Stochastische Dynamik klassischer und quantenmechanischer

Stochastische Dynamik
klassischer und quantenmechanischer Systeme
WS 1994/95
7.1.2002
Heinz Horner
Institut für Theoretische Physik, Universität Heidelberg
Philosophenweg 19, D-69120 Heidelberg, Tel. 569399
Inhalt:
1
2
3
4
5
6
7
8
Einführung
Liouville Raum und Superoperatoren
Störungen und Messungen
Korrelations- und Responsefunktionen
Harmonischer Oszillator im Kontakt mit einm Wärmebad
System im Kontakt mit einem Wärmebad
Spin 12 - Tunnelsystem im Kontakt mit einem Wärmebad: Schwache Kopplung
Spin 12 - Tunnelsystem im Kontakt mit einem Wärmebad: Starke Kopplung
1
2
6
13
17
23
30
37
46
1. Einführung
Reversible und irreversible Dynamik
Hamilton’sche Mechanik und Quantenmechanik liefern reversible Bewegung.
Fragestellungen:
Reibung, dissipative Kräfte, oﬀene Systeme, irreversible Prozesse in der Thermodynamik,
Transportgleichungen, Quantenmechanik dissipativer Systeme, Meßprozeß
Theoretischer Ansatz:
Klassisches oder quantenmechanisches System im Kontakt mit einem (großen) Wärmebad.
Brown’sche Bewegung. Fokker-Planck Gleichung, Master Gleichung, Langevin Gleichung
(ﬂuktuierende Kräfte).
Reversible mikroskopische Bewegungsgleichungen
Klassische Mechanik:
N Teilchen in d dimensionalem Raum
Ortskoordinaten qi (t) i = 1 . . . d · N
Impulskoordinaten pi (t) i = 1 . . . d · N
Hamiltonfunktion
H(p, q, t) =
1 2
p + V (q, t)
2m i i
(1.1)
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
∂H(p(t), q(t), t)
d
pi (t) = −
dt
∂qi (t)
∂H(p(t), q(t), t)
d
qi (t) =
dt
∂pi (t)
(1.2)
Observable A(p, q)
∂A(p(t), q(t)) d
∂A(p(t), q(t)) d
d
A(p(t), q(t)) =
pi (t) +
qi (t)
dt
∂p
(t)
dt
∂q
(t)
dt
i
i
i
= − A, H
(1.3)
Poisson Klammer
∂A(p, q) ∂B(p, q)
∂A(p, q) ∂B(p, q)
A, B =
−
∂p
∂q
∂qi
∂pi
i
i
i
2
(1.4)
Quantenmechanik:
Wellenfunktion, Vektor im Hilbertraum |ψ(t)
Hamiltonoperator Ĥ(t)
Zeitabhängige Schrödinger Gleichung
ih̄
Observable Â
d
|ψ(t) = Ĥ(t) |ψ(t)
dt
(1.5)
Erwartungswert Aψ (t) = ψ(t)| Â |ψ(t)
Heisenberg Gleichung: Observable Â(t)
i d
Â(t) = − Â, Ĥ(t)
dt
h̄
(1.6)
Erwartungswert Aψ (t) = ψ| Â(t) |ψ
Statistische Mechanik
Klassische Mechanik:
Dichte im 2 d N -dimensionalen Phasenraum P (p, q, t)
Liouville Gleichung
∂
P (p, q, t) = P (p, q, t), H(p, q, t)
∂t
Normierung
dqi dpi P (p, q, t) = 1
(1.7)
(1.8)
i
Erwartungswert einer Observablen
A(t) =
dqi dpi A(p, q) P (p, q, t)
(1.9)
i
Entropie (Boltzmann Konstante kB = 0)
S=−
dqi dpi P (p, q, t) ln P (p, q, t)
i
Reversible Dynamik:
d
dt
S(t) = 0.
3
(1.10)
Quantenmechanik:
Statistischer Oprator ρ̂(t)
v. Neumann Gleichung
i d
ρ̂(t) =
ρ̂(t) , Ĥ(t)
dt
h̄
(1.11)
Erwartungswert (Vollständige orthogonale Basis |n)
n| Â ρ̂(t) |n = Tr Â ρ̂(t)
Â(t) =
(1.12)
n
Normierung Tr ρ̂(t) = 0
Entropie S = − Tr ρ̂(t) ln ρ̂(t)
Phänomenologische Gleichungen
Transportgleichungen
z.B. Diﬀusion, Wärmeleitung
∂
n(x, t) = κ ∆n(x, t)
∂t
(1.13)
Brown’sche Bewegung, Langevin Gleichung
m
d2
∂V (q(t), t)
d
qi (t) = −
− γ qi (t) + ζi (t)
2
dt
∂qi (t)
dt
ζi (t) = 0
(1.14)
ζi (t) ζj (t ) = 2γT δi,j δ(t − t )
Fokker-Planck Gleichung
∂
P (p, q, t) = −
∂t
i
∂
∂ ∂H(p, q, t)
−
∂qi
∂pi
∂pi
∂2
−γ T
P (p, q, t)
∂p2i
γ
∂H(p, q, t)
+ pi
∂qi
m
(1.15)
Master (Pauli) Gleichung
Basis |n ;
Pn (t) = n| ρ̂(t) |n
Übergangswahrscheinlichkeiten Wnm (t) ≥ 0
d
Pn (t) =
Wnm (t)Pm (t) − Wmn (t)Pn (t)
d
m
4
(1.16)
Markov Prozesse, Chapman-Kolmogorov Gleichung
Beispiel: Fokker-Planck Gleichung
Bedingte Wahrscheinlichkeit P (p, q, t | p , q , t )
∂
P (p, q, t | p , q , t ) = −
∂t
i
∂
γ
∂ ∂H(p, q, t)
∂H(p, q, t)
−
+ pi
∂qi
∂pi
∂pi
∂qi
m
∂2
−γ T
P (p, q, t | p , q , t )
∂p2i
(1.17)
Anfangsbedingung für t = t
P (p, q, t | p , q , t) =
δ(pi − pi ) δ(qi − qi )
(1.18)
dpi dqi P (p, q, t | p , q , t ) P (p , q , t | p , q , t )
(1.19)
i
Chapman-Kolmogorov Gleichung
Für t > t > t
P (p, q, t | p , q , t ) =
i
Äquivalenz zwischen Langevin und Fokker-Planck Gleichung
Lösung der Langevingleichung
1 t+τ dt pi (t )
qi (t + τ ) = qi (t) +
m t
t+τ
∂V (q(t ), t )
γ
pi (t + τ ) = pi (t) −
dt
+
pi (t ) − ζi (t )
∂qi (t )
m
t
(1.20)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P (p, q, t + τ | p , q , t) =
δ(pi − pi (t + τ )) δ(qi − qi (t + τ ))
i
(1.21)
ζ
mit p = p(t) und q = q(t)
Entwicklung in erster Ordnung in τ (zweiter Ordnung in ζ) und Mittelung über ζ liefert
Fokker-Planck Gleichung (1.15)
5
2. Liouville Raum und Superoperatoren
Motivation
Zeitentwicklungsoperator in der Quantenmechanik
Deﬁniere Û (t, t ) für t ≥ t
d
i
Û (t, t ) = − Ĥ(t) Û (t, t )
dt
h̄
d †
i
Û (t, t ) = Û † (t, t ) Ĥ(t)
dt
h̄
Û (t, t) = Û † (t, t) = 1̂
(2.1)
Û (t, t ) Û † (t, t ) = 1̂
Damit ist
|ψ(t) = Û (t, t ) |ψ(t )
ρ̂(t) = Û (t, t ) ρ̂(t ) Û † (t, t )
(2.2)
t > t > t
Chapman-Kolmogorov Gleichung für
Û † (t, t ) = Û † (t , t )Û † (t, t )
Û (t, t ) = Û (t, t )Û (t , t ) ;
(2.3)
Zeitordnungssymbol
Für t1 > t2 > t3 . . . sei
T B̂(t2 ) Â(t1 ) Ĉ(t3 ) = T Ĉ(t3 ) B̂(t2 ) Â(t1 ) = · · · = Â(t1 ) B̂(t2 ) Ĉ(t3 )
T† B̂(t2 ) Â(t1 ) Ĉ(t3 ) = T† Ĉ(t3 ) B̂(t2 ) Â(t1 ) = · · · = Ĉ(t3 ) B̂(t2 ) Â(t1 )
(2.4)
Zeitentwicklungsperator
t
− h̄i
ds
Ĥ(s)
t
Û (t, t ) = T e
t
i
ds
Ĥ(s)
†
†
Û (t, t ) = T e h̄ t
(2.5)
Darstellung in Basis |n
Anm = n| Â |m ;
ρnm (t) = n| ρ̂(t) |m
(2.6)
Erwartungswert
A(t) = Tr Â ρ̂(t) =
nm
6
n
Am
n ρm (t)
(2.7)
n,m
Um,n
(t, t )
Deﬁniere ”Superoperator der Zeitentwicklung”
†
U(t, t )n,m
m,n = n| Û (t, t ) |n m | U (t, t ) |m
(2.8)
Damit ist
ρ(t)nm =
n
n,m
n
Um,n
(t, t ) ρm (t)
(2.9)
m
Liouville Raum
Linearer Raum
Elemente (Vekoren):
Â → A · · ·
lineare Operatoren
Superoperatoren S · · ·
Abbildung A → B = S A = S A
n
=
Bm
n
n,m
n
Sm,n
Am
(2.10)
m
Skalarprodukt
n m
Am Bn = Tr Â B̂
A B =
(2.11)
nm
1-Operator I
n,m
Im,n
= δn,n δm,m
(2.12)
Basis im Liouville Raum
Operatoren
Φ̂λ · · ·
Φλ Φµ = δλ µ ;
I =
Φλ Φλ (2.13)
λ
Beispiel: Spin 1/2
Pauli Matrizen und 1-Matrix
σ1 =
Basis:
0
1
1
0
Φλ ≡ σλ
σ2 =
Φλ ≡
0
i
1
2
−i
0
σλ
σ3 =
1
0
λ = 0···3
7
0
−1
σ0 =
1
0
0
1
(2.14)
Beispiel: Ortsdarstellung
Orts- und Impulsoperatoren
q̂i
p̂i
p̂i , q̂j = − i h̄ δi j
|x
Ortsdarstellung:
(2.15)
x |x = δ(x − x )
mit
q̂i |x = xi |x ;
p̂i |x = i h̄
∂
|x
∂xi
(2.16)
Ortsdarstellung im Liouville Raum
A(x, y) = x| Â |y
qi (x, y) = xi δ(x − y) ;
pi (x, y) = −i h̄
∂
δ(x − y)
∂xi
(2.17)
I (x, y; y , x ) = δ(x − x )δ(y − y )
Wigner Darstellung
A(x, p) =
i
d y e h̄ p·y x − 12 y Â x + 12 y
(2.18)
Ort- und Impulsoperator in der Wigner Darstellung
q̂i (x, p) = xi
p̂i (x, p) = pi
Zur Deﬁnition von Funktionen von p̂ und q̂: Wigner’sches Normalprodukt
n 1
n m
q̂n−l p̂m q̂l
: q̂ p̂ : =
l 2n
(2.19)
(2.20)
l
Darstellung:
n m
: q̂ p̂ : (x, p) =
dye
dye
=
n 1 x − 12 y q̂n−l p̂m q̂l x + 12 y
n
l 2
l
=
i
h̄ p·y
i
h̄ p·y
i
xn x − 12 y p̂m x + 12 y
m
d y e h̄ p·y xn (ih̄∇y )
(2.21)
x − 12 y x + 12 y
= xn pm
Allgemein für eine normalgeordnete Funktion von p̂ und q̂
: A(p̂, q̂) : (x, p) = A(x, p)
8
(2.22)
Statistischer Operator in Wigner Darstellung
i
dy
1 x + 1 y
h̄ p·y
e
y
ρ̂(t)
x
−
P (x, p, t) =
2
2
(2πh̄)dN
Normierung:
dx dp P (x, p, t) = 1
Â(t) = dx dp A(x, p) P (x, p, t)
Erwartungswert:
(2.23)
Identität I (x, p; x , p )
I (x, p; x , p ) =
dy dy i (p·y+p ·y ) e h̄
x − 12 y x + 12 y x − 12 y x + 12 y
dN
(2πh̄)
(2.24)
= δ(x − x ) δ(p − p )
Zeitentwicklung und Liouville Operator
Zeitentwicklungsoperator im Liouville Raum, Gl.(2.8)
†
U(t, t )n,m
m,n = n| Û (t, t ) |n m | U (t, t ) |m
(2.25)
Zeitliche Änderung, Gl.(2.1)
i
d
=
−
U(t, t )n,m
n| Ĥ(t)Û (t, t ) |n m | U † (t, t ) |m
m,n
dt
h̄
− n| Û (t, t ) |n m | U † (t, t )Ĥ(t) |m
i n| Ĥ(t) |n m |m − n |n m | Ĥ(t) |m
=−
h̄ (2.26)
n m
× U(t, t )nm,m
,n
Liouville Operator
L(t)n,m
m,n = −
i
n| Ĥ(t) |n m |m − n |n m | Ĥ(t) |m
h̄
(2.27)
Liouville Gleichung
d
n ,m
L(t)n,m
U(t, t )n,m
m,n =
m,n U(t, t )m ,n
dt
n m
d
U(t, t ) = L(t)U(t, t )
dt
U(t, t) = I
9
(2.28)
Chapman-Kolmogorov Gleichung für t > t > t
U(t, t ) = U(t, t ) U(t , t )
(2.29)
Darstellung des Liouville Operators in Basis Φλ
i L(t)λ µ = Φλ L(t) Φµ = − Tr Φ̂λ Ĥ(t)Φ̂µ − Φ̂µ Ĥ(t)Φ̂λ
h̄
i i
Φ̂λ Ĥ(t), ∗ Φ̂µ
= − Tr Φ̂λ Ĥ(t), Φ̂µ = −
h̄
h̄
= −L(t)µ λ
i
L(t)Â = − Ĥ(t) , Â
h̄
(2.30)
Liouville Operator für Spin 1/2
Hamilton Operator
Ĥ(t) = −µ
3
hα (t) σα
(2.31)
α=1
Darstellung, Gl.(2.14):
Φ0 ≡ 1 ; Φα ≡ σα

