Green`sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme

Universität Bayreuth
Fakultät für Mathematik und Physik
Green’sche Funktionen
ungeordneter Quantensysteme
Diplomarbeit aus dem
Fachbereich Physik
vorgelegt von
Christian Harrer
Erstgutachter: Prof. Dr. Cord A. Müller
Zweitgutachter: Prof Dr. Vollrath M. Axt
Tag der Einreichung: 18. Dezember 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Zielsetzung
1
2 Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
2.1 Resolvente, Green’sche Funktionen . . . . . . . .
2.2 Informationsinhalt und Verwendung . . . . . . . .
2.3 Störungstheorie mit externem Potential . . . . . .
2.4 Freie Green’sche Funktionen . . . . . . . . . . . .
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5
5
9
12
14
3 Physikalisches Modell
3.1 Materiewellen in Unordnungspotentialen . . . . . . . . . . . . .
3.2 Gauß’sche Unordnungspotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Weitere Modelle für Unordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
22
24
4 Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
4.1 Störungstheorie für die unordnungsgemittelte Green’sche Funktion
4.2 Selbstenergie und darin enthaltene Informationen . . . . . . . .
4.3 Born’sche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Selbstenergie und freie Weglänge . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Gültigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Vergleich mit Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Verbesserungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
29
33
33
37
38
41
5 MA
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
43
43
44
47
49
52
53
54
57
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als Verbesserung der Born’schen Näherung
Idee der MA-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MA-Näherung für Gauß’sche Unordnungspotentiale . . . .
Anwendung der MA auf die Selbstenergie . . . . . . . . . .
Kombinatorische Analyse der Reihen . . . . . . . . . . . .
Asymptotische Natur der Reihe . . . . . . . . . . . . . . .
Methoden zur Behandlung asymptotischer Störungsreihen
5.6.1 Borel-Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Borel-Padé-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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Inhaltsverzeichnis
5.7
Vergleich der beiden Darstellungen der
Selbstenergie in MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich der freien Weglänge in MA mit Numerik . . . . . . . .
Diskussion und Erweiterungsmöglichkeiten . . . . . . . . . . . .
58
59
62
6 Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
6.1 Effektive Dispersionsrelation und Gruppengeschwindigkeit . . .
6.2 2D, Gauß’sches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 1D, Speckle-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
65
68
7 Stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme
7.1 Anderson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Ergodizität und Selbstmittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Verhalten der lokalen Zustanddichte . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Numerische Verfahren für ungeordnete Systeme . . . . . . . . .
7.5 Versuch der störungstheoretischen Behandlung . . . . . . . . . .
73
74
75
76
78
79
8 Zusammenfassung
81
A
83
83
83
5.8
5.9
A.1 Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Fouriertransformation rotationsymetrischer Funktionen . . . . .
ii
Kapitel 1
Einleitung und Zielsetzung
“Ordnung ist das halbe Leben”. Diese Aussage hat - wörtlich genommen auch in der Physik ihre Berechtigung. Spätestens seit der Beobachtung von
Anderson, dass Unordnung zu Lokalisierung von Wellenfunktionen und damit
zu einem Metall-Isolator Übergang führen kann [1], ist bekannt, dass Unordnung eine signifikante Rolle spielen kann. Es ist interessant, dass Unordnung
beim Quanten-Hall-Effekt - mittels welchem ein Widerstandsnormal dargestellt
werden kann [2] - einen entscheidende Voraussetzung darstellt [3, 4]. Als Folge
der Miniaturisierung in der Halbleitertechnik werden Unordnungseffekte auch
in diesem Zusammenhang wichtig, als Beispiel seien die universellen Leitwert
Fluktuationen, welche aus der phasenkohärenten Streuung an Störstellen resultieren [5], genannt.
In dieser Arbeit wollen wir uns der Ausbreitung von Materiewellen in ungeordneten Potentialen widmen. Ziel ist insbesondere, die in numerischen Experimenten [6, 7] bestimmte Dämpfung einer in eine zweidimensionale Unordnungsregion eindringenden Materiewelle störungstheoreitsch zu berechnen. Der Großteil
der vorliegenden Arbeit wird sich damit beschäftigen.
Neben den hier untersuchten Materiewellen sind analoge Fragestellungen auch
im Kontext der Propagation von seismischen Wellen [8] und Radiowellen [9] Gegenstand der physikalischen Forschung. Für alle Fällen kennzeichnend ist das
Auftreten von Mehrfachstreuung, sowie die Bedeutung von Interferenzeffekten.
Von experimenteller Seite sind Realisierungen mittels Bose-Einstein-Kondensaten in optischen Potentialen zu erwähnen. Mittels Feshbach-Resonanzen [10]
ist es möglich die Wechselwirkung gewissermaßen auf den gewünschten Werte
einzustellen und so insbesondere den hier betrachteten Fall wechselwirkungsfreier Kondensate zu realisieren. Mittels ultrakalten Quantengasen ist es somit
möglich eine Vielzahl an Modellen der Festkörperphysik - insbesondere auch
im Zusammenhang mit Unordnung - losgelöst von sytemspezifischen Details zu
1
Kapitel 1. Einleitung und Zielsetzung
untersuchen [11].
Die Beschreibung der physikalischen Situation soll in der Sprache der sog.
Green’schen Funktionen erfolgen. Deshalb wird im zweiten Kapitel eine kurze Einführung in deren Anwendung in der Quantenmechanik gegeben.
Nachdem die Grundlagen gelegt sind, wird im dritten Kapitel das benutzte
physikalische Modell zur Modellierung der Wellenausbreitung in ungeordneten
Medien eingeführt. Bei der Wahl der Unordnungsklasse folgen wir [7] und setzen
ein Gauß’sches Unordnungspotential voraus. Auf die statistischen Eigenschaften eines solchen Potentials wird kurz eingegangen.
Kapitel vier führt die diagrammatische Störungstheorie für die unordnungsgemittelte Green’sche Funktion und den wichtigen Begriff der Selbstenergie ein.
Auf diese Weise wird die zu bestimmende freie Weglänge störungstheoretisch
zugänglich. Als erste Anwendung wird die Selbstenergie in niedrigster Ordnung
(der sog. Born’schen Näherung) berechnet. Eine Abschätzung des Gültigkeitsbereichs dieser Näherung wird in Analogie zu [12] durchgeführt. Die sich ergebende freie Weglänge wird mit numerischen Daten verglichen. Der eingeschränkte
Anwendnungsbereich der Born’schen Näherung, insbesondere in Bezug auf die
Stärke der Unordnung ist die Hauptmotivation für das folgende zentrale Kapitel
dieser Arbeit.
Das Hauptziel des fünften Kapitels besteht darin, zu untersuchen, inwiefern die
in [13, 14, 15] für das Polaron-Problem eingeführte Momentum-Average (MA)
Methode auf den Fall der Propagation in ungeordneten Medien übertragen werden kann und auf diese Weise über die Born’sche Näherung hinausgehende Aussagen getroffen werden können.
Nach Einführung der Idee der MA wird diese auf den vorliegenden Fall verallgemeinert und auf die Selbstenergiereihe angewandt. Unter Benutzung der
Resultate einer kombinatorischen Analyse der Störungsreihe, sowie Methoden
aus der Theorie asymptotischer Reihen gelingt es ein analytisches Resultat für
die Selbstenergie in dieser Näherung zu erhalten. Ein Vergleich mit numerischen
Daten wird durchgeführt.
Im sechsten Kapitel gehen wird zurück zur Born’schen Näherung und untersuchen die aus der sich ergebenden effektiven Dispersionsrelation folgende
Gruppengeschwindigkeit. Zusätzlich zum bisher betrachteten zweidimensionalen Gauß’schen Potential wird auch auf den Fall eines eindimensionalen SpecklePotenials eingegangen.
2
Das abschließende siebte Kapitel besitzt einen allgemeineren Charakter und soll
die stochastische Natur der Oservablen ungeordneter Systeme illustrieren. Die
in diesem Kontext wichtigen Begriffe der Ergodizität und der Selbstmittelung
werden eingeführt. Auf diesen Ideen aufbauende numerische Verfahren werden
vorgestellt. Es wird ein Versuch unternommen, die in diesem Zusammenhang
auftretende geometrisch gemittelte lokalen Zustandsdichte störungstheoretisch
zu bestimmen.
3
Kapitel 1. Einleitung und Zielsetzung
4
Kapitel 2
Green’sche Funktionen in der
Quantenmechanik
Green’sche Funktionen spielen insbesondere in der Vielteilchentheorie [16, 17]
und der Quantenfeldtheorie [18] (dort auch als Propagatoren bezeichnet) eine
herausragende Rolle. Aber auch in der Einteilchenquantenmechanik können sie
mit Gewinn eingesetzt werden, etwa in der Streutheorie [19].
Die Formulierung des in dieser Arbeit zu untersuchenden physikalischen Problems der Ausbreitung von Materiewellen in ungeordneten Potentialen geschieht
am besten direkt in der Sprache der Green’schen Funktionen, welche synonym
auch als Greensfunktionen bezeichnet werden. Daher soll in diesem Kapitel eine
kurze Einführung in die Anwendung dieser in der Quantenmechanik gegeben
werden. Bei der Darstellung orientieren wir uns insbesondere an [5, 20, 21].
2.1
Resolvente, Green’sche Funktionen
Die Dynamik der uns interessierenden Systeme wird bestimmt durch die Schrödingergleichung mit nicht explizit zeitabhängigem Hamiltonoperator Ĥ. Der Zusammenhang mit wechselwirkungsfreien Bose-Einstein-Kondensate in Unordnungspotentialen ist durch die in diesem Fall mathematisch äquivalente GroßPitaevski-Gleichung [22] gegeben. Insbesondere werden wir uns in späteren Kapiteln dem Hamiltonian des freien Teilchens mit externem, statischem Potential
zuwenden. Das Potential soll dann eine spezielle Realisierung der zu betrachtenden Unordnungsklasse darstellen.
Alle in diesem Kapitel dargestellten Definitionen und Anwendungen sind jedoch von der speziellen Form des Hamiltonians unabhängig und gelten allgemein für zeitunabhängige Probleme. Eine Formulierung mit einem explizit
5
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
zeitabhängigen Hamiltonian führt auf die zeitabhängige Störungstheorie [17],
welche aber im Folgenden nicht benötigt wird und deshalb auch nicht eingeführt
werden soll.
Es wird in der Schrödingerdarstellung gearbeitet, d.h. Operatoren sind zeitunabhängig, wohingegen die Zustandsvektoren zeitabhängig sind. Wir arbeiten in natürlichen Einheiten, insbesondere ~ = 1. Ausgangspunkt ist also die
Schrödingergleichung in folgender Form:
i∂t |Ψ(t)i = Ĥ|Ψ(t)i
(2.1)
Der Hamiltonoperator ist ein linearer, hermitescher Differentialoperator. Sein
Spektrum Spec(Ĥ), d.h. die Menge der Eigenwerte, ist damit rein reell. Es ist
eine Unterteilung in drei Bereiche mit jeweils verschiedenen Charakteristiken
möglich [20]:
• diskretes Spektrum
• kontinuierliches Spektrum
• dicht liegendes diskretes Spektrum
Die zugehörigen Eigenfunktionen der diskreten Spektren sind gebundene (lokalisierte) Zustände, wohingegen die des kontinuierlichen ausgedehnt (propagierend) sind [20]. Der wichtige Fall eines dichten, diskreten Spektrums tritt
insbesondere bei ungeordneten Systemen auf. Ein Beispiel liefert das AndersonModell [23, 1] (siehe auch Kapitel 7). Dort ist das diskrete Spektrum dicht und
schließt direkt an das kontinuierliche an. Der Übergang zwischen beiden bedingt
das Auftreten einer Mobilitätskante. Je nach Lage der Fermikante liegt dann
im Anderson-Modell ein Metall bzw. ein Isolator vor. Siehe hierzu [24]. In der
mathematischen Literatur zur Lokalisierung benutzt man das Auftreten eines
dichten, diskreten Spektrums (mit der Wahrscheinlichkeit 1) als die Definition
der Lokalisierung [25].
Die Form des Spektrums bestimmt direkt die analytischen Eigenschaften der
sog. Resolvente, welche auch auch als Greenscher Operator bezeichnet wird.
Sie ist für z ∈ C definiert als:
Ĝ(z) := (z − Ĥ)−1
(2.2)
Sei {|ϕn i} ein vollständiges Orthonormalsystem aus Eigenfunktionen von Ĥ mit
zugehörigen Eigenwerten {εn }. D.h. die Spektralzerlegung des Hamiltonians ist
gegeben durch:
X
Ĥ =
εn |ϕn ihϕn |
(2.3)
n
6
2.1. Resolvente, Green’sche Funktionen
Hierbei enthalte die Summation auch eine Integration über ein ggf. vorhandenes
kontinuierliches Spektrum:
X
X Z
:=
+ dn
(2.4)
n
n
Die Spektraldarstellung erlaubt die Resolvente in der Form
X |ϕn ihϕn |
Ĝ(z) =
z − εn
n
(2.5)
zu schreiben.
Die Spektraleigenschaften des Hamiltonians widerspiegelnd, besitzt die Resolvente im Bereich des kontinuierlichen Spektrums einen Schnitt auf der reellen
Achse und Pole bei den Eigenwerten aus den diskreten Spektren.
Rez
Imz
Ĝ(z): Einfache Pole
Diskretes Spektrum
Lokalisierte Eigenfkt.
Ĝ(z): Natürliche Grenze Ĝ(z): Schnitt,
Dichtes Punktspektrum Kontinuierliches Spektrum
Ausgedehnte Eigenfkt.
Lokalisierte Eigenfkt.
Abbildung 2.1: Zusammenhang zwischen den Spektraleigenschaften des
Hamiltonoperators Ĥ und der analytischen Struktur der Reslovente Ĝ(z),
nach [20]
Für ω ∈ R aus dem kontinuierlichen Spektrum existieren die beiden Grenzwerte
lim Ĝ(ω ± iη).
η→0
(2.6)
Wegen des vorliegenden Schnitts sind diese alledings verschieden. Deshalb definiert man die sog. retardierten und avancierten Greenschen Operatoren. Die
Ursache für diese Bezeichnung wird später klar werden.
X |ϕn ihϕn |
(2.7)
ĜR/A (ω) := Ĝ(ω ± i0+ ) = (ω − Ĥ ± i0+ )−1 =
ω − εn ± i0+
n
7
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
Entsprechende Basisdarstellungen werden wie üblich definiert als Matrixelemente. Diese werden als Green’sche Funktionen oder auch als Greensfunktionen
bezeichnet. Die Ortsdarstellung der retardierten bzw. avancierten Green’schen
Funktion lautet:
GR/A (r, r′ , ω) = hr|ĜR/A (ω)|r′ i =
X ϕn (r)ϕn (r′ )
ω − εn ± i0+
n
(2.8)
Die unterschiedliche Anordnung der Ortsargumente ist dadurch bedingt, dass
Operatoren von rechts nach links wirken, man bei der Deutung der Greensfunktion hingegen eher an eine Bewegung von links nach rechts (von r nach
r′ ) denkt. Im Bild der Streutheorie liegt die Quelle links und die Propagation
erfolgt nach rechts. Mit dieser Konvention folgen wir [5].
Eine Fouriertransformation zeigt die Verwandtschaft der Green’schen Operatoren mit dem Zeitentwicklungsoperator Û (t) = exp(iĤt), welcher Zustände in
der Zeit propagiert (der Hamitonoperator ist die Erzeugende der Zeittranslationen [19]):
dω
e−iωt
= −iθ(t)e−iĤ t = −iθ(t)Û (t)
+
2π ω − Ĥ + i0
Z
dω
e−iωt
ĜA (t) =
= iθ(−t)e−iĤt = iθ(−t)Û (t)
2π ω − Ĥ − i0+
R
Ĝ (t) =
Z
(2.9)
(2.10)
D.h.:
U(t) = i(GR − GA )
(2.11)
Die obige Rechung macht vom Residuensatz (siehe z.B. [26]) Gebrauch. Da diese Technik in der vorliegenden Arbeit wiederholt benutzt wird, wollen wir an
diesem Beispiel die Vorgehensweise exemplarisch illustrieren.
Das Spektrum von Ĥ ist rein reell, der Pol von ĜR damit infinitesimal in die
untere komplexe Halbebene verschoben. Betrachte hierzu Abb.2.2.
Für t < 0 kann man den Integrationsweg in der oberen Halbebene schließen,
der Bogen liefert keinen Beitrag. In diesem Fall verschwindet das Integral, da
kein Pol umschlossen wird. Anders im Fall t > 0: Hier schließt man die Integrationskontur in der unteren Halbebene und der Beitrag des Pols liefert das
obige Ergebnis. Hierbei ist der mathematisch negative Umlaufsinn der Kontur
zu beachten.
Im Fall von ĜA liegt der Pol in der oberen Halbebene. Das weitere Vorgehen
ist analog zu dem bei ĜR .
8
2.2. Informationsinhalt und Verwendung
Im(ω)
Im(ω)
t<0
t<0
Re(ω)
t>0
Re(ω)
t>0
Abbildung 2.2: Integrationskonturen und Lage des Pols für ĜR bzw. ĜA
Dieser Zusammenhang mit dem Zeitentwicklungoperator verdeutlicht auch die
Bezeichung als Propagator:
GR (r, r′ , t − t′ ) = hr′ |ĜR (t − t′ )|ri
= −iθ(t − t′ )hr|U(t − t′ )|ri
= −iθ(t − t′ )hr|U † (t′ )U(t)|ri
= −iθ(t − t′ )hr′ , t′ |r, ti
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
D.h. die Greensfunktion entspricht der (kausalen) Wahrscheinlichkeitsamplitude der Propagation von r zur Zeit t nach r′ zur Zeit t′ . An obiger Darstellung
sieht man auch, dass die hier definierten Greensfunktionen Spezialfälle der entsprechenden Vielteilchengreensfunktionen sind [16, 17].
2.2
Informationsinhalt und Verwendung
Kenntnis der Greensfunktion erlaubt es, folgende Probleme zu lösen [20]:
1. Propagation der Zustände: Lösung des Anfangswertproblems, d.h. Berechnung von Ψ(r, t) aus gegebenen Anfangbedingungen Ψ(r, t0 )
2. Berechnung der Zustandsdichte
3. Bestimmen der Entartung der gebundenen Eigenzustände, im Fall von
Nichtentartung auch der Zustände selbst
4. Lösen der inhomogenen Schrödingergleichung
5. Entwicklung einer Störungstheorie
9
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
Die erste Eigenschaft ist wegen der oben gezeigten Verwandtschaft mit dem
Zeitentwicklungsoperator klar.
Die zweiten Eigenschaft sieht man auf folgende Weise: Mit der Darstellung (2.7)
der retardierten Greensfunktion und der Dirac-Identität [27]
1
1
= P ∓ iπδ(x)
+
x ± i0
x
(2.16)
folgt
ĜR (ω) = P
X |ϕn ihϕn |
n
ω − εn
−
X
n
iπδ(ω − εn )|ϕn ihϕn |.
