2.1. Genauigkeit beim Rechnen mit Messwerten (1.11.) 2.2

Theorie Mathematik
2.1.
Genauigkeit beim Rechnen mit Messwerten (1.11.)
Seite 11
Beim Rechnen mit Mess- oder Näherungswerten geben wir dem Ergebnis die
gleiche Genauigkeit, die das ungenauste Berechnungsglied hat.
1,2 m · 3,257 m = 3.9084 m2
Ein solches Resultat kann nicht sinnvoll sein!!
Wenn wir festlegen, dass das Resultat nicht genauer sein darf als der schlechteste (ungenauste)
Messwert (1,2 m ist auf Dezimeter genau gerundet!), kann das Resultat nur 3,9 m2 sein.
Beispiele
2.2.
2,5 m + 5,35 m + 23,678 m =
31.528 m
≈
31.5 m
5.2 m · 2,56 m · 18 m =
239.616 m3
≈
240 m3
144,7 m2 : 13 m =
11.130769231…m
≈
11 m
Variablen in Termen (1.2.)
Seite 13
Variablen vereinfachen die Darstellung von komplizierten Berechnungen. Für die Berechnung muss
aber die Bedeutung der Variablen genau definiert sein.
Beispiel
4a + 5a + 6b + 3a + 4b = 12a + 10b
Bedeutung der Variablen: a ==> Apfel
b ==> Birne
4 Äpfel + 5 Äpfel + 6 Birnen + 3 Äpfel + 4 Birnen = 12 Äpfel + 10 Birnen
Aus diesem Beispiel geht klar hervor, dass nur gleiche Sorten addiert werden können!
4a + 5a + 3a = 12a (12 Äpfel)
Die Addition 4a + 6b = 10ab hat keine sinnvolle Bedeutung (es gibt keine ApfelBirnen)!! Darum ist das Resultat 10ab falsch!
Vereinbarung über verkürzte
Schreibweise:
5
1
3
2
·
·
·
·
a
b
5 · c
6 · d · e
-2/a-
=
=
=
=
5a
b
15c
12de
Theorie Mathematik
2.3.
Rechnen mit Potenzen
(1.24.)
Seite 23
Multiplikation
100 · 10‘000
=
102 · 104
=
4 · 16
=
2 2 · 24
=
a·a · a·a·a
=
a2 · a3
=
102 + 4
22 + 4
a2 + 3
=
1‘000‘000
=
106
=
64
=
26
=
a·a·a·a·a
=
a5
=
1‘000
=
103
=
a·a
=
a2
Division
100‘000 : 100
=
105
=
: 102
a·a·a·a : a·a
=
a4
=
: a2
105 - 2
a4 - 2
Addition / Subtraktion
(1)
2a2 + 3a2 + 4b2 + 5a2 + 3b2 = 10a2 + 7b2
Zwei Quadrate mit Seitenlänge a werden zu drei Quadraten mit Seitenlänge a addiert, …
==> a2 bedeutet z.B. ein Quadrat
(2)
3a2 + 7a3 + 5a + 12a2 + 6a3 + 9a = 15a2 + 13a3 + 14a
==> a bedeutet z.B. eine Strecke, a2 ein Quadrat, a3 ein Würfel
Es können nur gleichartige Potenzen addiert bzw. subtrahiert werden!
Definition
0,00001 =
1
1
=
100′ 000
105
-2/b-
= 10−5
Theorie Mathematik
2.4.
Bezeichnungen im Zusammenhang mit Mengen
Seite 28
aufzählend
M1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Alle Elemente werden aufgezählt!
beschreibend
M2 = {x / x > 10}
Für alle x gilt:
x ist grösser als 10
M3 = {y / 7 < y < 10}
Für alle y gilt:
y ist grösser als 7 und y ist kleiner als 10
endliche Menge
M4 = { 1 , 2 , 3 }
Die Menge enthält eine abzählbare Anzahl Elemente.
unendliche Menge
M5 = { 1 , 2 , 3 , … }
Die Menge enthält unendlich viele Elemente.
besondere Menge
M6 = { }
Leere Menge (Die Menge enthält kein Element).
Elemente
M7 = { 1 , 2 , 3 }
2 ∈ M7 →
6 ∉ M7 →
2 ist Element von M7 .
6 ist nicht Element von M7 .
Grundmenge (G)
Um eindeutig entscheiden zu können, welche Zahlen zu einer Menge M gehören, muss man auch wissen, aus welchem Zahlenbereich überhaupt ausgewählt werden kann. Diesen Auswählbereich
nennen wir die Grundmenge G.
