2 Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik 2.1 Einleitung

T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2 Komplexe Rechnung in der Elektrotechnik
2.1 Einleitung
Wechselstromnetzwerke sind Netzwerke, in denen sinusförmige Spannungen oder –ströme
gleicher Frequenz auf ohmsche, induktive und kapazitive Widerstände wirken.
Beispielschaltung
i(t)
R
uR(t)
u(t)
uL(t)
L
uc(t)
C
Eine möglich Anwendung auf diese Schaltung wäre die Berechnung der Stromstärke i(t) bei
gegebener Betriebsspannung u(t). Zur analytischen Lösung würden die folgenden Gleichungen
benötigt.
Mathematische Gleichung zur Beschreibung einer sinusförmigen Spannung:
u(t) =
û · sin (ωt + φu)
Formel zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs der Spannung an einem Widerstand:
uR(t) =
R · i(t)
Formel zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs der Spannung an einer Induktivität:
uL(t) =
L·
di(t)
dt
Formel zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs der Spannung an einem Kondensator:
uC(t) =
1
i(t)dt
C!
- 2.1 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Die Maschengleichung der vorliegenden Schaltung lautet:
u(t)
=
uR(t) + uL(t) + uC(t)
û · sin (ωt + φu)
=
R · i(t) + L ·
di(t)
1
i(t)dt
+
dt
C!
Die Berechnung der Aufgabe erfordert die Auflösung dieser Gleichung, die als
Differentialgleichung bezeichnet wird. Man kann sich leicht vorstellen, dass die Auflösung
dieser Differentialgleichung mathematisch anspruchsvoll und aufwendig ist. Aus diesem Grund
wäre es sinnvoll die Gleichung in eine Form zu transformieren, die eine einfachere Berechnung
möglich macht. Unter Anwendung von komplexen Zahlen lässt sich eine solche Form finden.
In diesem Kapitel sollen deshalb die elementaren Rechenregeln der komplexen Zahlen näher
betrachtet werden, und ihre Anwendung in der Wechselstromtechnik untersucht werden.
2.2 Notwendigkeit der komplexen Zahlen
Die Gleichung x2 + 1 = 0 lässt sich mit reellen Zahlen nicht lösen:
x2 + 1 =
0
!1
x =
Um diese Art von Gleichungen lösen zu können wurde die imaginäre Zahl i eingeführt.
!1
i =
In der Elektrotechnik wird für imaginäre Zahlen allgemein der Buchstabe j verwendet, um
Verwechslungen mit der elektrischen Stromstärke zu vermeiden.
In der Elektrotechnik gilt also:
!1
j =
Das Ergebnis der obigen Gleichung lautet also:
x =
±j
Im komplexen Zahlenraum lassen sich also alle Zahlen darstellen, wobei komplexe Zahlen aus
einem Real-Teil und einem Imaginärteil bestehen.
- 2.2 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.3 Darstellung einer komplexen Größe
Im
z
_
b
a
-_
Re
z*
2.3.1 Normalform (Komponentenform)
z =
a + jb
Die Normalform wird verwendet zur Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen.
2.3.2 Trigonometrische Form (2. Art der Komponentenform)
z =
z · cos φ + j z · sin φ
z =
z · (cos φ + j sin φ)
Die trigonometrische Form wird verwendet zur Umrechnung zwischen der Normal- und der
Exponentialform.
Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
a =
z · cos φ
b =
z · sin φ
z
=
φ =
a 2 + b2
arctan
b
a
- 2.3 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.3.3 Exponentialform
Unter Anwendung einer Reihenentwicklung lässt sich zeigen, dass gilt:
e±jφ =
cos φ ± j sin φ
Daraus ergibt sich die Exponentialform einer komplexen Zahl zu:
z · e±jφ
z =
Die Exponentialform wird verwendet zur Multiplikation und Division von komplexen Zahlen.
2.4 Durchführung komplexer Berechnungen
2.4.1 Elementare Rechenregeln
!1
j =
j2 =
-1
j3 =
-j
j4 =
1
j5 =
j
usw.