(2.17)
Durch Spurbildung in der Eigenbasis {|ϕn i} erhält man für den Imaginärteil:
X
T rImĜR (ω) = −iπ
δ(ω − εn )
(2.18)
n
P
Man erkennt in der letzten Summe die Zustandsdichte ρ(ω) = n δ(ω −εn ). Da
die Spurbildung unabhängig von der gewählten Basis ist, gilt somit die folgende,
basisunabhängige Darstellung:
1
ρ(ω) = − T rImĜR
π
(2.19)
Beachte, dass die Zustandsdichte eine Distribution ist, welche im Fall eines
vorhandenen diskreten Spektrums Deltadistributionen enthält.
Die dritte Eigenschaft sieht man auf folgende Weise: Das Residuum an einem
Pol εn von G(z) ist nach der Darstellung 2.7 von der Form:
X
ResĜ(εn ) =
|ϕi ihϕi |
(2.20)
i
Dabei verläuft die Summation über die Anzahl der entarteten, gebundenen
Zustände mit der Energie εn . Spurbildung liefert somit die Entartung. Im Fall
nichtentarteter Zustände kann man aus dem Residuum die zugehörige Wellenfunktion konstruieren. (vgl. [20])
Im Folgenden ist die vierte Eigenschaft von besonderer Bedeutung. Betrachten wir hierzu die inhomogene Schrödingergleichung, d.h wir fügen eine Quelle
S(r, t) hinzu:
(i∂t − H)Ψ(r, t) = S(r, t)
(2.21)
Per Konstruktion ist die retardierte Greensfunktion Lösung von
(i∂t − Ĥ)ĜR (t) = 1
10
(2.22)
2.2. Informationsinhalt und Verwendung
bzw. in der Ortsbasis:
(i∂t − H)GR (r, r′ , t − t′ ) = δ(t − t′ )δ(r − r′ ).
(2.23)
Dies rechtfertigt insbesondere die Bezeichung Green’sche Funktion (bzw. Distribution) im Sinn der Mathematik. Die avancierte Greensfunktion ist ebenfalls
Lösung dieser Gleichung. Beide unterscheiden sich aber in Bezug auf die Randbedingungen. Es gilt:
GR (r, r′ , t − t′ ) = 0,
t − t′ < 0
(2.24)
GA (r, r′ , t − t′ ) = 0,
t − t′ > 0
(2.25)
Diese unterschiedlichen Randbedingungen werden durch die infinitesimale Verschiebung des Pols erzeugt, wie bereits diskutiert.
Damit erhält man eine Lösung der inhomogenen Gleichung bis auf eine Lösung
ϕ(r, t) der homogenen Gleichung gemäß
Z
Z
′
dt′ GR (r, r′ , t − t′ )f (r′ , t′ )
(2.26)
Ψ(r, t) = ϕ(r, t) + dr
wie man mit Hilfe von Gleichung 2.23 durch direkte Rechnung leicht nachprüft.
Die kausale Natur der retardierten Greensfunktion äußert sich darin, dass nur
die Eigenschaften der Quelle zur vergangenen Zeiten t′ < t einen Einfluss auf
die Wellenfunktion zur Zeit t haben.
Von dieser Anwendung der Greenschen Funktion werden wir später bei der Untersuchung der Propagation in ungeordneten Medien Gebrauch machen. Die
Quelle wird dort von der Form S0 e−iω0 t sein und das Auftreffen einer ebenen
Welle simulieren. Bei der Diskussion des verwendeten physikalischen Modells
im nächsten Kapitel werden wir dies ausführlich darlegen.
Nachdem die ersten Anwendungsgebiete der Green’schen Funktionen dargestellt
sind, stellt sich die Frage, wie man diese erhält. Bei Kenntnis der Eigenwerte
und Eigenfunktionen, d.h bei durchgeführter Diagonalisierung des Problems,
ist die Greensfunktion gem. Formel 2.8 bzw. 2.7 gegeben.
Es ist aber nicht speziell dieser Fall, in welchem die Technik der Greensfunktionen gewinnbringend eingesetzt werden kann: Es sind ja bereits alle Eigenschaften des Systems in Form von Eigenenergien und zugehörigen Eigenfunktionen
bekannt.
Vielmehr liegt die Stärke der Technik darin, dass bei Kenntnis der Greensfunktion eines Hamiltonians die eines weiteren, welcher aus dem ursprünglichen
durch Hinzufügen einer Störung hervorgeht, störungstheoretisch berechnet werden kann. Dies soll im nächsten Abschnitt erläutert werden. Als Ausgangshamiltonian werden wir später freie Teilchen wählen. Die Störung wird dann
11
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
durch das externe Potential gegeben sein. Generell kann man die Technik auf jedes Paar von Hamiltonoperatoren anwenden, solange nur der “freie“ Teil lösbar
ist.
Neben dem von uns betrachteten Fall kann man auch Gittermodelle untersuchen
[28]. Weitere Verallgemeinerungen sind zeitabhängige Störungen oder Vielteilchenprobleme.
Die Herleitung der Störungstheorie erfolgt in der bisher verwendeten Operatorformulierung, ein alternativer Zugang ist mittels Pfadintegralen möglich [21],
liefert aber natürlich die gleichen Resultate.
2.3
Störungstheorie mit externem Potential
Die Anwendung der Technik der Störungstheorie erläutern wir am Beispiel des
Hamiltonians eines Teilchens in einem externen Potential. Im Folgenden werden
wir meist nur mit der retardierten Green’schen Funktion arbeiten, so dass bis auf die Fälle, in denen dies explizit anders angegeben ist - die retardierte
Funktion gemeint ist. Damit ist der Ausgangpunkt:
Ĥ = Ĥ0 + V̂
(2.27)
Essentiell ist die Zerlegung in einen ungestörten Teil Ĥ0 und eine Störung V̂ .
Die Greensfunktionen des ungestörten Teils werden als bekannt vorausgesetzt.
Siehe dazu Abschnitt 2.4 für den Fall freier Teilchen und z.B. [28] für Gittermodelle.
Bei dem ungestörten Anteil des Hamiltonians muss es sich keineswegs um
freie Teilchen handeln, beispielsweise beim sog. Anderson-Modell (einem tight
binding Hamiltonian mit diagonaler Unordnung, siehe Kapitel 7), geht eine
störungstheoretische Behandlung von lokalisierten, d.h. auf einem bestimmten
Gitterplatz konzentrierten Zuständen aus (locator expansion) [1, 23].
Mit Hilfe der als bekannt vorausgetzten Greensfunktion bzw. dem Green’schen
Operator Ĝ0 (ω) zu Ĥ0 ist es nun möglich, den vollen Green’schen Operator
Ĝ(ω) des gestörten Problems störungstheoretisch zu berechnen.
Dazu benötigt man die Operatoridentität:
1
1
1
1
= +
B
A−B
A A−B A
(2.28)
Anwendung auf den (retardierten) Green’schen Operator mit der Identifikation
A = ω − Ĥ0 + i0+ , B = V̂ führt auf
Ĝ(ω) =
12
1
ω − Ĥ +
i0+
=
1
ω − Ĥ0 + i0+ − V̂
= Ĝ0 (ω) + Ĝ(ω)V̂ Ĝ0 (ω)
(2.29)
2.3. Störungstheorie mit externem Potential
Iteration liefert die sog. Born’sche-Reihe:
Ĝ(ω) = Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω) + ...
(2.30)
Zur anschaulichen Deutung betrachten wir die Darstellung der obigen Reihe im
Ortsraum:
R
Dazu schieben wir die Zerlegung 1 = dr|rihr| ein, benutzen die Form des
(lokalen) Potentials hr|V̂ |r′ i = δ(r − r′ )V (r) und erhalten:
G(r, r′ , ω) = G0 (r, r′ , ω)
Z
+ dr1 G0 (r − r1 , ω)V (r1 )G0 (r1 − r′ , ω)
Z
Z
+ dr1 dr2 G0 (r − r1 , ω)V (r1 )G0 (r1 − r2 , ω)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
· V (r2 )G0 (r2 − r′ , ω)
+···
(2.34)
Da das Potential statisch ist, kann die Energie nicht geändert werden, d.h.die
Frequenz ω bleibt erhalten.
Die Terme der Störungstheorie lassen sich durch sog. Feynman-Diagramme darstellen. Der Vorteil ihrer Anwendung wird später, wenn wir uns der Propagation
in ungeordneten Potentialen zuwenden, deutlicher hervortreten.
G(r, r′ , ω)
+
r r’
+
r r1 r’
r r1 r2 r’
+
Æ
···
(2.35)
Die Übersetzung der Diagramme zurück in Integrale geschieht mittels der sog.
Feynman-Regeln. In diesem Fall geschieht die Übersetzung durch die Zuordnungen:
=
:= G (r − r ), := V (r)
r1 r2
0
1
2
r
r r1 r2 r3 r’
+
(2.36)
Über die Orte ri , an denen die Streuprozesse stattfinden, ist zu integrieren.
Dies lässt die anschauliche Deutung zu, dass sich die Propagation von r nach r′
zusammensetzt aus der freien Propagation und den entsprechenden Beiträgen
mehrfacher Streuung am Potential.
13
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
2.4
Freie Green’sche Funktionen
Wie wir gesehen haben, benötigt man zur Durchführung der Störungstheorie
die freien Green’schen Funktionen. In dem uns interessierenden Fall beschreibt
der ungestörte Hamitonian Ĥ0 freie Teilchen:
Ĥ0 =
k̂ 2
2m
(2.37)
k2
Die Eigenbasis ist durch ebene Wellen {|ki} mit ε(k) =
gegeben, das
2m
Spektrum ist rein kontinuierlich. Für frei die Green’sche Funktion folgt:
R/A
G0
ˆ
R/A
(k, k′ , ω) = hk′ |G0 (ω)|ki
Z
dk1 hk′ |k1 ihk1 |ki
=
k2
(2π)d ω − 2m
± i0+
1
= (2π)d δ(k − k′ )
k2
ω − 2m ± i0+
(2.38)
(2.39)
(2.40)
Der Index 0 kennzeichnet die Zugehörigkeit zu H0 . Die Greensfunktion in Impulsdarstellung ist diagonal und hängt nur vom Betrag von k ab. Dies ist durch
die Translations- bzw. Rotationsinvarianz des Hamiltonians bedingt. Wir definieren:
R/A
G0
(k, k′ , ω) = (2π)d δ(k − k′ )
1
ω−
k2
2m
±
i0+
=: (2π)d δ(k − k ′ )G0 (k, ω) (2.41)
Durch Fouriertransformation ergibt sich die Greensfunktion im Ortsraum. Wegen der bereits erwähnten Symmetrien hängt diese nur von r := |r − r′ | ab. In
der von uns gewählten Konvention ist die Ortsdarstellung der ebenen Wellen
hr|ki = exp(ikr). Damit:
GR/A (r, r′ , ω) = hr|′ ĜR/A (ω)|ri =
Z
= dk1 dk2 hr′ |k1 iδ(k1 − k2 )G0 (k, ω)hk2 |ri =
Z
exp ik(r − r′ )
= dk
k2
± i0+
ω − 2m
14
(2.42)
(2.43)
(2.44)
2.4. Freie Green’sche Funktionen
Die Rechnung [5, 20] liefert:
√
im
(r, ω) = ∓ √
exp(±i 2mωr)
2mω
p
−im
R/A
(1)
G0 (r, ω) =
H0 (± 2mω)r)
2
√
−m exp(±i 2mωr
R/A
G0 (r, ω) =
2π
r
R/A
G0
(1D)
(2.45)
(2D)
(2.46)
(3D)
(2.47)
(1)
Dabei beizeichnet H0 (x) = J0 (x) + iY0 (x) die aus den Besselfunktionen zusammengesetzte Hankelfunktion [29].
Interpretiert man die Greensfunktion als Antwort des Systems auf eine am Ort
r lokalisierte Anregung der Frequenz ω (vgl. 2.23), so sieht man, dass einlaufende bzw. auslaufende ebene Wellen (1D), Zylinderwellen (2D) bzw. Kugelwellen
(3D) erzeugt werden.
Das räumliche Abklingen der Greensfunktionen entspricht der Erhaltung des
von der Quelle emittierten konstanten Stroms.
Die Greensfunktionen liefern die bekannten Zustandsdichten:
1
m
(2mω)− 2
π
m
ρ(ω) =
2π
1
m
ρ(ω) = 2 (2mω) 2
2π
ρ(ω) =
(1D)
(2.48)
(2D)
(2.49)
(3D)
(2.50)
Da nun die Grundlagen zur Beschreibung des zu untersuchenden physikalischen
Modells gelegt sind, wenden wir uns im folgenden Kapitel dessen Darstellung
zu.
15
Kapitel 2. Green’sche Funktionen in der Quantenmechanik
16
Kapitel 3
Physikalisches Modell
Mit Hilfe von Bose-Einstein Kondensaten in optischen Potentialen sind Experimente zur Propagation und Lokalisierung von Materiewellen in Unordnungspotentialen realisierbar [30],[31]. Wir werden uns auf den Fall nichtwechselwirkender Kondensate beschränken. Somit ist die Behandlung äquivalent mit der
Ausbreitung von Schrödinger-Teilchen. Bei der Beschreibung des physikalischen
Modells orientieren wir uns an der in [7] beschriebenen Versuchsgeometrie.
Im vorhergehenden Kapitel sind die für die weitere Beschreibung nötigen Greensfunktionen eingeführt worden. In diesem Kapitel wollen wir zeigen, wie diese
zur Beschreibung der Propagation von Materiewellen in ungeordneten Medien
genutzt werden können. Ziel soll insbesondere sein, die in der Numerik von [7]
und [6] bestimmte exponentielle Dämpfung der mittleren Wellenfunktion im
Medium zu beschreiben.
3.1
Materiewellen in Unordnungspotentialen
Wenden wir uns zunächst dem zu untersuchenden System zu. Den numerischen
Experiment in [7] entsprechend, modellieren wird die physikalische Situation
folgendermaßen:
√ Eine ebene Welle der Frequenz ω, d.h. mit zugehörigem Wellenvektor k = 2mω, treffe aus dem Halbraum x < 0 ohne Potential auf den
Halbraum x > 0 mit Unordnungspotential.
17
Kapitel 3. Physikalisches Modell
y
k, ω
V =0
1111111111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
0000000000000000000x
1111111111111111111
V 6= 0
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des physikalischen Modells: Eine
ebene Welle (k, ω) trifft aus dem Halbraum x < 0 mit V = 0 auf den Halbraum
x > 0 mit einem Unordnungspotential V 6= 0.
Im numerischen Experiment wurden sowohl die Reflexion (insbesondere der Einfluss der hier nicht betrachteten Wechselwirkung, d.h. der Nichtlinearität in der
Groß-Pitaevski-Gleichung auf die kohärente Rückstreuung) als auch das Eindringverhalten untersucht. Weitere nummerische Daten wurden von D. Delande
bereitgestellt [6].
Für Rechnungen und Simulationen ist es notwendig, ein konkretes Modell für
die Unordnung zu wählen. Die physikalischen Eigenschaften sollen dann aus
den statistischen Eigenschaften der zugrunde gelegten Unordnungklasse bestimmt werden. Um einen Vergleich mit der Numerik zu ermöglichen, wählen
wir ein Gauß’sches Unordnungspotential, dessen statistische Eigenschaften in
Abschnitt 3.2 dargestellt werden.
Eine Analyse des numerischen Experiments liefert Einsichten, wie die entsprechenden Größen störungstheoretisch zu berechnen sind. Das Auftreffen eine
ebenen Welle wird in der Numerik auf folgende Weise modelliert:
Man fügt der Schrödingergleichung eine Quelle der Form
x
−iω0 t
(3.1)
S(r, t) = S0 e
δ(x), r =
y
hinzu - d.h. auf die Linie x = 0 konzentrierte Punktquellen. Diese emittiert
dann im Fall verschwindenden Potentials eine ebene Welle, wie folgende Rechnung zeigt (vgl. [32]).
18
3.1. Materiewellen in Unordnungspotentialen
Ausgehend von
(i∂t −
∆
)Ψ(r, t) = S(r, t)
2
(3.2)
kann die Lösung mit Hilfe der retardierten Greenschen Funktion gefunden werden:
Z
Z
′
′
′ ′
′
dt′ GR
(3.3)
Ψ(r, t) = dr
0 (r − r , t − t )S(r , t )
Die noch hinzuzufügenden Lösung der homogenen Lösung verschwindet wegen
der Randbedingungen. Aus den Faltungsintegralen bzgl. des Orts- und Zeitarguments wird unter Fouriertransformation ein Produkt. Die Fouriertransformierte
der Quelle ist von der Form:
2
S(k, ω) = (2π) S0 δ(ω − ω0 )δ(ky ),
k=
kx
ky
(3.4)
Dies liefert:
Ψ(k, ω) = (2π)2
S0 δ(ω − ω0 )δ(ky )
k2
ω−
+ i0+
2m
(3.5)
Die Rücktransformation lautet:
−iω0 t
Ψ(r, t) = −2mS0 e
Z
eikx x
dkx
√
√
2π (k − 2mω0 − i0+ )(k + 2mω0 + i0+ )
(3.6)
Durch Schließen des Integrationsweges nach oben (x > 0) bzw. nach unten
(x < 0) zeigt sich, dass die Quelle in beide
√ Richtungen ebene Wellen mit der
Frequenz ω0 und dem Wellenvektor k0 := 2mω0 emittiert:
Ψ(r, t) =
−iS0 i(k0 |x|−ω0t)
e
k0
(3.7)
Die Situation entspricht also der Emission eines konstanten Stroms von der
Quelle. In der Numerik wurde unter anderem das Verhalten der mittleren Wellenfunktion in der Unordnungsregion x > 0 untersucht. Betrachten wir nun das
Problem mit hinzugefügtem Unordnungspotential.
19
Kapitel 3. Physikalisches Modell
W
source
y
0
2
g
0x
0
2
<|ψ| >
|<ψ>|
0
x
L
x0
0
x
L
Abbildung 3.2: Illustration der Vielfachstreuung in der Unordnungsregion
sowie des Verhaltens der mittleren Wellenfunktion und Intensität. Dargestellt
ist die Wellenfunktion welche aus sich als Folge der von der Quelle emittierten
ebenen Welle ergibt. (Aus [7], beachte, dass in diesem Fall die Wechselwirkung
g nicht verschwindet.)
In der Unordnungsregion ist die Welle vielfältigen Streuprozessen unterworfen.
Insbesondere interessieren wir uns für die als mittlere freie Weglänge bezeichnete exponentielle Dämpfung der Amplitude der mittleren Wellenfunktion, d.h.
|Ψ|2 . Zur Berechnung wiederholen wir die oben durchgeführten Schritte, diesmal
mit Potential. Über die Unordnung ist zu mitteln, da nur das mittlere Verhalten
von Interesse ist.
