(x) ∼
Ψ̃(p). Ebenso enthält jede andere Spektraldarstellung ΨAb(a, λ) die selbe Information, da sie aus den
anderen Darstellungen durch eine unitäre (insbesondere invertierbare) Transformation hervorgeht.
Noch allgemeiner, enthält jede Funktion ΨU = U Ψ für invertierbares U die gleiche Information
wie z.B. die Ortwellenfunktion Ψ(x). Wir können das abstrakte Ψ als das auffassen, was all diesen
verschiedenen Funktionen gemeinsam ist. Mit mathematischen Worten, Ψ ist die “Äquivalenzklasse”
aller durch einer unitäre Transformation verbundenen ΨU .
Eine alternative Sichtweise ist: wir verwenden verschiedene “Koordinatensysteme” (=Darstellungen in einem konkrete Hilbertraum) um immer das gleiche Objekt Ψ darszustellen. Zwar können
wir immer nur ein konkretes, z.B. Ψ(x) oder Ψ̃(p) angeben, aber es gibt unendlich viele äquivalente
solche Realisierungen.
Dies ist wieder keine Besonderheit der QM, sondern hat in den “kanonischen Transformationen”
der Hamilton’schen KM seine exakte Entsprechung.
11
Bra-Ket Notation
(siehe Griffith)
b sei hermitisch und hätte ein reines Punktspektrum.
Nehmen wir zunächst an, der Operator A
Angenommen wir kennen die zugehörigen Eigenfunktionen in einer konkreten Darstellung in einem
28
R
Hilbertraum Hq = {φ(q)| Q dq|φ(q)|2 < ∞}: alle unitäre ineinander abbildbaren Hilberträume sind
für den Zweck gleich gut, z.B. Ortsraum, Impulsraum, “Energieraum”,. . . . Die Bra-Ket Notation
erlaubt es von dem konkreten Hilberraum zu abstrahieren.
b i i = |ai iai und
Wir schreiben die orthonormierten Eigenvektoren in Hq als φai (q) = |ai i, A|a
hai |aj i = δij und die Wellenfuktion als Ψ(q) = |Ψi. Dann gibt
C 3 hai |Ψi = ΨAb(ai )
(120)
gerade den Wellenfunktionswert in der Spektraldarstellung. Im Fall der Entartung gibt es zu dem
Eigenwert ai mehrere Eigenvektoren |ai , λi und den entsprechenden Wellenfunktionswert
hai , λ|Ψi = ΨAb(ai , λ)
(121)
Mit etwas Vorsicht können wir z.B. auch die Eigenfunktionen des Impulses als |pi, die Eigenfunktionen
des Ortes als |xi schreiben. Damit erhalten wir die Funktionswerte von |Ψi in Ortsdarstellung als
hx|Ψi = Ψ(x),
(122)
hp|Ψi = Ψ̃(p)
(123)
in Impulsdarstellung als
Die Vorsicht ist angebracht, weil in der konkreten Realisierung des formalen Skalarprodukts, z.B. in
Orts-Hilbertraum
Z
Hx = {Ψ| dx|Ψ(x)|2 }
(124)
wir Funktionen verwenden, die definitiv nicht im Hilbertraum sind |xi, |pi 6∈ H.
Die konkreten Werte der Eigenfunktion |pi in Ortsdarstellung erhalten wir dann formal als
φp (x) = hx|pi = (2π~)−1/2 eipx/~ ,
(125)
die der Funktion |xi in Impulsdarstellung als
φx (p) = hp|xi = hx|pi∗ = (2π~)−1/2 e−ipx/~ ,
(126)
und die “Werte” der Funktion |x0 i in Ortsdarstellung als
φx0 (x) = hx|x0 i = δ(x − x0 ).
11.1
(127)
Fouriertransformation und Bra-Ket Notation
Man kann die |pi auch für eine kompakte Notation für die Fouriertransformation verwenden,
wenn
R
−1/2 ipx/~
∗
wir die jeweiligen Orstdarstellungen |pi → (2π~)
e
, |Ψi → Ψ(x) und hf |gi → dxf (x)g(x)
verwenden:
Z
−1/2
dxe−ipx/~ Ψ(x) = Ψ̃(p).