1
 σ (t) 
P (t) ≡  1

σ2 (t)
σ3 (t)

Pα (t) = Φα ρ(t) = σα (t)
(2.32)
%
Mit σα , σβ = 2i γ εα β γ σγ und Tr σα σβ = 2δα β

0
0
0
0
2µ  0
0
−h3 (t) h2 (t) 
L(t) ≡


0
−h1 (t)
0 h3 (t)
h̄
0
0 −h2 (t) h1 (t)

Erhaltung der Norm:
Tr ρ̂(t) = P0 (t) = 1 ; daraus folgt L(t)o α = 0.
10
(2.33)
Bloch Gleichungen
Phänomenologische Behandlung der Dämpfung
Magnetisierung im Gleichgewicht: m = σ = βh̄
2h
−γt
σα (0) − mα
Relaxation σα (t) = mα + e

0
 γm1
Ldiss (t) = 
γm2
γm3
0
−γ
0
0
0
0
−γ
0

0
0 

0
−γ
(2.34)
Mit L(t) → L(t) + Ldiss : Bloch Gleichung
d
σ(t) = h × σ(t) − γ σ(t) − m
dt
(2.35)
Liouville Operator in der Wigner Darstellung
i
L(x, p; x , p , t) = −
h̄
dy dy i (p·y+p ·y )
e h̄
(2πh̄)dN
x − 12 y H(p̂, q̂, t) x + 12 y x − 12 y x + 12 y
1 1 1 1
x − 2 y H(p̂, q̂, t) x + 2 y
− x − 2y x + 2y
(2.36)
1
Es sei H(p̂, q̂, t) = 2m
p̂2 + V (q̂, t) oder allgemeiner H(p̂, q̂, t) = : H(p̂, q̂, t) : für jede
beliebige Normalordnung (z.B. Teilchen im Magnetfeld)
Nebenrechnung:
A(p̂) x + 12 y = A(ih̄∇x ) x + 12 y = A ih̄( 12 ∇x + ∇y ) x + 12 y
( 12 ∇x + ∇y ) x − 12 y = 0
Unter einem Integral, Gl.(2.36), nach partieller Integration, ∇y → − h̄i p ;
damit:
A(p̂) x + 12 y x − 12 y = A p + 12 ih̄∇x x + 12 y x − 12 y Nebenrechnung:
i i e h̄ p ·y B(q̂) x + 12 y = e h̄ p ·y B(x + 12 y ) x + 12 y
i = B x − 12 ih̄∇p ) x + 12 y e h̄ p ·y
11
Damit erhält man mit Gl.(2.36)
i 1
L(x, p; x , p ; t) = − H p + 2 ih̄∇x , x − 12 ih̄∇p , t −
h̄
− H p + 12 ih̄∇x , x − 12 ih̄∇p , t I (x, p; x , p )
i = − H p − 12 ih̄∇x , x + 12 ih̄∇p , t −
h̄
− H p + 12 ih̄∇x , x − 12 ih̄∇p , t δ(x − x ) δ(p − p )
(2.37)
Schreibweise als Diﬀerentialoperator:
L(x, p; t) = −
i (2.38)
H p − 12 ih̄∇x , x + 12 ih̄∇p , t − H p + 12 ih̄∇x , x − 12 ih̄∇p , t
h̄
Entwicklung nach Potenzen von h̄:
Ordnung h̄0 : klassische Liouville Gleichung.
Quantenmechanische Korrekturen in Ordnung h̄2 .
Beispiel: Harmonischer Oszillator
Hamilton Funktion
1 2 mω 2 2
p +
x
2m
2
(2.39)
1
∂
∂
p
+ mω 2 x
m ∂x
∂p
(2.40)
H(p, x) =
Liouville Operator
L(x, p) = −
Anmerkung: Keine Quantenkorrekturen
Zeitentwicklung
1 U(x, p, t; x , p , t ) =δ x − x cos ω(t − t ) − mω
p sin ω(t − t )
δ p − p cos ω(t − t ) + mωx sin ω(t − t )
12
(2.41)
3. Störungen und Messungen
Motivation
Erwartungswert einer Observablen
Â(t) = Tr Â ρ̂(t) = A ρ(t)
(3.1)
Problem: Zeitliche Entwicklung nach der Messung von Â ?
Störungen durch äußere Felder
Hamilton Operator (Funktion) mit äußeren Feldern
ˆ
hA (t)Â
Ĥ(t) = H̊(t) −
(3.2)
A
Dichten: n̂A (r)
ˆ
Ĥ(t) = H̊(t) −
d r hA (r, t)n̂A (r)
(3.3)
A
Liouville Operator
L(t) = L̊(t) +
hA (t)Ã
(3.4)
A
Response Operator:
i
Tr Φ̂ λ Â , Φ̂ µ
(3.5)
h̄
Wigner Darstellung (klassische Mechanik) wie in Gl.(2.38) mit H(p, q) → −A(p, q)
Ãλµ =
Störungsrechnung
Ungestörte Zeitentwicklung
t
ds L̊(s)
t
Ů(t, t ) = T e
(3.6)
Störungsreihe der vollen Zeitentwicklung
t
U(t, t ) =Ů(t, t ) +
ds Ů(t, s) hA (s)Ã Ů(s, t )
t
t s
ds
ds Ů(t, s) hA (s)Ã Ů(s, s ) hA (s )Ã Ů(s , t ) + · · ·
+
t
(3.7)
t
Dyson Gleichung
U(t, t ) = Ů(t, t ) +
t
t
ds Ů(t, s) hA (s)Ã U(s, t )
13
(3.8)
Lineare Antwort
Erwartungswert einer Observablen
Â(t) = A ρ(t) = A Ů(t, t ) ρ(t )
(3.9)
Lineare Antwortfunktion (Responsefunktion)
δ
Ů(t, t ) B̃ ρ(t )
)
A
GAB (t, t ) =
Â(t)
=
Θ(t
−
t
δhB (t )
(3.10)
GAB (t, t ) ist reell.
Meßapparat und System
Für Zeiten t < to bestehe keine Wechselwirkung zwischen System und Meßapparatur
ˆ
System: Basis |αS Hamilton Operator H̊ S statistischer Operator ρ̂S (to )
Liouville Raum des Systems:
Superoperatoren SS statistischer Operator ρS (to )
Basis Φλ
ˆ
Meßapparat: Basis |aM Hamilton Operator H̊ M statistischer Operator
Liouville Raum des Meßapparates:
Superoperatoren SM statistischer Operator ρ̂M (to )
Basis Ψl
ρ̂M (to )
System und Meßapparat:
Basis |α , a = |αS ⊗ |aM statistischer Operator ρ̂(to ) = ρ̂S (to ) ⊗ ρ̂M (to )
Hamilton Operator mit Wechselwirkung von System und Meßapparat:
ˆ
ˆ
Ĥ(t) = H̊ S ⊗ 1̂M + 1̂S ⊗ H̊ M + Ŵ (t)
ˆ
ˆ
= H̊ S + H̊ M + Ŵ (t)
(3.11)
Wechselwirkung z.B.:
Ŵ (t) = −
wAB (t) ÂS ⊗ B̂M
(3.12)
AB
mit wAB (t) = 0 für t < to oder t > t1 .
Liouville Raum von System und Meßapparat:
statistischer Operator ρ(to ) = ρM (to ) ⊗ ρS (to )
Basis Φλ Ψl = Φλ ⊗ Ψl
z.B. L̊S (t)
Superoperator, der nur auf das System wirkt:
SS = SS ⊗ IM
Superoperator, der nur auf Meßapparat wirkt: SM = IS ⊗ SM z.B. L̊M (t)
Produkt Superoperator: SAB = AS ⊗ BM
z.B. Zeitentwicklung von System und Meßapparat ohne Wechselwirkung:
Ů(t, to ) = ŮS (t, to ) ⊗ ŮM (t, to )
14
(3.13)
Liouville Operator
System:
Meßapparat:
ˆ
i
L̊S(λl)(µm) = L̊Sλµ δlm = − TrS Φ̂λ H̊ S , Φ̂µ δlm
h̄
(3.14)
ˆ
i
M
L̊M
(λl)(µm) = δλµ L̊lm = − δλµ TrM Ψ̂l H̊ M , Ψ̂m
h̄
(3.15)
Wechselwirkung, Gl.(3.12):
i wAB (t) TrS,M Φ̂λ ⊗ Ψ̂l ÂS ⊗ B̂M , Φ̂µ ⊗ Ψ̂m
h̄
AB
i wAB (t) TrS Φ̂λ ÂS , Φ̂µ TrM Ψ̂l B̂M Ψ̂m + Ψ̂m B̂M
=
2h̄
AB
+ TrS Φ̂λ ÂS Φ̂µ + Φ̂m ÂS TrM Ψ̂l B̂M , Ψ̂m
M
M
wAB (t) ÃSλµ Blm
+ ASλµ B̃lm
=
W(t)(λl)(µm) =
(3.16)
AB
mit Response Operator Ã, Gl.(3.5), und Observablen A
Ãλµ
Beachte:
i
= Tr Φ̂ λ Â , Φ̂ µ
h̄
Aλµ
1
= Tr Φ̂ λ Â Φ̂ µ + Φ̂ µ Â
2
1 A ρ(t) = A ρ(t) = Â(t)
1 Ã ρ(t) = 0 ;
(3.17)
(3.18)
Beispiel: Spin 1/2 : σ3