Beispiel
M8 = { x / x < 5 }
G =N
G = N0
-2/c-
→
→
{1 , 2 ,
3 , 4}
{0 , 1 , 2 ,
3 , 4}
Theorie Mathematik
2.5.
Teilermenge / Vielfachmenge
(2.4.)
Seite 30
Eine Zahl a ist dann Teiler einer Zahl b, wenn die Division b : a eine ganze Zahl ergibt (kein Rest).
Beispiel
12 : 3 = 4
3 ist ein Teiler von 12
Die Teilermenge einer Zahl x ist die Menge aller Zahlen, welche Teiler der Zahl x
sind.
Beispiel
T12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
Alle diese Zahlen (Elemente) sind Teiler von 12.
Die Menge aller Zahlen, welche ein Vielfaches einer Zahl sind, ist die Vielfachmenge.
Beispiel
V 5 = { 5, 10, 15, 20, … }
2.6.
Schnittmengen
Alle diese Zahlen sind Vielfache von 5.
(2.4.)
Seite 31
Die Menge der gemeinsamen Elemente von Mengen bildet deren Schnittmenge.
Beispiel
M1 =
M2 =
M1
M1
∩
M2
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
{2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14}
=
{2 , 4 , 6}
M2
8
1
5
3
2
4
6
-2/d-
14
10
12
Theorie Mathematik
2.7.
Grösster gemeinsamer Teiler (ggT)
(2.6.)
Seite 34
Der ggT ist das grösste Element aus der Schnittmenge zweier Teilermengen.
Beispiel
T12
T15
1
4
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
{1, 3, 5, 15}
12
1
3
2
T12
=
=
6
ggT =
15
5
3
T15
Der ggT zweier oder mehrerer Zahlen ergibt sich als Produkt der gemeinsamen
Primfaktoren.
Beispiel
2.8.
24
36
=
=
2 ·
2 ·
2 ·
2 ·
ggT
=
2 ·
2 ·
2 ·
3
3 ·
3
3
= 12
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) (2.6.)
Das kgV ist das kleinste Element aus der Schnittmenge der Vielfachmengen zweier
Zahlen.
Beispiel
V 20
V 30
=
=
{20, 40, 60, 80, …}
{30, 60, 90, 120, …}
kgV
=
60
Das kgV zweier oder mehrerer Zahlen ergibt sich als Produkt der höchsten Primzahlpotenzen.
Beispiel
20
36
=
=
22 ·
22 ·
32
kgV
=
22 ·
32 ·
5
5 = 180
Das Produkt aus dem ggT und dem kgV zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der
Zahlen selbst.
Beispiel
20
36
ggT
kgV
ggT · kgV
20 · 36
=
=
22 ·
22 ·
=
=
=
=
22
22 · 32 ·
4 · 180
5
32
-2/e-
=
5 =
=
=
4
180
720
720
Seite 34
Theorie Mathematik
2.9.
Punktmengen
(2.4.)
Seite 41
Objekte wie Linien und Flächen sind Punktmengen. Die Schreibweise aus der Algebra kann übernommen werden.
B
x
h
k1
g
P2
x I
x A
Q2
P1
Q1
S
k2
A
=
Punkt ausserhalb des Kreises
I
=
Punkt innerhalb des Kreises
B ∈k 1
=
B liegt auf der Kreislinie
g∩h
=
S ist der Schnittpunkt beider Geraden
g ∩ k1
=
P1 und P2 sind die Schnittpunkte zwischen g und k1
k1 ∩ k 2
=
Q 1 und Q2 sind die Schnittpunkte zwischen k2 und k1
h ∩ k1
=
{ } (keine gemeinsamen Punkte)
g ∩ k2
=
{ } (keine gemeinsamen Punkte)
-2/f-
Theorie Mathematik
2.10. Darstellung von Punktmengen, Begriffe
(2.9.)