(128)
hp|Ψi = (2π~)
Die Normierung ist hier nicht so eindeutig, da ja |pi nicht normierbar ist. Um hier Klarheit zu schaffen, müssen wir zunächst die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums genauer definieren.
29
Problem 11.8: Nimm an, dass ein Operator Ab das sowohl diskretes oder “Punkt-”Spektrum
b als auch kontinuierliches Spektrum σc (A)
b hat, also
σp (A)
(c)
b = σp (A)
b ∪ σc (A)
b = {a0 , a1 , . . . aN } ∪ [a(c)
σ(A)
0 , a1 ]
(129)
b i = Φi ai . Nimm an, dass
Die Eigenvektoren zum diskreten Spektrum existieren immer: Φi ∈ H : AΦ
auch Eigenfunktionen φa (x) für das kontinuierliche Spektrum wie oben, Gl. (112), defniert werden
können.
b gelten muss
1. Zeige, dass für Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums a, a0 ∈ σc A
Z
dxφa (x)∗ φa0 (x) = δ(a − a0 )
(130)
b bU
b −1 = U
b −1 U
bb = 1
Hinweis: verwende U
b
b
A A
A
A
2. Unter welcher Bedingung gilt auch die ‘”Umkehrung”
Z
daφa (x)∗ φa (x0 ) = δ(x − x0 )
(131)
(Lege fest, über welchen Bereich der a integriert wird.)
3. Wie würde man beides in Bra-Ket Notation schreiben? Also mittels der |ai im diskreten
Spektrum?
11.2
Anmerkungen
1. Die Bra-Ket Notation kann zunächst leicht verwirrend sein, da ein Vektor |Ψi nicht von vorne
herein einem expliziten Hilbertraum zugeordnet wird. Es wird nur vorausgesetzt, dass man ihn
in allen äquivalenten Hilberräumen realisieren kann, z.B. in Ortsdarstellung, in Impulsdarstellung, allgemein in der Spektraldarstellung eines beliebigen Operators, L2Ab.
Die konkrete Realisierung von |Ψi ist dann eine Funktion Ψ mit Argumenten aus dem Spektrum
b und mit Werten Ψ b(a) = ha|Ψi. Will man eine andere Darstellung, z.B. bezüglich B,
b
σ(A)
A
dann braucht man die entsprechenden Eigenfunktionen |bi. Angenommen wir kennen Ψ(a) =
ha|Ψi und auch die neuen Eigenfunktionen ha|bi = φb (a), dann können wir die Werte der
Wellenfunktion |Ψi in der Darstellung bezüglich |bi konkret bezüglich des Skalarprodukts in
b ausrechnen:
L2 (A)
Z
Z
X
X
∗
da hb|aiha|Ψi
(132)
hb|Ψi =
da φb (a)Ψ(a) =
b
σ(A)
b
σ(A)
2. Man kann das obige Resultat so verstehen, dass man eine
Zerlegung der Einheit
Z
X
1=
da |aiha|
b
σ(A)
30
(133)
in das Skalarprodukt einsetzt:
Z
X
hb|Ψi = hb|
da |aiha|Ψi =
b
σ(A)
Z
X
da hb|aiha|Ψi
(134)
b
σ(A)
3. Falls man in zu grosse Verwirrung gerät, kann man immer auf den Spektralsatz zurückgreifen.
Da ist ein Operator ja immer zunächst in einem konkreten Hilbertraum H gegeben, z.B. der
Impulsoperator als Ableitung im Ortsraum. Dann kann man den Symbolen |pi, |xi immer
einen Sinn in der konkreten (Orts-)Darstellung geben. Der Wechsel auf eine andere Darstellung
erfordert eine Transformation des Typs UA−1
b , von der wir annehmen, dass sie sich als (Orts)Integral ueber Funktionen φa (x) schreiben lässt. Hier treten dann gewöhnliche Funktionen
und Integrale auf und die Frage nach der abstrakten Bedeutung von |xi, |pi, |Ψi etc. stellt sich
nicht.