0
2µ  0
σ̃3 ≡

0
h̄
0
0
0
−1
0
0
1
0
0

0
0

0
0

0
0
σ3 ≡ 
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0

1
0

0
0
(3.19)
Wigner Darstellung
Rechnung analog zur Herleitung von Gl.(2.38) liefert:
i 1
1
1
1
(3.20)
Ã(p, x; t) =
A p − 2 ih̄∇x , x + 2 ih̄∇p , t − A p + 2 ih̄∇x , x − 2 ih̄∇p , t
h̄
A(p, x; t) =
1 (3.21)
A p − 12 ih̄∇x , x + 12 ih̄∇p , t + A p + 12 ih̄∇x , x − 12 ih̄∇p , t
2
15
Messung
Messung einer Observablen ÂS zur Zeit
Zustand des Meßapparates für t < t0 :
Ablesen des Meßapparates zur Zeit
Meßapparat: Wähle
t+
0
t0 : wAB (t) = δ(t − to )
ρ0
(stationär)
:
M
Erwartungswert einer Observablen
Ĉ(t+
0)
M
ρ̂M
0
, B̂M und ĈM so daß
C ρ0 M = TrM ĈM ρ̂M
0 =0
+
C B̃ ρ0 M = GM
CB (t0 , t0 ) = 1
C B ρ0
M
=
1
2
(3.22)
TrM ĈM B̂M + B̂M ĈM ρ̂M
0 =0
Anmerkung: Diese Forderungen sind eine Verallgemeinerung der, in der Quantenmechanik
üblichen, Forderungen einer idealen Messung.
h̄
1
σ2 B̂M = σ1 ρ̂M
Beispiel: ĈM = 2µ
0 = 2 (1 + σ3 ).
Allgemeiner: ĈM und B̂M haben verschiedene Patität bezüglich Bewegungsumkehr (siehe
Gl.(4.25) und folgende Bemerkung).
System:
ρ0
Zustand des Systems zur Zeit t−
0 :
S
Zustand von System und Meßapparat zur Zeit t+
0 :
Störungsrechnung erster Ordnung in W(t), Gl.(3.16)
+ ρ(t = I + ÃS BM + AS B̃M ρS0 ⊗ ρM
0
0
(3.23)
Messung: Erwartungswert; mit Gl.(3.22)
)
Ĉ(t+
0
M
S
−
= 1S ⊗ CM ρ(t+
)
=
A
=
Â
(t
)
ρ
S
S 0
0 S
0
(3.24)
Aufeinanderfolgende Messungen:
Messung von ÂS mit Apparat M0 zur Zeit t0 und von ÂS mit M1 zur Zeit t1 > t0 .
+
Ĉ(t+
)
)
=
1
⊗
C
⊗
C
B
+
A
Ĉ(t
×
I
+
Ã
B̃
M
M
M
M
S
S
S
1
0
1
1
1
0
M1
M0
M0
1
(3.25)
⊗
ρ
× ŮS (t1 , t0 ) I + ÃS BM0 + AS B̃M0 ρS0 ⊗ ρM
0
0
= 1S AS ŮS (t1 , t0 ) AS ρS0
Endsprechend für mehrere Messungen.
Korrelationsfunktion:
Â(t)B̂(t ) + B̂(t )Â(t)
= 1 A U(t, t ) B ρ(t ) = A U(t, t ) B ρ(t )
CAB (t, t ) =
1
2
CAB (t, t ) ist reell.
16
(3.26)
4. Korrelations- und Responsefunktionen
Erzeugendes Funktional
Funktional von hA (t) und h̃A (t) im Intervall tf > t > ti
tf
%
%
h̃A (t)A} dt {L̊(t)+
hA (t)Ã+
A
A
ti
ρ(ti )
Z({h}, {h̃}) = 1 T e
(4.1)
Korrelationsfunktion (tf > t, t > ti )
δ
δ
Z({h}, {h̃})
(4.2)
CAB (t, t ) =
h(t)=0; h̃(t)=0
δ h̃A (t) δ h̃B (t )
Responsefunktion (tf > t, t > ti )
δ
δ
(4.3)
Z({h},
{
h̃})
GAB (t, t ) =
)
δh
(t
h(t)=0; h̃(t)=0
δ h̃A (t) B
Entsprechend für Korrelations- und Responsefunktionen höherer Ordnung.
Beachte: 1 L̊(t) = 0 und 1 Ã(t) = 0 aber 1 A(t) = 0
Daraus folgt für die Berechnung von Korrelations/Responsefunktionen der Ordnung n
mit Zeitargumenten tf > t1 > t2 > · · · > tn > ti
Die späteste Zeit t1 muß einer Messung (Observablen A) zugeordnet sein (Kausalität).
Die obere Grenze tf kann durch die späteste Zeit t1 ersetzt werden.
Bewegungsgleichungen
δ
δ h̃A (t)
Z({h}, {h̃}) = 1 T
t
%
%
f
h̃A (t)A}
dt {L̊(t)+
hA (t)Ã+
A
A
e t
×
t
×A T e ti
dt {L̊(t)+
%
A
hA (t)Ã+
%
A
h̃A (t)A}
ρ(ti )
Zeitableitung:
t
%
%
f
δ
d
h̃
dt
{
L̊(t)+
h
(t)
Ã+
(t)A}
A
A
A
A
Z({h}, {h̃}) = 1 T e t
×
dt δ h̃A (t)
'
&
h̃B (t) A , B ×
hB (t) A , B̃ +
×
A , L̊(t) +
t
× T e ti
B
dt {L̊(t)+
%
A
hA (t)Ã+
%
A
B
h̃A (t)A}
(4.4)
(4.5)
ρ(ti )
Für die Kommutatoren der hier auftretenden Superoperatoren gilt mit Gl.(3.17)
1
[A, B]Φ̂ = [Â, B̂], Φ̂
4
i (4.6)
[Â, B̂]Φ̂ + Φ̂[Â, B̂]
[A, B̃]Φ̂ =
2h̄
1
[Ã, B̃]Φ̂ = − 2 [Â, B̂], Φ̂
h̄
ˆ
Mit Heisenberggleichung, Gl.(1.6), Ȧˆ = h̄i [H̊, Â] ist Ȧ = [A , L̊] die zu Ȧˆ gehörige
Observable Ȧ im Liouville Raum.
17
Bewegungsgleichung für Korrelationsfunktion
∂
CAB (t, t ) = CȦB (t, t ) + 1 A, B ρ(t) δ(t − t ) = CȦB (t, t )
∂t
Bewegungsgleichung für Responsefunktion
∂
GAB (t, t ) = GȦB (t, t ) + 1 A, B̃ ρ(t) δ(t − t )
∂t
i [Â, B̂](t) δ(t − t )
= GȦB (t, t ) +
h̄
Mit GȦB (t, t ) = 0 für t > t: GȦB (t+ , t) = h̄i [Â, B̂](t) .
(4.7)
(4.8)
Korrelations- und Responsefunktionen im Gleichgewicht
Statistischer Operator im Gleichgewicht mit Temperatur T = 1/β
ˆ
ρ̂(ti ) = ρ̊ˆ =
e−β H̊
ˆ
Tr e−β H̊
ˆ
= Z −1 e−β H̊
ρ0 = i Z −1 Â , e−β H̊ˆ .
:
Ã
Betrachte eine Störung zur Zeit to = t+
i
h̄
Mit
1
B̂
dx e(1−x)B̂ Â , B̂ exB̂
Â , e =
0
B̂ B̂
B̂
1
= 2 e Â , B̂ + Â , B̂ e
+O e
Â , B̂ , B̂ , B̂
(4.9)
(4.10)
erhält man für hohe Temperaturen (kleine β)
Ã ρ̊ ≈ β Ȧˆ ρ̊
und das
Fluktuations Dissipatios Theorem für hohe Temperaturen (klassischer Grenzfall).
Für t > t0
∂
GAB (t, t0 ) ≈ β
CAB (t, t0 )
(4.11)
∂t0
Entsprechende Relationen gelten auch für Korrelations- und Responsefunktionen höherer
Ordnung.
ˆ
Für zeitunabhängigen Hamiltonoperator H̊ hängen Response- und Korrelationsfunktionen
nur von Zeitdiﬀerenzen ab: CAB (t, t ) = CAB (t − t ) ; GAB (t, t ) = GAB (t − t ).
Frequenzabhängige Responsefunktion (Suszeptibilität)
Betrachte adiabatisch eingeschaltete periodische Kraft, η → 0
hB (t) =
Für schwache Kräfte:
Â(t) − Â =
h
0
1
2
hB e−iωt+ηt +
1
2
h∗B eiωt+ηt
dt GAB (t − t ) hB e−iωt + h∗B eiωt eηt
−∞
= e χAB (ω) hB e−iωt+ηt
(4.12)
t
1
2
18
(4.13)
Frequenzabhängige Responsefunktion (GAB (t) ist reell)
∞
χAB (ω) =
dt GAB (t) eiωt−ηt = χ∗AB (−ω) = χAB (ω) + iχAB (ω)
0
χAB (ω)
=
χAB (−ω) ;
χAB (ω)
=
Analytische Fortsetzung: z = ω + iγ. χAB (z) ist analytisch für mz > 0.
Dispersions (Kramers-Kronig, Cauchy) Relation:
dω χAB (ω )
dω χAB (ω )
χAB (ω) = P
(ω)
=
;
χ
AB
π ω − ω
π ω − ω − iη
Rücktransformation
GAB (t) = Θ(t)
(4.14)
−χAB (−ω)
dω
sin ωt χAB (ω) = Θ(t)
π
dω
cos ωt χAB (ω)
π
(4.15)
(4.16)
Onsager Relationen
Bewegungsumkehr
Zuordnung Θ : Â → Âθ so daß Âθ θ = Â und Â†θ = Âθ falls Â† = Â.
Im Liouville Raum: Superoperator Θ so daß Θ A = Aθ mit Θ2 = I
Observable (Operatoren) mit deﬁnierter Parität bezüglich Bewegungsumkehr:
Âθ = τA Â
mit
τA = ±1
(4.17)
ˆ
ˆ
Der ungestörte Hamilton Operator habe positive Parität H̊ θ = H̊. Außerdem gelte
ΘL̊Θ = −L̊ ;
ΘAΘ = Aθ ;
ΘÃΘ = −Ãθ
(4.18)
wobei Aθ und Ãθ die zu Âθ gehörigen Superoperatoren sind.
ˆ
Beispiel: Teilchen ohne Spin, kein externes Magnetfeld, H̊ entsprechend Gl.(1.1). Es sei
ˆ
ˆ
p̂θ = −p̂ und q̂θ = q̂. Dann gilt H̊ θ = H̊. Für die Wigner Darstellung eines Oprators,