In der Sprache der Greensfunktionen ist die Wellenfunktion als Resultat der
Quelle mit Hilfe der retardierten Greensfunktion (man denkt sich die Quelle
adiabatisch bei t = −∞ eingeschaltet, so dass der zeitabhängige Eindringvorgang bereits abgeklungen ist und ein stationärer Zustand eingestellt ist) gegeben
durch:
Z
dr′ dt′ GR (r′ , r, t − t′ )S0 δ(x′ = 0) exp(−iω0 t′ ) =
Z
Z
0
x
′
′ R
′
, t − t exp(iω(t − t′ ))
,
dt G
= dy
′
y
y
· S0 exp(−iω0 t)
Z
0
x
′ R
, ω0
,
= S0 exp(−iω0 t) dy G
y′
y
Ψ(r, t) =
20
(3.8)
(3.9)
(3.10)
3.1. Materiewellen in Unordnungspotentialen
Führen wir nun eine Unordnungsmittelung durch. Vor der Mittelung ist das
Problem nicht translationsinvariant und die ungemittelte Greensfunktion ist
von beiden Ortsargumenten abhängig. Mittelung stellt Translationsinvarianz
wieder her, deshalb hängt die gemittelte Greensfunktion nur von der Differenz
ihrer Ortsargumente ab:
GR (r, r′ , t − t′ ) = GR (r − r′ , t − t′ )
(3.11)
Diese Tatsache erlaubt uns später die einfachere Behandlung im Fourierraum.
Für die mittlere Wellenfunktion in der Unordnungsregion ergibt sich als Folge
der längs der y-Achse ausgedehnten Quelle durch Konfigurationsmittelung von
(3.10):
Ψ(r, t) = S0 exp(−iω0 t)
= S0 exp(−iω0 t)
Z
Z
R
dy ′G (x, −y ′ , ω0 )
(3.12)
R
dy ′ exp(−iy ′ (ky = 0))G (x, −y ′ , ω0 )
+
= S0 exp(−iω0 t)G (x, ky = 0, ω0 )
(3.13)
(3.14)
Dabei haben wir ausgenutzt, dass G aus Symmetriegründen nicht vom speziellen Ort y abhängen kann.
Das Abklingverhalten der Wellenfunktion ist also über die Greensfunktion zu
bestimmen. Die Tatsache, dass nicht das tatsächliche Abklingverhalten der
Greensfunktion in radialer Richtung ausschlaggebend ist, sondern über die yRichtung zu integrieren ist, lässt sich folgendermaßen verstehen: Die Greensfunktion beschreibt die Antwort des Systems auf eine auf einen Punkt konzentrierte Anregung. Die auftreffende Welle ist hingegen eine ausgedehnte Quelle,
so dass die entsprechenden Beiträge von allen Punkten zu integrieren sind. Auf
diese Weise ergibt sich im Mittel im Medium wiederum eine ebene Welle.
Für spätere Anwendung halten wir noch fest:
Ψ(r, t) = S0 exp(−iω0 t)
Z
R
dkx exp(ikx x)G (kx , ky = 0, ω0 )
(3.15)
Wir sehen, dass zur Beschreibung der mittleren Wellenfunktion d.h. der auftretenden Dämpfung der kohärenten Mode eine Berechnung der unordnungsgemittelten Greensfunktion nötig ist. Um eine störungstheoretische Berechnung
dieser Größe zu ermöglichen, sind noch einige Eigenschaften des zugrundegelegten Unordungsmodells von Bedeutung. Dies ist Gegenstand des nächsten
Unterkapitels.
21
Kapitel 3. Physikalisches Modell
3.2
Gauß’sche Unordnungspotentiale
Um tatsächliche numerische oder analytische Rechungen durchführen zu können
ist ein konkretes Modell der Unordnung nötig. In der vorliegenden Arbeit setzen
wir ein sog. Gauß’sches Unordnungspotential voraus. Dies erlaubt den Vergleich
mit den numerische Resultaten, insbesondere [6]. Bei der folgenden Darstellung
orientieren wir uns an [5].
Allgemein charakterisiert man
R ein Zufallspotential durch ein normiertes Verteilungsfunktional P [V ], d.h DV P [V ] = 1.
Der Mittelwert einer vom Potential funktional abhängigen Größe f [V ] über die
Unordnungskonfigurationen ergibt sich damit gemäß:
Z
f [V ] = DV P [V ]f [V ]
(3.16)
Eine weitere Möglichkeit der Charakterisierung liefert das erzeugende Funktional:
Z
Φ[g] = exp
drg(r)V (r)
(3.17)
Durch funktionale Differentiation von Φ (Momenten-Erzeugendes Funktional)
bzw. ln Φ (Kumulanten-Erzeugendes Funktional) erhält man die Momente bzw.
Kumulanten:
δ n Φ[g]
V (r1 )V (r2 ) · · · V (rn ) =
(3.18)
δg(r)1 · · · g(rn ) g=0
c
δ n ln Φ[g] V (r1 )V (r2 ) · · · V (rn ) =
(3.19)
δg(r)1 · · · g(rn ) g=0
Wie man leicht an den (funktionalen) Taylorentwicklungen sehen kann:
Z
∞
X
1
dr1 · · · drn g(r1 ) · · · g(rn )V (r1 ) · · · V (rn )
Φ[g] =
n!
n=0
Z
∞
X
c
1
dr1 · · · drn g(r1 ) · · · g(rn )V (r1 ) · · · V (rn )
ln Φ[g] =
n!
n=1
(3.20)
(3.21)
Wir betrachten im Folgenden ein (zentriertes) Gauß’sches Zufallspotential. Für
ein solches verschwinden per Definition alle Kumlanten von höherer Ordnung als
zwei. Der Mittelwert sei Null: V (r) = 0. Ein von Null verschiedener Mittelwert
würde lediglich eine Verschiebung des Nullpunkts der Energieskala bedeuten
und ist deshalb im Weiteren uninteressant. Damit ist ein solches Potential allein
22
3.2. Gauß’sche Unordnungspotentiale
c
durch Angabe der zweiten Kumulante V (r)V (r) = V (r)V (r′ ) =: P (r−r′ ), auch
Korrelationsfunktion des Potentials genannt, gekennzeichnet.
Das Verteilungsfunktional und das erzeugende Funktional sind für Gauß’sche
Zufallspotentiale gegeben durch:
Z
Z
1
1
′
′
′
dr dr V (r)∆(r − r )V (r )
(3.22)
P [V ] = exp −
Z
2
bzw.
Z
Z
1
′
′
′
dr dr g(r)P (r − r )g(r )
Φ[g] = exp
2
Wobei Z einen Normierungskonstante ist und
Z
dr′′ ∆(r − r′′ )P (r′′ − r′ ) = δ(r − r′ )
(3.23)
(3.24)
gilt.
Halten wir die für uns wichtigen statistischen Eigenschaften fest:
V (r) = 0,
V (r)V (r′ ) = P (r − r′ ),
c
V (r1 ) · · · V (rn ) = 0, (n > 2)
Die Korrelationsfunktion P wählen wir nach [7] von der Form:
2
r
2
P (r) = V exp
2σ
(3.25)
(3.26)
Die Größe V gibt die Stärke der Potentialfluktuationen wieder. σ wird als Korrelationslänge bezeichnet und gibt die Skala an, auf welcher diese Fluktuationen
auftreten.
Eine weitere charakteristische Eigenschaft des Gauß’schen Zufallspotentials ist
die Tatsache, dass alle höheren Momente durch P (r − r′ ) darstellbar sind. Es
verschwinden alle ungeraden Momente:
V (r1 ) · · · V (r2n+1 ) = 0
(3.27)
Das Zerfallen der Momente entspricht dem Wick-Theorem in der Feldtheorie [18].
Es gilt:
X
V (r1 ) · · · V (r2n ) =
V (ri1 )V (ri2 ) · · · V (ri2n−1 )V (ri2n )
(3.28)
{vollständige Paare}
Die Summe erstreckt sich hierbei über alle Möglichkeiten, aus den 2n Ortsargumenten vollständige Paarungen zu bilden.
23
Kapitel 3. Physikalisches Modell
Als Beispiel zur Anwendung der obigen Formel berechen wir die VierpunktKorrelationsfunktion (d.h. das vierte Moment):
V (r1 )V (r2 )V (r3 )V (r4 ) = V (r1 )V (r2 ) V (r3 )V (r4 )
+ V (r1 )V (r3 ) V (r2 )V (r4 )
+ V (r1 )V (r4 ) V (r2 )V (r3 )
3.3
(3.29)
Weitere Modelle für Unordnung
In diesem Abschnitt soll kurz auf ein weiteres Unordnungsmodell, das sog.
Edwards-Modell [5, 17] eingegangen werden. Es zeigt sich, dass dieses unter
gewissen Umständen äquivalent zu einem Gauß’schen Modell ist.
Das Edwards-Modell geht davon aus, dass das Unordnungpotential durch Nimp
zufällig verteilte Störstellen erzeugt wird:
Nimp
V (r) =
X
i=1
u(r − ri )
(3.30)
Die Positionen ri der Störstellen sind als zufällig verteilt angenommen. Das von
einer einzelnen Störstelle erzeugte Potential ist durch u(r) gegeben. Die Dichte
N
der Störstellen sei durch nimp = Vimp bezeichnet.
Man kann zeigen, dass das Edwardsmodell für den Grenzfall einer hohen Dichte
(nimp → ∞) von schwach streuenden Störstellen (u(r) → 0) in ein Gaußschen
Modell übergeht[5], d.h die Kumulanten von höherer Ordnung als 2 verschwinden. Die Fouriertransformierte der Korrelationsfunktion kann dann in der folgenden Form erhalten werden:
P (q) = nimp u(q)2
(3.31)
Eine weitere, experimentell leicht zu realisierende Unordnungsklasse ist durch
ein Speckle-Potential [33, 31] gegeben. Dieses besitzt jedoch eine vom Gauß’schen
Fall abweichende Statistik.
Die hier genannten Unordnungen sind alle diagonal. Es gibt jedoch auch sog.
nichtdiagonale Unordnung, etwa bei Gittermodellen mit zufälligen hopping Elementen. Viele weiter Beispiele von Unordnungsmodellen finden sich in [24].
24
Kapitel 4
Green’sche Funktionen
ungeordneter Quantensysteme
Im vorhergehenden Kapitel wurde die Bedeutung der unordnungsgemittelten
Greensfunktion für die Beschreibung des Verhaltens der mittleren Wellenfunktion gezeigt. In diesem Kapitel wird die störungstheoretische Berechnung dieser,
ausgehend von Kapitel 2, dargestellt. Hierbei wird das Unordnungspotential als
Störung aufgefasst. Es ergibt sich eine Entwicklung nach Potenzen der Potentialkorrelationsfunktion [21]. Gemäß dem zu untersuchenden Modell werden wir
Gauß’sche Unordnung voraussetzen. Die statistischen Eigenschaften des Potentials beeinflussen direkt die Struktur der zu entwickelnden Störungstheorie. Generell ist die Mittelung aber auch für andere Statistiken durchzuführen, etwa für
Speckle-Potentiale [12] oder lokalisierte Störstellen (Edwards-Modell) [21, 17].
Nachdem der Darstellung der Theorie wird als erste Anwendung die niedrigste
Ordnung berechnet und mit numerischen Daten verglichen.
4.1
Störungstheorie für die unordnungsgemittelte Green’sche Funktion
Ausgangspunkt ist die aus Kapitel 2 bekannte Entwicklung des (retardierten)
Green’schen Operators in Form der Born’schen Reihe:
Ĝ(ω) = Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ(ω)0 + ...
(4.1)
Hiervon haben wir das Konfigurationsmittel zu bilden:
Ĝ(ω) = Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω) + Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω)V̂ Ĝ0 (ω) + ...
(4.2)
Nach der Mittelung ist der Raum homogen und isotrop. Dies hat zur Folge,
dass für die Green’sche Funktion G(r, r′ , ω) = G(|r − r′ |, ω) gilt. Deshalb ist
25
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
eine Behandlung im Fourierraum von Vorteil, da die mittlere Greensfunktion in
dieser Darstellung diagonal und nur vom Betrag des k -Vektors abhängig ist.
Bilden wir zunächst das Analogon zu Gl.(2.34) aus Kapitel 2 in der ImpulsBasis:
hk′ |Ĝ(ω)|ki = hk′ |Ĝ0 (ω)|ki + hk′ |Ĝ(ω)V̂ Ĝ0 (ω)|ki
= (2π)d δ(k − k′ )G0 (k, ω)
Z
dk1 dk2 ′
hk |Ĝ(ω)|k1 ihk1 |V̂ |k2 ihk2 |Ĝ0 (ω)|ki
+
(2π)d (2π)d
= (2π)d δ(k − k′ )G0 (k, ω)
Z
dk1 ′
hk |Ĝ(ω)|k1 ihk1 |V̂ |kiG0 (k, ω)
+
(2π)d
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Mit der Substitution k1 → k − k1 folgt:
G(k, k′ , ω) = (2π)d δ(k − k′ )G0 (k, ω)
Z
dk1
d
+ (−1)
hk′ |Ĝ(ω)|k − k1 ihk − k1 |V̂ |kiG0 (k, ω)
d
(2π)
d
= (2π) δ(k − k′ )G0 (k, ω)
Z
dk1
d
G(k − k1 , k′ , ω)V (k1 )G0 (k, ω)
+ (−1)
(2π)d
(4.6)
(4.7)
Durch Iteration erhält man wieder die Born’sche Reihe, diesmal in Fourierdarstellung:
G(k, k′ , ω) = (2π)d δ(k − k′ )G0 (k, ω)
(4.8)
Z
dk1
+ (−1)d
(2π)d δ(k − k′ − k1 )
d
(2π)
· G0 (k − k1 , ω)V (k1 )G0 (k′ , ω)
Z
dk1 dk2
+
(2π)d δ(k − k′ − k1 − k2 )
(2π)d (2π)d
· G(k − k1 − k2 , ω)V (k2 )G0 (k − k1 , ω)V (k1 )G0 (k, ω)
+ ....
Der je nach Dimension auftretende Vorzeichenwechsel ist im Folgenden nicht
von Bedeutung, da wir sehen werden, dass die Terme mit ungerader Anzahl an
Potentialstreuungen zur mittleren Greensfunktion nicht beitragen. Die Deltadistribution garantiert, dass der ausgehende Impuls k′ wird.
26
4.1. Störungstheorie für die unordnungsgemittelte Green’sche Funktion
Nun wollen wir die Mittelung durchführen. Betrachten wir dazu zunächst den
n + 1-ten, also den Term ∝ V n , der Reihe:
(−1)d
Z Y
n
n
X
dki
′
d
(2π) δ(k − k −
ki )
(2π)d
i=1
i=1
· G0 (k, ω)G0(k − k1 , ω) · · · G0 (k − k1 − · · · kn , ω)V (k1 ) · · · V (kn )
Z Y
n
n
X
dki
′
d
d
= (−1)
(2π) δ(k − k −
ki )
d
(2π)
i=1
i=1
· G0 (k, ω)G0(k − k1 , ω) · · · G0 (k − k1 − · · · kn , ω)V (k1 ) · · · V (kn )
(4.9)
(4.10)
Benutzen wir nun die Eigenschaft Gauß’scher Potentiale bei der Mittelung
vollständige Paare von korrelierten Streuvorgängen zu bilden, welche auch in
der Impulsdarstellung gilt, so erhalten wir:
X
V (k1 ) · · · V (k2n ) =
V (ki )V (kj )
(4.11)
{P aare}
V (k1 ) · · · V (k2n+1 ) = 0
(4.12)
Im Weiteren wollen wir uns auf den dem phyiskalischen Modell entsprechenden
Fall eines zweidimensionalen Gauß’schen Potentials mit Gauß-förmiger Korrelationsfunktion beschränken.
Diese Wahl liefert:
Z
′ ′
′
V (k)V (k ) = drdr′ eikr eik r V (r)V (r′ )
(4.13)
Z
(r−r′ )2
′ ′
= drdr′ eikr eik r V 2 e− 2σ2
(4.14)
Z
r2
′
2
2
(4.15)
d reikr e− 2σ2
= (2π) δ(k + k )V
= (2π)2 δ(k + k′ )(2πσ 2 )V 2 e
=: (2π)2 δ(k + k′ )P (k),
−k2 σ 2
2
(4.16)
(4.17)
Mit P (k) haben wir die Potentialkorrelationsfunktion im Impulsraum eingeführt.
Die Terme ungerader Ordnung verschwinden bei der Mittelwertbildung. In den
anderen Fällen erlauben die Deltadistributionen die Hälfte der Integrationen
durchzuführen und erzwingen globale Impulserhaltung δ(k − k′ ): Die Diagonalität der Green’schen Funktion, wie allein aus Symmetrieüberlegungen schon
gefordert.
27
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
Jeder Term der Ordnung V 2 n liefert also, entsprechend der Anzahl der vollständigen Paarungen, (2n − 1)!! Terme der Art:
Z Y
n
Y
dki
′
G
(k,
ω)G
(k
−
k
,
ω)
·
·
·
G
(k
,
ω)
= 1n P (kj )
(2π) δ(k − k )
0
1
0
2 0
(2π)
j
i=1
′
2
(4.18)
Je nach betrachtetem Summanden
treten
bei
den
Korrelationsfunktionen
andere
P
Argumente kj = |k − ni αi ki | mit αi ∈ {0, 1} auf, abhängig von der Art der
Paarung in dem entsprechenden Term.
Das ganze Vorgehen stellt sich graphisch folgendermaßen dar. Die Born’sche
Reihe
G(k, k′ , ω) =
+ + + !" + · · ·
(4.19)
wird unter Mittelung zu:
# =$+%+&+'
(4.20)
Die Übersetzung der Diagramme in Integrale geschieht wieder mittels FeymanRegeln. Wegen der Diagonalität können wir schreiben:
hk′ |Ĝ(ω)|ki = G(k, k′ , ω) = (2π)d δ(k − k′ )G(k, ω)
(4.21)
und die Feynmanregeln direkt für G(k, ω) aufstellen.
(
• )
• *
•
Volle Greensfunktion G(k, ω)
Freie Greensfunktion G0 (k, ω)
Korrelationsfunktion P (k)
• Impulserhaltung am Vertex
• Integration über freie Impulse
R
dqi
(2π)2
Die Impulserhaltung am Vertex spiegelt die Translationsinvarianz des konfigurationsgemittelten Systems wider.
28
4.2. Selbstenergie und darin enthaltene Informationen
Folgendes Beispiel soll die Anwendung der Regeln illustrieren:
q1
q2
+
k − q1 k − q1 − q2 k − q2
=
Z
dq1 dq2
G0 (k−q1 , ω)P (q1 )G0 (k−q1 −q2 , ω)P (q2 )G0 (k−q2 , ω) (4.22)
(2π)2 (2π)2
Im Folgenden verstehen wir unter der Ordnung eines Diagramms die Anzahl
der Korrelationsfunktionslinen. Ein Diagramm der Ordnung n ist somit proportional zu V 2n .
Prinzipiell wäre nun hiermit eine Berechung der Green’schen Funktion möglich.
Es ist aber von Vorteil, die Störungstheorie in eine andere Form umzuschreiben,
welche bei einer gegebenen Ordnung bereits eine unendliche Anzahl von Teildiagrammen umfasst. Dazu werden wir im nächsten Abschnitt die Selbstenergie
einführen und erläutern, wie aus ihr die interessierenden physikalischen Größen,
insbesondere die mittlere freie Weglänge, gewonnen werden können.