2.4.2 Häufig verwendete Werte für ejφ
Einige Werte für ejφ bei häufig vorkommenden Winkeln sind:
φ = 0°
ej0°
:
j90°
=
cos 0° + j sin 0°
=
1 + j0
=
1
=
cos 90° + j sin 90°
=
0 + j1
=
j
=
0 + j · (-1)
=
-j
=
-1
φ = 90° :
e
φ = -90° :
ej-90° =
cos -90° + j sin -90°
φ = 120° :
ej120° =
cos 120° + j sin 120° =
-
φ = 180° :
ej180° =
cos 180° + j sin 180° =
-1 + j 0
φ = 240° :
ej240° =
cos 240° + j sin 240° =
-
Es gilt:
e-j90° =
1
e
j90°
und damit
1
= -j
j
- 2.4 -
3
1
+ j
2
2
3
1
- j
2
2
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.4.3 Addition und Subtraktion
Bei Addition und Subtraktion ist die Komponentenform von Vorteil.
Normalform:
z1 =
a + jb
z2 =
c + jd
z1 + z2 =
(a + c) + j (b + d)
Real-Teil Imaginär-Teil
Trigonometrische Form:
z1 =
z1 · (cos φ1 + j sin φ1)
z2 =
z 2 · (cos φ2 + j sin φ2)
z1 + z2 =
( z1 · cos φ1 + z 2 · cos φ2) + j ( z1 · sin φ1 + z 2 · sin φ2)
Real-Teil
Imaginär-Teil
Zwei komplexe Größen werden addiert (subtrahiert), indem man die Realteile addiert
(subtrahiert) und die Imaginärteile addiert (subtrahiert).
2.4.4 Multiplikation und Division
Bei Multiplikation und Division ist die Exponentialform von Vorteil.
z1 =
z1 · ejφ1
z2 =
z 2 · ejφ2
z1 · z2 =
z1
z2
=
z1 · z 2 · ej(φ1+φ2)
z1
· ej(φ1-φ2)
z2
Beispiel
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = 2 – j6 und z2 = 5 · ej30°. Berechne z1 + z2 ;
z1 - z2 ; z1 · z2 ;
z1
;
z2
- 2.5 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Multiplikation in der Komponentenform:
Auch wenn die Exponentialform bei Multiplikation und Division von Vorteil ist, so heißt dies
natürlich nicht, dass sich diese Operationen nicht auch in Komponentenform durchführen
lassen. Der Rechenweg ist nur meist etwas aufwendiger.
z1 =
a + jb
z2 =
c + jd
z1 · z2 =
(a + j b) · (c + j d)
=
ac + j ad + j bc - bd
z1 · z2 =
ac - bd + j (ad + bc)
z1
z2
z1
z2
=
a + jb
c + jd
=
a + jb c ! jd
·
c + jd c ! jd
=
ac + bd + j (bc ! ad)
c2 + d 2
=
bc ! ad
ac + bd
+ j 2
2
2
c + d
c + d2
Multiplikation mit dem
konjugiert komplexen Nenner
2.4.5 Multiplikation mit j und –j
Exponentialform:
z =
z · ejφ
j·z =
ej90° · z · ejφ
j·z =
z · ej(φ+90°)
-j · z =
-j · z =
e-j90°
· z · ejφ
z · ej(φ-90°)
- 2.6 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Komponentenform
z =
a + jb
j·z =
-b + j a
-j · z =
b - ja
Grafische Darstellung
Im
z
j·z
jb
a
Re
-j · z
Eine Multiplikation mit j entspricht einer Drehung um +90°.
Eine Multiplikation mit –j entspricht einer Division durch j und einer Drehung um -90°.
2.4.6 Potenzieren und Radizieren
z =
z · ejφ
zn =
( z · ejφ)n
zn =
z n · ejnφ
1
n
z
=
zn
=
( z · e j! ) n
1
zn
z
n
1
n
z
1
=
=
1
n
z ·e
z
1
n
=
j
!
n
1
n
z ·e
j
!
n
Beim Potenzieren wird der Betragt potenziert und der Richtungswinkel mit dem Exponenten
multipliziert.