Gl.(2.18), gilt Aθ (x, p) = A(x, −p).
Berücksichtigt man, daß L̊(x, p), Gl.(2.38), reell ist, erhält man L̊(x, −p) = −L̊(x, p).
Entsprechend erhält man aus Gl.(3.20) und Gl.(3.21) Ãθ (x, p) = −Ã(x, −p) und
Aθ (x, p) = A(x, −p). Mit ΘSΘ(x, p; x , p ) = S(x, −p; x , −p ) ist Gl.(4.18) erfüllt.
Beispiel: Teilchen mit Spin S und Spin-Bahn Kopplung S · L, ohne äußeres Magnetfeld:
p̂θ = −p̂ ; q̂θ = q̂ ; L̂θ = −L̂ ; Ŝθ = −Ŝ. Gl.(4.18) ist auch hierfür erfüllt.
%
ˆ
Beispiel: Heisenberg Magnet H̊ = − 12 ij Jij Ŝi · Ŝj . Mit Ŝθ = −Ŝ ist Gl.(4.18) erfüllt.
Beispiel: Tunnelzustände in einem Doppelmuldenpotential, Abbildung auf ein Spin
System mit Ĥ = ∆σx + ∆0 σz . Mit σxθ = σx ; σyθ = −σy ; σzθ = σz gilt Gl.(4.18).
19
1
2
Mit Gl.(4.18):
1
ˆ i ˆ
H̊t
L̊t − h̄i H̊t
ˆ
ˆ
h̄
Â e
CAB (t) = 1 A e B ρ̊ = 2 Tr e
B̂ ρ̊ + ρ̊ B̂
1
ˆ
i ˆ
H̊t
−L̊t
− h̄i H̊t
ˆ
ˆ
h̄
B̂θ ρ̊ + ρ̊ B̂θ
Âθ e
Bθ ρ̊ = 2 Tr e
= 1 Aθ e
i ˆ
i ˆ
= 12 Tr e h̄ H̊t B̂θ e− h̄ H̊t Âθ ρ̊ˆ + ρ̊ˆ Âθ = CBθ Aθ (t)
(4.19)
Entsprechende Rechnung für Reponsefunktion ( t > 0 )
ˆ i ˆ
i
H̊t
L̊t − h̄i H̊t
ˆ
ˆ
h̄
GAB (t) = 1 A e B̃ ρ̊ = Tr e
Â e
B̂ ρ̊ − ρ̊ B̂
h̄
i ˆ
i ˆ
i
= − 1 Aθ e−L̊t B̃θ ρ̊ = − Tr e− h̄ H̊t Âθ e h̄ H̊t B̂θ ρ̊ˆ − ρ̊ˆ B̂θ
h̄
i ˆ
i ˆ
i
= Tr e h̄ H̊t B̂θ e− h̄ H̊t Âθ ρ̊ˆ − ρ̊ˆ Âθ = GBθ Aθ (t)
h̄
(4.20)
Falls Âθ = τA Â und B̂θ = τB B̂ gilt Onsager Relation
CAB (t) = τA τB CBA (t) ;
GAB (t) = τA τB GBA (t) ;
χAB (ω) = τA τB χBA (ω)
(4.21)
Fluktuations Dissipations Theorem
Betrachte Funktionen cAB
cAB (t) = Z
−1
Tr e
i ˆ
h̄ H̊t
ˆ
− h̄i H̊t
Âe
ˆ
−β H̊
B̂e
;
cAB (ω) =
dt eiωt cAB (t)
(4.22)
Damit ist
CAB (t) =
1
cAB (t) + c∗AB (t) ;
2
GAB (t) =
i
Θ(t) cAB (t) − c∗AB (t)
h̄
(4.23)
cAB (t) ist analytisch für komplexe Zeiten mit 0 ≥ m t ≥ −βh̄. Für Operatoren mit
deﬁniter Parität bezüglich Bewegungsumkehr gelten
cAB (t) = τA τB c∗AB (−t) = c∗BA (−t) = cBA (−t − iβh̄)
(4.24)
cAB (ω) = τA τB c∗AB (ω) = c∗BA (ω) = eβh̄ω cBA (−ω)
Damit erhält man für die Fouriertransformierte der Korrelationsfunktion, CAB (ω), und
für die frequenzabhängige Responsefunktion, Gl.(4.12)
−i
CAB (ω) =
2
dω 1 + e−βh̄ω
cAB (ω );
2π ω − ω − iη
20
1
χAB (ω) =
h̄
dω 1 − e−βh̄ω
cAB (ω )
2π ω − ω − iη
(4.25)
Für τA = τB ist cAB (ω) reell. Damit ist χAB (ω) =
1
2h̄
1 − e−βh̄ω cAB (ω) und
h̄
(ω) = CAB
(−ω) = coth 12 βh̄ω χAB (ω)
CAB
2
dω
CAB (t) = h̄
cos ωt coth 12 βh̄ω χAB (ω)
2π
i
1 − e−βh̄ω cAB (ω) und
Für τA = −τB ; ist cAB (ω) imaginär, χAB (ω) = 2h̄
h̄
(ω) = −CAB
(−ω) = − coth 12 βh̄ω χAB (ω)
CAB
2
dω
CAB (t) = h̄
sin ωt coth 12 βh̄ω χAB (ω)
2π
(4.26)
(4.27)
Dies ist die quantenmechanische Form des Fluktuations Dissipations Theorems. Damit
können alle Funktionen aus χAB (ω) mit ω > 0 berechnet werden. Für hohe Teperaturen
erhält man Gl.(4.11).
Anmerkung zur Konstruktion von Meßapparaten entsprechend Gl.(3.22): Die dritte
M
Forderung CCB
(t+
0 , t0 ) = 0 kann durch Wahl von Operatoren ĈM und B̂M mit
verschiedener Parität τC = −τB erfüllt werden, siehe Gl.(4.27) für t = 0.
Energieänderung durch äußere Kräfte
ˆ %
Mit Ĥ(t) = H̊ − A hA (t)Â
)
(
dhA (t) d
d
Ĥ(t)
=−
E(t) =
Â(t)
dt
dt
dt
h
h
(4.28)
A
Entwicklung nach hA (t)
d
E(t) = −
dt
AB
t
−∞
dt
dhA (t)
GAB (t, t ) hB (t )
dt
(4.29)
Mit äußeren Kräften, entsprechend Gl.(4.10): Energieänderung, gemittelt über eine
Periode,
dE(t)
∗
∗
1
χAB (ω) e hA hB + χAB (ω) m hA hB
(4.30)
= 2ω
dt
AB
Falls nur eine Kraft hA wirkt, gilt
dE(t)
= 12 ωχAA (ω) hA h∗A
dt
χ (ω) bestimmt die Energiedissipation.
Harmonischer Oszillator
ˆ
1
Hamiltonoperator H̊ = 2m
p̂2 +
mω̊ 2 2
2 q̂
. Besetzungszahl n = eβh̄ω̊1 −1 .
∂
Energie E = (n + 12 )h̄ω̊ = 12 h̄ω̊ coth 12 βh̄ω̊ . Mit mω̊ 2 q̂ 2 = ∂m
mE
2
h̄
q̂ = 2mω̊
coth 12 βh̄ω̊ und p̂2 = mω̊h̄
coth 12 βh̄ω̊ .
2
21
(4.31)
Mit Superoperatoren q = x , p = p , q̃ = −∇p und p̃ = ∇x in Wigner Darstellung,
Gl.(3.20) und Gl.(3.21), und mit Gl.(2.41)
h̄
cosω̊t coth 12 βh̄ω̊ ;
2mω̊
h̄
Cpx (t) = − sinω̊t coth 12 βh̄ω̊ ;
2
h̄
sinω̊t coth 12 βh̄ω̊
2
mω̊h̄
Cpp (t) =
cosω̊t coth 12 βh̄ω̊
2
Cxx (t) =
Cxp (t) =
1
Θ(t) sinω̊t ;
mω̊
Gpx (t) = Θ(t) cosω̊t ;
Gxp (t) = −Θ(t) cosω̊t
Gxx (t) =
π δ(ω − ω̊) − δ(ω + ω̊) ;
2mω̊
π
χpx (ω) = − δ(ω − ω̊) + δ(ω + ω̊) ;
2
π
δ(ω − ω̊) + δ(ω + ω̊)
2
(4.34)
mω̊π χpp (ω) =
δ(ω − ω̊) − δ(ω + ω̊)
2
χxp (ω) =
Freies Teilchen
β
2
ˆ
1 2
H̊ = 2m
p̂ ;
P̊ (x, p) = Z −1 e− 2m p ;
Ů(x, p; x , p ; t) = δ(p − p ) δ(x − x −
dk ik(r−q̂)
Dichte am Ort r : n̂(r) = δ(r − q̂) = 2π
e
1 h̄k∇
1
dk ik(r−x)
p
Superoperatoren: n(r; x, p) = 12 2π
e
+ e− 2 h̄k∇p
e2
dk ik(r−x) 1 h̄k∇
1
p
ñ(r; x, p) = h̄i 2π
e
− e− 2 h̄k∇p
e2
Dichtekorrelationsfunktion
dk dk 1
C(r − r , t) =
pt) eik (r −x ) ×
dp dx dx eik(r−x) δ(x − x − m
2
(2π)
1 β
2
1
× 12 e 2 h̄k ∇p + e− 2 h̄k ∇p Z −1 e− 2m p
t2
dk ik(r−r ) − 2mβ
k2
h̄t 2
=
e
cos 2m
k
e
2π
*
h̄m2 β 2
h̄β
− 2 mβ2 2 r 2
1
mβ
2(t
+h̄
β
)
− 2
= 2πt√t2 +h̄2 β2 e
cos 2 arctan
t
t(t + h̄2 β 2 )
Entsprechend: Responsefunktion
t2
2
dk ik(r−r ) − 2mβ
k2
h̄t 2
G(r − r , t) =
e
sin 2m
k
e
h̄
2π
2 2
β
2*
h̄β
h̄m
− 2 mβ2 2 r 2
1
mβ
√
=
e 2(t +h̄ β ) sin 2 arctan
− 2
h̄ 2πt t2 +h̄2 β2
t
t(t + h̄2 β 2 )
*
C(r, t) =
G(r, t) =
β
t
mβ
e− 2t2 r
*
r2
mβ 2
mβ − mβ
∂
2t2
= −β ∂t
C(r, t)
1 − t2 r
2πt2 e
mβ
2πt2
(4.33)
Gpp (t) = mω̊ Θ(t) sinω̊t
χxx (ω) =
Für t βh̄ : FDT
(4.32)
1
m pt)
(4.35)
(4.36)
2
22
(4.37)
5. Harmonischer Oszillator im Kontakt mit einem Wärmebad
Exakte Lösung
ˆ
1
p̂2 + 12 mo Ωo2 q̂o2
Hamilton Operator: Harmonischer Oszillator H̊ = 2m
o o
%
1
1
2
2 2
Wärmebad harmonischer Oszillatoren ĤB = i 2m
p̂
+
m
ω
q̂
i
i i
2
i i
%
Bilineare Kopplung ĤW = √1N i q̂o wi q̂i
√
1
Neue Variable: P̂n = √m
p̂n ; Q̂n = mn q̂n ; Wi = √m1o mi wi
n
Ĥ = 12 P̂02 + 12 Ωo2 Q̂2o +
1
2
i
1 Q̂o Wi Q̂i
P̂i2 + ωi2 Q̂2i + √
N i
(5.1)
Bewegungsgleichungen:
1 d2
2
√
Q̂
Q̂
(t)
=
−Ω
(t)
−
Wi Q̂i (t)
o
o
o
dt2
N i
d2
1
Q̂i (t) = −ωi2 Q̂i (t) − √ Wi Q̂o (t)
2
dt
N
(5.2)
Lösungsansatz:
Q̂o (t) =
uλo Q̂λ e−iωλ t ;
Q̂i (t) =
λ
Eigenwertgleichung
 2
Ωo − ωλ2
 √1N W1


