Script 13.3

LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
1
11 Spezielle Relativitätstheorie
11.1 Michelson1-Experiment
Im 19. Jahrhundert versuchte man, die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten von
Licht nachzuweisen. Bis dahin war Licht als Welle interpretiert worden und demnach an
einen Stoff gebunden. Diesen Stoff sah man im Äther, den Träger der Lichtwellen.
Die Grundidee des Michelson-Experiments (1886) geht auf eine Idee von Maxwell zurück.
Ein Lichtstrahl durchläuft eine Strecke hin
Spiegel
Spiegel
und zurück parallel zur Bewegung der Erde
um die Sonne. Ein zweiter Lichtstrahl
durchläuft die gleichlange Strecke senkrecht
d
zur Bewegungsrichtung der Erde um die
d
Sonne. Dieses wird erreicht, in dem ein
Lichtbündel durch einen halbdurchlässigen
halbdurchlässiger
Spiegel
Spiegel in einen senkrechten und einen
parallelen Bündel geteilt wird. Wegen der
Bewegung der Erde besitzen die Teilbündel
Fernrohr
Lichtquelle
unterschiedliche Laufzeiten. Damit ändern
sich
ihre
Drehung
Phasenbeziehungen.
der
Anordnung
Je
nach
wäre
eine
v
unterschiedliches Interferenzmuster erkennbar
gewesen.
c2  v2
Das Experiment wurde zu verschiedenen
v
und führte stets zum Fehlschlag.
t par 
t senk
d
d
2dc
2d