Die obigen Diagramme topologisch äquivalent zu den aus der Festkörperphysik
bekannten Diagrammen beim Polaron -Problem [16]. Die freien Greensfunktionen beschreiben dann Elektronen und die Potentialkorrelationsfunktionen
entsprechen der Emission bzw. Absorption eines Phonons. Grundlegender Unterschied ist jedoch, dass unser statisches Potential keine Energie überträgt, im
Gegensatz zum Polaronproblem, bei welchen die Emission bzw. Absorption von
Phononen mit Energieänderung verbunden ist. Die Analogie werden wir später
aufgreifen, um eine Verbesserung der Rechnung über die niedrigste Ordnung
hinaus zu erhalten.
4.2
Selbstenergie und darin enthaltene Informationen
Die wichtigen physikalischen Eigenschaften eines Systems werden durch die analytischen Eigenschaften des Propagators bestimmt. Eine Störung wird die Polstruktur der freien Greensfunktion verändert. Benutzt man nur eine endliche
Anzahl der Terme der Born’schen Reihe, so kann die Polstruktur nicht verändert
werden. Man muss eine ganze Klasse von unendlich vielen Diagrammen aufsummieren, um den Pol zu verschieben.
29
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
Erinnern wir uns an die Form der Störungsreihe:
, = - +.+/+0+1+···
(4.23)
Definieren wir zunächst die sog. (unordnungsgemittelte) T-Matrix als die Summe der Diagramme ohne die externen ein- bzw. auslaufenden freien Greensfunktionen [20].
2T := 3 + 4 + 5 + 6 + ...
(4.24)
Damit wird aus Gl. XY
7 = 8 + 9:T ;
(4.25)
G(k, ω) = G0 (k, ω) + G0 (k, ω)T (k, ω)G0(k, ω).
(4.26)
bzw.
Betrachtet man die T-Matrix, so fällt auf, dass sie Diagramme enthält, die aus
Diagrammen niedrigerer Ordnung durch Verbinden mit freien Greensfunktionen zusammengesetzt sind. Dies Motiviert das weitere Vorgehen.
Eine bewährte Weise der Umorganisation der Störungsreihe ist das Einführen
der Selbstenergie. Dabei definiert man die Selbstenergie als die Summe der
amputierten, irreduziblen Diagramme. Darunter versteht man diejenigen Diagramme, welche beim Durchtrennen einer freien, internen Greenschen Funktion
nicht in zwei einzelne Teile zerfallen. Die externen Propagatoren werden entfernt. Zur Verdeutlichung zeigen wir zwei Beispiele:
< =
(4.27)
Das linke der oben gezeigten Diagramme ist reduzibel, das rechte hingegen irreduzibel. Der Vorteil des Arbeitens mit irreduziblen Diagrammen liegt darin,
dass sich alle anderen wieder durch Verbinden zweier oder mehrerer solcher irreduziblen erzeugen lassen. Graphisch stellt sich die Selbstenergie folgendermaßen
dar:
>Σ = ? + + A + ...
(4.28)
Die Reihe für die Green’sche Funktion liegt dann in der Form
B = C + DEΣ F + GHΣ IJΣ K + ...
30
(4.29)
4.2. Selbstenergie und darin enthaltene Informationen
vor. Per Konstruktion enthält diese Darstellung alle Diagramme und ist somit
zur Born’schen Reihe äquivalent.
Durch Vergleich sieht man, dass sie durch Iteration der sog. Dyson-Gleichung
L = M + NOΣ P
(4.30)
G(k, ω) = G0 (k, ω) + G0 (k, ω)Σ(k, ω)G(k, ω)
(4.31)
bzw.
erhalten werden kann. Im Fourierraum ist diese eine algebraische Gleichung, im
Ortsraum wird aus dem Produkt eine Faltung und man erhält eine Integralgleichung. Die Dyson-Gleichung hat die Lösung:
G(k, ω) =
G0
(k, ω)−1
1
=
− Σ(k, ω) + i0+
1
2
k
− Σ(k, ω) + iη
ω−
2m
(4.32)
Wie man sieht, verschiebt die Selbstenergie den Pol der freien Greensfunktion.
Insbesondere resultiert aus einem nicht verschwindenden Imaginärteil ein je
nach Sichtweise als räumlich oder als zeitlich aufgefasster Zerfall der Greensfunktion.
Später werden wir noch den Zusammenhang zwischen T-Matrix und Selbstenergie benötigen. Dazu erzeugen wir rückwärts aus der Selbstenergie alle zur
T-Matrix beitragenden Diagramme:
QT = RΣ + SΣ TUΣ + VΣ WXΣ YZΣ + · · · = [Σ + \Σ ℄^T
Es resultiert
_Σ =
T̀
1+
bzw.
Σ(k, ω) =
(4.33)
abT
T (k, ω)
.
1 + G0 (k, ω)T (k, ω)
(4.34)
(4.35)
Wie man durch Entwicklen sehen kann, liegt die Funktion des Nenners in obiger
Gleichung darin, in jeder Ordnung die reduziblen Anteile zu entfernen.
Die Berechnung der Selbstenergie in bestimmter Ordnung liefert eine Näherung
für die Greensfunktion, welche eine ganze Klasse von Diagrammen enthält.
31
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
Z.B. liefert die Selbstenergie in niedrigster Ordnung, Born’sche Näherung genannt, folgende Greensfunktion:
Σ ≈ d
e ≈ f + g + h + ...
(4.36)
(4.37)
Durch Arbeiten mit der Selbstenergie resummiert man also bestimmte Klassen
von unendlich vielen Beiträgen zu G.
Mit der Gl.(4.32 lässt sich der Zusammenhang zwischen Selbstenergie und der
mittleren freien Weglänge beschreiben. Wir sind am räumlichen Abklingen einer
Störung mit der
√ Frequenz ω bzw. dem Verhalten der eindringenden ebenen
Welle mit k = 2mω, wie im physikalischem Modell beschrieben, interessiert.
Dafür gilt:
Z
R
(4.38)
Ψ(r, t) = exp(−iωt) dkx exp(ikx x)G (kx , ky = 0, ω)
bzw. unter Benutzung der Selbstenergie:
Z
Ψ(r, t) = exp(−iωt) dk exp(ikx)
ω−
k2
2m
1
− Σ(k, ω) + i0+
(4.39)
Es ist also die Fouriertransformation durchzuführen. Mit Hilfe des Residuensatzes ergibt sich der exponentielle Anteil auf folgende Weise: Die Lage des
Pols wird durch die Lösung der als komplexe Dispersionsrelation bezeichneten
impliziten Gleichung festgelegt:
kω2
ω=
+ Σ(kω , ω)
(4.40)
2m
Diese ist im Allgemeinen komplex: kω = kR + ikI . Der Imagiärteil ist dann für
das exponentielle Abklingen verantwortlich und es tritt eine Verschiebung der
Wellenlänge hin zu kR auf:
Ψ(r) ∝ exp(−kI x) exp(ikR x)
(4.41)
1/ls = 2kI .
(4.42)
Da die freie Weglänge über |Ψ|2 ∝ exp −x/ls definiert ist, folgt die Beziehung
Diese Relation bietet also eine Möglichkeit aus der Selbstenergie die gewünschte
freie Weglänge zu extrahieren.
Eine komplementäre Sichtweise besteht darin, nach dem zeitlichen Zerfall einer
k-Mode zu fragen. Dann ist der Pol ωk bei festgehaltenem k zu untersuchen. Es
resultiert in diesem Fall ein zeitliches Abklingen.
Physikalisch lässt sich das räumliche bzw. zeitliche Abklingen durch die Tatsache verstehen, dass ebene Wellen keine Eigenzustände des Hamiltonians sind
und durch Streuung ihren Charakter verlieren.
32
4.3. Born’sche Näherung
4.3
4.3.1
Born’sche Näherung
Selbstenergie und freie Weglänge
Als erste Anwendung des Formalismus berechnen wir das erste Diagramm der
Selbstenergiereihe, d.h. die sog. Born’sche Näherung, wie oben bereits eingeführt:
(4.43)
Σ ≈
i j
Mit Hilfe der Feynman-Regeln übesetzen wir das Diagramm in folgendes Integral:
Z
ΣBA (k, ω) =
dk1 R
G (k1 , ω)P (|k − k1 |)
(2π)2 0
P (k) = (2πσ 2 )V 2 e
(4.44)
−k2 σ 2
2
(4.45)
Weitere Behandlung führt zunächst auf:
Z
dq −(k−q)2 σ2
q2
2 2
2
ΣMA (k, ω) = 2πσ V0
e
+ i0+ )−1
(ω
−
2
(2π)
2m
Z 2π Z ∞
2
σ
2
2
= (2π)−1 σ 2 V02 2m
dθ
dq qe− 2 (k −2kq cos θ+q ) (2mω − q 2 + i0+ )−1
0
Z ∞ 0
σ2
2
2
2 2
= (2mσ V0
dq q I0 (kqσ 2 )e− 2 (k +q ) (2mω − q 2 + i0+ )−1
Z ∞0
√ 2 − σ2 (k2 +u)
1
2 2
P
= mσ V0
du I0(k uσ )e 2
− iπδ(2mω − u) (4.46)
2mω − u
0
Insbesondere also:
2
2
ReΣMA (k, ω) = mσ V P
Z
∞
0
ImΣMA (k, ω) = −πmσ 2 V 2 e−
√
2
du I0(k uσ )e
σ2
(k 2 +2mω
2
2
− σ2 (k 2 +u)
√
)I0 (k 2mωσ 2 )
1
2mω − u
(4.47)
(4.48)
Hierbei haben wir die Dirac-Identität benutzt. Das Hauptwertintegral konnte
analytisch nicht gelöst werden.
Es gibt jedoch eine alternative Darstellungsweise des Realteils, welcher für numerische Zwecke besser geeignet ist. Da das Hauptwertintegral, welches sich bei
der Berechnung des Realteils der Selbstenergie im Fourierraum auftritt nicht in
geschlossener Form berechnet werden kann, erfolgt die Rechnung im Folgenden
im Ortsraum. Aus der Faltung wird hiermit ein Produkt. Diese Selbstenergie im
33
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
Ortsraum kann anschließend fouriertransformiert werden. Das Integral, welches
sich bei dieser Vorgehensweise für den Imaginärteil ergibt ist in geschlossener
Form zu lösen und ergibt das selbe Ergebnis wie bei der Anwendung der DiracIdentität. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass der (Vakuum) on-shell Wert
des Realteils der Selbstenergie in geschlossener Form angegeben werden kann.
Mit der Bezeichnung on-shell ist, in Analogie zu der in Quantenfeldtheorien
k2
)
verwendeten Ausdrucksweise [18], das Auswerten an der Stelle (k, ω)=(k, 2m
gemeint.
In Ortsdarstellung ist die Selbstenergie gegeben durch:
ΣMA (|r − r′ |, ω) = P (|r − r’|)G0 (r − r′ )
(4.49)
im (1) √
H ( 2mω|r − r′ |)
2 0
(4.50)
Die freie Greensfunktion in 2D ist aus Kapitel 2 bekannt:
G0 (|r − r′ |) = −
Die Fouriertransformation in 2D für rotationsinvariante Funktionen, siehe Anhang A.2 liefert:
ΣMA (k, ω) =
Z
∞
dr r 2πJ0 (kr)V 2 exp(−
0
r 2 −im (1) √
)
H0 ( 2mωr|)
2σ 2 2
(4.51)
√
r2
(1)
)H
(
2mωr)
0
2σ 2
(4.52)
Damit erhält man also:
Σ(k, ω) = −iπV
2
Z
∞
0
dr r J0 (kr)exp(−
Trennen von Real- und Imaginärteil liefert:
Z ∞
√
r2
2
ImΣ = −πV
dr r J0 (kr)J0( 2mωr)exp(− 2 )
2σ
0
Z ∞
√
r2
dr r J0 (kr)Y0( 2mωr)exp(− 2 )
ReΣ = πV 2
2σ
0
(4.53)
(4.54)
Der Realteil kann weiter umgeformt werden. Nach [34] gilt:
∞
1 (− 4η1 (a2 +b2 )
2
e
dx e−ηx J0 (ax)Y0 (bx) = −
2πη
0
#
"Z
Z ∞
a/b
√
√
ab
1
ab
1
2
dx xe−ηx J0 ( abx)Y0 ( abx)
·
du exp( (u + )) − 2πηe 2η
u
4η
u
0
1
(4.55)
Z
34
4.3. Born’sche Näherung
Durch diese Transformation wird erreicht, dass im hinteren Integranden die
Besselfunktionen dasselbe Argument tragen und das Integral dann lösbar ist
[34]:
Z
0
∞
2
dx x e−ηx J0 (x)Y0 (x) = −
1
1 − 2η1
e K0 ( )
2πη
2η
(4.56)
Insgesamt erhält man:
Z
∞
2
dx e(−ηx J0 (ax)Y0 (bx) =
0
#
"Z
a/b
ab
1
ab
1
1 (− 4η1 (a2 +b2 )
e
du exp( (u + )) + K0 ( )
−
2πη
u
4η
u
2η
1
(4.57)
(4.58)
Der Realteil der Selbtenergie in Born’scher Näherung lautet damit:
n
2
o
√
σ 2
ReΣMA (k, ω) = −σ V exp − (k + 2mω) K0 (s2 k 2 2mω) + F (k, ω)
2
(4.59)
Hierbei ist die Funktion F gegeben durch:
2
2
F (k, ω) =
Z
√ k
2mω
1
1
du exp
u
!
√
σ 2 k 2 2mω
1
(u + )
2
u
(4.60)
Beachte, dass F (k, 0.5k 2) = 0, d.h ihr on-shell Beitrag verschwindet und der
on-shell Wert des Realteils der Selbstenergie in geschlossener Form gegeben ist.
Im Rahmen der Born’schen Näherung sind nur die on-shell Werte relevant, wie
wir noch sehen werden. Bei der späteren Erweiterung der Theorie werden wir
aber auch die off-shell Werte benötigen.
35
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
0
5
-1
ImΣBA (k, ω)
-2
V 2σ2
-3
0
4
3
2
1
2
kσ
ωσ 2
1
3
40
Abbildung 4.1: Imaginärteil der Selbstenergie in Born’scher Näherung
0.5
5
ReΣBA (k, ω) 0
V 2 σ2
-0.5
4
3
0
2
1
2
kσ
ωσ 2
1
3
40
Abbildung 4.2: Realteil der Selbstenergie in Born’scher Näherung
36
4.3. Born’sche Näherung
4.3.2
Gültigkeitsbereich
Bei der Abschätzung des Gültigkeitsbereichs der Born’schen Näherung folgen
wir [12]. Dort wurde die Abschätzung für ein Speckle-Potential hergeleitet. Die
wesentlichen Unterschiede zu unserem Fall bestehen darin, dass die Korrelationsfunktion dort einen endlichen Träger besitzt und eine weitere Klasse von
Diagrammen sowie eine weitere Korrelationsfunktion auftreten. Diese Unterschiede liegen in der vom Gauß’schen Fall abweichenden Statistik des SpecklePotentials begründet. Die wesentliche Idee lässt sich jedoch auf unseren Fall
übertragen.
Mit der Korrelationslänge haben wir eine charakteristische Energie und einen
charakteristischen Wellenvektor gegeben:
kσ2
= σ −2 m−1
(4.61)
m
Mit Hilfe dieser können wir eine dimensionslose Energie und einen dimensionslosen Wellenvektor einführen:
k
ω
κ := , ε :=
(4.62)
kσ
ωσ
√
Wenden wir uns zunächst dem Fall κ = 2ε ≫ 1 zu:
Jedes irreduzible Diagramm der Ordnung n (also ∝ V 2n )besteht aus 2n − 1
freien Propagatoren und n Korrelationsfunktionen.
Die P
Nenner der freien Greensfunktionen werden bei Impulsen der Form κj =
κ − i αi κi ausgewertet. Die κi sind die Argumente der Korrelationsfunktionen
und die Impulse über welche zu integrieren ist. Aufgrund des exponentiellen Abfallens der Korrelationsfunktionen werden die κi auf einen Betrag der Ordnung
1 eingeschränkt. (Bei der Speckle-Korrelationsfunktion existiert ein scharfer Cutoff, das wesentliche Argument bleibt aber das Gleiche). Wir interessieren uns
nun für den on-shell Wert der Selbstenergie: Nach Voraussetzung ist κ ≫ κi ,
so dass wir die freien Propagatoren um den on-shell Wert linearisieren können.
Dann liefert jeder freie Propagator eine Potenz κ−1 . Insgesamt bleibt also für
den n-ten Term der Selbstenergiereihe:
kσ := σ −1 ,
ωσ :=
Σ(n) (k, k 2 /2m) ∝ V 2n κ1−2n ωσ1−2n bn
(4.63)
Dabei bezeichnet bn die Anzahl der irreduziblen Diagramme. Damit erhalten
wir:
bn V 2
Σ(n) /ω ∝ ( 2 2 )n
(4.64)
κ κ ωσ
Der effektive Entwicklungsparamter ist damit gegeben durch:
V2
κ2 ωσ2
(4.65)
37
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
Als Gültigkeitbereich folgt also:
V /ωσ ≪ κ
(4.66)
Der Wellenvektor in Einheiten von kσ muss also größer sein als die Stärke der
Potentialfluktuationen bezogen auf ωσ .
Die durchgeführte Abschätzung ist unabhängig von der Dimension und gilt für
alle Korrelationsfunktionen, welche die Integrationsbereiche der internen Integrationen genügend einschränken. Der zweite Fall κ ≪ 1 kann ähnlich diskutiert
werden [12], wobei hierbei verschiedene Dimensionen getrennt behandelt werden
müssen.
4.3.3
Vergleich mit Numerik
Die freie Weglänge ergibt sich aus der exakten Selbstenergie als Imaginärteil
der Lösung der komplexen Dispersionsrelation:
ω=
kω2
+ Σ(kω , ω)
2m
(4.67)
Da die Bornsche Näherung nur bis zur Ordnung V 2 exakt ist, dürfen wir aus
Konsistenzgründen die komplexe Dispersionsrelation nur on-shell auswerten,
denn ein implizites Lösen der Gleichung enthielte Terme höherer Ordnung. D.h.
wir dürfen in der Selbstenerige die nullte Ordnung der Lösung kω0 = k einsetzen.
Dies entspricht dem ersten Schritt einer iterativen Lösung:
kω2
ω≈
+ ΣBA (k, ω)
(4.68)
2m
√
Mit k = 2mω, dem Wellenvektor im Vakuum, folgt nach Entwickeln der
Wurzel:
r
2mΣBA (k, 0.5k 2
k
(4.69)
kω ≈ 1 −
2
k
mReΣMA (k, 0.5k 2 )
mImΣBA (k, 0.5k 2 )
≈ 1−
k
(4.70)
−i
k2
k2
D.h. für die freie Weglänge in Born’scher Näherung haben wir:
1/ls = −2Imkω = −
2mImΣBA (k, 0.5k 2 )
k
(4.71)
Gleichung (4.70) lässt auch die Interpretation als effektiven, komplexen Brechungsindex zu. Der Imaginärteil ist aber hier, anders als in der Optik, nicht
38
4.3. Born’sche Näherung
die Ursache von Absorption, sondern vielmehr darin begründet, dass durch
Steuung die Ausbreitungsrichtung der Welle geändert und somit die kohärente
Mode geschwächt wird. Nach der freien Weglänge ist die Information an die
Ausgangsrichtung verloren gegangen [28].