4. Zuletzt sei aber noch bemerkt, dass die Notation “trägt” und dass sie einen eigentlich nicht im
Stich lässt. Ich empfehle, sie einfach zu üben und nur, wenn sich wirklich Verzweiflung breit
macht, wieder bei Adam und Eva (=Spektralsatz) zu beginnen.
11.3
Bra-Ket Notation für hermitische Operatoren
b† = A
b notiert man in symmetrischer Form
Mit A
b = hA
b† Φ|Ψi = hAΦ|Ψi
b
b
hΦ|AΨi
=: hΦ|A|Ψi
12
(135)
Zustand nach einer Messung — “Kollaps des Wellenpakets”
b nur aus spektralen Anteilen bestehen,
Klarerweise kann die Wellenfunktion nach einer Messung von A
die mit dem Messergebnis kompatibel sind. Bei nochmaliger Messung der gleichen Observablen
am schon vermessenen System müssen wir das gleiche Resultat erhalten, ansonsten kann man den
Vorgang wohl keine Messung nennen. In der KM war das ganz selbstverständlich und hatte keine
unerwarteten Auswirkungen. In der QM hat aber die Messung einer Observablen Konsequenzen für
andere Messungen, wenn diese nicht kommutieren.
b in einem Intervall [a0 , a1 ] gefunden haben und dann nochmals auf dieses
Wenn wir einmal A
b[a ,a ] , müssen wir das Ergebnis 1 finden. In Spektraldarstellung
Interval testen C
0 1
Z ∞
Z a1
(nach)
(nach)
2
1=
daχ[a0 ,a1 ] (a)|ΨAb
(a)| =
da|ΨAb
(a)|2 = 1.
(136)
−∞
a0
Das heisst, dass die Wellefunktion Ψ(nach) nach der Messung den nur aus spektralen Anteilen aus
[a0 , a1 ] zusammen gesetzt sein kann.
Wir hatten schon zu Beginn die Messung eingeführt, die bloss feststellt ob ein Messwert im
b[a ,a ] entspricht
Intervall [a0 , a1 ] liegt. Wir hatten gesehen, dass eine solche Messung einem Operator C
0 1
31
und dass wir damit die charakteristische Funktion χ[a0 ,a1 ] am Spektrum der möglichen Messwerte
b assoziieren können.
σ(A)
b
Nun, mit Kenntnis von der Spektraldarstellung, können wir für einen beliebigen Operator A
schreiben
b[a ,a ] = χ[a ,a ] (A).
b
C
(137)
0 1
0 1
b exakt dem Erkenntnisprozess entspricht,
Wir sehen, dass die Anwendung einer Messung χ[a0 ,a1 ] (A)
ob ein System Werte in [a0 , a1 ] hat (Resultat: 1) oder nicht (Resultat: 0). Anwendung eines solchen
Operators beschreibt genau die Beschneidung des Wellenpakets dadurch, dass wir die entsprechende
Kenntnis gewinnen.
12.0.1
Kollaps und Unschärfe
Der “Kollaps” der Wellenfunktion auf die gemessen spektralen Anteil ist nichts Neues im Vergleich
zu klassischen Mechanik. Das Neue ist, dass die Kenntnis einer Messgrösse unsere Kenntnis von
einer anderen beinflussen kann: wenn wir den Ort genau kennen, dann können wir über den Impuls
nur Aussagen machen, die mit der Unschärferelation kompatibel sind.
Das seltsame an der Quantenmechanik ist nicht so sehr der “Kollaps der Wellenfunktion”, d.h.
dass wir den Ort eines Teilchens in einem Messprozess eingrenzen, sondern, dass wir dadurch den
Impuls notwendigerweise “ruinieren”, d.h. unsere Kenntnis über den Impuls verschlechtern. Noch
absurder klingt das vielleicht, wenn wir Ort und Impuls vertauschen: von dem Teilchen, dessen
Impuls wir gerade sehr genau gemessen haben, könnnen wir nach der Messung nicht mehr genau
sagen, wo es ist. Und dies liegt in der Wesen der Natur, nicht an unserer dummen Messtechnik.