..

.

 √1 Wi
 N
..
.
uλi Q̂λ e−iωλ t
(5.3)
λ
W1
2
ω1 − ωλ2
..
.
0
..
.
√1
N
√1 Wi
···
N
···
0
..
..
.
.
· · · ωi2 − ωλ2
..
..
.
.

···
···

.. 
.

···

..
.


uλo
 uλ1 


 .. 
 . =0


 uλi 


..
.
(5.4)
Lösung:
det || · · · || = −f (ωλ ) = 0
= Ωo2 − ωλ2 −
Wi
1
uλi = √
uλo
2
N ωλ − ωi2
2
2
uλo
=1−
uλi
1 Wi2
N i ωi2 − ωλ2
ωλ
(5.5)
i
1 2 ωλ
Wi2
2
=1−
2
2 uλo = 2
N i ω −ω
f (ωλ )
i
λ
23
Stabilitätsbedingung
Es müssen N + 1 reelle Lösungen existieren (χ(z) analytisch in der oberen Halbebene):
1 Wi2
Ωo2 >
(5.6)
N i ωi2
Frequenzabhängige Suszeptibilität χQo Qo (z) = χ(z)
Mit Gl.(4.33) und Gl.(4.14) für m z > 0 (Summation über ωλ und −ωλ )
u2 1
1 λo
χ(z) =
+
2ωλ ωλ − z
ωλ + z
(5.7)
λ
f (z )
f (z )
Beachte:
hat Pole mit Residuum 1
für z = ωλ . Damit wird:
λ
C >
C
dz f (z )
F (ωλ ) → C
F (z ) (5.8)
2πi f (z )
<
>
z
ωλ
Mit Gl.(5.5) und Deformation des Integrationswegs von C nach C erhält man
1
dz 1
χ(z) = C 2iπ f (z ) z − z
1
=
1 Wi2
Ωo2 − z 2 −
N i ωi2 − z 2
=
Ωo2
1
−z −
4
2
1
dω̄ J(ω̄)
1
1
+
ω̄ − z
ω̄ + z
Zustandsdichte des Bades, modiﬁzierd durch Wechselwirkung:
2 Wi2
δ(ω̄ − ωi )
J(ω̄) =
N i ωi
Für z = ω + iη und lim
(5.9)
(5.10)
lim
η→0 N →∞
χ(ω) =
Ωo2
−
1
− M (ω)
ω2
mit M (ω) = M (ω) + i M (ω) und
1
1
1
M (ω) = P dω̄ J(ω̄)
+
4
ω̄ − ω ω̄ + ω
π
J(ω) − J(−ω)
M (ω) =
4
Stabilitätsbedingung
Ωo2 > M (0)
24
(5.11)
(5.12)
(5.13)
Summenregel
Mit Gl.(4.16), Gl.(4.33) und Gl.(5.7)
d
GQo Qo (0+ ) = GPo Qo (0+ ) =
dt
dω
ω χ (ω) = 1
π
(5.14)
Polnäherung (schwache Dämpfung)
Es sei J(ω) = 0 für ω ≥ ωc . Dann hat χ(z) einen Verzweigungsschnitt entlang der
reellen Achse zwischen −ωc und ωc . Analytische Fortsetzung in die untere Halbebene
mit Hilfe der Cauchi-Riemannschen Diﬀerentialgleichung
Ωo2 − (ω + iη)2 − M (ω + iη) =Ωo2 − ω 2 + η 2 − M (ω) + η ∂ω M (ω)
− i 2ω + ∂ω M (ω) η + M (ω) + · · ·
Nullstellen: ωo = ±Ω ; η0 = −Γ
(5.15)
mit
M (Ω)
2Ω + ∂Ω M (Ω)
+
Ω = Ωo2 + Γ 2 − M (Ω) − Γ ∂Ω M (Ω)
Γ =
(5.16)
Falls keine Lösung existiert, erhält man Nullstellen ωo = 0 und ηo = −Γ± wobei
*
2
1
(5.17)
∂Ω M (0) + 4M (0) − 4Ωo2
Γ± = 2 ∂Ω M (0) ±
Im folgendem wird der schwach gedämpfte Fall, Gl.(5.16) behandelt.
Ansatz: Pole in der unteren komplexen Halbebene
χ(ω) =
Y∗
Y −Y∗
Y
+ χres (ω)
+
+
Ω − ω − iΓ
Ω + ω + iΓ
ω + i Γ̄
(5.18)
mit Polstärken Y = Y + i Y und
Y =
1
2Ω + ∂Ω M (Ω) − i 2Γ − ∂Ω M (Ω)
(5.19)
Der zusätzliche Pol an der Stelle ω = −iΓ̄ sorgt dafür, daß die Polbeiträge für ω → ∞
wie ω12 abfallen, wobei Γ̄ zunächst unbestimmt ist. Fordert man χres (0) = 0 , erhält
man Γ̄ ≈ Ω .
Beiträge der Pole für z = z± = ±Ω − iΓ zur Summenregel:
Z =2Y Ω + 2Y Γ = 2e
= e
1+
z+
2z+ + ∂z+ M (z+ )
1
ω̄ J(ω̄)
dω̄ 2 2
2 ω̄ 2 − z+
25
<1
(5.20)
Beispiel:
7
ωχ (ω)
J(ω) = 1.2 ω 2 Θ(ω)Θ(1 − ω)
6
χ (ω)
Ωo = 0.6
5
χ
pol (ω)
4
χ
pol−r (ω)
Ω = 0.154
Γ = 0.040
Y = 1.574
3
Y = −0.593
2
Z = 0.436
1
Ω1 = 1.022
0
Z1 = 0.149
-1
χ
res (ω)
⇓Ω
0
7
0.2
⇓ Ωo
0.4
0.6
ω
0.8
1
1.2
ωχ (ω)
6
5
4
J(ω) = 1.2 ω 2 Θ(ω)Θ(1 − ω)
Ωo = 1.0
3
2
Ω = 1.133
1
Γ = 0.0
0
Z = 0.621
ω
-1
0
0.2
26
0.4
0.6
0.8
Ωo ⇓
1
Ω⇓
1.2
Niederfrequentes Verhalten
Zustandsdichte: J(ω) = 2 α ω̃ 2−s ω s Θ(ω)Θ(ωc − ω)
Ms (ω) = π α ω̃ 2−s |ω|s sign ω Θ(ωc − |ω|)
Rekursionsformel für Mα (ω)
Ms (ω)
= 2 α ω̃
2−s
P
ωc
dω̄
0
Für ganzzahlige s :
(5.21)
ω̄ 1+s
2 α 2−s s
ω2 ω̃
=
ω
+
M (ω)
c
ω̄ 2 − ω 2
s
ω̃ 2 s−2
(5.22)
ωc − ω = α ω̃ 2 ωc + ω ln ωc + ω 2
ωc − ω 2 2
2
M2 (ω) = α ωc + ω ln ω2 ωc − ω α2 3
2
3
M3 (ω) =
ω + 2 ωc ω + ω ln ω̃ 3 c
ωc + ω M1 (ω)
Für ω ! ωc
&
Ms (ω) = 2 α ω̃ 2−s
∞
ωcs−2n ω 2n
s
1
1
π
|ω|
tan(
(s
+
1)π)
+
2
2
s − 2n
n=0
Mit Gl.(5.12) und Gl.(5.24) für |z| < 1
&
Ms (z) = 2 α ω̃
(5.23)
2−s
(5.24)
'
∞
ω s−2n z 2n
(−i z)s
c
1
π
+
1
2
cos 2 (s + 1)π n=0 s − 2n
Analytische Eigenschaften von M (z):
Verzweigungsschnitte für z = ±1 − iy
Verzweigungsschnitt für z = −iy (nicht für
ungerade s ≥ 1)
Analytische Eigenschaften von χ(z):
Verzweigungsschnitte wie für M (z)
Pole für z = z̊n mit Ωo2 −z̊n2 − M (z̊n ) = 0
und Residuen Zn = 2z̊n +∂z1M (z̊n )
'
(5.25)
-1
1
C−1
C0
z
C1
Beachte: α = s + 1 und g = 2αω̃ 2−s und ωc = 1
1
g > 0 (Stabilitätsbedingung)
Für z → 0 mit ∆2 = Ωo2 − α−1
χ(z) −→
z→0
g
∆2 − 1 +
α−3
27
1
z2 −
1
2 πg
cos 12 πα
−i z
α−1
(5.26)
Verzweigungsschnitt C0 : z = −iy ± ε
g
πg cos απ α−1
2
∆ + 1+
± iπg sin 12 απ y α−1
y2 +
y
α−3
2 cos 12 απ
χ(−iy ± ε) = 2 2
g
πg cos απ α−1
2
2
α−1
1
+ πg sin 2 απ y
∆ + 1+
y +
y
α−3
2 cos 12 απ
Responsefunktion: Beitrag des Verzweigungsschnitts C0 für t 1
∞
dy −yt dω −iω
χ(ω) −→
χ (−iy + ε)
e
e
Gs (t) =
t→∞
2πi
π
o
(5.27)
(5.28)
Für α < 1 und t (∆2 /g)1/(1−α) oder 1 < α < 3 und 1 ! t ! (g/∆2 )1/(α−1)
2 cos 12 απ sin απ ∞
2(1 − α) cos 12 απ α−2
−yt 1−α
Gs (t) −→
dy e y
=
+ Go (α) (5.29)
t
t→∞
π2 g
π g Γ(α)
yo
wobei für α < 2 y0 = G0 = 0 und für α > 2 y0 ∼ (∆2 /g)1/(α−1) und Go > 0 ist.
Für α < 1 und 1 ! t ! (∆2 /g)1/(1−α)
√
oder α > 3 und t g/∆
Gs (t) −→
t→∞
oder 1 < α < 3 und t (g/∆2 )1/(α−1)
πg
sin 12 απ Γ(α) t−α + Go (α)
4
∆
(5.30)
wobei Go (α) = 0 für α > 0. Für gerade α = verschwindet dieser Beitrag.
Korrelationsfunktion, Gl.(4.26)
Cs (t) = e h̄
dω −iωt
coth 12 βh̄ω χ(ω) − χ(0)
e
2πi
(5.31)
1
für z = 2πi
Analytische Fortsetzung: coth 12 βh̄z hat Pole mit Residuum βh̄
βh̄ n.
Für t → ∞ kann der Integrationsweg nach C0 deformiert werden. Man erhält Beiträge
von den Polen von coth 12 βh̄z und vom Verzweigungsschnitt von χ(z)
&
'
∞
∞
2π
1 2π i
dy χ (−iy + ε) −yt
− βh̄ n t
Cs (t) −→
+P
χ (− βh̄ n) − χ (0) e
(5.32)
e
2π
t→∞ β
π y − βh̄
n
0
n=0
Für t βh̄ trägt nur n = 0 bei und man erhält das klassische FDT, Gl.(4.11).
Für t ! βh̄ kann die Summe über n durch ein Integral ersetzt werden, wobei beide
Terme in Gl.(5.32) identische Beiträge liefern
∞
dy −yt χ (−iy) − χ (o)
(5.33)
e
Cs (t) −→ h̄
π
0
Damit erhält man
Cs (t) −→ h̄ cotαπ Gs (t)
28
(5.34)
Pole: z± = ±Ω − iΓ = R
e−iΦ
ei(π+Φ)
g
Rα−1 −i(α−1)(Φ+ 1 π)
2
2
∆ − 1−
=0
R2 e−2iΦ − 12 π g
e
3−α
cos 12 απ
Residuen Y+ = Y−∗ = Y eiΨ
Beiträge zur Summenregel, Gl.(5.14), Z = 2 Y R cos(Ψ − Φ)
g
Rα−2 −i(α−2)(Φ+ 1 π)
−1
2
R e−iΦ + i(α − 1)π g
e
Y+ = 2 1 −
3−α
cos 12 απ
(5.35)
(5.36)
Responsefunktion
Gp (t) = 2 Y sin(Ωt − Ψ ) e−Γ t
Korrelationsfunkton für t ! βh̄:
(5.37)
(für t βh̄ gilt klassisches FDT)
Cp (t) = 2 h̄ Y cos(Ωt − Ψ ) e−Γ t
(5.38)
Für g ! ∆3−α und g/(3 − α) < 1
∆
Ω=,
Γ =
g
1−
3−α
π g Ωα
!Ω
4∆2
(5.39)
Für g ∆3−α , 2 < α < 3 und g/(3 − α) < 1
3−α π
Φ=
α−1 2
R=
2∆2 cos 12 απ
πg
Für g ∆3−α 1 < α < 2 und g/(3 − α) < 1
α−1 π
Φ=
R=
3−α 2
2 1−
πg
g
3−α
1
α−1
(5.40)
1
3−α
(5.41)
cos 12 απ
Für g ∆3−α und andere Werte von α und g existieren keine Pole
α = 2: (Ohmsches Bad)
∆2 − (1 − g)z 2 − i 12 π g z = 0
Für 4(1 − g)∆2 > ( 12 πg)2
1
Ω=
2(1 − g)
*
4(1 − g)∆2 − ( 12 πg)2
Für 4(1 − g)∆2 < ( 12 πg)2
Ω=0
1
Γ =
2(1 − g)
1
2π g
29
(5.42)
Γ =
πg
4(1 − g)
*
1
± ( 2 πg)2 − 4(1 − g)∆2
(5.43)
(5.44)
6. System im Kontakt mit einem Wärmebad
System, Bad und Wechselwirkung
Hamilton Operator für System und i = 1 · · · N unabhängige Badfreiheitsgrade Q̂B
i
ˆ
1 1 ˆ
B
B
√
H̊ B
−
w
−
wAij ÂS Q̂B
Ĥ = H̊ S +
Â
Q̂
Ai S i
i
i Q̂j − · · ·
2N
N A,i
i
A,ij
(6.1)
Liouville Operator (siehe Gl.(3.14) und folgende)
L = L̊S +
i
1 B
√
L̊B
+
wAi ÃS QB
+ ···
i
i + AS Q̃i
N A,i
(6.2)
Statistischer Operator zur Zeit t0
ρ̂(t0 ) = ρ̊ˆS ⊗
ρ̊ˆB
i
(6.3)
i
Erwartungswert eines zeitgeordneten Produktes von Observablen und Responseoperatoren
des Systems OS = AS (t) BS (t ) · · · C˜S (t ) · · ·
.
t1
ds
L(s)
t0
(6.4)
1B
ρ̊B
OS = 1S ⊗
ρ̊S ⊗
i T OS e
i
i
i
Erzeugendes Funktional für das Bad
ZB ({h}, {h̃}; t1 , t0 ) =
%
t1 ds L̊B
+ √1
wA,i hA (s)Q̃B
+h̃A (s)QB
+···
B
i
i
i
N
A
=
1 T e t0
ρ̊i
(6.5)
i
Damit wird obiger Erwartungswert, mit δA (t) =
δ
δhA (t)
und δ̃A (t) =
δ
δ h̃A (t)
t1 % ds L̊S +
AS δA(s)+ÃS δ̃A(s) +···
A
OS = 1S T OS e t0
({h},
{
h̃})
Z
ρ̊
S
B
0
(6.6)
Harmonisches Bad mit linearer Kopplung
B
Q̂B
i = q̂i : Auslenkung eines harmonischen Oszillators mit Frequenz ωi (und mi = 1).