Das Verhalten des on-shell Imaginärteils ist in Abb. 4.3 dargestellt. Es zeigt
sich, dass die Wellen mit höherer Energie weniger Gedämpft werden.
−ImΣBA (k, 0.5k 2 )
V 2 σ2
3
2
1
1
2
3
4
5
kσ
Abbildung 4.3: On-shell Wert des Imaginärteils der Selbstenergie in
Born’scher Näherung
In den folgenden Abbildungen wird die Born’sche Näherung mit numerischen
Daten [6] verglichen. Es ist jeweils die auf die Wellenlänge im Vakuum normierte
inverse freie Weglänge kl1s als Funktion der Stärke der Potentialfluktuationenen
dargestellt. Dabei ist m = σ = 1 gesetzt.
39
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
1
kls
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V
Abbildung 4.4: Vergleich der Born’schen Näherung (rot) mit Numerik [6],
kσ = 1. Gemäß des Gültigkeitsbereichs der Näherung ist die Übereinstimmung
nur für kleine V gegeben.
1
kls
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2.0
V
Abbildung 4.5: Vergleich der Born’schen Näherung (rot) mit Numerik [6],
kσ = 2. Gemäß des Gültigkeitsbereichs der Näherung ist die Übereinstimmung
nur für kleine V gegeben.
40
4.4. Verbesserungsmöglichkeiten
4.4
Verbesserungsmöglichkeiten
Zur Verbesserung der Näherung müssten weitere Diagramme hinzugezogen werden. Die Schwierigkeit liegt dabei einerseits darin, geeignete Diagrammklassen
auszuwählen und insbesondere die Integrale auch analytisch oder numerisch
durchzuführen. Ein weiterer Ansatz ist das Verwenden einer sog. selbstkonsistenten Theorie [17].
Tatsächlich werden wir im folgenden Kapitel einen anderen Weg einschlagen,
um die Vorhersagen zur freien Weglänge zu verbessern.
41
Kapitel 4. Green’sche Funktionen ungeordneter Quantensysteme
42
Kapitel 5
MA als Verbesserung der
Born’schen Näherung
Die im vorhergehenden Kapitel betrachtete Born’sche Näherung hat wie wir gesehen haben einen beschränkten Gültigkeitsbereich. Insbesondere bei größeren
Werten der Potentialfluktuationen V ist die Born’sche Näherung nicht mehr
gültig. Ziel dieses Kapitels ist die Entwicklung einer Theorie, welche auch Aussagen bei stärkerer Unordnung ermöglicht. Dazu soll die in [13, 14] für das PolaronProblem entwickelte Momentum-Average (MA) Methode auf den Fall der Ausbreitung von Materiewellen in Unordungpotentialen verallgemeinert werden.
5.1
Idee der MA-Näherung
Übliche Verfahren der Störungstheorie arbeiten gewöhnlich auf zwei verschiedene Weisen:
• Abbrechen der Selbstenergiereihe nach einer bestimmten Ordnung
• Summation einer geeigneten Klasse von Teildiagrammen: Selbstkonsistente
Methoden
Die Born’sche Näherung gehört zur ersten Klasse, während die selbstkonsistente Born’sche Näherung ein Beispiel für die zweite Klasse ist. Die Schwierigkeit liegt in der Berechnung höherer Diagramme, da komplizierte Integrationen
durchgeführt werden müssen. In der Regel ist dies nur numerisch mit einigem
Aufwand zu bewerkstelligen. Auch die Wahl einer geeigneten Diagrammklasse für selbstkonsistente Schemata ist nicht immer leicht zu begründen. Hinzu
kommt die in jeder Ordnung stark zunehmende Anzahl an Diagrammen.
Auch die aus der Quantenelektrodynamik (QED) [18] und der Theorie kritischer
43
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Phänome [35] bekannte Tatsache, dass störungstheoretische Reihen asymptotische Entwicklungen sind, stellt ein Problem dar. In der QED ist dies wegen
des kleinen Werts der Feinstrukturkonstanten nicht so problematisch. Im Rahmen der Theorie kritischer Phänomene kommen Methoden zur Behandlung
der asymptotischen Reihen zur Anwendung. Beim Unordnungsproblem ist die
“Kopplungskonstante” proportional zu V 2 und damit nicht klein, so dass die
asymptotische Natur der Reihe klar zutage tritt.
Zu Verbesserung der Born’schen Näherung wollen wir hier nun einen anderen Weg einschlagen: Basierend auf den Artikeln [13, 14], in welchen für das
(Holstein-) Polaron-Problem ein MA (Momentum Average) genanntes Verfahren beschrieben wird, wollen wir untersuchen, inwiefern diese Methode auf das
Unordnungsproblem verallgemeinert werden kann.
Die auftretenden Diagramme beim Polaronproblem haben topologisch die gleiche Struktur, die Interpretation ist jedoch völlig verschieden.
Die beiden größten Unterschiede sind zum einen, dass die Phononenlinen Energie tragen, was beim hier untersuchten Problem eines statischen Potentials nicht
möglich ist. Des Weiteren besitzt die Kopplung (d.h. die Potentialkorrelationsfunktion) eine Impulsabhängigkeit.
Die Grundidee der MA lässt sich folgendermaßen zusammenfassen:
Führe eine (möglichst gute) Approximation ein, welche eine näherungsweise Berechnung jedes einzelnen Diagramms ermöglicht. Dann kann die gesamte Reihe
aufsummiert werden. Dabei ist die Motivation, dass sich der bei der Berechnung
der Diagramme tolerierte Fehler weniger stark auswirkt, als der Gewinn, den
man dadurch erzielt, alle Diagramme zu betrachten.
Im Polaronproblem besteht dies Approximation darin, die freien Greensfunktionen in den Diagrammen durch ihre über den Impuls gemittelten Werte zu
ersetzen, was den Namen MA erklärt. Aufgrund dieser Näherung ist dann jedes
Diagramm in geschlossener Form dargestellt.
5.2
MA-Näherung für Gauß’sche Unordnungspotentiale
Der erste Schritt der Anwendung der MA-Methode besteht darin, eine Approximation für die Diagramme zu konstruieren. Wir orientieren uns an [13] und
versuchen das Konzept der Impulsmittelung auf unseren Fall zu verallgemeinern.
44
5.2. MA-Näherung für Gauß’sche Unordnungspotentiale
Betrachten wir dazu zunächst ein typisches Diagramm der Selbstenergie:
q1
q2
k
k − q1 k − q1 − q2 k − q2
=
R
dq1 dq2
G (|k
(2π)2 (2π)2 0
− q1 |, ω)P (q1)G0 (|k − q1 − q2 |, ω)P (q2)G0 (|k − q2 |, ω)
Wir machen nun zwei Beobachtungen:
Zum einen tragen, insbesondere bei Diagrammen von hohen Ordnungen, die
freien Greensfunktionen Impulsargumente, welche durch eine Summe von einund auslaufenden Impulsen bestimmt sind. In diesem Sinn wollen wir als erste
Näherung annehmen, dass diese jeweils unabhängig voneinander sind. Die Argumente der freien Greensfunktionen vollführen gewissermaßen einen ”random
walk“.
−σ 2 q 2
Zum anderen schränken die Korrelationsfunktionen P (q) = 2πσ 2 V 2 e 2 die
Integration über die freien Impulse auf einen Bereich der Größe
1/σ ein. Die
√
freien Greensfunktionen werden jeweils bei den Polen k = 2mω über einem
Bereich der oben genannten Größe integriert.
√
Dabei beizeichnet in unserem Modell ω die Frequenz bzw. k = 2mω den daraus folgenden
Welle im Vakuum. Ist nun
√ Wellenvektor der auftreffenden ebenen
2
1/σ << 2mω = k, d.h gilt ω >> 1/(2mσ ), wird jede Greensfunktion um
einen schmalen Bereich der Größe 1/σ um den Pol integriert. Von den vielen
freien Impulsintegrationen wird nur eine effektiv beitragen, bei den anderen
sorgt die Korrelationsfunktion für exponentielle Dämpfung.
Die Konstruktion der Näherung basiert also auf der Annahme, dass die Potentialkorrelationsfunktion als Funktion des Impulses schnell genug abfällt. Dies ist bei
der hier verwendeten Form zutreffend. Problematisch wären z.B. potenzartige
Korrelationsfunktionen.
Motiviert durch die obigen Beobachtungen versuchen wir das Konzept der Impulsmittelung auf unseren Fall zu übertragen, indem wir die freien Greensfunktionen durch ihr um den Pol gemitteltes Pendant ersetzen.
Wir definieren die Mitteilung der freien Greensfunktion mit Hilfe einer Gewichtsfunktion (bei nur einem freien Impuls):
g0 (k, ω) :=
Z
d2 q
G0 (k − q, ω)ρ(q)
(2π)2
(5.1)
Nun wird der Name MA (Momentum Average) wegen der Impulsmittelung klar.
Im Unterschied zum Vorgehen bei [13], bedingt durch die Impulsabhängigkeit
der Kopplung, ist unsere gemittelte Greensfunktion explizit impulsabhängig. Im
45
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Polaronproblem hingegend ist die gemittelte Greensfunktion wegen des Energieübertrags energieabhängig. Als Ansatz für die Gewichtsfunktion wählen wir
die geeignet normierte Potentialkorrelationsfunktion. Durch diese Wahl wird
das erste Diagramm, d.h. die Born’sche Näherung, korrekt wiedergegeben. D.h.
wir setzen:
g0 (k, ω) :=
Z
2 2
d2 q
2 −σ2 q
G
(|k
−
q|,
ω)2πσ
e
0
(2π)2
(5.2)
Man sieht: g0 ist bis auf den Faktor V 2 mit der bereits behandelten Größe
ΣBA (k, ω) identisch. Insbesondere können wir die bereits bekannten Resultate
der Born’schen Näherung aus Kapitel 4.3.1 verwenden.
Es muss jedoch betont werden, dass diese Ersetzungsregel lediglich einen Ansatz darstellt.
Man kann diese im Folgenden als MA bezeichnete Näherung auf alle störungstheoretischen Reihen, wie etwa die Selbstenergie, oder auch die T-Matrix anwenden. Aus der obigen Argumentation wird deutlich, dass hierbei allerdings nur
solche G0 , welche einer Impulsintegration unterworfen werden, durch g0 ersetzt
werden dürfen. Bei der T-Matrix beispielsweise sind die freien Greensfunktionen, welche die irreduziblen Anteile verbinden nicht zu ersetzen. Diese werden
aus Impulserhaltungsgründen bei dem externem Impuls ausgewertet und tragen
somit keine freien Impulse im Argument. Die Anwendung dieser Ersetzungsregel wird unten an einfachen Beispielen erläutert.
Definieren wir aber zunächst formal die MA-Näherung. Die Abhängigkeit von
den Parametern σ und V wird unterdrückt.
Sei D[G0 ](k, ω) ein Diagramm.
Definiere die MA-Näherung folgendermaßen:
Ersetze alle freien G0 , mit mindestens einem freien Impuls durch g0 .
Dadurch wird D[G0 ](k, ω) in DMA ((G0 (k, ω), g0(k, ω)) überführt.
Wie die Notation andeuten soll, hat ein so genähertes Diagramm evtl. immer
noch eine Abhängigkeit von G0 , welche aber nicht mehr funktional ist.
Nach der Ersetzung können die Integrationen über die freien Impulse durchgeführt werden und liefern entsprechende Potenzen von V 2 , entsprechend der
Ordnung des betrachteten Diagramms, d.h. V 2n bei der Ordnung n.
Betrachten wir zwei Beispiele, am übersichtlichsten in diagrammatischer Schreib46
5.3. Anwendung der MA auf die Selbstenergie
weise. Dazu führen wir ein weiteres Symbol für die gemittelte Greensfunktion
g0 ein:
g0 (k, ω) =:
(5.3)
l
Die Linien der Korrelationsfunktionen sind im Prinzip nach der Näherung ohne
Bedeutung, es ist aber von Vorteil diese weiterhin mit darzustellen, um zu sehen
aus welchem Diagramm das genäherte hervorgeht. Beispiele:
m
o
q
−→
−→
−→
n
p
r
= g0 (k, ω)2 G0 (k, ω)V 4
(5.4)
= g0 (k, ω)3 V 4
(5.5)
= g0 (k, ω)(k, ω)3V 4
(5.6)
Man sieht, dass irreduzible Diagramme komplett durch Potenzen von g0 (k, ω)
ausgedrückt werden - und zwar alle irreduziblen der gleichen Ordnung durch
den gleichen Ausdruck. Bei reduziblen bleiben noch Faktoren G0 (k, ω), jedoch
rein multiplikativ - nicht funktional - übrig.
Die MA-Näherung wandelt also im Fall der Selbstenegie die funktionale Abhängigkeit von G0 - welche sich in den komplizierten Integrationen über freie
Impulse äußert- in eine Potenzreihe in g0 (k, ω) um.
Beim Anwenden auf die T-Matrix bleiben noch Beiträge von G0 (k, ω), allerdings
rein multiplikativ, übrig. Diese resultieren aus den freien Greensfunktionen,
welche die reduziblen Anteile verbinden.
5.3
Anwendung der MA auf die Selbstenergie
Wir interessieren uns für die Selbstenergie, mittels welcher Größen wie die freie
Weglänge berechnet werden können. Es wird sich aber auch als vorteilhaft erweisen, die T-Matrix zu betrachten. Da im k-Raum gearbeitet wird, kann im
Folgenden auf die Angabe der Variablen (k, ω) verzichtet werden.
Erinnern wir uns kurz an die Definition der Selbstenergie und der T-Matrix:
sT := t + u + v + w + · · ·
xΣ := y + z + { + · · ·
(5.7)
(5.8)
47
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Unter der MA nehmen diese die folgende Form an:
|+} +~+ +···
= + ++···
TMA =
ΣMA
(5.9)
(5.10)
bzw.:
TMA = g0 V 2 + g02 G0 V 4 + g03 V 4 + g03 V 4 + · · ·
ΣMA = g0 V 2 + g03 V 4 + g03 V 4 + g03V 4 + · · ·
(5.11)
(5.12)
Die Selbstenergie in der MA-Näherung enthält also im Gegensatz zur T-Matrix
nur noch Potenzen von g0 .
Sei an die Anzahl aller Diagramme der Ordnung n, d.h. die Anzahl der Diagramme, welche zur T-Matrix beitragen. Im Gegensatz dazu bezeichne bn die
Zahl der zur Selbstenergie beitragenden Diagramme, also der irreduziblen Diagramme. Diese Koeffizienten werden im nächsten Abschnitt näher untersucht.
Alle Diagramme der Selbstenergie der Ordnung n werden durch die MA auf
g02n−1 V 2n abgebildet. Damit erhalten wir eine erste Reihe für die Selbstenergie
in MA:
ΣIMA
=
∞
X
bn g02n−1V 2n
(5.13)
n=1
In dieser Form ist die Selbstenergie somit als Potenzreihe in der gemittelten
Greensfunktion g0 , welche bekannt ist, gegeben. Es sei daran erinnert, dass die
Frequenz- und Impulsabhängigkeit in g0 = g0 (k, ω) steckt.
Es wird sich zeigen, dass für die bn keine geschlossene Formel, sondern nur eine
rekursive Definition bekannt ist. Deshalb betrachten wir eine weitere Darstellung unter Verwendung der T-Matrix.
Folgender Zusammenhang zwischen Selbstenergie und T-Matrix ist aus Kapitel
4.2 bekannt:
T
Σ=
(5.14)
1 + G0 T
Da die Koeffizienten für T gemäß an = (2n − 1)!! als Anzahl der vollständigen
Paarungen aus 2n Objekten bekannt sind (beachte dazu die ausführliche kombinatorische Analyse im nächsten Abschnitt), wollen wir versuchen, eine Darstellung mittels dieser zu erzielen.
48
5.4. Kombinatorische Analyse der Reihen
Durch Anwenden der MA-Näherung wird aus der obigen Gleichung:
ΣMA =
TMA
1 + G0 TMA
(5.15)
In dieser Form ist aus dem bereits erwähnten Grund, dass bei der MA-Näherung
der T-Matrix Faktoren von G0 übrig bleiben, eine Summation noch nicht möglich.
Da aber die linke Seite, welche die Selbstenergie darstellt, per Definition nur
solche G0 enthält, welche im Sinne der MA durch g0 zu ersetzen sind, muss
- aufgrund der Gleichheit der beiden Seiten - dies auch für die rechte Seite
gelten. Damit erhalten wir eine zweite Darstellung der Selbstenergie in der
MA-Näherung welche, nur die bekannten Koeffizienten an enthält:
ΣII
MA
P∞
2n−1 2n
V
t0
n=1 an g0
P∞
=
2n−1 2n =:
1 + g0 t0
1 + g0 n=1 an g0 V
(5.16)
Die Reihe t0 wird durch ersetzen aller G0 durch g0 auf der T-Matrix gewonnen.
t0 :=
∞
X
an g02n−1 V 2n
(5.17)
n=1
Beachte, dass es sich bei t0 nicht um die MA-Näherung der T-Matrix handelt.
Wie bereits gesehen besteht die Funktion des Nenners darin, die reduziblen
Diagramme in jeder Ordnung zu entfernen. In jeder endlichen Ordnung sind die
beiden hergeleiteten Darstellungen der Selbstenergie also äquivalent.
5.4
Kombinatorische Analyse der Reihen
Für eine weitere Behandlung der Reihen ist die Kenntnis der Koeffizienten an
und bn unerlässlich. Diese stellen jeweils die Anzahl aller bzw. nur der irreduziblen Diagramme der Ordnung n - bei Gauß’schem Unordnungspotential - dar.
Im Fall der T-Matrix ist eine explizite Angabe mit Hilfe von elementarer Kombinatorik möglich. Für die Anzahl der Diagramme, die in der jeweiligen Ordnung
zur Selbstenergie beitragen konnte nur eine Rekursionsformel hergeleitet werden. Diese Tatsache führt bei der Auswertung dazu, dass zur Summation der
Reihen unterschiedliche Methoden benötigt werden.
49
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Die Koeffizienten an sind mit elementarer Kombinatorik zu erhalten. Sie stellen
die Anzahl der Möglichkeiten aus den 2n Streuungen am Potential Paare zu
bilden dar.
an = (2n)!! = (2n − 1)(2n − 3) · · · 1 =
(2n)!
2n n!
(5.18)
Für die Selbstenergie betrachten wir, da es uns nur auf die Koeffizienten der
Reihe ankommt, die folgenden formalen Potenzreihen (aufgefasst als Elemente
des Rings N[[G0 , V ]] [36]).
G[[G0 , V ]] = G0 + G0 T G0 = G0
∞
X
2n
an G2n
0 V0
(5.19)
n=0
Σ[[G0 , V ]] = G−1
0
∞
X
2n
bn G2n
0 V0
(5.20)
n=0
Hierbei wurde a0 := 1 und b0 := 0 definiert.