- 2.7 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.4.7 Differentiation der Exponentialfunktion
Für die Ableitungen nach der Zeit für Exponentialfunktionen gelten die folgenden Regeln:
d(e x )
dt
= (ex)’ =
ex
d(e nx )
dt
= (enx)’ =
n · enx
d(e jx )
dt
= (ejx)’ =
j · ejx
d(e j! )
dt
= (ejφ)’ =
j · ejφ
d(e j!t )
dt
= (ejωt)’ =
jω · ejωt
2.4.8 Differentiation und Integration einer komplexen Größe
z =
z · ejωt
Differentiation
d(z)
dt
d(z)
dt
=
d( z · e j!t )
dt
=
d(e j!t )
z·
dt
=
jω · z · ejωt
=
jωz
Andere Schreibweise:
z' =
jωz
Multiplikation mit j ! Drehung um 90°
- 2.8 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Integration
! z dt
=
"ze
=
z " e j!t dt
=
! z dt
=
z
j!
j!t
dt
· e j!t
z
j!
Division durch j ! Drehung um -90°
2.5 Anwendung in der Elektrotechnik
2.5.1 Beispiel Induktionsgesetz
Analytische Berechnung (Berechnung im Zeitbereich)
ui(t) =
ui(t) =
ûi =
-N·
d! (t)
dt
ˆ (t)
!
=
ˆ · sin ωt
!
ˆ · ω · cos ωt
-N· !
ˆ ·ω
N· !
Ui =
û i
2
Ui =
ˆ ·2"f
N ·!
2
Komplexe Berechnung (Berechnung im Bildbereich)
Ui
=
-N·
!
d! (t)
dt
=
ˆ · ejωt
!
Ui
=
ˆ · ejωt
-j·ω·N· !
Ui
=
-j·ω·N· !
Ui
=
ω·N·!
Ui
=
ˆ
ω · N ·!
=
ûi
- 2.9 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.5.2 Das Ohmsche Gesetz
Wirkwiderstand
UW
=
R · I
Als Strom sei ein sinusförmiger Strom mit einem Phasenwinkel von 0°
angenommen I = I · ejωt
UW
=
(mit I als Effektivwert)
R · I · ejωt
UW
UW
=
UW · ejωt
U W und I sind in Phase
Induktiver Blindwiderstand
U BL
=
L·
dI
dt
I =
U BL
I · ejωt
=
jωL · I · ejωt
=
jωL · I
U BL eilt I um 90° vor (siehe Kapitel 2.4.5)
Kapazitiver Blindwiderstand
U BC
=
1
· I dt
C !
I =
U BC
U BC
I · ejωt
=
1
· " I · e j!t dt
C
=
1
· I · e j!t
j !C
=
!j
·I
"C
U BC eilt I um 90° nach (siehe Kapitel 2.4.5)
- 2.10 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Zusammenfassung
Widerstände im Wechselstromkreis lassen sich folgendermaßen als komplexe Widerstände
darstellen.
Ohmscher Widerstand:
R
=
R
Induktiver Blindwiderstand:
XL
=
jωL
Kapazitiver Blindwiderstand:
XC
=
=
jXL
=
XL · ej90°
1
=
j !C
-jXC
=
XC · e-j90°
2.5.3 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Spannungen und
Strömen
Sinusförmige Spannungen oder Ströme können in Form komplexer Ausdrücke angegeben
werden. Diese Ausdrücke lassen sich verwenden um elektrische Schaltungen mithilfe der so
genannten komplexen Wechselstromrechnung zu berechnen.
Darstellung einer sinusförmigen Spannung im Zeitbereich
(Mathematische Formel zur Berechnung des Momentanwerts dieser Spannung)
u(t) =
û · sin (ωt + φ)
u(t) =
U ·
oder
2 · sin (ωt + φ)
Komplexer Momentanwert
û
=
û · ejφ · ejωt
Diese Gleichung entspricht der aus der Wechselstromberechnung bekannten Zeigerdarstellung
der Spannung. Der Term ejφ gibt dabei den Phasenwinkel der Spannung an und der Term ejωt
die Rotation des Zeigers an (frequenzabhängig). Wenn bei der Berechnung von
Wechselstromschaltungen von einer Schaltung mit einer festen gleich bleibenden Frequenz
ausgegangen wird, ist die Angabe des Terms ejωt nicht notwendig. Für die Spannung ergeben
sich die folgenden möglichen komplexen Gleichungen.