−1 − 12 p2i
Erzeugendes Funktional mit P̊ B
und Zeitentwicklung, Gl.(2.41), ist
i = Zi e
Gaußfunktion in {h} und {h̃}.
Es gilt ZB ({h}, {h̃})0 = 1 ; δA (t) ZB ({h}, {h̃})0 = δ̃A (t) ZB ({h}, {h̃})0 = 0 und
δ̃A (t) δ̃B (t ) ZB ({h}, {h̃}) = DAB (t − t )
0
(6.7)
δ̃A (t) δB (t ) ZB ({h}, {h̃}) = FAB (t − t )
0
30
mit (siehe Gl.(4.31) und Gl.(4.32))
1 h̄
DAB (t) =
wAi wBi
cos ωi t coth 12 βh̄ωi
N i
2ωi
h̄
= dω gAB (ω)
cos ωt coth 12 βh̄ω
2ω
und
1
FAB (t) = Θ(t) dω gAB (ω) sin ωt
ω
Dabei ist gAB (ω) eine, durch die Kopplung wAi modiﬁzierte, Zustandsdichte
1 gAB (ω) =
wAi wBi δ(ω − ωi )
N i
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Erzeugendes Funktional
% t1 1
dtdt 2h̃A (t)DAB (t−t )h̃B (t )+h̃A (t)FAB (t−t )hB (t )
AB t0
ZB ({h}, {h̃}; t1 , t0 ) = e
weggelassen)
O = 1 T O eS(t1 ,t0 ) ρ̊
Erwartungswert, Gl.(5.6), (Index
mit Wirkung
S(t1 , t0 ) =
S
(6.12)
t1
dt L̊(t)
t0
+
(6.11)
t1
dt dt
t0
AB
1
2 Ã(t) DAB (t
− t ) B̃(t ) + Ã(t) FAB (t − t ) B(t )
(6.13)
Kumulantenentwicklung für allgemeines Bad und beliebige Kopplungen
ln ZB ({h}, {h̃}; t1 , t0 ) = K({h}, {h̃}; t0 , t1 )
t1
dt KA (t)h̃A (t)
=
A
t0
t1 t +
dt dt KAB (t, t )h̃A (t)h̃B (t ) + KAB̃ (t, t )h̃A (t)hB (t )
AB t0
+
t0
t1
ABC t0
dt
t
dt
t0
dt KABC (t, t , t )h̃A (t)h̃B (t )h̃C (t )
t
(6.14)
t0
+KAB C̃ (t, t , t )h̃A (t)h̃B (t )hC (t )+KAB̃C (t, t , t )h̃A (t)hB (t )h̃C (t )
+ KAB̃ C̃ (t, t , t )h̃A (t)hB (t )hC (t ) + · · ·
Wirkung:
S(t1 , t0 ) =
t1
dt L̊(t) + K({A}, {Ã}; t0 , t1 )
(6.15)
t0
wobei K({A}, {Ã}; t0 , t1 ) obige Funktion mit h̃A (t) → Ã(t) und hA (t) → A(t) ist.
31
Diagramme, Entwicklung nach irreduziblen Anteilen
%
Falls KA (t) = 0: L̊(t) → L̊(t) + A KA (t)Ã(t)
t0
/
B(t ) t3
t4
2/
01
2/
BR (t3 − t , t − t4 )
01 ρ(t4 )
A(t) B(t ) =
A(t)
t2
t1
2/
01
2 / 01 2
M(t1 − t2 ) Ů(t − t1 )
t
dt1 dt2 1 A U(t − t1 ) BR (t1 − t , t − t2 ) ρ(t2 )
t
t
(6.16)
t0
mit
U(t − t ) = Ů(t − t ) +
und
01
U(t2 − t3 )
s
ds ds Ů(t − s) M(s − s ) U(s − t )
(6.17)
Ů(t) = eL̊t
(6.18)
t
t
t
ρ(t) = U(t − t0 ) ρ̊ −→ ρ
(6.19)
t0 →−∞
Entwicklung der irreduziblen Kerne nach Skelettdiagrammen
M=
+
+···
+
M(t − t ) =
+
ABCD
t ds ds KAC (t, s) KBD (s , t )×
t
t
s
× Ã U(t − s ) B̃ U(s − s) C˜ U(s − t ) D̃ + · · ·
t ˜
+
ds KABC (t, s, t ) Ã U(t − s) B̃ U(t − s ) C + · · · + · · ·
ABC
+···
KAB (t, t )Ã U(t − t ) B̃ + KAB̃ (t, t )Ã U(t − t ) B
A,B
+
AR =
(6.20)
t
AR (t, t ) =A δ(t) δ(t ) + Θ(t)Θ(t )
BC
0
t
ds ds B̃ U(t − s) AR (s, s )
t
0
× KBC (t, −t ) U(t − s ) C˜ + KB C̃ (t, −t ) U(t − s ) C + · · ·
32
(6.21)
Korrelations- Responsefunktionen höhrer Ordnung
Beispiel: A(t) B(t ) C(t )
In einer diagramatischen Entwicklung treten neben Diagrammen mit BR (t1 − t , t − t2 ) und CR (t3 − t , t − t4 )
auch solche mit BCR (t1 − t , t − t , t − t4 ) auf.
t4 C(t ) B(t ) t1
/
01
2
BCR (t1 − t , t − t , t − t4 )
Harmonischer Oszillator
Wigner Darstellung:
Q=x
L̊ = −p∂x + Ωo2 x∂p
Q̃ = −∂p
(6.22)
1 Ů(x, p; x , p ; t) = δ x − x cos Ωo t −
p sin Ωo t δ p − p cos Ωo t + Ωo x sin Ωo t (6.23)
Ωo
Entwicklung:
1
1
∂xk ∂pl δ(x − x )δ(p − p ) Ůkl (x , p ; t)
k!
l!
kl
k l
1
Ůkl (x , p ; t) = x (1−cos Ωo t) − p
sin Ωo t
p (1−cos Ωo t) + x Ωo sin Ωo t
Ωo
Ů(x, p; x , p ; t) =
(6.24)
Entsprechend für M(x, p; x , p ; t), U(x, p; x , p ; t), Q(x, p; x , p ; t) und Q̃(x, p; x , p ; t).
Zur Berechnung von CQQ (t) und GQQ (t) genügt Entwicklung mit k ≤ 1 und l ≤ 1.
M(x, p; x , p ; t) = −∂p F (t)δ(x − x )δ(p − p )x + · · ·
Fouriertransformation:
(6.25)
∞
dt eiωt U(x, p; x , p ; t)
U(x, p; x , p ; ω) =
(6.26)
o
Entsprechend für Ů, M und F . Mit Gl.(6.17):
i
p − iωx
U(x, p; x , p ; ω) =
1+∂x x − ∂x 2
+ · · · δ(x − x )δ(p − p )
ω
Ωo −ω 2 −F (ω)
und mit Gl.(6.9): (siehe Gl.(5.12))
F (ω) =
Fouriertransformation
QR (x, p; x , p ; ω, ω ) =
dω̄
∞
gw (ω̄)
ω̄ 2 − ω 2
dt dt eiωt+iω t QR (x, p; x , p ; t, t )
(6.27)
(6.28)
(6.29)
0
Entsprechend für Q̃. Mit Gl.(6.21)
Q̃R (x, p; x , p ; ω, ω ) = −∂p δ(x − x )δ(p − p ) + · · ·
33
(6.30)
und
'
>
p
+D
F
(ω)x
−i(ω
−ω)x
(ω)
+ · · · δ(x − x )δ(p − p )
QR (x, p; x , p ; ω, ω ) = x − ∂p
2
2
Ωo − (ω − ω) − F (ω − ω)
(6.31)
mit, Gl.(6.8),
&
>
D (ω) =
∞
iωt
dt e
D(t) = −ih̄ω
0
dω̄ gw (ω̄) coth 12 βh̄ω̄
2ω̄
ω̄ 2 − ω 2
(6.32)
Suszeptibilität (siehe Gl.(5.11))
χ(ω) = 1 Q U(ω) Q̃R (ω, 0) ρ =
1
Ωo2
−
ω2
− F (ω)
(6.33)
Korrelationsfunktion
>
C(ω) = 2eC (ω + iη) ;
∞
C (ω) = dt eiωt C(t) = 1 Q U(ω) QR (ω, 0) ρ
>
(6.34)
0
Mit F (−ω) = F ∗ (ω)
−iω Ωo2 − ω 2 − F (ω) − F ∗ (ω) x2 + D> (ω)
C (ω) =
Ωo2 − ω 2 − F (ω)2
>
(6.35)
und (siehe Gl.(4.26))
C(ω) = h̄ χ (ω) coth 12 βh̄ω
(6.36)
wobei der Term ∼ x2 in Gl.(6.35) keinen Beitrag zu C(ω) liefert.
Gleichgwichtsverteilung: P (x, p) ist Gaußfunktion
P (x, p) =
2π
+
1
−2
1
x2 p2 e
p2
p2 1
−2
x2
x2 (6.37)
mit
2
x
= C(t = 0) =
dω
C(ω) ;
2π
2 p = (∂t x)2 =
34
dω 2
ω C(ω)
2π
(6.38)
Auswertung von Diagrammen (harmonisches Bad mit linearen Kopplungen)
Spektralfunktionen:
Es sei X(t) = U(t); M(t); D(t); F (t) · · · und
∞
X̂(ω̄)
dω̄
>
(iω−ε)t
dt e
X(t) =
X (ω) =
π ω̄ − ω − iε
0
dω̄ −iω̄t
e
X(t) = i
X̂(ω̄)
f ür t > 0
π
(6.39)
Anmerkung: X(t) sei reell. Die Spektralfunktion kann dann reell und antisymmetrisch
oder imaginär und symmetrisch gewählt werden. Statt X̂(ω) ist auch
dω̄ X̂(ω̄)
(6.40)
X̂ (ω) = −i P
π ω̄ − ω
möglich. Für Funkitonen mit deﬁniter Parität bezüglich Bewegunsumkehr (z.B. τA τB für
CAB und −τA τB für GAB ) ist es, im Hinblick auf das FDT, zweckmäßig für positive
Parität die symmetrisch-imaginäre, für negative Parität die antisymmetrisch-reelle
Spektralfunktion zu wählen.
Mit Gl.(6.8) und Gl.(6.9)
F̂ (ω) = π
gw (ω) + gw (−ω)
;
2ω
D̂(ω) = −i
h̄π gw (ω) + gw (−ω)
coth 12 βh̄ω
2
2ω
(6.41)
ˆ
Ů(ω) = −iπ δ(ω − iL̊)
(6.42)
und mit Gl.(6.18)
Ů > (ω) = Ů(ω) =
i
;
ω − iL̊ + iε
Dyson Reihe, Gl.(6.17), mit U > (ω) = U(ω) und M> (ω) = M(ω)
−1
U(ω) = Ů(ω) 1 + M(ω) U(ω) = Ů(ω) 1 − M(ω) Ů(ω)
−1
= 1 − Ů(ω) M(ω) Ů(ω)
(6.43)
Beitrag eines Diagrams Dl mit l + 1 Vertices und n Bad-Propagatoren
n %(l) dωk
Â(ωk )Vl Ů ω − k ωk · · ·
Dl (ω) =i
π
k=1
%(i) · · · Vi Ů ω − k ωk · · · Vo
i
n
(6.44)
to
ti−1 ti
tl
Dabei sind Â(ωk ) die Spektralfunktionen F̂AB (ωk ) b.z.w. D̂AB (ωk ) und Vi = Ã
%(i)
b.z.w. Vi = A · · ·. Die Summen
betreﬀen alle Propagatoren, die durch einen
k
Schnitt i durchtrennt werden.
Diagramme zur Renormierung von Observablen und
Responseoperatoren, Gl.(6.29), sind entsprechend auszuwerten.
35
Fluktuations-Dissipations-Theorem, konsistente Näherungen
Konsistente Näherung für ÃR (ω, ω ):
Betrachte gestörten Liouvilleoperator L̊ → L̊ +
%
A
hA (t)Ã. Dann ist
δ
A U(t, to ) ρo
1
δhB (t )
t t
= ds ds 1 A U(t, s) B̃R (s − t , t − s ) U(s , to ) ρo
GAB (t, t ) =
t
(6.45)
to
Mit Gl.(6.17):
ÃR (t − t , t − t ) = δ(t − t ) δ(t − t ) Ã +
δ
M(t, t )
δhA (t )
(6.46)
Konsistente Näherung: Näherung für M, Bestimmung von ÃR aus Gl.(6.45).
Fluktuations-Dissipations-Theorem
Korrelationsfunktion, Responsefunktion: mit Gl.(6.39)
CAB (t) = i
dω̄ −iω̄t
ĈAB (ω̄) ;
e
π
GAB (t) = i
dω̄ −iω̄t
ĜAB (ω̄)
e
π
(6.47)
Fluktuations-Dissipations-Theorem, Gl.(4.16), Gl.(4.26) und Gl.(4.27), für Operatoren
mit deﬁniter Parität bezüglich Bewegungsumkehr
ih̄
1
ĈAB (ω) = − coth( 2 βh̄ω) ĜAB (ω) − iπ Â B̂ δ(ω)
2
(6.48)
Gilt auch für D̂(ω) und F̂ (ω) , Gl.(6.41).
Mit Gl.(6.16) und Gl.(6.39):
>
(ω) = 1 A U(ω) BR (ω, 0) ρ
CAB
G>
AB (ω) = χAB (ω) = 1 A U(ω) B̃R (ω, 0) ρ
(6.49)
Das FDT, Gl.(6.48), gilt, falls die Spektralfunktionen von BR (ω, 0) ρ und B̃R (ω, 0) ρ
ebenfalls ein FDT der Form Gl.(6.48) erfüllen
3
3
ih̄
BR | ρ)(ω) = − coth( 12 βh̄ω) B̃R | ρ)(ω)
2
36
(6.50)
7. Spin 12 - Tunnelsystem im Kontakt mit einem Wärmebad:
Schwache Kopplung
Hamiltonoperator für Spin 12 in einem transversalen Magnetfeld oder symmetrischer
Tunnelzustand mit Tunnelfrequenz ∆o
1 H = − 12 h̄∆o σx + 12 h̄ √
Wi Qi σz + 12
Pi2 + ωi2 Q2i
(7.1)
N i
i
Mit Basis, Gl.(2.14),