X
Seite 43
X
M
M
MP < 1 cm
MP > 1 cm
(weniger als, kleiner als)
(mehr als, grösser als)
X
X
M
M
MP ≥ 1 cm
MP ≤ 1 cm
(höchstens, weniger oder genau)
(mindestens, mehr oder genau)
X
M
MP = 1 cm
(genau, gleich)
X
X
M1
X
X
M2
M1
M2
Kreisfläche 1 I Kreisfläche 2
Kreisfläche 1 U Kreisfläche 2
(und, sowohl … als auch)
(oder)
X
X
M1
X
X
M2
M1
M1P = 1 cm I M 2P = 1 cm
M2
M1P > 1 cm I M2P = 1 cm
gehört zur Lösungsmenge
gehört nicht zur Lösungsmenge
-2/g-
Theorie Mathematik
2.11. Winkel
Seite 45
Durch Drehung der Halbgeraden g in ihrem Anfangspunkt S bis zur Halbgeraden h, wird ein Gebiet überstrichen (Winkelfeld), das wir Winkel zwischen g
und h nennen.
h
S
g
g, h
Schenkel
S
Scheitel
g → h
positive Drehrichtung
Winkelbezeichnungen
α, β, χ, …
Winkelweite
griech. Buchstaben
Nullwinkel
= 0°
spitzer Winkel
= 0° < α < 90°
h
rechter Winkel
= 90°
g
stumpfer Winkel
= 90° < α < 180°
gestreckter Winkel
= 180°
überstumpfer Wi.
= 180° < α < 360°
Vollwinkel
= 360°
g
gh
hg
→
→
h
R
PQR
→
Q
P
-2/h-
Theorie Mathematik
2.12. Kreis – Segment und Sektor
M
(1.19.)
Seite 51
X
Kreisausschnitt
oder Kreissektor
M
Kreisabschnitt
oder Kreissegment
X
2.13. Achsenspiegelung
Seite 57
Bei der Spiegelung eines Punktes P an einer Geraden g wird P ein Punkt P‘
zugeordnet, so dass PP‘ senkrecht zu g ist.
Die Strecke PP′ wird durch die Gerade g im Schnittpunkt S halbiert.
P
S
g
P'
PP′ ⊥ g
| PS | = | P′ S |
-2/i-
Theorie Mathematik
2.14. Achsenspiegelung – Umlaufsinn der Figuren, Kongruenz Seite 58
Wird eine Figur an einer Achse gespiegelt, so bleibt ihre Form erhalten. Sie ist
kongruent (deckungsgleich).
∆ ABC ist kongruent zu ∆ A‘B‘C‘
Der Umlaufsinn der Figur ist nach der Spiegelung gedreht.
ABC
→ A‘C‘B‘
C
B
A
g
B'
A'
C'
2.15. Achsensymmetrie
(2.14.)
Seite 60
Figuren, welche duch eine Spiegelung auf sich selbst abgebildet werden, sind
symmetrische Figuren. Man nennt sie auch achsensymmetrisch oder spiegelsymmetrisch.
-2/j-
Theorie Mathematik
2.16. Mittelsenkrechte
Seite 62
Die Mittelsenkrechte ist für die Strecke AB die Gerade, welche rechtwinklig zu
dieser Strecke steht und durch ihren Mittelpunkt geht.
Die Mittelsenkrechte ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von A und B
den gleichen Abstand haben.
LW:
1. O (A,r) → k1
P2
2. O (B,r) → k 2
3. k1 I k 2 → P1, P2
4. P1P2 = Mittelsenkrechte von AB
B
P1P2 halbiert AB
P1P2 ⊥ AB
A
P1A = P1B
P2A = P2B
P1
u s w.
k2
k1
2.17. Winkelhalbierende
(2.11.)
Seite 65
Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, welche ein Winkelfeld in zwei kongruente (gleich grosse) Winkelfelder teilt.
Die Winkelhalbierende ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von den
beiden Schenkeln den gleichen Abstand haben.
LW:
1. O (S, r1) I g, h → A , B, A ′, B ′
P
2. O (A, r2 ) I O (B, r2) → P
3. PS = w = Winkelhalbierende
g
B
w ist Mittelsenkrechte von AB
w ist Symmetrieachse
w halbiert ∠ h,g
A
S
A'
B'
h
-2/k-
Theorie Mathematik
2.18. Senkrechte und Lot konstruieren
(2.16.)
Senkrechte konstruieren
Gegeben:
Gesucht:
g, P ∈ g
Senkrechte zu g durch P
s
LW:
1. O (P, r) I g → A, B
2. Mittelsenkrechte AB → s
g
B
P
A
Lot konstruieren
Gegeben:
Gesucht:
g, P ∉ g
Lot von P auf g
LW:
1. O (P, r) I g → A, B
2. Mittelsenkrechte AB → s
P
B
A
s
-2/l-
Theorie Mathematik
2.19. Brüche – Brucharten
Seiten 69, 72
Wird eine Grösse in n gleiche Teile geteilt, so stellt jedes dieser
Teile 1n dieser Grösse dar („ein n-tel“).