 2


2
cv cv c v
c
2d
2d



2
2
c
c v
1
v2
1 2
c
1
v2
1 2
c









t par 
mit γ 
1
c-v
c+v
Zeiten an verschiedenen Orten durchgeführt
c
1
v2
1 2
c
v
c
 t senk  γ t senk  t par  t senk
1
v2
1 2
c
Albert Abraham Michelson, 1852-1931, amerikanischer Physiker
v
c
(relativistischer Faktor)
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2
Auch Michelson konnte den von Newton geforderten absoluten Raum nicht nachweisen. Es
gibt demnach kein Bezugssystem, das physikalisch vor einem anderen ausgezeichnet ist.
Jedes Bezugssystem ist in gleicher Weise zur Beschreibung der Naturgesetze geeignet. So
haben sich zwei Prinzipien als Grundlage der Relativitätstheorie herausgebildet.
1. Postulat2 - Relativitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind zur Beschreibung von
Naturvorgängen gleichberechtigt. Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen die
gleiche Form.
2. Postulat – Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: In allen Inertialsystemen breitet sich
das Licht im Vakuum isotrop3 in allen Richtungen aus und unabhängig von der
momentanen Bewegung der lichtaussendenden Quelle mit der Geschwindigkeit
c = 299 793 km·s-1
Größe des relativistischen Faktors γ
1
v in % von c
0
10
50
80
86,6
90
99
99,5
99,9
99,99
99,999
99,9999
100
 v2 
1   2 
c 
1,000
0,995
0,866
0,600
0,500
0,436
0,141
0,100
0,045
0,014
0,004
0,001
0
 v2 
1   2 
c 
1,000
1,005
1,155
1,667
2,000
2,294
7,09
10,01
22,37
70,71
223,6
707,1
∞
Da der Faktor γ für v > c imaginär wird, folgt dass v ≤ c. Das bedeutet
Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist die obere Grenze aller Geschwindigkeiten für die
Ausbreitung einer beliebigen Wirkung, d.h. von Teilchen und Wellensignalen
jeglicher Art.
Für v << c ist γ ≈ 1 und es gilt die klassische Mechanik!
Übung: LB.
- Michelson-Experiment: 1 und 2
- Grundprinzip : 1 und 2
2
Postulat [lat.] nicht beweisbare, aber glaubhafte aber einleuchtende Annahme
3
isotrop [griech.] nach allen Richtungen des Raumes hin die gleichen physikalischen Eigenschaften
aufweisend
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3
11.2 Relativitätsprinzip
Relativität der Gleichzeitigkeit
Laut der klassischen Physik existiert eine absolute Zeit und damit eingeschlossen eine
absolute Gleichzeitigkeit. Zum Vergleich zweier Ereignisse reicht es demnach nur auf zwei
synchrone Uhren zu sehen. Doch wie synchronisiert man Uhren?
Einstein4-Synchronisation: Zwei Uhren, die an verschiedenen Orten aufgestellt sind, werden
synchronisiert, in dem von ihrer geometrischen Mitte zwei Lichtsignale gleichzeitig
ausgesendet werden, die bei ihrer Ankunft die Uhren in Gang setzen.
Uhr A
Uhr B
000
000
In der Praxis wird dies zur Synchronisation von Atomuhren angewendet.
4
Albert Einstein, 1879-1955, deutscher Physiker
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4
Anwendung auf Gedankenexperimente
Gedankenexperiment 1
Nebenstehendes Gedankenexperiment soll
zeigen, dass die in der klassischen Physik
Synchronisationsblitz
angenommene
Gleichzeitigkeit
nicht
C
D
existiert.
In zwei Raketen befinden sich je zwei
A
B
Uhren (am Bug und am Heck). Beide
Uhr B
startet
Raketen bewegen sich mit der RelativC
D
geschwindigkeit v = c/2. Im Moment des
Vorbeifluges wird von der momentanen
A
B
Mitte ein Synchronisationsblitz ausUhren C und D
starten
gesendet. Aus der Sicht der unteren Rakete
C
D
erreicht das Lichtsignal zuerst die Uhr B.
Sie läuft dem Lichtsignal entgegen.
A
B
Anschließend werden die Uhren C und D
Uhr A
startet
synchron gestartet. Die Uhr A wird zuletzt
C
D
erreicht, da sie dem Signal davoneilt.
Nun verlangt die Relativitätstheorie, dass aus Sicht der oberen Rakete dasselbe eintritt. Doch
dies ist nicht der Fall.
A
B
Gedankenexperiment 2
Der Relativitätsexpress rast mit nahezu (30%) Lichtgeschwindigkeit dahin, als ein Blitz in das
vordere und einer in das hintere Ende des Zuges einschlägt. Ein Reisender, der sich in der
Mitte des Zuges befindet, und ein Bahnwärter draußen am Bahndamm sehen die Blitze