Gerade “war” das Teilchen an einer Stelle, wo wir den Impuls festgestellt haben, doch wenn unsere
Impulsmessung genau war, “ist” es anschliessend überall.
12.1
Projektionsoperatoren
b für beliebige Teilmengen des Spekrums I ⊂ σ(A)
b sind von grosser konzepDie Operatoren χI (A)
b sind
tioneller, rechentechnischer und mathematischer Bedeutung. In der Spektraldarstellung von A
die χI , simple Funktionen, es gilt
b † = χI (A)
b
χ∗I (a) = χI (a) ∀a ⇒ χI (A)
b ⇒ χI (A)
b 2 = χI (A)
b
χI (a)2 = χI (a) ∀a ∈ σ(A)
(138)
(139)
Diese Klasse von Operatoren ist allgemein wichtig, daher definiert man
Projektionsoperator ist ein Operator Π mit den Eigenschaften
b2 = Π
b
Π
und
b† = Π
b
Π
(140)
Problem 12.9: Vergegenwärtigen Sie sich, dass dies jedenfalls den Eigenschaften entspricht, die
wir von einer “Projektion” im R3 erwarten: erstmaliges Projezieren schneidet alles weg, was nicht
zum Endresultat gehört, nochmaliges Projezieren hat keinen weiteren Effekt.
32
12.1.1
Bra-Ket Notation von Projektionsoperatoren
Z
X
b
ΠI =
da |aiha|
(141)
I
bzw. mit Entartung
bI =
Π
Z
X
da
Z
X
I
dλ|a, λiha, λ|
(142)
Λa
führen sie sich vor Augen ha, λ|Ψi = ΨAb(a, λ), daher natürlich hΨ|a, λi = Ψ∗Ab(a, λ) und dann
Z
X
da
Z
X
I
13
Λa
2
dλ |ΨAb(a, λ)| =
Z
X
da
Z
X
I
b I Ψi
dλ hΨ|a, λiha, λ|Ψi = hΨ|Π
(143)
Λa
Postulate der QM
Die QM wird gerne ohne die lange, hier präsentierte Motivation durch eine Serie von Postulaten
eingeführt. Damit Sie den Bezug des hier diskutierten zu diesen üblichen Postulaten herstellen
können, stellen wir sie gegenüber. Es gibt diese “Postulate” in geringfügigen Variationen, hier
verwende ich was aktuell auf Wikipedia steht.
13.0.2
i: Zustand
Zustand: Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem Zeitpunkt t0 wird durch die Angabe
eines zum Zustandsraum H gehörenden komplexen Zustandsvektors |ψ(t0 )i definiert. Vektoren,
die sich nur um einen von Null verschiedenen Faktor c ∈ C unterscheiden, beschreiben denselben
Zustand. Der Zustandsraum des Systems ist ein Hilbertraum.
Kommentar Dies stimmt weitgehend mit unserer Definition überein. Die wichtigen Punkte:
Normierbarkeit und linearer Raum = Hilbertraum. Die Sache mit dem Faktor c gilt näturlich:
da alle tatsächlichen Wellenfunktionen auf 1 normiert muss jedenfalls |c| = 1 gelten, können sie
sich höchstens um einen Phasenfaktor eiϕ unterscheiden. Ein solcher Phasenfaktor hat aber niemals
Auswirkungen auf ein Messung, da ja nur das Normquadrat der Funktion die Wahrscheinlichkeit
µAb(a) = |ΨAb(a)|2 bestimmt. Die Linearität ist der eigentliche Hammer dieser Definition, und versteckt sich in dem Wörtchen “Hilbertraum”.
13.0.3
ii: Observable
Observable: Jede Grösse A, die physikalisch gemessen werden kann, ist durch einen im Zustandsraum
wirkenden hermiteschen Operator  beschrieben. Dieser Operator wird als Observable bezeichnet
und hat ein reelles Spektrum mit einer vollständigen sogenannten Spektralschar, bestehend aus einem
diskreten Anteil mit Eigenvektoren und Eigenwerten (Punktspektrum) und aus einem Kontinuum.