1
→
n
1
6
Werden m solche Teile zu einem Bruchteil dieser Grösse zusammengesetzt, sind das mn dieser Grösse („m n-tel“).
m
n
5
6
→
m
n
Zähler
Nenner
Quotient
Die Masszahl mn heisst Bruch (Bruchzahl, Quotient). Dabei wird
m als Zähler und n als Nenner des Bruches bezeichnet.
Der Nenner eines Bruches gibt an, in wieviele Teile eine Grösse geteilt wird. Der Zähler gibt an, wieviele solcher Teile genommen werden.
Brucharten
Echter Bruch
Zähler < Nenner
Beispiele:
Unechter Bruch
Zähler > Nenner
Beispiele:
Stammbruch
1
1
1
,
,
,...
2
3
4
Der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners.
Beispiele:
Gemischte Zahl
8
3
53
,
,
5
2
52
Der Zähler ist 1.
Beispiele:
Scheinbruch
3
5
318
,
,
4
13
319
4
15
21
,
,
2
3
7
Es ist die Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten
Bruch.
Beispiele:
1+
-2/m-
1
1
3
3
=1 , 5+
=5
2
2
8
8
Theorie Mathematik
2.20. Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl – Zahlenmenge (1.1./2.6.)
Seiten 71, 73
Bisher haben wir lediglich die natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) sowie die Dezimalbrüche auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Die Brüche füllen auf dem Zahlenstrahl die Zwischenräume (nicht nahtlos) zwischen den ganzen Zahlen, vergleichbar mit den Dezimalbrüchen.
- alle echten Brüche liegen zwischen 0 und 1
- alle unechten Brüche sind grösser als 1 und liegen „rechts“ der 1
- alle Scheinbrüche sind identisch mit einer ganzen Zahl
0
1
4
1
2
3
4
5
4
1
echte Brüche
3
2
7
4
2
unechte Brüche
Scheinbruch
Scheinbruch
Viele Brüche können auch als Dezimalbrüche geschrieben werden.
0
1
4
1
2
3
4
0,25
0,5
0,75
1
6
5
17
10
1,2
1,7
2
Mit Q+ bezeichnen wir die Menge der positiven rationalen Zahlen d.h.,
alle diese Zahlen sind als Bruch darstellbar.
N
=
natürliche Zahlen
No
=
natürliche Zahlen und 0
Z+
=
positive ganze Zahlen
Q+
=
positive rationale Zahlen
N
N
Q+
No = Z +
⊂ No =
Z+ ⊂ Q +
⊂ heisst : … ist Teilmenge von …
-2/n-
Theorie Mathematik
2.21. Brüche – erweitern und kürzen
(2.20.)
Seite 78
Erweitern
Ein Bruch wird erweitert, indem der Zähler und der Nenner mit der gleichen
ganzen Zahl multipliziert wird.
3 ·4
4 ·4
erweitern
12
16
Kürzen
Ein Bruch wird gekürzt, indem der Zähler und der Nenner durch die gleiche
ganze Zahl (ev. ggT der beiden Zahlen) dividiert wird.
3
4
kürzen
12 : 4
16 : 4
Erweitern und Kürzen von Brüchen bedeutet eine Formänderung des Bruches, keine Wertänderung. Somit stellen Brüche, welche durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen, immer dieselbe Bruchzahl dar.
2.22. Wahrscheinlichkeit
Seite 75
Unter der Voraussetzung dass Ereignisse gleichwahrscheinlich eintreffen, kann man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, mit einem Bruch oder in Prozenten angeben.
Dabei bedeutet der Wert 1, dass ein Ereignis zu 100% ( 100
100 ) eintritt und der Wert 0,1, dass das
10
Ereignis zu 10% ( 100
) eintritt.
Wahrscheinlichkeit w =
Günstige Fälle
Mögliche Fälle
=>
=>
Zahl der " günstigen " Fälle
Zahl der " möglichen " Fälle
so viele Elemente gehören zu einem „positiven“ Resultat
aus so vielen Elementen kann ausgewählt werden
Beispiel
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln?
> Mit dem Würfel kann man sechs verschiedene Zahlen würfeln => („mögliche Fälle“).
> Drei verschiedene Würfellagen ergeben eine gerade Zahl (2, 4, 6)
=> („günstige Fälle“).