gleichzeitig. Beim Eintreffen der von den Blitzen ausgesandten Lichtsignale befinden sich der
Reisende und der Bahnwärter auf gleicher Höhe. Welche Schlüsse ziehen beide daraus
über die Zeiten, zu denen die Blitze einschlugen?
A’
B’
A
B
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5
Der Zug soll eine Länge von 600 m besitzen, so dass die Mitte 300m von den einschlagenden
Blitzen entfern ist. Das Licht breitet sich mit 300000 km·s-1 bzw. mit 300 m·µs-1 aus
Wir beobachten nun die Lichtimpulse, die von den beiden Blitzen auf den Reisenden und den
Bahnwärter zulaufen.
Die von diesen Blitzen ausgehenden Lichtimpulse treffen nach 1 µs in der Mitte zusammen.
Aber: In der Mitte von A und B oder in der Mitte von A' und B'? Je nach Standort des
Beobachters hat sich nämlich inzwischen das System S' um 100 m nach rechts bewegt oder
das System S um 100 m nach links – und mit dem System auch die Einschlagpunkte der
Blitze. Das bedeutet dann:
Die beiden Lichtimpulse treffen sich in der Mitte. Beobachter in S
bzw. Die beiden Lichtimpulse treffen sich in der Mitte. Beobachter in S'
Am Beispiel der Rakete erklärt (rückwärts betrachtet): Der Reisende sitzt in der Mitte der
unteren (ruhenden) Rakete. Für ihn sind, da ihn die Blitzsignale gleichzeitig erreichen, die
beiden Blitze auch gleichzeitig an den Enden eingeschlagen. Der Bahnwärter steht draußen
und beobachtet die obere (bewegte) Rakete. Für ihn ist der Blitz eher in die Spitze der Rakete
(also das Ende des Zuges) eingeschlagen und später in den Anfang des Zuges.
Dies sind ganz unterschiedliche, anscheinend widersprüchliche und nicht zu vereinbarende
Befunde: Die Lichtimpulse begegnen einander nur für jeweils einen Beobachter in der Mitte,
für den anderen Beobachter haben sie unterschiedlich lange Wege zurückgelegt. Wenn wir
darauf bestehen, dass die Lichtgeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen und für alle
Lichtimpulse dieselbe ist, dann bedeuten unterschiedlich lange Wege der Lichtimpulse auch
unterschiedlich lange Laufzeiten. Und dies wiederum bedeutet, dass sie – für den betreffenden
Beobachter – nicht gleichzeitig gestartet sind.
Relativität der Gleichzeitigkeit: Zwei Ereignisse, die an verschiedenen Orten stattfinden und
von einem Inertialsystem aus als gleichzeitig angesehen werden, finden aus der Sicht eines
anderen, relativ zum ersten bewegten Inertialsystems zu verschiedenen Zeiten statt.
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6
11.3 Relativistische Dynamik
Einsteins Relativitätstheorie hat in unserem täglichen Leben keine allzu große praktische
Auswirkung. Wir bewegen uns mit Geschwindigkeiten, die deutlich kleiner sind als die
Lichtgeschwindigkeit. Doch in der Teilchenphysik, bei der Teilchengeschwindigkeiten nahe
der Lichtgeschwindigkeit keine Seltenheit sind, spielt sie eine sehr große Rolle. Hier ist es
notwendig mit Masse, Energie und Impuls zu rechnen.
11.3.1 Versuch von Bucherer – relativistische (dynamische) Masse
Alfred Bucherer5 entwickelte im Jahre 1909 - auf den Experimenten von Walter Kaufmann
aufbauend - ein Experiment, das die sehr genaue Messung der spezifischen Ladung von
Elektronen gestattete (vgl. Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen Klasse 12).
In das Zentrum eines Plattenkondensators wird ein radioaktives Präparat gebracht, das
kontinuierlich Elektronen verschiedener Geschwindigkeit aussendet. Neben dem
elektrischen Feld des Kondensators herrscht noch ein zu diesem senkrechtes
homogenes Magnetfeld (Geschwindigkeitsfilter).
Dann treten die Elektronen in einen Raum, in dem nur noch das homogene Magnetfeld
wirkt.
Hier
durchlaufen
die
Teilchen
den
Teil
einer
Kreisbahn.
Für die Teilchen, welche das Geschwindigkeitsfilter unabgelenkt durchlaufen, gilt:
v
E
. Aus der magnetischen Flussdichte B, der Geschwindigkeit v und dem Radius r
B
der Kreisbahn lässt sich die spezifische Ladung der Teilchen berechnen:
e
v