Diese Reihen stellen G durch die Koeffizienten an und die Selbstenergie durch bn
dar. Einer Idee aus [37] folgend setzen wir die beiden Reihen unter Benutzung
der Dyson-Gleichung 4.31 gleich und setzen so beide Koeffizienten in Beziehung
zueinander. Mit der Lösung der Dyson-Gleichung folgt:
G[[G0 , V ]] =
G−1
0
1
− Σ[[G0 , V ]]
G[[G0 , V ]](G−1
0 − Σ[[G0 , V ]]) = 1
⇐⇒
(5.21)
Der nächste Schritt ist das Einsetzten der beiden Reihen:
!
!
∞
∞
X
X
2n
−1
2n
=1
bn G2n
G−1
G0
an G2n
0 V0
0 − G0
0 V0
Ausführen des Cauchy-Produkts von Potenzreihen [38] liefert:
! ∞
!
∞
∞
X
X
X
2n
2n
2n
an G2n
an G2n
bn G2n
+1
0 V0 =
0 V0
0 V0
n=0
∞
X
n=0
50
n=0
2n
an G2n
0 V0 =
(5.22)
n=0
n=0
n=0
∞
n
X
X
n=0
(5.23)
k=0
an−k bk
!
2n
G2n
0 V0 + 1
(5.24)
5.4. Kombinatorische Analyse der Reihen
Anschließend führt man einen Koeffizientenvergleich (n ≥ 1) durch.
an =
n
X
an−k bk
(5.25)
k=0
Für n = 0 folgt lediglich die Konsitenz der Definitionen a0 := 1 und b0 := 0.
Damit folgt nach weiterer Manipulation eine Rekursionsformel für die gesuchten Koeffizienten bn .
an =
an =
n−1
X
k=0
n−1
X
an−k bk
!
+ a0 bn
!
+ bn ,
an−k bk
k=0
(5.26)
(a0 = 1)
(5.27)
(5.28)
Das Ergebnis ist die Relation:
bn = an −
n−1
X
an−k bk
(5.29)
k=0
Dies ist eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten von unendlicher Ordnung. Eine geschlossene Lösung dieser ist im Rahmen dieser Arbeit nicht gelungen. Für Differenzengleichungen endlicher Ordnung existiert
ein systematisches Lösungsverfahren ähnlich dem Vorgehen bei linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mittels des charakteristischen
Polynoms [39]. Dies ist aber auf unseren Fall nicht anwendbar.
Gl. 5.29 lässt die Interpretation zu, dass die Anzahl der irreduziblen Diagamme durch Subtrahieren der entsprechenden Anzahlen der n-Teilchen reduziblen
Anteile erzeugt wird.
In der folgenden Tabelle finden sich einige Werte für an bzw. bb .
n
an
bn
1 2
1 3
1 2
3 4
5
6
7
8
9
15 105 945 10395 135135 2027025 34459425
10 74 706 8162 110410 1708394 29752066
Tabelle 5.1: Einige Werte der Koeffizienten an (alle Diagramme) und bn (irreduzible Diagramme)
51
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Das asymptotische Verhalten ist in Abb. 5.1 dargestellt. Es zeigt sich, dass bei
höheren Ordnungen die Anzahl der reduziblen Diagramme im Wesentlichen gegenüber den irreduziblen zu vernachlässigen ist, d.h. an ∼ bn .
bn
an
0.98
0.96
0.94
0.92
20
40
60
80
100
n
Abbildung 5.1: Asymptotisches Verhalten der Koeffizienten. Es gilt an ∼ bn
5.5
Asymptotische Natur der Reihe
Das starke Wachstum der Koeffizienten sorgt für ein Divergieren der zu untersuchenden Potenzreihen wie die nachfolgende Abbildung zeigt. Es wurde jeweils
die Reihe 5.13 nach einer endlichen Anzahl N von Termen abgebrochen und die
(inverse) mittlere freie Weglänge l1s = 2Im kω analog zur Born’schen Näherung
durch on-shell Näherung bestimmt.
ΣN
MA =
N
X
bn g02n−1(k, ω)V 2n
(5.30)
n=1
kω ≈
q
2
k 2 − 2mΣN
MA (k, 0.5k )
(5.31)
Im Prinzip wäre diese on-shell Näherung nicht nötig, sondern man könnte die
Polgleichung je nach benutzter Ordnung der Störungstheorie auf entsprechende
52
5.6. Methoden zur Behandlung asymptotischer Störungsreihen
Ordnung in V genau lösen. Da aber lediglich das Divergieren der Reihe demonstriert werden soll, wurde darauf verzichtet.
1
kls
3
5
3
1
2
1
0.2
0.6
0.4
0.8
1
V
1
-
2
-
4
2
3
-
Abbildung 5.2: Asymptotische Natur der Störungsreihe ΣN
MA (5.31): Es sind
jeweils N = 1, 2, ...4 Terme berücksichtigt.
Tatsächlich hat die Reihe wegen des Wachstums der Koeffizienten bn Konvergenzradius Null und wir müssen Methoden zur Summation divergenter Reihen
benutzen, um sinnvolle Ergebnisse zu extrahieren. Dazu benutzen wir eine Verallgemeinerung der z.B. aus der Theorie der kritischen Phänomene und der
Quantenfeldtheorie bekannten Borel-Summierung [40] im Fall ΣII
MA sowie eine
I
Borel-Padé-Analyse [40, 27] im Fall ΣMA .
5.6
Methoden zur Behandlung asymptotischer
Störungsreihen
Die Methoden zur Summation divergierender Störungsreihen, welche in diesem
Abschnitt vorgestellt werden, wollen wir später pragmatisch, ohne einen formalen Beweis der Borel-Summierbarkeit zu erbringen anwenden. Für die beiden
Darstellungen der Selbstenergie in MA-Näherung sind jeweils verschiedene Methoden notwendig.
53
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
5.6.1
Borel-Summation
Widmen wir uns zunächst der mit Hilfe der T-Matrix gewonnenen Darstellung 5.16, da in diesem Fall die Koeffizienten vollständig bekannt sind. Die
Abhängigkeit von den Argumenten k und ω unterdrücken wir.
t0
1 + g0 t0
(5.32)
an g02n−1V 2n
(5.33)
ΣII
MA =
Die Reihe
t0 =
∞
X
n=1
schreiben wir in der Form:
t0 = g0−1
∞
X
n=0
an (g02 V 2 )n − 1 =: g0−1 Z(z) − 1 ,
z := g02V 2
(5.34)
Zu untersuchen haben wir also die folgende in Zähler und Nenner auftretende
Reihe:
Z(z) =
∞
X
an z n =
n=0
∞
X
(2n)!!z n =
∞
X
(2n)!
n=0
n=0
2n n!
zn
(5.35)
Wir nehmen an, dass die Behandlung in Zähler und Nenner jeweils getrennt
vorgenommen werden kann. Dies wird nicht formal begründet. Eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen wird durch Vergleich mit der zweiten Darstellung der
Selbstenergie, welche im nächsten Abschnitt mit eine anderen Methode behandelt wird, gegeben.
Zur Summation von Z(z) benutzen wir eine dem Problem angepasste, verallgemeinerte Borel-Summations Methode [40]. Diese besteht aus den folgenden
Schritten:
Sei die ursprüngliche Reihe gegeben durch
f (z) =
∞
X
an z n
(5.36)
n=0
dann definiert man den Wert der Reihe in folgender Weise: Zunächst ordnet
man der ursprünglichen Reihe ein Borel-transformierte Reihe zu (k, l ∈ N):
(k,l)
Bf (z)
:=
∞
X
n=0
54
an
Γ(kn + l)
(5.37)
5.6. Methoden zur Behandlung asymptotischer Störungsreihen
Besitzt diese dann, im Gegensatz zur ursprünglichen Reihe, einen endlichen
Konvergenzradius so definiert man den Wert der ursprünglichen Reihe über
das sog. Borel-Integral:
Z ∞
(k,l)
f (z) :=
dtBf (ztk ) exp(−t)
(5.38)
0
(k,l)
Bf (z)
Dabei ist
gegebenenfalls analytisch fortzusetzen. Der Fall k = l = 1
entspricht der gewöhnlichen Borel-Summation wie z.B. in [27] beschrieben.
In unserem Fall ist die Wahl (k, l) = (2, 1), d.h. Γ(2n + 1) = (2n)!, besonders
vorteilhaft, da in diesem Fall die transformierte Reihe eine einfache Exponentialreihe darstellt und damit eine evtl. nötige analytische Fortsetzung entfällt.
Berechnen wir zunächst die Borel-Transformierte Reihe von Z(z):
(2,1)
BZ
(z) =
∞
X
n=0
∞
z (2n)! n X 1 z n
z
=
=
exp
(2n)!n!2n
n! 2
2
n=0
Das zu lösende Borel-Integral lautet demnach
2
Z ∞
zt
Z(z) =
dt exp(−t) exp
2
0
(5.39)
(5.40)
und ist in der Form:
Z(Z) =
Z
∞
0
t2
dt exp −
−t
−2/z
(5.41)
unter der Voraussetzung Re(−2/z) > 0, d.h. Re(1/g02) < 0 lösbar nach [41].
Dies entspricht folgender Forderung an g:
Re(1/g02) <0
1
<0
Re
(Reg0 + iImg0 )2
(Reg0 )2 − (Img0 )2 <0
|Reg0 | <|Img0 |
(5.42)
(5.43)
(5.44)
(5.45)
Die Tatsache, dass das Borel-Integral nur unter diesen Voraussetzungen an g0
durchgeführt werden kann, stellt eine wichtige Konsistenzbedingung an die zu
entwickelnde Theorie dar. Die mit Hilfe der MA-Näherung gewonnene Selbstenergie darf nur an solchen Stellen (k, ω) ausgewertet werden, welche die obige
Bedingung erfüllen.
55
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
Eine erste Abschätzung des Gültigkeitsbereiches liefert die Betrachtung der onShell Werte. Insbesondere deutet sich an, dass die Theorie für kleine kσ nicht
anwendbar ist.
Reg0 (k, 0.5k 2), Img0 (k, 0.5k 2 )
8
6
4
2
1
0.5
1.5
2
2.5
3
kσ
Abbildung 5.3: Abschätzung zum Gültigkeitsbereich der MA: Es ist jeweils
der Betrag des Realteil (blau) und des Imaginärteil (schwarz) von g0 (k, 0.5k 2 )
dargestellt.√Mit der Bedingung |Reg0 | < |Img0 | läßt sich unter der Anahme,
dass kω ≈ 2mω gilt sehen, dass für kσ klein die MA nicht gültig ist wird. Dies
ist jedoch nur eine grobe Abschätzung, im konkreten Fall ist der veränderte
Wert kω gemäß der komplexen Dispersionsrelation einzusetzten.
Das Ergebnis der Integration lautet:
Z(z) =
p
−π1/(2z) exp(−1/(2z))[1 − Φ(
mit z := g02 V 2 und dem Gauß’schen Fehlerintegral
Z z
2
Φ(z) = √
dt exp(−t2 )
π 0
p
−1/(2z)]
(5.46)
(5.47)
Hier sieht man die Nichtanalytizität in der Potentialstärke. Die auftretende
Funktion exp(−1/V 2 ) stellt ja gerade ein Paradebeispiel für eine bei V = 0
unendlich oft differenzierbare, aber nicht taylorentwickelbare Funktion dar.
56
5.6. Methoden zur Behandlung asymptotischer Störungsreihen
Insgesamt erhalten wir für die Selbstenergie in MA-Näherung nach
Σ=
t0
1 + g0 t0
(5.48)
mit t0 = g0−1 Z(g02 V 2 ) − 1
ΣMA (k, ω) = g0−1



1−
r
−2g02 V 2
π
exp
s
!#−1 
"

1
−1
1
−
Φ

2g02V 2
2g02 V 2
Die Impuls- und Frequenzabhängigkeit liegt in g0 = g0 (k, ω).
Dieser Ausdruck für die Selbstenergie in MA-Näherung stellt ein zentrales Resultat der Arbeit dar. Es ist gelungen die gesamte Störungsreihe in der MANäherung analytisch aufzusummieren.
Um die separate Behandlung der asymptotischen Reihen in Zähler und Nenner
zu rechtfertigen, analysieren wir im nächsten Abschnitt die zweite Darstellung
5.13 und vergleichen die Resultate.
5.6.2
Borel-Padé-Analyse
Da bei der zweiten Darstellung 5.13 die Koeffizienten nur rekursiv bekannt sind,
benötigen wir eine Möglichkeit asymptotische Reihen zu untersuchen, bei denen
nur eine endliche Anzahl an Koeffizienten zur Verfügung steht. Eine solche stellt
die Borel-Padé Methode [40, 27] dar, welche eine Kombination zweier Methoden
ist.
Diese besteht darin, zunächst eine
der Borel-Transformierten
P∞ Padé-Approximation
bn n
Reihe (mit k = l = 1) d.h. n=1 n! z zu konstruieren und dann das BorelIntegral durchzuführen.
Die Padé-Approximation [l/m]f (z) einer Reihe f (z) =
weise definiert (l, m ∈ N):
[l/m]f (z) =
P∞
n=0 cn z
p0 + p1 z + ... + pl z l
Pl (z)
=
Qm (z)
1 + q1 z + .... + qm z m
n
ist folgender-
(5.49)
Dabei werden die Polynome Pl und Qm so konstruiert, dass die Taylorentwicklung der Padé-Approximation bis zur Ordnung l + m in z mit der Reihe f (z)
57
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
übereinstimmt. D.h.
f (z) − [l/m]f (z) = O(z l+m+1 )
(5.50)
Die Padé-Approximation wird auch ohne die Kombination mit der Borel-Methode
benutzt. Vorteil der Anwendung zusammen mit der Borel-Methode ist eine
schnellere Konvergenz [27].
In der Regel verwendet man diagonale Padé-Approximationen l = m =: n. Die
Rücktransformation erfolgt dann mit der gewöhnlichen Borel-Integration und
definert den Wert der Reihe:
fn (z) :=
Z
∞
dt exp(−t)[n, n]f (zt)
(5.51)
0
Auf diese Weise erhält man unter Benutzung endlich vieler Koeffizienten eine
Folge von Approximationen für den Wert der Reihe.
Die Anwendung der Methode auf unseren Fall verlangt die Berechnung der
Padé-Approximation und eine Integration. Dies wird mit Mathematica durchgeführt. Numerisch gesehen ist das Verfahren wenig aufwendig da lediglich ein
lineares Gleichungssystem gelöst werden muss für die Bestimmung der Koeffizienten, sowie die Integration einer rationalen Funktion zu erfolgen hat.
5.7
Vergleich der beiden Darstellungen der
Selbstenergie in MA
Vergleichen wir das analytische Resultat der ersten Methode mit dem numerischen Ergebnis der Borel-Padé Analyse. Hierbei wird die Selbstenergie on-shell
ausgewertet. Es zeigt sich eine recht schnelle Konvergenz der mittels Borel-PadéAnalyse gewonnenen Approximationen aus 5.13 gegen das analytische Resultat
5.6.1.
58
5.8. Vergleich der freien Weglänge in MA mit Numerik
1
kls
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
V
Abbildung 5.4: Vergleich der Borel-Padé Analyse mit n = 3 (rot), n = 6
(orange) und n = 8 (grün) mit dem analytischen Resultat der Borel-Summation
(schwarz).
5.8
Vergleich der freien Weglänge in MA mit
Numerik
Anders als die Born’sche Näherung ist die MA nicht auf die Ordnung V 2 beschränkt, sondern enthält alle Ordnungen von V , so dass wir die komplexe
Dispersionsrelation nicht on-shell auszuwerten haben. Vielmehr können wir die
freie Weglänge ls aus der Lösung kω der impliziten komplexen Dispersionsrelation 4.40 gewinnen.
Die Lösung der impliziten Gleichung wird mittels der Mathematica Routine
findroot durchgeführt. Dabei ist es von Vorteil, die alternative Darstellung
4.59 des Realteils für die Selbstenergie ohne Hauptwertintegral zu benutzen.
Das entsprechende Integral ist dann numerisch besser zu behandeln, da es über
einen kompakten und unter der Annahme, dass der neue Wellenvektor nicht zu
sehr von dem im Vakuum abweicht, kleinen Bereich, auszuführen ist.
Eine vereinfachte Methode, welche ein analytisches Resultat liefert, ist die bereits mehrfach angwandte Methode, die Selbstenergie on-shell auszuwerten.
Dies entspricht der ersten Näherung bei iterativer Lösung der komplexen Dis59
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
persionsrelation entspricht. Dies soll als on-shell MA-Näherung bezeichnet werden.
Die folgenden Abbildungen zeigen die Resultate. Es ist jweils m = σ = 1.
Die Konsistenzbedingung 5.45 ist in allen Fällen erfüllt, so dass die MA anwendbar ist. Die auf diese Weise gewonnenen freien Weglängen zeigen bessere
Übereinstimmung mit der Numerik als die Born’sche Näherung. Mögliche Ursachen für die zu sehenden Abweichungen von den exakten numerischen Werten
werden im nächsten Abschnittt diskutiert.
1
kls
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V
Abbildung 5.5: kσ = 1:Vergleich der on-shell MA (grün) und der MA (blau)
mit der Numerik (schwarz). Zusätzlich ist die Born’sche Näherung (rot) gezeigt.
60
5.8. Vergleich der freien Weglänge in MA mit Numerik
1
kls
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.5
1
0.5
2.0
V
Abbildung 5.6: kσ = 2:Vergleich der on-shell MA (grün) und der MA (blau)
mit der Numerik (schwarz). Zusätzlich ist die Born’sche Näherung (rot) gezeigt.
1
kls
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
1
1.5
2
1.5
3
3.5
V
Abbildung 5.7: kσ = 1:Vergleich der on-shell MA (grün) und der MA (blau)
mit der Numerik (schwarz). Zusätzlich ist die Born’sche Näherung (rot) gezeigt.
61
Kapitel 5. MA als Verbesserung der Born’schen Näherung
5.9
Diskussion und Erweiterungsmöglichkeiten
Es wurde die MA-Methode auf die mittlere Greensfunktion in Gauß’schen Unordnungspotentialen übertragen. Dazu wurde eine von k abhängige, gemittelte Greensfunktion g0 eingeführt. Diese wurde so definiert, dass das erste Diagramm, d.h. die Born’sche Näherung exakt behandelt wird.
Es werden zwei Reihen für die Selbstenergie hergeleitet und mit unterschiedlichen Methoden aus der Theorie asymptotischer Reihen behandelt.
Beim Vergleich mit numerischen Daten zeigt sich eine Verbesserung gegenüber
der Born’schen Näherung.
Generell gibt die MA das Verhalten der freien Weglänge in Vergeleich zur
Born’schen Näherung besser wieder.
Die Ursache in den Abweichungen sind insbesondere in der als Ansatz gewählten
Ersetzungsregel zu suchen. Bei näherer Betrachtung wird klar, dass die im Rahmen dieser Arbeit gwählte Ersetzungsregel das in einem Diagramme der Ordnung n vorliegende Verhältnis zwischen den 2n − 1 freien Green’schen Funktion
und den n Korrelationsfunktionen falsch wiedergibt. In der hier betrachteten
Form wird jedoch jede freie Green’sche Funktion mittels einer Korrelationsfunktion gemittelt.