3
1
> w = 6 = 2 (50 %)
-2/o-
Theorie Mathematik
2.23. Umformung von Brüchen in Dezimalbrüche (2.20)
Seite 83
Bei der Division zweier Zahlen (Bruch) entsteht ein Dezimalbruch. Wir beobachten dabei 3 verschiedene Formen von Dezimalbrüchen:
1. Der entstehende Dezimalbruch bricht nach der n-ten Stelle ab
==> 1,78
2. Der entstehende Dezimalbruch bricht nicht ab, es entsteht eine sich regelmässig wiederholende Ziffernfolge (Periode) ==> 2,234234234…
3. Der entstehende Dezimalbruch bricht nicht ab, ist aber erst von der
n-ten Stelle an periodisch (Vorziffer) ==> 0,25373737…
Fall 1 tritt ein, wenn der Nenner die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält.
Beispiel:
1
3
7
= 0,25 ,
= 0,12 ,
= 0,35
4
25
20
Fall 2 tritt ein, wenn der Nenner die Primfaktoren 2 und 5 nicht enthält.
Beispiel:
2
4
= 0,6 ,
= 0,571428
3
7
Fall 3 tritt ein, wenn der Nenner neben den Primfaktoren 2 und/oder 5 weitere Primfaktoren enthält.
Beispiel:
5
7
11
= 0,83 ,
= 0,46 ,
= 0,36
6
15
30
2.24. Umformung von Dezimalbrüchen in Brüche (2.23.)
Seite 85
Jeder Dezimalbruch kann als Bruch geschrieben werden. Die Ziffern des Dezimalbruches bilden den Zähler des Bruches. Der Nenner ist eine Zehnerzahl mit
so vielen Nullen, wie der Dezimalbruch Stellen nach dem Komma hat.
Beispiel:
0,45 =
45
12345
, 0,12345 =
100
100′ 000
-2/p-
Theorie Mathematik
2.25. Prozent
(2.19.)
Seite 89
Wenn wir eine Grösse durch Hundert teilen, erhalten wir den hundertsten
Teil dieser Grösse oder ein Prozent (lateinisch centum = „hundert“).
1
100
= 1 % = 0,01
Beispiel: 14 % von 200 Fr.
⋅
200 Fr.
14
100
28 Fr.
: 100
· 14
2 Fr.
oder
⋅
200 Fr.
14
100
28 Fr.
· 14
: 100
2‘800 Fr.
Dieser Lösungsweg gilt eher für mündliche Berechnungen. Bei schriftlichen Rechnungen
(Taschenrechner) lautet der Term wie folgt:
200 ⋅
oder
14
= 28
100
200 ⋅ 0,14 = 28
Der zweite Term ist vorzuziehen!!
Häufig werden in grafischen Darstellungen Prozente verwendet. Viel verbreitete Darstellungen sind das Streifendiagramm (Balkendiagramm) und das Kreisdiagramm.
Im Streifendiagramm gilt:
Ganze Länge ⇒ 100 %.
Im Kreisdiagramm gilt:
Ganzer Kreis ⇒ 100 % ⇒ 360°
1 % ⇒ 3,6°
41,7 %
25 %
100 %
15 %
20 %
25 %
8,3 %
34 %
31 %
-2/q-
Theorie Mathematik
2.26. Bruchoperationen (2.21.)
Seite 101
Gleichnamige Brüche
Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn ihre Nenner gleich sind. Ungleichnamige
Brüche werden so erweitert, dass ihre Nenner dem kgV (Hauptnenner) der
beiden ursprünglichen Nenner entsprechen.
3
5
und
sin d gleichnamig
8
8
5
3
20
9
,
⇒ Hauptnenner (HN) = 24 ⇒
,
6
8
24
24
Addition und Subtraktion von Brüchen
Zwei Brüche werden addiert (subtrahiert), indem sie gleichnamig gemacht werden und ihre Zähler addiert (subtrahiert) werden.
1
1
2
3
5
+
=
+
=
6
4
12
12
12
Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden.
a
c
ac
⋅
=
b
d
bd
2
5
10
⋅
=
3
7
21
-2/r-
Theorie Mathematik
Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl
Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert wird.
3
3⋅2 6
⋅2=
=
7
7
7
3
3 2 3⋅2 6
⋅2= ⋅ =
=
7
7 1
7 ⋅1 7
⇔
Die Aufgabe kann auch als Multiplikation von
zwei Brüchen betrachtet werden!
Division von Brüchen
Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividert, indem der zweite Bruch
umgekehrt wird und man die beiden Brsüche miteinender multipliziert.
a c
a d ad
: = ⋅ =
b d b c
bc
1 3
1 7
7
: = ⋅ =
4 7
4 3 12
Division eines Bruches durch eine ganze Zahl
Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem der Nenner des Bruches
mit der ganzen Zahl multipliziert wird.