- 2.11 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Komplexe Gleichungen
Û
=
û · ejφ
(Komplexe Amplitude)
U
=
U · ejφ
(Komplexer Effektivwert)
Die zweite Darstellung (Effektivwertdarstellung) ist dabei die, mit der üblicherweise in der
komplexen Wechselstromtechnik gerechnet wird.
2.5.4 Der zusammengesetzte Stromkreis
Komplexer Scheinwiderstand
Z
=
Z · ejφ
Ohmsches Gesetz
U
=
Z · I
Reihenschaltungen
-------------------------------------------------------------------------------R
XL
I
UW
U BL
U
=
U W + U BL
=
R · I + jXL · I
U
=
I · (R + jXL)
Z
=
R + jXL
Z
=
U
R 2 + XL2
φ
=
arctan
XL
R
-------------------------------------------------------------------------------- 2.12 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
--------------------------------------------------------------------------------
XC
R
Z
=
Z
=
R - jXC
R 2 + XC2
φ
=
! X "
arctan $ # C %
& R '
--------------------------------------------------------------------------------
XC
R
Z
=
Z
=
XL
R + j(XL - XC)
R 2 + (X L ! X C ) 2
φ
=
" X ! XC #
arctan $ L
%
R
&
'
--------------------------------------------------------------------------------
Parallelschaltungen
Bei Parallelschaltungen bietet es sich an, jeweils den komplexen Scheinleitwert zu berechnen.
Zur Berechnung des Scheinwiderstandes wird dann der Kehrwert gebildet.
Z
=
1
Y
Mit
Y
=
Y · ejφ
y
Im Folgenden soll als Beispiel die Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
untersucht werden. Auf die Herleitung der anderen Parallelschaltung wird verzichtet, weil die
Vorgehensweise stets die gliche ist.
- 2.13 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
--------------------------------------------------------------------------------
R
IW
I
XL
IBL
U
=
IW + IBL
=
U
U
+
R
j !L
=
!1
1 "
U·#
+
$
j %L '
&R
Y
=
I
U
Y
=
1
1
+
R
j !L
Y
=
R + j !L
R · j !L
Z
=
R · j !L
R + j !L
=
R · j !L R ! j "L
·
R + j !L R ! j "L
I
(!L )
2
=
· R + j!LR 2
R 2 + (!L )
2
R (!L )
2
Z
=
+ j
R 2 + (!L )
2
R 2 (!L )
R 2 !L
R 2 + (!L )
2
4
Z
=
=
" R 2 + (!L )2 #
$
%
R 4 (!L )
2
2
+
" R 2 + (!L )2 #
$
%
2
2
R 2 (#L ) · ! R 2 + (#L ) "
$
%
2 2
2
! R + (#L ) "
$
%
- 2.14 -
2
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
R 2 (!L )
2
=
Z
R 2 + (!L )
2
R · !L
=
R 2 + (!L )
2
φ =
-φ
Y
-------------------------------------------------------------------------------R
XC
Y
=
1
1
+
R
! jX C
Y
=
1
1
+ j
R
XC
--------------------------------------------------------------------------------
R
XL
XC
Y
=
1
1
1
+
+
R
jX L
! jX C
Y
=
! 1
1
1 "
+ j#
+
$
R
XL &
% XC
-------------------------------------------------------------------------------- 2.15 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
2.5.5 Aufgaben
Aufgabe 2.1
An einer reinen Induktivität von 5 mH liegt eine Spannung von 60 V / 1500 Hz. Ermittle den
Strom nach Betrag und Phase.
Aufgabe 2.2
Eine Spule mit R = 30 Ω und L = 250 mH liegt an einer Spannung von 220 V / 50 Hz. Ermittle
den Strom nach Betrag und Phase.