0
1
σx = 


σz = 
0
1
1
0
0
0


0
0
0
σ̃x =
0
2

h̄


0
0
0


1
0

2
σ̃z = 
h̄ 0
0
0
0
0
−1
0
0
−1
0


1
0
(7.2)

0
1
0
0
0

Ungestörter Liouvilleoperator
L̊ = 12 h̄∆o σ̃x

und
i
ω
 0
Uo (ω) = 

0
(7.3)

0



(7.4)
M(t) = 14 h̄2 σ̃z Uo (t) D(t) σ̃z + F (t) σz
(7.5)
i
ω
−iω
∆2o −ω 2
−∆o
∆2o −ω 2
0
∆o
∆2o −ω 2
−iω
∆2o −ω 2
Störungsrechnung in 1-Loop Ordnung
Selbstenergie:
Mit Gl.(6.39), Gl.(6.41), Gl.(6.43) und Gl.(6.44)
U −1 (ω) = Uo−1 (ω) − M(ω)

−iω
0
ih̄
1
− 4 {F (ω−∆o )−F (ω+∆o )} −iω+ 2 {D(ω−∆o )+D(ω+∆o )}

=

0


=
Ul−1 (ω)
0
0
Ut−1 (ω)
37




0
−iω + D(ω) −∆o
∆o
−iω




(7.6)
Die nichttrivialen Nullstellen sind
zl = − 12 i D(zl − ∆o ) + D(zl + ∆o )
zt±
(7.7)
*
1
= − 2 i D(zt± ) ± ∆2o − 14 D(zt± )2
wobei für D(z) die analytische Fortsetzung in die untere Halbebene einzusetzen ist.
Die triviale Nullstelle zo = 0 ist eine Konsequenz der Erhaltung von Tr ρ = 1.
Badfunktionen F (ω) und D(ω)
Spektraldichte des Bades (dimensionslose Kopplungskonstante g)
gw (ω) =
2
g ω 2−α ω α Θ(ω)Θ(ωc − ω)
h̄ c
(7.8)
Mit Gl.(6.39) und Gl.(6.41)
1
2 h̄Fα (iy)
=
ωc
gωc2−α
dω̄
0
ω̄ α
gωc
y2
1
=
h̄F
(iy)
−
α−2
ω̄ 2 + y 2
α−1 2
ωc2
2
ω̄ α−1 1 + βh̄ω̄
Dα (iy) =
y
dω̄ 2
ω̄ + y 2
e
−1
0
βh̄ωc
1
2−α
xα−3 y2
+ 2 βh̄ωc
− Dα−2 (iy) 2
dx x
= gy
α−2
e −1
ωc
0
gωc2−α
ωc
(7.9)
1
Für α = 2 (Ohmsches Bad) erhält man für ωc |y|, βh̄
1
2 h̄F2 (iy)
und
ωc π
1 2
= g ωc − y arctan
= g ωc − y + y + · · ·
y
2
ωc
ωc2 + y 2
−βh̄ωc
ln
+ I(βh̄y) + O(e
)
D2 (iy) = g y
y2
∞
1
2u
I(x) =
du 2
2
u
u +x e −1
0
'
∞ &
1
1
1
du I (x) = i
2 − 2
eu − 1
0
u − ix
u + ix
(7.10)
1
2
(7.11)
Zur Berechnung von I (x):
1
=
u
e −1
1
2
coth
1
2u
−
1
2
=
∞
1
−
u − 2πin
n=−∞
1
2
1
1 1
= − 12 + +
+
u n=1 u − 2πin u + 2πin
∞
38
(7.12)
Damit wird
' ∞
∞ &
π
1
1
1
1
du I (x) = − 2 + i
2 − 2
x x
u − 2πin
−∞
u − ix
u + ix
n=1
∞
1
1
π
= − 2 − 2π
2
x x
x + (2π n)2
n=1
(7.13)
wobei die Integration für e y > 0 durch Schließen des Integrationswegs in der oberen
Halbebene mit resultierenden Polbeiträgen für xn = 2πin ausgewertet wird.
Die ψ-Funktion (Digamma-Funktion) ist
∞
d ln Γ(z)
ψ(z) =
= −CE +
dz
n=0
1
1
−
n+1 z+n
∞
1
(−)n ζ(n + 1)z n
−→ − − CE −
z→0
z
n=1
−→ ln(z) −
z→∞
(7.14)
1
1
1
1
+
−
+ ···
−
2
4
2z
12 z
120 z
251 z 6
wobei CE = 0.577215665.. die Eulersche Konstante und ζ(z) die Riemannsche
1 4
π · · · ist.
Zetafunktion mit ζ(2) = 16 π 2 ; ζ(3) = 1.2020569.. ; ζ(4) = 90
x
) ausdrücken und erhält
Damit kann man I (x) durch ψ ( 2π
I(x) = − ln 2π + ln x −
π
x
− ψ( )
x
2π
(7.15)
wobei die Integrationskonstante durch Anpassung für x 1 bestimmt wird.
Mit Gl.(7.11) erhält man
&
D2 (iy) = g y
ln
βh̄
'
+
βh̄y −βh̄ωc ωc2 + y 2
π
−
−ψ
+O e
2π
βh̄y
2π
Die entsprechenden Funktionen für
Gl.(7.9):
α = 4
(7.16)
erhält man aus den Rekursionsformeln,
y2
= 13 gωc − 12 h̄F2 (iy) 2
ωc
&
2 '
1
y2
π
D4 (iy) = 12 gy 1 +
− D2 (iy) 2
3 2βh̄ωc
ωc
1
2 h̄F4 (iy)
39
(7.17)
Ohmsches Bad
Für reelle Frequenzen, α = 2 ;
ωc {|ω| , ∆o , 1/βh̄}:
Mit Gl.(7.11), Gl.(7.14) und Gl.(7.16)
1
2 h̄F (ω)
= g ωc + 12 iπ ω + · · ·
D(ω) =
1
1
2 πgω coth( 2 βh̄ω)
βh̄ω − iωg ln(βh̄ωc ) − eψ i
2π
(7.18)
wobei eψ(ix) = eψ(−ix) und, Gl.(7.14), eψ(ix) −→ −CE + ζ(3)x2 −→ ln(|x|) +
x→∞
x→0
Longitudinaler Sektor: Für |ω| ! ∆o deﬁniere
βh̄∆o d
mD(ω)
= 1 + g ln(βh̄ωc ) − eψ i
Zl−1 = 1 −
dω
2π
ω=∆o
Γl = Zl eD(∆o ) = Γo Zl coth( 12 βh̄∆o )
1
12x2
(7.19)
Γo = 12 π∆o g
Damit wird, Gl.(7.6),

Ul−1 (ω) = 
−iω
0
−Γo
−iZl−1 (ω

 + ···
+ iΓl )

i

ω
Ul (ω) = 
 −Γo Zl
ω(ω + iΓl )

0
iZl
ω + iΓl
(7.20)

 + Rl (ω)

Die Restterme Rl (ω) sind für kleine ω vernachlässigbar.
Mit U(t = 0) = 1 erhält man die Summenregeln
∞
dω
0
0
Rl (ω) =
0 1 − Zl
−∞ 2π
(7.21)
Transversaler Sektor: Pole (Nullstellen von Gl.(7.7)) zt± = ±Ω − iΓt oder Ω = 0 und
zt± = −iΓt± . Deﬁniere
+
βh̄ Ω 2 + Γt2 d mD(ω) −1
Zt = 1 −
= 1 + g ln(βh̄ωc ) − eψ i
√ 2 2
dω
2π
ω= Ω +Γt
(7.22)
Γt = Zl eD(Ω) = 14 πgZt Ω coth( 12 βh̄Ω)
40
Mit Gl.(7.7) erhält man damit
+
Ω = Zt ∆2o − Γt2
Ω=0
Γt± = Γt ±
*
−
Γt2
-
Ut−1 (ω) =
für Zt ∆2o > Γt2
für Zt ∆2o < Γt2
Zt ∆2o
(7.23)
−iZt−1 ω + 2iΓt
−∆o
∆o
−iω
.
Im Fall schwacher Dämpfung erhält man eine Reduktion der Frequenz Ω/∆o =
Mit Gl.(7.6) für Zt ∆2o > Γt2
Ut (ω) = 
1
ω + iΓt − Ω ω + iΓt + Ω

−Zt ∆o
Zt ∆o
i ω + 2iΓt
 + Rt (ω)
Ein entsprechender Ausdruck ergibt sich für Zt ∆2o < Γt2 .


iZt ω
−Zt ∆o
1


Ut (ω) = + Rt (ω)
ω + iΓt− ω + iΓt+
Z ∆ i ω + 2iΓ
o
Zt

iZt ω
t
√
(7.24)
(7.25)
t
Die Restterme Rt (ω) genügen der Summenregel

∞
1 − Zt
dω

Rt (ω) =
−∞ 2π
0
0


(7.26)
i
U∞
ω
(7.27)
0
Gleichgewichtsverteilung P∞
Für U(t) −→ U∞
t→∞
U(ω) =
∞
dt eiωt U(t) −→
ω→0
0
Mit Gl.(7.20) und Gl.(7.24)

U∞
1
m
=
0
0
0
wobei
m=
0
0



;
P∞
Zl Γo
= tanh 12 βh̄∆o
Γl
41

1
m
= 
0
0
(7.28)
(7.29)
Renormierte Vertizes
Unrenormierte Vertizes, mit σx = m :