Das Anwenden der Borel- bzw. Borel-Padé-Methode um die in den Koeffizienten
an bzw. bn enthaltenen nichtstörungstheoretischen Informationen der asymptotischen Entwicklung zu extrahieren kann die Grundlage für Verbesserung der
vorgestellten Theorie bilden.
Es ist zu erwarten, dass durch Konstruktion einer besseren Approximation der
Diagramme die Aussagen verbessert werden können.
Dazu könnte es nötig sein, die Ersetzungsregel von der Ordnung des entsprechenden Diagramms abhängig zu machen. In diesem Fall müsste man zwar unter Unständen auf eine vollständig analytische Lösung mittels Borel-Summation
verzichten, es steht aber immer noch die Borel-Padé-Methode (mit den rekursiv
definierten Koeffizienten bn ) zur Verfügung. Denkbar wäre auch die Kombination mit numerischen Verfahren zur Bestimmung des Werts der Diagramme.
62
Kapitel 6
Realteil der Selbstenergie in
Born’scher Nährung
6.1
Effektive Dispersionsrelation und Gruppengeschwindigkeit
In den vorhergehenden Kapiteln wurde die Dämpfung einer ins Medium eindringenden ebenen Welle diskutiert. Neben dieser Dämpfung tritt auch eine Änderung der Wellenläge im Medium auf, ausgedrückt durch den Realteil
kR = Re kω der Lösung der komplexen Dispersionsrelation zu festgehaltener
Frequenz ω:
k2
(6.1)
ω = ω + Σ(kω , ω)
2m
Eine komplementäre Sichtweise besteht darin, einer Welle mit Wellenvektor k
im Medium eine (komplexe) Frequenz ωk = ωR (k) + iωI (k) zuzuordnen. Diese
k2
bestimmten ab.
weicht von der im Vakuum durch die Beziehung ω0 (k) = 2m
Sie ist gegeben durch Lösung der impliziten Gleichung
ωk −
k2
− Σ(k, ωk )
2m
(6.2)
welche das Analogon zu (6.1) darstellt, mit dem Unterschied, dass nun der Wellenvektor k fest vorgegeben ist. Ein zeitliches Abklingen dieser k-Mode gemäß
exp(−ωI t), d.h. mit der charakteristischen Lebensdauer τ = ω1 , wird in diesem
Bild durch den Imaginärteil ωI der Frequenz bedingt. Physikalisch bedeutet
das, dass die Eigenzustände des ungeordneten Systems nicht mehr durch ebene
Wellen gegeben sind. Im Laufe der Zeit verlieren ebene Wellen ihre Identität
durch Streuprozesse. Das zeitliche Abklingen soll uns im Folgenden nicht interessieren. Wir wollen uns auf die Änderung des Realteils, d.h. die neue Frequenz
63
Kapitel 6. Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
ωR (k) beschränken. Analog zu der im Vakuum gültigen Relation ω0 (k) kann
ωR (k) als effektive Dispersionsrelation im Medium gedeutet werden.
Das weitere Vorgehen ist analog zu der Definition der Quasiteilchendispersionsrelation in der Viel-Teilchen-Theorie der Fermi-Flüssigkeiten [17, 27] bzw. der
Kern-Materie [42]. Im Unterschied dazu beschreiben wir aber hier das mittlere
Verhalten eines ungeordneten Systems.
Die Ableitung der effektiven Dispersionsrelation ergibt die Gruppengeschwindigkeit.
Wir wollen uns bei den folgenden Rechnungen auf die Born’sche Näherung beschränken, um explizite analytische Resultate zu erhalten. Dabei ist jedoch stets
der eingeschränkte Gültigkeitsbereich der Born’schen Näherung zu beachten.
Im Rahmen der Born’schen Näherung gilt:
ωk =
k2
+ ΣBA (k, 0.5k 2 )
2m
(6.3)
Wobei wie bei der Behandlung der ω-Mode die Lösung der nullten Ordnung,
d.h. ωk0 = 0.5k 2 , in die Selbstenergie eingesetzt wurde, um die Genauigkeit V 2
zu garantieren.
Der Realteil dieser Gleichung ergibt die effektive Dispersionsrelation im Medium:
k2
+ ReΣ(k, 0.5k 2 )
(6.4)
ωR (k) =
2m
Eine aus der eben eingeführten Dispersionsrelation extrahierbare Größe ist die
Gruppengeschwindigkeit:
vg =
dωR (k)
k
=: ∗
dk
m (k)
(6.5)
Dabei wurde die effektive Masse [43] über
1 dωR (k)
1
:=
m∗ (k)
k k
(6.6)
definiert, mit welcher die Gruppengeschwindigkeit analog zum Vakuumfall vg0 (k) =
k
gemäß vg (k) = m∗k(k) bestimmt ist.
m
Diese Definition ist durch das Vorgehen bei der Fermi-Flüssigkeits-Theorie bzw.
der Kern-Materie motiviert. In diesem Kontext wird die Quasiteilchendispersionsrelation E(k) definiert über:
E(k) = E0 (k) + ReΣ(k, E(k))
(6.7)
Die Berechnung der effektiven Masse über m∗1(k) = dE(k)
ist dann bei Kenntnis
k dk
der Selbstenergie möglich. Zunächst folgt durch Einsetzen der Definition der
64
6.2. 2D, Gauß’sches Potential
Quasiteilchen-Dispersionsrelation:
k
m∗ (k)
d[E0 (k) + ReΣ(k, E(k))]
dk
dReΣ(k, ω) dk
dReΣ(k, ω) k
+
= +
m
dk
dk
dE(k)
ω=E(k)
ω=E(k)
k
dReΣ(k, ω) dReΣ(k, ω) k
= +
+
∗
m
dω
dk
m (k)
=
ω=E(k)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
ω=E(k)
Folglich erhält man:
1
=
∗
m (k)
1+
m dReΣ(k,ω) k
dk
ω=E(k)
1−
(6.11)
dReΣ(k,ω) dω
ω=E(k)
Den Zusammenhang mit unserer Darstellung sieht man folgendermaßen: Da
man bei der Born’schen Näherung nur bis zur Ordnung V 2 arbeitet, darf man
die Ableitungen on-shell auswerten und den Nenner entwickeln:
dReΣMA (k, ω) 1
1
1 dReΣBA (k, ω) +
(6.12)
≈
+
m∗ (k)
m k
dk
dω
ω=0.5k 2
ω=0.5k 2
2
k
d
2
+ ReΣBA + ReΣBA (k, 0.5k )
(6.13)
=
k dk 2m
In den folgenden Abschnitten soll diese effektive Masse bzw. die Korrektur
der Gruppengeschwindigkeit in Born’scher Näherung berechnet werden. Dazu
wollen wir sowohl das bereits untersuchte 2D Gauß’sche Unordnungpotential
als auch ein 1D Speckle-Potential untersuchen.
Es wird sich ein grundlegend verschiedenes Verhalten zeigen.
6.2
2D, Gauß’sches Potential
Aus Kapitel 4 ist der on-shell Wert der Relateils der Selbstenergie in Born’scher
Näherung für ein Gauß’sches
Zufallspotential in 2D mit der Korrelationsfunk 2
−r
2
tion P (r) = V exp 2σ2 bekannt (vgl. Gl. 4.59:
ReΣBA (k, 0.5k 2 ) = −σ 2 V 2 exp(−σ 2 k 2 )K0 (s2 k 2 )
(6.14)
65
Kapitel 6. Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
Die daraus folgende effektive Dispersionsrelation ist in Abb. 6.1 dargestellt. Die
Divergenz bei k → 0 liegt außerhalb des Gültigkeitsbereiches der Born’schen
Näherung und es ist zu erwarten, dass dieses Verhalten durch Diagramme
höherer Ordnung kompensiert wird.
ωR (k)
1
0.75
0.5
0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kσ
-0.25
-0.5
-0.75
-1
Abbildung 6.1: Effektive Dispersionsrelation in Born’scher Näherung. Die
negativen Werte liegen außerhalb des Gültigkeitsbereichs kσ ≫ 1 der Bornschen
Näherung. Es sind die sich ergebenden effektiven Dispersionsrelationen für V =
0.2, (grün), V = 0.4 (rot) V = 0.6 (blau) sowie der Fall freier Teilchen (schwarz)
dargestellt.
Aus Gl. 6.14 berechnet man die (inverse) effektive Masse:
1
m∗ (k)
dωR (k)
k dk
2
k
d
2
+ ReΣ(k, 0.5k )
=
k dk 2m
1
=
+ 2σ 4 V 2 exp(−σ 2 k 2 )[K0 (σ 2 k 2 ) + K1 (σ 2 k 2 )]
m
=
D.h. wir lesen ab:
m
= 1 + 2σ 4 V 2 exp(−σ 2 k 2 )[K0 (σ 2 k 2 ) + K1 (σ 2 k 2 )]
∗
m
66
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
6.2. 2D, Gauß’sches Potential
Dies ist in der nachfolgenden Abbildung für verschiedene Unordnungsstärken
zu sehen:
m
m∗ (k)
2
1.8
1.6
1.4
1.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
kσ
0.8
Abbildung 6.2: Effektive Masse für ein zweidimensionales Gauß’sches Unordungspotential gem. dem physikalischen Modells nach Kapitel 3 für V = 0.2
(grün), V = 0.4 (rot) und V = 0.6 (blau). Beachte wieder, dass für die gezeigten
Unordnungsstärken die Bornsche Näherung nur für kσ ≫ 1 gültig ist.
Die Gruppengeschwindigkeit im Medium ist gegenüber dem Vakuum erhöht.
Für große k, also hohe kinetische Energie, verschwindet der Einfluss des Potentials und m∗ (k) strebt gegen m. Der Gültigkeitsbereich der Born’schen Näherung
ist bei der Interpretation der Ergebnisse zu beachten.
Eine weiter Folgerung ist, dass diese Korrektur zur effektiven Masse im Fall eines
Delta-korrelierten Potentials (d.h. Gauß’sches weißes Rauschen, σ → 0, V →
∞, V = σV = const.) verschwindet.
Dies ist konsistent mit dem (unendlichen) konstanten Realteil der Selbstenergie
in Born’scher Näherung für Delta-Korrelierte Potentiale [21]. Die Änderung der
Gruppengeschwindigkeit (in niedrigster Ordnung V 2 ) ist also nur für endliche
Korrelationslängen zu erwarten.
67
Kapitel 6. Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
6.3
1D, Speckle-Potential
Wir wollen dieselbe Rechnung wie oben für ein eindimensionales Speckle-Potential
durchführen. Ein solches Potential ist besonders für Experimente mit BoseEinstein-Kondensaten gut zu realisieren [30, 31].
Die entsprechende Störungstheorie, welche wegen der vom Gauß’schen Fall verschiedenen Statistik von der in den vorigen Kapitlen vorgestellten abweicht, ist
in [12] entwickelt.
Die Speckle-Korrelationsfunktion ist gegeben durch [30]:
2
sin(x − x′ )kσ
′
2
P (x − x ) = V
(6.19)
(x − x′ )kσ
mit der Korrelationslänge σ und der Definition kσ := σ1 . Es wird sich zeigen,
dass auch hier eine Behandlung im Ortsraum und anschließende Fouriertransformation zum Ziel führen.
In einer Dimension ist die (retardierte) Greensfunktion von der Form 2.45:
√
−i
−i
exp(ik0 |x − x′ |) (6.20)
exp(i 2mω|x − x′ |) =:
k0
2mω
√
Wir haben hierbei k0 := 2mω definiert. Für die Selbstenergie niedrigster
Ordnung gilt:
G0 (x − x′ , ω) = √
Σ1D
BA (x, ω) = G0 (x, ω)PV (x)
Z ∞
1D
ΣBA (k, ω) =
dxe−ikx Σ1DBA (x, ω)
(6.21)
(6.22)
−∞
Σ1D
BA (k, ω)
2
−i
sin xkσ
2
=
dx exp(−ikx) exp(ik0 |x|)V
k0
xkσ
−∞
Z
∞
1
−iV 2
dx 2 cos kx(cos k0 x + i sin k0 |x|) sin2 xkσ
=
2
k0 kσ −∞ x
Z
−2iV 2 ∞
1
·
dx 2 cos kx(cos k0 x + i sin k0 x) sin2 xkσ
2
k0 kσ 0
x
Z
∞
Real- und Imaginärteil ergeben sich daraus zu:
Z
2V 2 ∞
1
1D
ImΣBA (k, ω) = −
dx
cos kx cos k0 x sin2 xkσ
2
2
k0 kσ 0
x
2 Z ∞
1
2V
dx 2 cos kx sin k0 x sin2 xkσ
ReΣ1D
BA (k, ω) =
2
k0 kσ 0
x
68
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27)
(6.28)
6.3. 1D, Speckle-Potential
Ziel ist nun die Berechnung des Realteils, wobei wir uns wieder auf den on-shell
Wert, d.h k0 =k, beschränken können:
2
ReΣ1D
BA (k, 0.5k )
2V 2
=
kkσ2
Z
∞
dx
0
1
cos kx sin kx sin2 xkσ
x2
(6.29)
Nach einer Umformung mittels der trigonometrischen Identität
sin kx cos kx =
erhält man:
ReΣ1D
MA
V2
= 2
kkσ
Z
0
∞
1
sin 2kx
2
1
sin(2kx)sin2 (kσ x)dx
2
x
(6.30)
(6.31)
Wegen der Symmetrie bzgl. k könne wir ohne Einschränkung k > 0 setzen.
Dann ist die Integration möglich: Dazu benötigen wird das Integral 3.763(3)
aus [41]:
Z
∞
0
sin ax sin bx sin cx
dx =
x2
1
1
(c + a + b) ln(c + a + b) − (c + a − b) ln(c + a − b)
4
4
1
− |c − a − b| ln |c − a − b|sgn(a + b − c)
4
1
+ |c − a + b| ln |c − a + b|sgn(a − b − c)
, (a ≥ b ≥ 0, c ≥ 0)
4
In unserem Fall für a = b wird daraus:
Z ∞
1
sin(cx) sin2 (ax)dx =
2
x
0
1
[(c + 2a) ln(c + 2a) + (c − 2a) ln |c − 2a| − 2c ln c]
4
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
(6.37)
so dass für den on-shell Realteil folgt:
2
ReΣ1D
BA (k, 0.5k ) =
V 2 σ2 (k + σ −1 ) ln(k + σ −1 ) + (k − σ −1 ) ln |k − σ −1 | − 2k ln k
2k
(6.38)
(6.39)
Die sich ergebende Dispersionsrelation ist in Abb. 6.3 dargestellt. Im Gegensatz
zum 2D Fall ist die Korrektur diesmal positiv.
69
Kapitel 6. Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
ωR (k)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
kσ
Abbildung 6.3: Effektive Dispersionsrelation für ein eindimensionales SpecklePotemtial für V = 0.2 (grün), V = 0.4 (rot) und V = 0.6 (blau). Zusätztlich ist
die freie Dispersionsrelation in Schwarz dargestellt. Es ist der Gültigkeitsbereich
der Born’schen Näherung für die dargestellten Unordnungsstärken, insbesondere kσ ≫ 1, zu beachten.
Für die effektive Masse folgt schließlich:
m
m dE(k)
=
m∗ (k)
k dk
kσ + 1 V 2σ4
=1−
ln 2(kσ)3 kσ − 1 Dies ist in nachfolgender Abbildung dargestellt:
70
(6.40)
(6.41)
6.3. 1D, Speckle-Potential
m
m∗ (k)
1.02
1.5
2
2.5
3
kσ
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
Abbildung 6.4: Effektive Masse für ein eindimensionales Speckle-Potemtial für
V = 0.2(grün), V = 0.4(rot) und V = 0.6(blau). Beachte den Gültigkeitsbereich
der Born’schen Näherung für die dargestellten Unordnungsstärken, insbesondere kσ ≫ 1.
In 1D ist die effektive Masse also größer als die ursprüngliche Masse, bzw. die
Gruppengeschwindigkeit im Medium ist gegenüber dem Vakuum reduziert.
71
Kapitel 6. Realteil der Selbstenergie in Born’scher Nährung
72
Kapitel 7
Stochastische Natur der
Observablen ungeordneter
Systeme
Bisher haben wir uns mit den Eigenschaften ungeordneter Systeme im Mittel
beschäftigt. Im folgenden Kapitel soll diskutiert werden, welche Konsequenzen
sich ergeben, wenn man die stochastische Natur eines ungeordneten Quantensystems ernst nimmt und die Observablen als Zufallsvariablen auffasst. Die
in diesem Kapitel vorgestellten Methoden sollen nicht im Detail beschrieben
werden, es sei hierfür jeweils auf die angegebene Literatur verwiesen. Ziel ist
vielmehr zu zeigen, mit welchen weiteren Methoden ungeordnete Quantensysteme behandelt werden können.
Zuerst wollen wir das Anderson-Modell einführen und einige bekannte Resultate zusammenfassen.
Dann werden wir uns den wichtigen Begriffen der Ergodizität und der Selbstmittelung bei ungeordneten Systemen zuwenden.
Am Beispiel der lokalen Zustandsdichte beim Anderson-Modell lernen wir eine Größe kennen, deren mittleres Verhalten vom wahrscheinlichsten abweicht.
Genauer werden wir sehen, dass die lokale Zustandsdichte durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird, welche - abhängig von der Stärke
der Unordnung - nicht gut durch ihren Mittelwert gekennzeichnet wird.
In diesem Kontext wird die geometrisch gemittelte lokale Zustandsdichte als
(nicht ausgezeichneter) Schätzer für den wahrscheinlichsten Wert der (lokalen)
Zustandsdichte vorgestellt. Numerische Verfahren, welche auf diesem und erweiterten Konzepten beruhen, werden kurz dargestellt.
Eine Möglichkeit, die geometrisch gemittelte lokale Zustandsdichte störungstheoretisch zu berechnen, wird untersucht. Dabei zeigt sich, dass die Berechnung dieser Größe (unter Verwendung der Replika-Theorie) genauso aufwendig
73
Kapitel 7. Stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme
ist wie die Behandlung der gesamten Verteilung selbst. Prinzipiell ist die Berechnung zwar möglich, praktisch aber schwer durchzuführen.
Für jedes Moment der lokalen Zustandsdichte ist eine andere Feldtheorie nötig,
je höher die Momente desto komplizierter die Theorie (vgl. [44]).
7.1
Anderson-Modell
Die wohl bekannteste Folge der Unordnung ist die Lokalisierung der Wellenfunktionen (Anderson-Lokalisierung) und der damit verbundene Metall-Isolator
Übergang, Anderson-Übergang genannt. In diesem und den nächsten Abschnitten wird mit dem von Anderson eingeführten Hamiltonian [23, 1] gearbeitet:
Ĥ =
X
i
εi c+ ic − t
X
c†i cj
(7.1)
<i,j>
Wir betrachten also tight-binding Elektronen auf einem Gitter mit diagonaler
Unordnung. Die Operatoren c† bzw. c erzeugen bzw. vernichten ein Elektron
am Gitterplatz ri . Zur vollständigen Beschreibung des Modells muss noch die
Verteilungsfunktion der {εi} angegeben werden. Diese werden z.B. als auf dem
Intervall [−W/2, W/2] gleichverteilt angenommen.