7
7
7
:2=
=
9
9 ⋅ 2 18
7
7 2 7 1
7
:2= : = ⋅ =
9
9 1 9 2 18
⇔
Die Aufgabe kann auch als Division von
zwei Brüchen betrachtet werden!
2.27. Zuordnungen
Seite 127
Eine Zuordnung wird durch 3 Angaben festgelegt:
→ Definitionsbereich / Zielbereich / Zuordnungsvorschrift
Beispiele
Definitionsbereich
Fläche
Gewicht
N
Zielbereich
Preis
Volumen
N
Zuordnungsvorschrift
1 m2 kostet 5 Fr
800 kg Holz a 1 m3
aa a·x
Ist eine Zuordnung eindeutig, d.h. gehört zu jedem Element des Definitionsbereiches genau ein
Element des Zielbereiches, heisst die Zuordnung eine Funktion (Abbildung).
Eine Zuordnung kann mit einer Tabelle, einer Kurve, einem Graphen … dargestellt werden.
-2/s-
Theorie Mathematik
2.28. Proportionale Zuordnungen
(2.27.)
Seite 131
Wir gehen bei unserem Beispiel von der Zuordnung x
x
3
1
3=
6
2
3=
9
3
3=
12
4
3=
15
5
18
3=
6
0
1
·5
2
1 1
=
3 3
3
+
+
3
·5
6
4
1
=
12 3
12
5
5
1
=
15 3
15
6
2
1
=
6 3
3
1
=
9 3
9
4
:2
aus.
3·x
0
3=
y
:2
18
6
1
=
18 3
Es gelten folgende Gesetze:
1.
n·x
n·y
5·1
5·3
2.
x
n
y
n
6
2
18
2
3.
x 1 + x2
y 1 + y2
1+3
3+9
4.
5.
x
y
und
y
x
x (0) = y(0)
1
3
sind konstant
(Halbgerade durch den Nullpunkt.)
-2/t-
und
3
1
Theorie Mathematik
2.29. Umgekehrt proportionale Zuordnungen (2.28.)
Seite 143
Bei unserem Beispiel betrachten wir die Beziehung zwischen den Seiten eines Rechtecks mit
dem Flächeninhalt 24 cm2.
x →
Länge
1
2
3
4
6
8
12
24
·4
24
x
Breite
24
12
8
6
4
3
2
1
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
:4
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
Länge ⋅ Breite = 24
Es gelten folgende Gesetze
1.
Zum n-fachen einer Grösse a gehört das
a
2.
b
//
1
n
n·a
1
n
- fache der Grösse b.
⋅ b
Das Produkt der beiden Grössen a und b ist konstant.
a1 ⋅ b1 = a2 ⋅ b2
3.
Die grafische Darstellung ergibt einen Ast einer Hyperbel.
2.30. Berechnung von prop. und umgekehrt-prop. Zuordnungen (1.36).
Aufgaben, in welchen die beiden Grössen einander proportional (umgekehrt-proportional) zugeordnet sind, können mit Hilfe des Dreisatzes (1.36.) gelöst werden.
Eine weitere mögliche Darstellung:
Arbeiter Stunden
4 Arbeitskräfte benötigen für einen Auftrag 16
Stunden. Wie lange hätten 3 Arbeitskräfte für
denselben Auftrag?
-2/u-
4
1
3
16
16 · 4
16 · 4 : 3
Theorie Mathematik
2.31. Prozentrechnen – Begriffe und Berechnungen (2.25.)
Seite 159
Begriffe
G = Grundwert
Das Ganze, von dem ein Teil ermittelt wird, heisst Grundwert G und entspricht immer 100%
W = Prozentwert
Der Teil, der vom Ganzen ermittelt wird, heisst Prozentwert W.
p% = Prozentsatz
Der Prozentsatz p% gibt an, welcher prozentuale Anteil des Ganzen ermittelt wird.
Berechnung
Der Zusammenhang zwischen den drei Begriffen der Prozentrechnung kann mit
Hilfe des Operatordiagramms oder der folgenden Gleichung dargestellt
werden.
⋅ p%
G → W
G ⋅ p% = W
Berechnung des Prozentwertes (Beispiel):
Von 20 SchülerInnen einer Klasse sind 40% Knaben. Bestimme die Anzahl der Knaben.
