„Biostatistik“

Prof. Dr. Achim Klenke
Fridolin Kielisch
10. Übung zur Vorlesung
„Biostatistik“
im Sommersemester 2015
Aufgabe 1:
Ordnen Sie die folgenden Zufallsvariablen den Histogrammen zu. Die Fläche der Histogramme
ist auf Eins normiert.
P
i) X1 = 2000
i=1 Yi , wobei Y1 , Y2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−1, 1] uniform verteilte
Zufallsvariablen sind.
P
ii) X2 = 1000
i=1 Zi , wobei Z1 , Z2 , . . . unabhängige, auf dem Intervall [−2, 2] uniform verteilte
Zufallsvariablen sind.
iii) X3 ist poissonverteilt mit Parameter λ = 5.
iv) X4 ist normalverteilt mit Parametern µ = 19.5 und σ 2 = 16.
0.010
Density
0.00
0.000
0.005
0.10
0.05
Density
0.15
0.015
0.20
v) X5 ist binomialverteilt mit Parametern n = 100 und p = 15 .
0
2
4
6
8
10
12
14
−100
−50
0
50
100
x
0.06
Density
0.04
0.02
0.004
0.00
0.000
Density
0.008
0.08
0.10
x
−150
−100
−50
0
x
50
100
150
5
10
15
20
25
x
30
35
Aufgabe 2:
(a) Es sei X eine Zufallsvariable mit P[X = 0] = 16 , P[X = 1] =
Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
1
2
und P[X = 2] =
1
3.
(b) Wir betrachten nun eine Population von Zellen. Nach einem Tag
– stirbt eine Zelle mit Wahrscheinlichkeit
– überlebt sie mit Wahrscheinlichkeit
1
6
1
2
– oder sie teilt sich mit Wahrscheinlichkeit
1
3
in zwei Zellen
jeweils unabhängig von allen anderen Zellen. Die Population besteht heute aus 6000 Zellen. Mit Y bezeichnen wir die Populationsgröße morgen. Bestimmen Sie Erwartungswert
und Varianz von Y .
(c) Sei nun Y wie in (b). Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz, um die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 6900 Zellen vorhanden sind, ungefähr zu bestimmen. Führen
Sie sodann mit „R“ 1000 Wiederholungen des Versuchs durch und bestimmen Sie den
Anteil der Versuche mit weniger als 6900 Zellen.
Aufgabe 3:
Sie möchten die Größe einer Feldhamsterpopulation auf einer Wiese schätzen. Dazu stellen
Sie über Nacht Lebendfallen auf. Sie markieren die 11 gefangenen Individuen mit Ringen und
lassen sie wieder frei. In der nächsten Nacht fangen Sie 17 Individuen, von denen 5 markiert
sind. Für welche Populationsgröße N wird die Wahrscheinlichkeit für den Fang der zweiten
Nacht maximal?
Hinweis: Raten Sie und überprüfen Sie Ihre Vermutung.
Aufgabe 4:
Beim Spaziergang lässt sich die Rotflügelige Ödlandschrecke leicht von der Blauflügeligen Ödlandschrecke unterscheiden: Fliegen die Tiere auf, kann man deutlich die Farbe der Hinterflügel
erkennen. Die Rotflügelige Ödlandschrecke gilt in Deutschland als vom Aussterben bedroht.
a) Auf einer Wanderung scheuchen Sie Ödlandschrecken auf und zählen 8 blauflügelige
Exemplare, bevor Sie das erste rotflügelige Individuum entdecken. Für welchen Anteil
der Rotflügeligen Ödlandschrecken wird die Wahrscheinlichkeit für Ihre Beobachtung
maximal?
b) Betrachten Sie nun den allgemeinen Fall, dass Sie k blauflügelige Exemplare zählen, bevor Sie das erste rotflügelige Individuum entdecken. Wie lautet der Maximum-LikelihoodSchätzer für den Anteil der Rotflügeligen Ödlandschrecken? Ist der Schätzer erwartungstreu?