Der Hamiltonian beschreibt also eine ganze Materialklasse, wohingegen eine
einzelne vorliegende Probe immer einer konkreten Realisierung entspricht (“No
real atom is an average atom, nor is an experiment ever done on an ensemble
of samples.”’ [23]). Nähere Untersuchung dieser Beobachtung führt auf die im
nächsten Abschnitt erläuterten Begriffe der Ergodizität und der selbstmittelnden Größen.
Zunächst sollen jedoch die bekannten Resultate für das Anderson Modell zusammengefasst werden.
In [1] zeigt Anderson durch die locator expansion, dass bei einer kritischen
Unordnungstärke die Elektronen lokalisiert sind und somit ein Isolator vorliegt.
Bereits hier tritt die stochastische Behandlung zutage, es werden Aussagen über
die Terme der Störungstheorie bzgl. der Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht.
Es ergibt sich das Bild der Mobilitätskante vgl. Abb. 7.1 (für Dimensionen
D > 2, unterhalb tritt immer Lokalisierung auf). D.h. je nach Lage der Fermikante ist ein Metall oder ein Isolator vorhanden.
74
7.2. Ergodizität und Selbstmittelung
Abbildung 7.1: Zustandsdichte des Andersonmodells für verschiedene Unordnungsstärken (aus [3]). Bei den schraffierten Energien liegen lokalisierte
Zustände vor. Daraus folgt das Bild der Mobilitätskante. Bei der kritischen
Unordnungsstärke sind alle Zustände lokalisiert.
Weiter Ansätzte zum Problem der Anderson-Lokalisierung umfassen z.B. [28]:
• Skalierungstheorie
• selbstkonsistente Theorie
• numerische Methoden
Auf diese soll im Rahmen dieser Arbeit nicht einzeln näher eingegangen werden.
Einen Überblick liefert z.B. [45].
Die Frage nach einem Ordnungparameter ist noch nicht geklärt. Es gibt Ansätze,
die davon ausgehen, dass diese Rolle von einer sog. Ordnungparameterfunktion, welche mit der später zu betrachtenden lokalen Zustanddichte verwandt ist,
übernommen wird (vgl. [46]).
7.2
Ergodizität und Selbstmittelung
Jeder Hamiltonian, welcher ein Zufallspotential enthält, beschreibt effektiv eine ganze Klasse von Systemen. Für ein Experimente liegt jedoch in der Regel
ein einzelnes Exemplar vor. Man definert Observablen als selbstmittlend, wenn
ihr Wert in einer spezielle Realisierung der Unordnung durch ihren Mittelwert
75
Kapitel 7. Stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme
bezüglich der Unordungskonfigurationen beschrieben werden kann [47]. Dies ist
analog zur Darstellung von Observablen durch ihren Mittelwert in der statistischen Physik.
Dies wirft die Frage auf, inwiefern ein einzelnes System typisch für die ganze
Klasse ist. Für unendliche Systeme liefert das Ergodizitätstheorem [47] (geeignete Voraussetzungen an das Potential vorausgesetzt) eine Antwort.
Dessen Aussage ist, dass alle Realisierungen eines System,s welches diese Bedungungen erfülllt, typisch sind und lediglich durch eine Translation auseinander
hervorgehen. Daraus resultiert die Äquivalenz von Orts- und Ensemblemittel.
Diese räumliche Ergodizität ähnelt der zeitlichen Ergodizität in der statistischen Physik.
Als Folge daraus nehmen spezifische (d.h. auf ein Einheitsvolumen normierte),
extensive Größen in jeder konkreten Realisierung mit Wahrscheinlichkeit eins
einen nicht zufälligen Wert an, d.h. sind selbstmittelnd. Ein Beispiel ist die Zustandsdichte (pro Einheitsvolumen), da sie eine extensive Größe ist.
Es gibt jedoch auch Größen, welche nicht selbstmittelnd sind. Da diese nicht
durch ihren Ensemblemittelwert charakterisiert werden können, muss für solche die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachtet werden, um Aussagen
über ihr Verhalten in einer konkreten Realisierung der Unordung zu machen.
Alternativ kann auch der - per Definition vom Mittelwert abweichende - wahrscheinlichste Wert, d.h. das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung, betrachtet werden.
Mit der lokalen Zustandsdichte im Anderson-Modell werden wir im folgenden
Abschnitt eine solche nicht selbstmittelnde Größe kennen lernen.
7.3
Verhalten der lokalen Zustanddichte
Gegenstand diese Abschnittes soll die lokale Zustandsdichte
1
1
G(ri , ri , ω + iη) = − GR (ri , ri , ω)
η→∞ π
π
ρ(ri , ω) = − lim
(7.2)
sein. Sie entspricht der Anzahl der Zustände mit der Energie ω am Gitterplatz
ri . Bei einem homogenen System ist sie mit der Zustandsdichte pro Gitterplatz
identisch und hängt nicht vom betrachteten Ort ri ab. Im ungeordneten System
ist sie ortsabhängig. Betrachten wir das Resultat einer numerischen Diagonalisierung [48] (Abb. 7.2):
76
7.3. Verhalten der lokalen Zustanddichte
Abbildung 7.2: Lokale Zustandsdichte in der metallischen (links) und der
lokalisierten Phase (rechts). Im Gegensatz zum Metall ist sie im Isolator auf
endliche, getrennte Regionen konzentriert. (Aus [48]. Siehe dort auch für weitere
Diskussion.)
Abbildung 7.3: Verteilungsfunktion der lokalen Zustandsdichte in der metallischen (links) und der isolierten Phase (rechts). ρ(ω) kennzeichnet die Zustandsdichte. Im metallischen Fall ist die Verteilungsfunktion maximal bei ρ(ω). Im
anderen Fall hingegen ist die Verteilung breit und asymetrisch, sie wird nicht
gut durch ρ(ω) gekennzeichnet. (Aus [48])
Es lässt sich deutlich ein Unterschied in den beiden Regimes der lokalisierten
und der propagierenden Eigenfunktionen feststellen. Es stellt sich die Frage, ob
sich dies zur Identifikation der beiden Phasen heranziehen lässt.
Betrachten wir dazu die Verteilungsfunktion (Abb. 7.3). In der numerischen Untersuchung wird die Verteilung P [ρ({r}, ω, Vi)] der lokalen Zustanddichte bzgl.
77
Kapitel 7. Stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme
der Gitterplätze {r} einer Realisierung Vi bestimmt. Dies ist nicht von der
entsprechend untersuchten Realisation abhängig. Analytisch besser zugänglich
ist die entsprechende Verteilungsfunktion P [ρ(ri , ω, {V }] bei festem Ort ri bzgl.
der Unordungskonfigurationen {V }. Diese hängt dann nicht mehr vom betrachteten Ort ri ab. Grundlage dieser Gleichheit ist wieder die bereits behandelte
Ergodizität.
Die Charakteristik der Verteilungsfunktion ist je nach vorliegender Phase, d.h.
entweder einem Metall mit ausgedehnten Eigenzuständen oder einem Isolator
mit lokalisierten Eigenfunktionen, verschieden. Insbesondere sieht man, dass
der Mittelwert im Fall der lokalisierten Phase vom wahrscheinlichsten Wert
abweicht. Die lokale Zustandsdichte ist somit eine nicht selbstmittelnde Größe.
7.4
Numerische Verfahren für ungeordnete Systeme
Das im vorigen Abschnitt gezeigte Verhalten der lokalen Zustandsdichte motiviert verschiedene numerische Zugänge zu ungeordneten Systemen. In diesem
Rahmen beschränkt man sich nicht auf wechselwirkungsfreie Systeme, sondern
behandelt die evtl. vorhandenen Wechselwirkungen z.B. im Rahmen der DMFT
(dynamic mean-field theory) [49] . D.h. die Wechselwirkung wird in einer meanfield Näherung berücksichtigt. Aufgrund des lokalen Charakters der DMFT ist
es möglich, das Verhalten der lokalen Zustandsdichte in diese Theorie aufzunehmen.
Dabei wird der nicht selbstmittelnde Charakter der lokalen Zustandsdichte auf
zwei verschiedene Weisen behandelt. Im Rahmen der TMT (typical medium
theory) [50, 51] wird mit einem Schätzer für den wahrscheinlichsten Wert der
Zustanddichte gearbeitet. Dies entspricht einer mean-field Behandlung der Unordnung [52]. Bei der sog. statistischen DMFT [52] bzw. dem Ansatz in [53, 48]
wird hingegen mit der gesamten Verteilungfunktion gearbeitet, die Unordnung
somit exakt behandelt.
Mit diesen Methoden sind verschiedene ungeordnete Systeme wie etwa das
Anderson-Modell und das Legierung-Modell [53] oder auch der Anderson-MottHubbard Metall-Isolator Übergang im Rahmen des Falicov-Kimball-Modells mit
lokaler Unordnung [52] untersucht worden.
78
7.5. Versuch der störungstheoretischen Behandlung
Wenden wir uns noch dem in der TMT benutzten Schätzer für den wahrscheinlichsten Wert der Zustandsdichte zu. Dieser wird in der Form der geometrisch
(über den Ort) gemittelten lokalen Zustandsdichte
ρg (ω) :=
"N
Y
i=1
ρ(ri , ω)
# N1
(7.3)
angenommen und als typische Zustandsdichte bezeichnet. Ein Verschwinden
dieser Größe bei einer Energie ω wird als Zeichen der Lokalisierung gewertet.
Eine kritische Diskussion hierzu findet sich in [51]. Eine weitere Motivation
dieser Größe wird in [48] gegeben. Hier wird insbesondere gezeigt, dass diese
keinesfalls als Zustandsdichte der delokalisierten Zustände interpretiert werden
darf.
Das geometrische Mittel ist ein Spezialfall des Hölder-Mittels:
!q
N
1X q
Mq (x) =
x
.
(7.4)
n i=1 i
Für q → 0 liefert es das geometrische Mittel und für q = 1 das arithmetische
Mittel. In [54] wurde für das Falicov-Kimball-Modell mit Unordnung gezeigt,
dass die Wahl des geometrischen Mittels (q → 0) nicht ausgezeichnet ist, sondern für die Werte q ∈ [0, 12 [ die Anderson-Lokalisierung wiedergegeben werden
konnte.
7.5
Versuch der störungstheoretischen Behandlung
Wegen der Beziehung
ρg (ω) =
"N
Y
i=1
ρ(ri , ω)
# N1
#
N
1 X
= exp
ln ρ(ri , ω) = exp ln ρ(ri , ω)
N i=1
"
(7.5)
folgt, dass die Berechnung der geometrisch gemittelten lokalen Zustandsichte
äquivalent durch das arithmetische Mittel des Logarithmus erfolgen kann. Aus
Ergodizitätsgründen kann das Ortsmittel durch ein Konfigurationsmittel ersetzt
werden. Eine Möglichkeit der weiteren Behandlung legt die aus der Theorie der
Spin-Gläser [55] bekannte Replika Methode nahe. Grundlage bildet die Relation
Zn − 1
.
n→0
n
ln Z = lim
(7.6)
79
Kapitel 7. Stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme
Diese erlaubt, die Berechnung des Mittelwerts des Logarithmus auf die Bestimmung der Momente zu reduzieren. Ist eine geschlossene Form für die Momente
bekannt, so ist es möglich, durch den Limes n → 0 die gewünschte Größe zu
erhalten. Aus der Replika-Theorie lässt sich nur ein Gewinn ziehen, wenn für
beliebige n die Lösung gefunden werden kann.
Übertragen auf das Unordnungsproblem bedeutet dies, dass die Momente der
lokalen Zustandsdichte (bzgl. der Unordungskonfigurationen)
i
[GR (ri , ri , ω) − GA (ri , ri , ω)]n
2π
n
i X n R
=
[G (ri , ri , ω)]n−k [GA (ri , ri , ω)]k
i
2π
ρ(ri , ω)n =
(7.7)
(7.8)
k=1
zu bestimmen sind.
Praktisch ist die Berechung schwierig durchzuführen, man erinnere sich nur an
die Probleme, welche schon mit der Berechung des ersten Moments (d.h. effektiv der Greenschen Funktion) verbunden sind. Die im zweiten Moment auftauchenden Größen der Form GR GA sind auch bei der Behandlung der Diffusion
relevant [5].
Eine allgemeine Darstellung der Momente für beleibige n ist also nicht einfach
zu erzielen, die Berechung wird für jedes feste n separat durchgeführt werden
müssen. Sind die Momente für alle n aber bekannt, so ist eine Berechung der gesamten Verteilungsfunktion möglich und die Anwendung der Replika-Methode
stellt keine Vereinfachung dar.
80
Kapitel 8
Zusammenfassung
Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit bestand in der Übertragung der MANäherung [13, 14] aus der Polaron-Theorie auf die Propagation von Materiewellen in Gauß’schen Unordnungspotentialen. Insbesondere sollten über die Bornsche Näherung hinausgehenden Aussagen für starke Unordnungspotentiale getroffen werden.
Dazu wurde in den ersten Kapiteln die Technik der Greenschen Funktionen eingeführt und das physikalische Modell in dieser Sprache formuliert. Ausgangspunkt hierfür war die in [7] eingeführte physikalische Situation.
Anschließend wurde gezeigt, wie eine Störungstheorie für die unordnungsgemittelte Greensche Funktion entwickelt werden kann. In diesem Rahmen wurde die
wichtige Größe der Selbstenergie eingeführt. Diese wurde in niedrigster Ordnung
(d.h. in Bornscher Näherung) berechnet. Für die spätere Anwendung wurde eine alternative Berechnungsweise im Ortsraum - ohne die bei der Behandlung
im Fourierraum auftretenden Hauptwertintegrale - vorgestellt. Auf diese Weise
gelang es unter Anderem den on-shell Wert der Selbstenergie in geschlossener
Form anzugeben. Der beschränkte Gültigkeitsbereich der niedrigsten Ordnung
Störungstheorie wurde durch analytische Abschätzungen in Analogie zu [12]
und durch Vergleich der aus der Selbstenergie extrahierten freien Weglänge mit
numerischen Daten aufgezeigt.
Um über die niedrigste Ordnung hinaus zu gehen wurde basierend die Möglichkeit
untersucht, die MA auf das vorliegende Problem zu übertragen. Die Grundidee
der MA ist, eine Näherung für jedes einzelne Diagramm der Störungsreihe der
Selbstenergie einzuführen und somit die gesamte Reihe behandeln zu können.
Dazu wurde die mittels der normierten Korrelationsfunktion gemittelte Greensfunktion g eingeführt. Als wichtige Annahme wird vorausgesetzt, dass die Potentialkorrelationsfunktion auf einer Längenskala σ abklingt. Dies schließt z.B.
potenzartige Korrelationsfunktionen aus. Die genaue Form der Korrelationsfunktion und die Dimension des Problems sind prinzipiell nicht auf die unter81
Kapitel 8. Zusammenfassung
suchte Gaußförmige Korrelationsfunktion und zwei Dimensionen beschränkt.
Mit Hilfe der Ersetzung der freien Greenschen Funktion G0 durch g0 wird die
funktionale Abhängigkeit der Selbstenergie von G0 in eine Potenzreihe in g0
überführt. Es werden zwei Darstellungen der Selbstenergie gewonnen: Die Reihe für die Selbstenergie direkt, mit dem Problem der nur rekursiv bekannten
Koeffizienten, und die alternative Darstellung mit Hilfe der T-Matrix.
Eine kombinatorische Analyse der Diagramme mittels formaler Potenzreihen
wurde durchgeführt. Es wurde eine Rekursionsformel für die Anzahl der irreduziblen Diagramme hergeleitet.
Aufgrund der wachsenden Koeffizienten sind die zu untersuchenden Reihen für
die Selbstenergie divergent, sie stellen asymptotische Entwicklungen dar.
Die beiden Reihen werden mit Hilfe der Borel-Summation und der Borel-PadéMethode analysiert und ihre Äquivalenz numerisch gezeigt.
Das zentrale Ergebnis der MA-Näherung ist ein analytisches Resultat für die
Selbstenergie. Deutlich tritt die Nichtanalytizität des Ergebnisses in der Potentialstärke zutage.
Es wurde die MA mit numerischen Daten verglichen und ihre Stärke im Bereich
ihrer Gültigkeit demonstriert. Es zeigte sich, dass durch Beachten der asysmptotischen Natur der Störungreihe vebesserte Aussagen getroffen werden können.
In einem weiteren Kapitel wurde der Realteil der Bornschen Näherung untersucht. Aus der effektiven Dispersionsrelation wurde die Gruppengeschwindigkeit bestimmt. Hierbei wurde neben dem bisher betrachteten zweidimensionalen
Gauß’schen Potenital auch ein eindimensionales Speckle-Potential untersuvht.
Es ergab sich, dass im ersten Fall die Gruppengeschwindigeit gegenüber dem
Vakuum erhöht, im zweiten Fall verringert wird.
In einem abschließenden Kapitel wurde auf die stochastische Natur der Observablen ungeordneter Systeme eingegangen. An Beispiel des Anderson-Modells
wurden die Begriffe der Ergodizität und der Selbstmittelung eingeführt. Mit
der lokalen Zustandsdichte wurde eine nicht selbstmittelnde Größe vorgestellt,
deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Unterscheidung der lokalisierten von
der metallischen Phase ermöglicht. Es wurden auf diesen Ideen aufbauende numerische Verfahren vorgestellt und ein Versuch unternommen die geometrisch
gemittelte Zustandsdichte - als Schätzer für den wahrscheinlichsten Wert der
lokalen Zustandsdichte - störungstheoretisch zu Behandeln. Dies stellte sich als
prinzipiell möglich, praktisch aber schwer durchführbar heraus.
82
Anhang A
A.1
Konventionen
Es werden Einheiten mit ~=1 verwendet.
Bzgl. Fouriertransformation verwende wir folgende Konvention:
f (k) =
f (r) =
f (ω) =
f (t) =
A.2
Z
Z
Z
Z
dr exp(−ikr)f (r)
(A.1)
dk
exp(ikr)f (k)
(2π)d
(A.2)
dt exp(iωt)f (t)
(A.3)
dω
exp(−iωt)f (ω)
2π
(A.4)
Fouriertransformation rotationsymetrischer
Funktionen
Für Rotationssymetrische Funktionen berechnet sich die Fourierransformation
bzw. die Umkehrung in 2D nach Durchführung der Winkelintegration (Fourier
Bessel Transformation)
83
Anhang A.
f (k) =
Z
dr exp(−ikr)
Z 2π
Z ∞
=
dϕ
dr r exp(−ikr cos ϕ)f (r)
0
0
Z ∞
= 2π
dr rf (r)J0(kr)
(A.5)
(A.6)
(A.7)
0
dk
exp(ikr)
(2π)2
Z ∞
1
dk kf (k)J0 (kr)
=
2π 0
f (r) =
84
Z
(A.8)
(A.9)
(A.10)
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90
Erklärung
Ich erkläre hiermit, diese Arbeit eigenständig und nur unter Benutzung der angegebenen Hilfsmittel und Quellen verfasst zu haben.
Bayreuth, den 18. Dezember 2008
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