Grundwert G:
20 SchülerInnen
Prozentwert W:
Anzahl der gesuchten Knaben
Prozentsatz p%:
40% = 0,4
W = G · p% = 20 Sch. · 0,4 = 8 Schüler
Berechnung des Prozentsatzes (Beispiel):
Wieviel Prozent sind 50 Fr. von 1250 Fr.?
Grundwert G:
1250 Fr.
Prozentwert W:
50 Fr.
Prozentsatz p%:
gesuchter Anteil (50 Fr. von 1250 Fr.)
p% =
W
50
=
= 0,04 = 4 %
G
1250
Berechnung des Grundwertes (Beispiel):
Eine Fabrik produziert Glühbirnen. 1,5 % aller Glühbirnen sind defekt, es sind insgesamt
90 Stück. Wieviele Glühbirnen wurden produziert?
Grundwert G:
gesuchte Anzahl produzierter Glühbirnen
Prozentwert W:
90 defekte Glühbirnen
Prozentsatz p%:
1,5 % defekte Glühbirnen
G =
90
= 6000 Glühbirnen
0,015
-2/v-
Theorie Mathematik
2.32. absolut – relativ
Seite 168
Der Inhalt einer Aussage kann kann absolut oder relativ sein. Dabei bedeutet:
Absolut: völlig, ganz und gar, genau
Relativ: bezüglich, verhältnismässig, bezogen auf eine andere Aussage
oder Grösse („Grundwert“)
Beispiel
absolut Von 10 Pflanzen sind 7 angewachsen (es sind also genau 7 Pflanzen angewachsen). Die Aussage 7 ist absolut.
relativ
Es sind 70% angewachsen (man weiss nicht, wie viele Pflanzen es sind,
dies ist abhängig von der Bezugsgrösse ==> Grundwert).
Die Aussage 70% ist relativ.
Der Prozentsatz ist immer eine relative Aussage (bezogen auf den Grundwert)!
2.33. Begriffe beim Prozentrechnen (2.31.)
Seite 173
Bei Aufgaben, in denen das Prozentrechnen zur Anwendung gelangt, muss zuerst die vorgegebene Situation mit den Begriffen des Prozentrechnens (Grundwert W, Prozentwert W und
Prozentsatz p%) in Verbindung gebracht werden.
Im täglichen Leben treffen wir mehrere Begriffe an, welche mit dem Prozentrechnen in Verbindung stehen.
Rabatt / Skonto
Rabatt
Der Rabatt ist ein prozentualer Preisnachlass auf dem eigentlichen Verkaufspreis. (Mengenrabatt, Mitgliederrabatt, Sonderrabatt
bei auslaufenden Artikeln, –)
Skonto
Dies ist ein zeitlich befristeter Abzug auf einem Rechnungsbetrag als Dank für prompte Bezahlung (Frist 10 bis 30 Tage, oft
ein Nachlass von 2%).
Die beiden Prozentsätze dürfen nicht addiert werden sondern die Berechnung erfolgt stufenweise.
1. Abzug des Rabattes
2. Abzug des Skontos
-2/w-
Theorie Mathematik
Beispiel
Beim Kauf eines leicht zerkratzten TV-Gerätes erhält man einen Rabatt von 10%. Bei Bezahlung innerhalb von 10 Tagen können weitere 2% Skonto abgezogen werden. Wie viel muss
man bezahlen, wenn das Gerät ursprünglich 2‘500 Fr kostete?
Verkaufspreis
Rabatt
2500 · 0,1
Skonto
Barzahlungspreis
oder viel kürzer:
2250 · 0,02
2‘500 Fr
250 Fr
2‘250 Fr
45 Fr
2‘205 Fr
2‘500 · 0,9 · 0,98 = 2‘205 Fr
Brutto - Netto - Tara
Bei Warensendungen heisst das Gesamtgewicht Bruttogewicht, das Gewicht der Ware allein Nettogewicht, das der Verpackung Tara.
Bruttogewicht
Brutto
=>
=
100 %
Netto + Tara
Im Zusammenhang mit Geld spricht man auch von
- Brutto- und Nettoeinnahmen ( ohne und mit Abzug der Unkosten)
- Brutto- und Nettolohn (ohne und mit Sozialabzügen)
- Brutto- und Nettopreis (vor und nach Abzug des Rabatts)
Beispiel
Eine Warensendung wiegt 35 kg. Wie viel wiegt die Verpackung, wenn die Tara 10% beträgt,
und wie schwer ist die Ware?