.
m Br
(Animation: http://www.leifiphysik.de/web_ph11_g8
/versuche/03bucherer/bucherer.htm)
5
Alfred Heinrich Bucherer, 1863 - 1927 , deutscher Physiker
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7
e
mit zunehmender Geschwindigkeit nicht
m
Bucherer stellte fest, dass die spezifische Ladung
konstant war, sondern abnahm. Da die Ladung der Elektronen nicht von der Geschwindigkeit
abhängt, folgt daraus, dass die Elektronenmasse mit steigender Geschwindigkeit zunimmt.
Das
folgende
Diagramm
stellt
die
experimentell
gefundene
Abhängigkeit
der
Elektronenmasse von der Geschwindigkeit dar. Die Masse m0 ist dabei die Masse des
Elektrons bei v = 0 (Ruhemasse). Die durchgezogene
Kurve
stellt
die
von
Einstein theoretisch vorhergesagte Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse dar.
Die gute Übereinstimmung
der theoretisch berechneten
Kurve
und
den
experi-
mentell gewonnenen Werten stellt eine Bestätigung für die von Einstein gewonnene Formel
für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse dar: m  m 0  γ .
m  m0 
1
mit
v
1   
 c0 
m – relativistische Masse des bewegten Körpers
2
m0 – Masse des ruhenden Körpers
c0 – Vakuumlichtgeschwindigkeit
(FS. S. 78)
11.3.2 Relativistischer Impuls
Die aus der klassischen Physik bekannte Beziehung für den Impuls p = m·v wird in der
speziellen Relativitätstheorie beibehalten. Allerdings setzt man für die Masse die dynamische
Masse ein.
p  m  v  m0 
p  p0 
1
1
v
1   
 c0 
v
1   
 c0 
2
2
v
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
8
11.3.3 E = m·c2 – Masse-Energie-Beziehung
Um 1900 hatte man experimentell herausgefunden, dass sich die Masse von Elektronen bei
zunehmender Geschwindigkeit vergrößerte. Bereits um 1880 erkannte man einen
Zusammenhang zwischen Energie und Masse in der Elektrodynamik. Aber erst Einstein
konkretisierte 1905 diesen Zusammenhang mit der Formel6 E  m  c 02 .
Energie kann in Masse umgewandelt werden und umgekehrt.
Energie und Masse sind äquivalente Größen, sie unterscheiden sich nur in dem
Proportionalitätsfaktor c02 .
E  m  c 02
Sie sind nur zwei Erscheinungsformen der Materie.
Ruhende Teilchen besitzen Energie: E 0  m 0  c 02
– Ruheenergie des Elektrons: m e c 02 = 0,511 MeV
– Ruheenergie des Protons: m p c 02 = 938 MeV
Beispielhaft ist die Umwandlung von Materie in Energie bei Kernprozessen – Kernfusion in
der Sonne. Die Sonne verliert allein durch ihr abgestrahltes Licht (Leuchtkraft ca. 3,8·1026 W)
in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen Masse. Die Entstehung neuer Elementarteilchen in
Teilchenbeschleunigern beruht auf der Umwandlung der Energie der Stoßpartner in Masse.
Die Umwandlung ist keine chemische Reaktion: Ein Kilogramm Materie birgt mit E = m0·c²
soviel Energie in sich, wie bei der Verbrennung von 3 Millionen Tonnen Braunkohle frei wird
- Materie speichert Energie.
http://www.aip.de/~lie/Energie/Energie.html
Die Energie dE, die einem Körper durch Beschleunigung zugeführt wird, ist nach dem zweiten Newtonschen Axiom
dE = F ds, das zunächst in
dE = (dp/dt) ds
dE = (d(mv)/dt) ds, dann weiter in
dE = (d(mv)/dt) ds
dE = d(mv) v und schließlich; in
dE = dm c2 umgeformt werden kann.
Der Zuwachs an kinetischer Energie ist also proportional dem Massenzuwachs. Addieren wir alle kleinen Schritte zusammen, und
unterstellen wir m = 0 für E = 0, so erhalten wir E = m c2.
6
auch Einstein hatte keine konkrete Form beibehalten und die Schreibweise mehrmals geändert
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9
11.3.4 Relativistische kinetische Energie
Entsprechend der Äquivalenz von Masse und Energie eines ruhenden Teilchens E0 = m0·c²
ergibt sich auch für die relativistische Gesamtenergie der Zusammenhang zur relativistischen
Masse: E  m  c 02 .
E  m  c  m0 
2
0
E – relativistische Gesamtenergie
1
v
1   
 c0 
2
 c  m 0  c  γ m – relativistische Masse
2
0
2
0
m0 – Ruhemasse
c0 – Vakuumlichtgeschwindigkeit
(FS. S. 79)
γ – relativistischer Faktor
Diese relativistische Gesamtenergie E setzt sich aus der Ruheenergie E0 und der kinetischen
Energie Ek aufgrund seiner Bewegung zusammen.
Es gilt:
E  E k  E0
Entsprechend erhält man für die kinetische Energie eines Teilchens:
E k  E  E0
 m  c02  m 0c02
 m  m 0   c02
(FS. S. 79)
Für kleine Geschwindigkeiten v sollte diese Formel mit der klassischen Formel übereinstimmen.
E k  m  m 0 c 02