33
Kommentar Wir haben hier einen anderen Zugang gewählt: die Menge der möglichen Messwerte
b zusammen. Wie
ist durch den experimentellen Aufbau bestimmt, diese fassen wir im Spektrum σ(A)
in der KM kann jede Messgrösse zugleich auf den Zustand wirken, ist ein Operator. Das eigentlich
Entscheidende ist aber, dass Messgrössen nicht kommutieren. Wir suchen dann den passenden Operator. Wir verlangen vom Operator nicht unbedingt, dass er hermitesch sein muss, aber er muss
“diagonalierbar” sein, d.h. er muss eine Spektraldarstellung haben. Hermitesche (genauer: selbstadjungierte) Operatoren haben immer eine Spektraldarstellung mit rein reellem Spektrum, was wir
wahrscheinlich als “Messergebnisse” bevorzugen.
13.0.4
iii: Messresultat
Messresultat: Resultat der Messung einer physikalischen Grösse A kann nur einer der Eigenwerte der
entsprechenden Observablen  sein oder bei kontinuierlichem Spektrum des Operators eine messbare
Menge aus dem Kontinuum.
Kommentar In unserem Fall ist das kein Postulat sondern schon in der Konstruktion des vorherigen Punkts enthalten.
13.0.5
iv: Wahrscheinlichkeit
Messwahrscheinlichkeit im Fall eines diskreten nichtentarteten Spektrums: Wenn die physikalische
Grösse A an einem System im Zustand |ψi gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit P (an ), den
nichtentarteten Eigenwert an der entsprechenden Observable  zu erhalten (mit dem zugehörigen
Eigenvektor |un i ): P (an ) = |hun |ψi|2 . Dabei seien ψ und un normiert.
Kommentar Dies entspricht unserem µAb(a) = |ΨAb(a)|2 der Spektraldarstellung, im Fall eines
~ n der Transformation U
bb
diskreten, nicht-entarteten Spektralwerts. Das |un i ist gerade eine Spalte U
A
auf die Spektradarstellung
b†
b=U
b bD U
(144)
A
b
A
A
In unserem Fall ist auch gleich der entartete Fall und das kontinuierliche Spektrum erfasst. Die
Existenz dieses µAb sagt einfach, dass wir Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Messergebnissen
machen können, die konkrete Form folgt aus dem rein mathematischen Spektralsatz. Es handelt sich
nicht um ein unabhängiges Postulat über die Physik der Quantenmechanik.
13.0.6
v: Zeitentwicklung
∂
|ψ(t)i =
Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors |ψ(t)i ist gegeben durch die Schrödingergleichung: i~ ∂t
Ĥ(t)|ψ(t)i, wobei Ĥ(t) die der totalen Energie des Systems zugeordnete Observable ist.
Kommentar Dieses Postulat ist redundand, bzw. es folgt aus der Forderung nach Erhaltung der
b und die Schrödingergleichung
Wahrscheinlichkeit. Wenn die Warscheinlichkeit erhalten ist, gibt es ein H
b
gilt. Die Defintion von H als “Energie” des Systems ist tautologisch: wir nennen “Energie”, die zur
Homogenität der Zeit gehörende Erhaltungsgrösse.
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Hier wird die Verallgemeinerung auf nicht-homogene Zeiten beschrieben, d.h. zeitabhängige “Energien”. Erhaltung der Norm garantiert weiterhin die allgemeine Form der Schrödingergleichung.
Wir verlieren nur das strenge Argument für den Gebrauch des Worts “Energie”. Aber so genau
nehmen’s die Physiker da nicht.
13.0.7
Zustand nach Messung
In der Wikipediaauflistung fehlt ein wichtiger Punkt: der Zustand eines System nach Messung eines
Werts a. Wie wir oben diskutiert haben ist dies kein “Postulat”, jedoch führt es zum scheinbar
paradoxen “Kollaps des Wellenpakets” und ist daher eine getrennte Erwähnung wert.
35