Tara
Netto
W = G · p% = 35 · 0,1 = 3,5 kg
W = G · p% = 35 · 0,9 = 31,5 kg
Selbstkosten - Erlös - Gewinn - Verlust
Selbstkosten
Dies ist die Summe aller Kosten, welche für ein Produkt anfallen
(Ankaufskosten, Produktionskosten, Miete, Versicherung, Löhne, . . . )
Erlös
Dies ist der Betrag, der beim Verkauf einer Ware vom Kunden bezahlt wird.
Selbstkosten =>
Erlös
=
Erlös
=
100 %
Selbstkosten + Gewinn
Selbstkosten - Verlust
-2/x-
Theorie Mathematik
Beispiel
Ein Goldschmied hat eine Halskette hergestellt und berechnet Selbstkosten von 2‘000 Fr. Wie
gross ist der Erlös, wenn er die Kette mit einem Gewinn von 20% verkauft?
G = 2000 Fr, p% = 120%
Erlös:
W = G · p% = 2000 · 1,2 = 2‘400 Fr.
Gewinn: W = G · p% = 2000 · 0,2 = 400 Fr.
2.34. Mittelwert, Zentralwert, Spanne
Seite 186
Mittelwert
Mit dem Mittelwert bezeichnet man den Quotienten aus der Summe der
Messwerte und der Anzahl der Messwerte.
x =
x1 + x2 + . . . + x n
n
Beispiel
Messwerte
1, 3, 5, 8, 4
Mittelwert
x=
(5 Messwerte)
1+ 3 + 5 + 8 + 4
= 4,2
5
Zentralwert
Wenn die Messwerte der Grösse nach geordnet werden, entsteht eine Rang~
liste. Der Wert in der Mitte der Rangliste heisst Zentralwert = x
Bei einer geraden Anzahl von Messwerten ist der Zentralwert der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Beispiele
1. ungerade Anzahl Messwerte
2. gerade Anzahl Messwerte
1, 3, 6, 7, 8
1, 3, 6, 7, 8, 10
~
x =6
~
x = (6 + 7) : 2 = 6,5
Spanne
Mit der Spanne bezeichnet man die Differenz zwischen dem grössten und dem
kleinsten Wert einer Reihe von Messwerten.
Beispiel
Messwerte
Spanne
3, 2, 10, 7, 6, 15
15 - 2 = 13
-2/y-
Theorie Mathematik
2.35. Parallelogramm (1.20. / 1.22.)
Seite 190
Bezeichnungen
Ecken
A,B,C,D
(Bezeichnung im Gegenuhrzeigersinn)
Seiten
a,b,c,d
(a = c , b = d)
(a // c , b // d)
Höhen
ha , hb , hc ,hd
(ha = hc , hb = hd)
Winkel
α , β , χ , δ
(α = χ , β = δ)
( α + β = β + χ = χ + δ = δ + α = 180°)
Fläche
A = Grundseite · Höhe
= a · ha = b · hb = c · hc = d · hd
Beweis: Wenn wir beim Parallelogramm auf der einen Seite das Dreieck BEC
wegschneiden und auf der andern Seite anhängen, erhalten wir das Rechteck
ABCD, welches wir einfach berechnen können.
∆ BEC
A
-2/z-
∆ AFD
= a · b = A
Theorie Mathematik
2.36. Dreiecksberechnungen
Seite 195
Bezeichnungen
Ecken
A,B,C
(Bezeichnung im Gegenuhrzeigersinn)
Seiten
a,b,c
(gegenüber gleichbenannter Ecke)
Höhen
ha , hb , hc
Spezialfall: Der Fusspunkt der Höhe
liegt ausserhalb des Dreiecks!
Winkel
α , β , χ
α + β + χ = 180°
Fläche
A=
=
Grundlinie ⋅ Höhe
2
a ⋅ ha
b ⋅ hb
c ⋅ hc
=
=
2
2
2
Beweis: Die Fläche des Dreiecks ist halb so gross wie jene des Rechtecks
(Parallelogramms).
- 2 / aa -
Theorie Mathematik
2.37. Senkrechtes Prisma (1.43.)
Seite 199
Mit einem senkrechten Prisma bezeichnen wir einen Körper, dessen Grundfläche G und die Deckfläche D kongruent (deckungsgleich) sind. Alle Seitenflächen sind Rechtecke.
Die Summe aller Seitenflächen ist der Mantel M.
D
h
G
u
D
M = Mantel
h
G
u
Volumen = Grundfläche ⋅ Höhe
V = G ⋅ h
Mantel = Umfang ⋅ Höhe
M = u ⋅h
Oberfläche = Mantel + 2 ⋅ Grundfläche
O= M+2⋅G
- 2 / ab -