m0
 m 0 c 02

2


 
 1  v 

c 


0
 








1

 1  m 0  c 02
2


v
 1  

c 


0




 1  v  2  
     1  1  m 0  c 02
 
 2  c 0 
 

1
2
 m0 v
2
mathematische Nebenbetrachtung:
1
Der Term
1 x2
lässt sich für kleine Werte von x → 0 durch eine
quadratische Funktion p(x) = ax² + bx + c darstellen.
Funktion
f (x ) 
f´(0) = 0
x
1  x 
2 3
1  2x 2
f ( x ) 
1  x 
2 5
1
1 x
f(0) = 1
1 x 2
f ( x ) 

an x = 0
1
2

f"(0) = 1
p(x) = ax² + bx + c
1 = a·0² + b·0 + c → c = 1
0 = 2·a·0 + b → b = 0
1 = 2·a → a =
1
2
1 2
x 1
2
(besser durch Reihenentwicklung
)
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10
Übungen zur relativistischen Dynamik
(Aufgaben aus http://www.leifiphysik.de)
1.
Bei welcher Geschwindigkeit ist die dynamische Masse dreimal so groß wie die
Ruhemasse?
2.
[0,94·c]
Berechnen Sie, bis zu welcher Geschwindigkeit v die relativistische Massenzunahme
Δm = m - mo weniger als 1 % von mo beträgt.
3.0
In
ein
homogenes
Magnetfeld
schießt
[0,14·c]
man
Elektronen senkrecht zur Richtung des Feldes ein.
Sie beschreiben dort Kreisbahnen.
3.1
Zeigen Sie, dass die Umlaufzeit T der Elektronen auf
ihren Kreisbahnen nicht von ihrer Geschwindigkeit v
abhängt, solange v < 0,1c ist.
3.2
Wie hängt die Umlaufzeit T von der Geschwindigkeit
ab, wenn man den relativistischen Massenzuwachs
der Elektronen berücksichtigen muss?
3.3
Bei welcher Bahngeschwindigkeit der Elektronen ergibt sich gegenüber dem
nichtrelativistischen Fall die 1,25-fache Umlaufdauer?
4.0
[0,60·c]
α-Teilchen (zweifach positiv geladene Heliumkerne) bewegen sich im Vakuum mit der
Geschwindigkeit v in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte auf einer
Kreisbahn vom Radius r.
4.1

Berechnen Sie den Betrag der Flussdichte B in Abhängigkeit von der spezifischen
4.2
Ladung und der Zeitdauer T für einen Umlauf zunächst allgemein.

Begründen Sie, warum bei vorgegebenem T der Betrag von B vom Radius r der
Kreisbahn abhängt, obwohl r in der unter Teilaufgabe 4.1 berechneten Gleichung nicht
mehr explizit vorkommt.
4.3