Aufgabe 2.3
Eine Spule mit R = 20 Ω liegt an einer Spannung von 120 V / 600 Hz. Dabei wird eine
Stromstärke von 1,5 A gemessen. Ermittle die Induktivität der Spule, sowie die
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Aufgabe 2.4
An einem Reihenschwingkreis aus R = 10 Ω, L = 0,015 mH, C = 1 µF liegt eine Spannung von
12 V / 80 kHz. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase.
Aufgabe 2.5
Die nebenstehende Schaltung liegt an einer Spannung von
R1
XL
20 V / 50 Hz. Ermittle den Strom nach Betrag und Phase
sowie die Ersatzreihenschaltung. (R1 = 6,1 Ω ; R2 = 3,2 Ω
XC
R2
; XC = 1,4 Ω ; XL = 7,4 Ω)
Aufgabe 2.6
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden
R1
XL
Angaben: R1 = 100 Ω ; R2 = 100 Ω ; L = 500 mH ;
f = 50 Hz ; U = 200 V · ej0°. Bestimme den Strom durch
die Schaltung sowie die Ersatzreihenschaltung.
- 2.16 -
R2
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Aufgabe 2.7
XC
R1
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden
Angaben: R1 = 100 Ω ; R2 = 100 Ω ; C = 20 µF ; f = 50 Hz ;
R2
U = 200 V · ej0°. Bestimme den Strom durch die Schaltung.
Aufgabe 2.8
R
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden
Angaben: R = 100 Ω ; L = 500 mH ; C = 20 µF ;
XL
XC
j0°
f = 50 Hz ; U = 200 V · e . Bestimme den Strom durch
die Schaltung.
Aufgabe 2.9
X1
R1
X4
R3
R1
X3
X2
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben:
R1 = 6 Ω ; R2 = 3 Ω ; R3 = 5 Ω ; X1 = 2 Ω ; X2 = 7 Ω ; X3 = 8 Ω ; X4 = 10 Ω.
Bestimme die Ersatzreihenschaltung.
Aufgabe 2.10
R1
X1
X2
X4
R2
R4
X3
R3
Für die obenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: R1 = 40 Ω ; R2 = 30 Ω ;
R3 = 100 Ω ; R4 = 10 Ω ; X1 = 100 Ω ; X2 = 60 Ω ; X3 = 20 Ω ; X4 = 10 Ω ; U = 220 V · ej0°.
Bestimme
die
Ersatzreihenschaltung,
den
Gesamtstrom,
Teilspannungen.
- 2.17 -
die
Teilströme
und
die
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Aufgabe 2.11
Für die nebenstehende Schaltung
gelten
die
folgenden
R1 = 500 Ω
;
R1
R2
X4
X2
Angaben:
R2 = 400 Ω
;
R3
R3 = 200 Ω ; X2 = 500 Ω. Berechne
den Wert des Blindwiderstandes X4,
wenn der Strom der Spannung um 60° nacheilt.
Aufgabe 2.12
L
R1
Der durch die Schaltung fließende Wechselstrom soll trotz abund zuschalten des Widerstandes R2 seine Stärke nicht
R2
verändern. Berechne den Wert des Widerstandes R2
(R1 = 40 Ω ; XL = 20 Ω).
Aufgabe 2.13
50 O
50 O
Berechne die
Stromstärke,
die die
nebenstehende Schaltung aufnimmt.
40 O
60 O
20 O
30 O
U = 25 V · e j0°
Aufgabe 2.14
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit R = 50 Ω ;
L = 0,1 H ; C = 10 µF.
a) Stelle
die
Formel
zur
Berechnung
des
R
Scheinwiderstandes auf. Berechne Z nach Real-
C
und Imaginärteil.
L
b) Berechne die Frequenz bei der Z reell wird.
c) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung mit
den gegebenen Werten und der errechneten
Frequenz.
- 2.18 -
U
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Aufgabe 2.15
C
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung
C
mit R = 300 Ω ; f = 50 Hz. Berechne den
Wert
der
Kondensatoren
C,
damit
R
U1
R
U2
zwischen den Spannungen U1 und U2 eine
Phasenverschiebung von 90° entsteht.
Aufgabe 2.16
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden
Angaben:
R1 = 200 Ω
;
R2 = 120 Ω
;
R1
R2
L1 = 750 mH ;
C2 = 10 µF ; f = 50 Hz.
a) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung.
L1
C2
b) Ist die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Erkläre.
Aufgabe 2.17
L
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben:
C
R = 100 Ω ; XL = 150 Ω ; XC = 200 Ω.
R
a) Berechne den Scheinwiderstand der Schaltung.
b) Ist die Schaltung induktiv oder kapazitiv? Erkläre.
Aufgabe 2.18
X2
I
R1
R2
R3
U
X4
Für die obenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben: R1 = 50 Ω ; R2 = 30 Ω ;
R3 = 20 Ω ; X2 = 70 Ω. Berechne den Wert des Blindwiderstandes X4, damit der Strom der
Spannung um 60° nacheilt.
- 2.19 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Aufgabe 2.19
I
Für die nebenstehende Schaltung gelten die folgenden Angaben:
XL = 80 Ω ; XC = 40 Ω.
R
a) Stelle die Gleichung auf für I = f(U, R, XL, XC)
b) Berechne den Wert von R bei dem Gesamtspannung und
XL
U
Gesamtstrom in Phase sind.
XC
c) Berechne den Wert von R bei dem der Gesamtstrom der
Gesamtspannung um 45° voreilt.
Aufgabe 2.20
j5 O
5O
Ermittle für die nebenstehende Schaltung den
Strom
I
nach
der
Methode
I
des
3O
Überlagerungsgesetzes.
U2 = 50 V · e j0°
U1 = 50 V · e j90°
j4 O
Aufgabe 2.21
R
L
Ermittle für die nebenstehende Schaltung
den Strom
IL
IL
nach der Methode der
RL
Ersatzspannungsquelle. ( U = 100 V · ej0° ;
C
U
f = 100 Hz ; L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 100 Ω
CL
RL = 100 Ω ; CL = 0,1 µF)
Aufgabe 2.22
Ermittle
für
5O
die
2O
A
j3 O
4O
B
I
nebenstehende
Schaltung
den
U1
j5 O
6O
Strom I und die
Spannung
U AB
nach der Methode der Ersatzspannungsquelle. ( U1 = 30 V · ej0° ; U 2 = 20 V · ej0°)
- 2.20 -
U2
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
I
Aufgabe 2.23
L
Für die nebenstehende Schaltung gilt: U = 1 V · ej0° ; f = 5 kHz
; IR = 100 µA. Die Stromstärke IR ist dabei unabhängig vom
IR
U
Wert von R. Berechne die Kapazität des Kondensators und die
C
R
UR
Induktivität der Spule.
Aufgabe 2.24
I
Berechne für di nebenstehende Schaltung die Kapazität des
Kondensators und die Induktivität der Spule, sodass an jedem
L
Lämpchen 12 V abfallen unabhängig von der Anzahl der
IG
U
UG
Lämpchen. Es gilt U = 120 V ; f = 600 Hz ; U G = 12 V ;
C
PG = 3 W.
UG
Aufgabe 2.25
R
XL
a) Ermittle für die nebenstehende Schaltung den
Strom in komplexer Schreibweise als Funktion
I
XC
von U , R, XL, und XC. Die beiden ohmschen
R
Widerstände sind dabei gleich.
U
b) Für welchen Wert von R ist I mit U in Phase?
Aufgabe 2.26
R
L
A
RL
UL
U1
U2
C
B
Bestimme für die obenstehende Schaltung die Klemmenspannung U L .
Es gilt:
R = 5 Ω ; RL = 2,5 Ω ; XL = 5 Ω ; XC = 2,5 Ω ; U1 = 10 V · ej0° ; U 2 = 10 V · ej90°.
- 2.21 -
T3EE – ELETE
C. FEIPEL
Aufgabe 2.27
Für die nebenstehende Schaltung gilt:
R2 = 200 Ω ; XL = 100 Ω ; U =
a) Berechne
den
R2
200 V .
Widerstand
R1
R1,
damit
der
XL
Phasenverschiebungswinkel zwischen der Spannung
U und dem Gesamtstrom 45° beträgt.
U
b) Berechne die Spannung U 2 .
Aufgabe 2.28 (Examen 2002)
R1
XL1
A
RL
U02
U01
XCL
B
Ermittle mit Hilfe der komplexen Rechnung für die obenstehende Schaltung die Spannung
zwischen den Klemmen A und B nach der Methode der Ersatzspannungsquelle.
Es gilt:
R1 = 5 Ω ; XL1 = 5 Ω ; RL = 2,5 Ω ; XCL = 2,5 Ω ; U 01 = 10 V · ej0° ; U 02 = 10 V · ej90°.
- 2.22 -