Berechnen Sie den Betrag von B , wenn die α-Teilchen in T = 5,0·10-8 s einen Kreis mit
r = 1,0 m durchlaufen.
4.4
[0,42·c; 2,87 T]
Schießt man α-Teilchen der Geschwindigkeit v = 4,0·106 ms-1 unter dem Einschusswinkel ε bezüglich der Magnetfeldrichtung in ein Feld der Flussdichte B = 1,3 Vsm-2
ein, so durchlaufen sie eine Schraubenlinie der Ganghöhe h = 8,0 cm. Berechnen Sie
den Einschusswinkel ε.
[8,0·105 ms-1; 79°]
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
5.0
5.1
5.2
5.3
6.0
6.1
6.2
7
8.0
8.1
8.2
8.3
9.0
9.1
9.2
9.3
11
Elektronen treten senkrecht zu den magnetischen Feldlinien in ein Magnetfeld
(B = 6,0·10-2 Vs/m2), wodurch die Teilchen auf einer Kreisbahn mit dem Radius
r = 4,4 cm geführt werden.
Berechnen Sie den Impuls der Elektronen.
Zeigen Sie, dass bei klassischer Rechnung sich für die Elektronen
Überlichtgeschwindigkeit ergeben würde.
Ermitteln Sie die Elektronengeschwindigkeit unter Berücksichtigung der relativistischen
Massenzunahme.
[4,22·10-22 Ns; 4,6·108 ms-1; 2,5·108 ms-1]
Ruheenergie und kinetische Energie von Elektronen
Berechnen Sie für Elektronen (Ruhemasse m0 = 9,11 ·10-31kg) die Ruheenergie in eV.
Bestimmen Sie die kinetische Energie von Elektronen (in eV) für folgende Werte von
v/c: 0,300; 0,600; 0,800; 0,900; 0,950; 0,990. Stellen Sie v in Abhängigkeit von der
kinetischen Energie in einem Ekin-v-Diagramm dar.
Bestimmen rechnerisch Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons, das eine
Beschleunigungsspannung von 800kV durchlaufen hat.
[0,92·c]
Relativistische Protonen
Von welcher Beschleunigungsspannung an müsste man für Protonen den
relativistischen Massenzuwachs berücksichtigen, wenn man dies, wie üblich für
v ≥ 0,1·c zu tun pflegt?
Ein Proton habe eine Gesamtenergie von 3,0 GeV. Berechnen Sie den Anteil seiner
kinetischen Energie, seine Geschwindigkeit und das Verhältnis seiner Masse zur
Ruhemasse.
Um Protonen von 3,0GeV auf einer Kreisbahn von 1,5km Umfang zu halten benötigt
man ein magnetisches Führungsfeld. Wie groß muss dessen Flussdichte sein?
Im Punkt P treten Elektronen mit der
Geschwindigkeit v = 0,98·c in ein begrenztes
homogenes Magnetfeld ein. In der Skizze ist die
halbkreisförmige Bahn der Elektronen im
Magnetfeld dargestellt.
Übertragen Sie die nebenstehende Skizze auf Ihr
Blatt. Ergänzen Sie diese durch eine beschriftete
schematische Darstellung einer Anordnung zur
Erzeugung und Beschleunigung der Elektronen
und zeichnen Sie die Orientierung des
Magnetfeldes ein.
(4 BE)
Berechnen Sie die Masse der Elektronen in
Vielfachen der Ruhemasse und bestimmen Sie damit die notwendige
Beschleunigungsspannung UB. [zur Kontrolle: m = 5,0·m0]
(9 BE)
Die Flussdichte B des Magnetfelds beträgt 500 mT. Berechnen Sie den Bahnradius und
die Flugdauer von P nach Q.
(7 BE)
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
AP 2004/III
Hinweis zu 2.3.2:
AP 2001/I
x1 = v2·Δt mit Δt = γ·Δt` mit Δt` = T1/2
– Zeitdilatation ist nicht mehr lehrplankonform
12
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
13
******Ende von Kapitel 11. – Spezielle Relativitätstheorie *****
2012-12-18
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 1
MICHELSON-EXPERIMENT
Spiegel
Spiegel
d
d
halbdurchlässiger
Spiegel
Lichtquelle
Fernrohr
v
c2  v2
c-v
c+v
v
c
v
c
c
v
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 2
RELATIVITÄT DER GLEICHZEITIGKEIT
Einstein-Synchronisation
Uhr A
Uhr B
000
000
Gedankenexperiment - aus der Sicht der unteren Rakete
A
B
Synchronisationsblitz
C
D
A
B
Uhr B
startet
C
D
A
B
Uhren C und D
starten
C
A
D
B
Uhr A
startet
C
D
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 3
Größe des relativistischen Faktors γ
1
v in % von c
0
10
50
80
86,6
90
99
99,5
99,9
99,99
99,999
99,9999
100
 v2 
1   2 
c 
 v2 
1   2 
c 
1,000
0,995
0,866
0,600
0,500
0,436
0,141
0,100
0,045
0,014
0,004
0,001
0
1,000
1,005
1,155
1,667
2,000
2,294
7,09
10,01
22,37
70,71
223,6
707,1
∞
Da der Faktor γ für v > c imaginär wird, folgt dass v ≤ c. Das bedeutet
Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist die obere Grenze aller
Geschwindigkeiten für die Ausbreitung einer beliebigen
Wirkung, d.h. von Teilchen und Wellensignalen jeglicher
Art.
Für v << c ist γ ≈ 1 und es gilt die klassische Mechanik!
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 4
Versuch von Bucherer
Versuchsnordnung
Versuchsergebnis:
-
experimentell gefundene Abhängigkeit der Elektronenmasse von der
Geschwindigkeit
-
durchgezogene Kurve stellt die von Einstein theoretisch vorhergesagte
Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
m  m0 
1
v
1   
 c0 
2
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 5
Approximation der kinetischen Energie
Mathematische Vereinfachung von f ( x ) 
Funktion
f (x) 
f ( x ) 
f ( x ) 
an der Stelle x = 0
1
1 x2
x
1  x 
2 3
1  2x 2
1  x 
1 x2
p(x) = ax² + bx + c
f(0) = 1
1 = a0² + b0 + c → c = 1
f´(0) = 0
0 = 2a0 + b → b = 0
f´´ (0) = 1
2 5
1
1 = 2a → a =
→ an der Stelle x = 0 gilt in guter Näherung:
1
1 x2

1 2
x 1
2
durch Reihenentwicklung ergibt sich ein noch genauerer Term
1
2
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Folie 6
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
aus http://www.aip.de/~lie/index.html
Folie 7
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Lösungen 1
1.
2.
3.1
Die notwendige Zentripetalkraft wird durch die Lorentzkraft aufgebracht:
Für die Umlaufdauer gilt:
Setzt man (1) in (2) ein, so ergibt sich:
Der Ausdruck für T0 ist konstant, solange sich m nicht wesentlich ändert. Dies ist für
v < 0,1c gut erfüllt.
3.2
Nun muss man die Massenveränderlichkeit berücksichtigen:
3.3
Für das Verhältnis der Umlaufdauern gilt aus der Angabe:
Mit Hilfe der Teilaufgaben 3.1 und 3.2 kann man für das Verhältnis auch schreiben:
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Lösungen 2
4.1
Zentripetalkraft = Lorentzkraft
4.2
In der obigen Formel kommt zwar r nicht explizit vor, jedoch ist bei festem T die
von r Abhängig. Da die dynamische Masse
Geschwindigkeit nach der Formel
der α-Teilchen geschwindigkeitsabhängig ist, hängt B also "indirekt" doch vom Radius
ab.
4.3
Berechnung der Geschwindigkeit der α-Teilchen:
Berechnung der Flussdichte:
4.4
Da v < 0,1·c ist, kann nichtrelativistisch gerechnet werden. Zunächst wird die
Umlaufdauer T der α-Teilchen mit Hilfe der in Teilaufgabe a) hergeleiteten Formel
berechnet:
Für die Bewegung parallel zur Achse der Schraubenlinie ist die Geschwindigkeit v||
bestimmend. Berechnung der Geschwindigkeit v|| der α-Teilchen aus der Ganghöhe h
und der Umlaufdauer:
Aus nebenstehender Skizze ersieht man:
5.1
Die Zentripetalkraft, welche für die Kreisbahn notwendig ist, wird durch die
Lorentzkraft aufgebracht. Es gilt:
5.2
Die klassische Rechnung mit einer geschwindigkeitsunabhängigen Masse würde für v
5.3
ergeben:
Unter Berücksichtigung der relativistischen Massenformel ergibt sich:
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Lösungen 3
6.1
6.2
Für die kinetische Energie gilt: kinetische Energie = Gesamtenergie - Ruheenergie
v/c
Ekin in eV
7
0,300
2,47·10
0,600
4
0,800
5
1,27·10
0,900
5
3,41·10
Gesamtenergie = kinetische Energie + Ruheenergie
0,950
5
6,61·10
0,990
6
1,13·10
3,11·106
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
Lösungen 4
8.1 Klassische Abschätzung der Beschleunigungsspannung Um, ab der die Massenzunahme
zu berücksichtigen ist:
Relativistisch korrekte der Beschleunigungsspannung Um, ab der die Massenzunahme zu
berücksichtigen ist:
8.2 Bestimmung der kinetischen Energie:
Verhältnis von dynamischer Masse zur Ruhemasse:
Bestimmung der Geschwindigkeit:
8.3
Bestimmung des Radius der Kreisbahn:
Bestimmung der Flussdichte:
LZ F13.3 /B13.3 Spezielle Relativitätstheorie
9.1
Aufgrund des
Glühelektrischen Effekts
treten die Elektronen aus
der Heizwendel aus und
werden zur positiv
geladenen Anode hin
beschleunigt (evtl.
Fokussierungselektroden
bleiben unberücksichtigt).
Durch ein Loch in der
Anode treten sie in ein
homogenes Magnetfeld,
welches in die
Zeichenebene hinein
gerichtet ist.
9.2
Berechnung der
geschwindigkeitsabhängigen Masse m:
Berechnung von Ub:
9.3
Zentripetalkraft = Lorentzkraft
Zeit für das Durchlaufen des Halbkreises:
Lösungen 5