(σx −m)P∞

0
1−m2
=
;
0
0
σ̃x P∞ = 0;
σz P∞
 
0
0
=  ;
0
1

σ̃z P∞

0
20
=−  
h̄ m
0
(7.30)
1-Loop Beitrag zur Renormierung eines Vertex V
h̄2
(VR − V)P∞ (ω) = i
4
dω̄
σ̃z Uo (ω − ω̄)V Uo (−ω̄) D̂(ω̄)σ̃z + F̂ (ω̄)σz P∞
π
(7.31)
z
− σz )P∞ = 0 und für die übrigen Operatoren, mit σx − m = δσx :
Damit erhält man (σR
x
im2 δσR P∞ (ω) = 1 − m2 −
D(ω − ∆o ) + D(ω + ∆o ) − D(∆o ) − D(−∆o )
2ω
 
0
1
mh̄ −
F (ω − ∆o ) − F (ω + ∆o ) + F (∆o ) − F (−∆o )  
0
4ω
0
 
0
1
= 1 − Zl−1 m2   + · · ·
0
0
(7.32)
wobei die Beiträge ∼ F (∗) verschwinden,
x
2 m
D(ω − ∆o ) − D(ω + ∆o ) + D(∆o ) − D(−∆o )
σ̃R P∞ (ω) =
h̄ 2ω
 
0
1
ih̄ F (ω − ∆o ) + F (ω + ∆o ) − F (∆o ) − F (−∆o )  
−
0
4ω
0
 
' 0
&
d eD(ω) h̄ d mF (ω) 2
1
−m
=
+
  + ···
0
h̄
dω
2
dω
∆o
∆o
0
 
0
1

= Zl−1 βΓl (1 − m2 )   + · · ·
0
0
und
42
(7.33)
z
2
i D(ω) − D(∆o ) D(ω) − D(−∆o ) +
σ̃R P∞ (ω) = −
1+
h̄
2
ω − ∆o
ω + ∆o
 
0
h̄ F (ω) − F (∆o ) F (ω) − F (−∆o )  0 
−
−
 
m
4m
ω − ∆o
ω + ∆o
0
 
0
2
0

= − Zt−1   + · · · = Zt−1 σ̃z P∞ + · · ·
h̄ m
0
(7.34)
wobei die Beiträge ∼ F (∗) verschwinden.
Response- und Korrelationsfunktionen
Mit Gl.(6.49) erhält man für die Responsefunktionen (Suszeptibilitäten) die Polbeiträge
χ (ω) = β(1 − m2 )
l
Γl
Γl − iω
∆2o
2m
∆o h̄ Zt ∆2o − 2iωΓt − ω 2

1
1
m∆o


+
 h̄Ω
Ω − ω − iΓt
Ω + ω + iΓt
=

2m∆o
1
1


−
h̄(Γt+ − Γt− ) Γt− − iω Γt+ − iω
χ (ω) =
t
(7.35)
für Zt ∆2o > Γt2
für Zt ∆2o < Γt2
Hinzu kommen inkohärente hochfrequente Restterme (siehe Gl.(7.20), Gl.(7.25)).
Die longitudinale statische Suszeptibilität χ (0) ist, gegenüber dem freien Wert,
l
unverändert, wogegen die transversale statische Suszeptibilität χ (0) um einen Faktor
t
Zt−1 vergrößert ist.
Die zugehörigen Spektralfunktionen sind, Gl.(6.39),
χ̂ (ω) = β(1 − m2 )
l
ωΓl
+ ω2
Γl2

m∆o Γt
1
1


−
 h̄Ω
(Ω − ω)2 + Γt2
(Ω + ω)2 + Γt2
χ̂ (ω) =
t

1
2m∆o ω
1


2 + ω2 − Γ 2 + ω2
h̄(Γt+ − Γt− ) Γt−
t+
43
für Zt ∆2o > Γt2
für Zt ∆2o < Γt2
(7.36)
Die Spektralfunktionen der Responsefunktionen erhält man mit Hilfe des FDT, Gl.(4.26),
Ĉl,t (ω) = i 12 h̄χ̂ , t(ω) coth( 12 βh̄ω)
l
(7.37)
oder mit Hilfe der renormierten Observablen in 1-Loop-Näherung.
unterscheiden sich um Faktoren
Ĉx (ω)|1−Loop
Ĉx (ω)|F DT
=
Die Resultate
(Zl − m2 ) tanh 12 βh̄ω
(1 − m2 ) 12 βh̄ω
(7.38)
Ĉz (ω)|1−Loop
Ĉz (ω)|F DT
=
ω tanh 12 βh̄∆o
∆o tanh 12 βh̄ω
Die Unterschiede sind von der Ordnung 1 − Zl,t und damit ist die Berechnung der
renormierten Observablen in 1-Loop-Näherung inkonsistent.
Superohmsches Bad
α = 4: Mit Gl.(7.17) und Gl.(7.18)
1
2 h̄F (ω)
=g
ω
c
3
+
ω3
ω2
+ 12 iπ 2 + · · ·
ωc
ωc
3
βh̄ω ω3 1
1 ω
1
+· · ·
D(ω) = g − 2 iω + 2 π 2 coth( 2 βh̄ω) − i 2 ln(βh̄ωc ) + eψ i
ωc
ωc
2π
(7.39)
Longitudinaler Sektor: Mit Gl.(7.19)
Zl−1 = 1 + 12 g + 3
Γl =
βh̄∆o ∆2o g
ln(βh̄ω
)
+
eψ
i
c
ωc2
2π
Γo Zl coth( 12 βh̄∆o )
Γo =
1
2π g
∆3o
ωc2
(7.40)
Damit ist Ul (ω) wie in Gl.(7.20).
Transversaler Sektor, schwache Dämpfung: Mit Gl.(7.22)
Zt−1 = 1 + 12 g + 3
Γt = 14 π g
βh̄Ω ∆2o g
ln(βh̄ω
)
+
eψ
i
= 1 + 12 g + · · ·
c
ωc2
2π
(7.41)
3
Ω
coth( 12 βh̄Ω) + · · ·
ωc2
+
Damit ist Ω wie in Gl.(7.23) Ω = Zt ∆2o − Γt2 und Ut (ω) wie in Gl.(7.24). Der
überdämpfte Fall tritt wegen der Ω-Abhängigkeit von Γt nicht auf.
44
Responsefunktionen
Gleichgewichtsverteilung: wie Gl.(7.28)
x
Mit Gl.(7.33) und Gl.(7.39) erhält man für
σ̃R P∞ (ω) wieder das in Gl.(7.33)
angegebene Resultat. Damit gilt das in Gl.(7.35) angegebene Resultat für χ (ω).
l
z
Mit Gl.(7.34) und Gl.(7.39) erhält man mit Zt−1 = 1 + 12 g für σ̃R
P∞ (ω) wieder das
in Gl.(7.34) angegebene Resultat. Damit gilt das in Gl.(7.35) angegebene Resultat auch
für χ (ω). Wie im Fall des Ohmschen Bades ist die direkte 1-Loop-Rechnung für die
t
Korrelationsfunktionen inkonsistent.
Bloch Gleichungen
Eﬀektiver Liouville Operator:
?
?
∂t − Lef f U(t) = δ(t) oder U −1 (ω) = − iω − Lef f
Mit Gl.(7.20), Gl.(7.24) und Gl.(7.19)
U−1 (ω) = Z −1 −iω − Lef f

1
0
Z=
0
Zl
Zt
0
0

Lef f
Bloch Gleichung:
0
 mΓl
=
0
0
−Γl
0


0
1
(7.42)
0
−2Γt
∆o

−Zt ∆o 
0
∂t − Lef f U(t) = Z δ(t) + R(t)
wobei R(t) in der Zeit schnell zerfällt.
45

(7.43)
8. Spin 12 - Tunnelsystem im Kontakt mit einem Wärmebad:
Starke Kopplung
Wirkung, Gl.(6.13) und Gl.(7.3),
t1
1
S(t1 , t0 ) = 2 h̄∆o dt σ̃x (t)
+
1 2
4 h̄
t0
t1
t dt σ̃z (t) dt D(t − t )σ̃z (t ) + F (t − t )σz (t )
t0
(8.1)
t0
Führender Beitrag für starke Kopplung: Term ∼ D(t − t ) und davon speziell der Beitrag
i
βh̄Ω) , Gl.(7.18), für α = 2 oder ∼ −iωg ,
in D(ω) ∼ −iωg ln(βh̄ωc ) + eψ( 2π
Gl.(7.39), für α = 4.
Ziel: Exakte Behandlung dieses Beitrags und Störungsrechnung bezüglich der übrigen
Terme.
Führender Beitrag zu D(t):
Deﬁniere für Ω ! τ −1 ! ωc
(Ω sei eine typische ineressierende Frequenz)
f (ωτ ) −→ 0
f (ωτ ) −→ 1
ωτ →∞
ωτ →0
D̂s (ω) = − 12 iπ g
Ds (ω) = K
α−1
ω
1
α−2 coth( 2 βh̄ω) f (|ω|τ )
ωc
δτ (ω)
Ds ( t ) = K
(8.2)
δτ ( t )
Dr (ω) = D(ω) − Ds (ω)
Dabei sei
K
=g ωc2−α
0
ωc
dω ω α−3 coth( 12 βh̄ω)f (ωτ )
ωc
ω α−1
2−α
coth( 12 βh̄ω)
=g ωc P dω 2
2
ω
−
Ω
0
δτ (t)
d2
= 2 Θτ (t)
dt
δτ (ω)
ωc
Θτ (t) = 1 − ϑτ (t) =
0
(8.3)
−→ −iω + O(ω τ )
3 2
ω→0
dω 1 − cos(ωt) ω α−3 coth( 12 βh̄ω)f (ωτ )
ωc
dω ω α−3 coth( 12 βh̄ω)f (ωτ )
0
Ungestörte Wirkung:
S̊(t1 , t0 ) =
1 2
4 h̄
t1
K
dt
t0
t
dt σ̃z (t) δτ (t − t ) σ̃z (t )
(8.4)
t0
Zeitentwicklungsoperator Ů(t1 − t0 ) = T eS̊(t1 −t0 ) : Beachte: S̊ enthält nur σ̃z und
damit ist die Zeitordnung nicht relevant.
46
Projektionsoperatoren: p2z = pz ; qz2 = qz

0
0
pz = − 14 h̄2 σ̃z σ̃z = 
0
1
q z = 1 − pz
1
0
= 
1
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1




(8.5)


Damit wird der ungestörte Zeitentwicklungsoperator
Ů(t1 − t0 ) = qz + Z̊ pz + R̊(t1 − t0 ) pz
R̊(t) = eKϑτ (t) − 1 Z̊
(8.6)
Z̊ = e−K
und für ωτ ! 1
Ů(ω) =
i qz + Z̊ pz + R̊(ω) pz
ω
1 − Z̊
τ
R̊(ω) ∼ √
K
(8.7)
Störung σ̃x :
1. Ordnung: Mit pz σ̃x pz = qz σ̃x qx = 0
S̊(t1 ,t0 )
= pz eS̊(t1 ,t) σ̃x qz + qz σ̃x eS̊(t,t0 ) pz = Ů (t1 , t)σ̃x Ů (t, t0 )
T σ̃x (t) e
(8.8)
2. Ordnung: Für t0 < t < t < t1
T σ̃x (t) σ̃x (t ) eS̊(t1 ,t0 ) = qz σ̃x pz Ů(t − t )pz σ̃x qz +
+ pz Ů(t1 − t) cosh K[ϑτ (t1 −t0 )−ϑτ (t1 −t )−ϑτ (t−t0 )+ϑτ (t−t )] pz σ̃x2 pz
h̄2
2
σ̃z σ̃x σ̃z Ů(t − t0 )pz
− sinh K[ϑτ (t1 −t0 )−ϑτ (t1 −t )−ϑτ (t−t0 )+ϑτ (t−t )]
4
= Ů(t1 − t)σ̃x Ů(t − t )σ̃x Ů(t − t0 ) + pz R̊σ̃x2 (t1 , t, t , t0 ) pz
wobei R̊σ̃x2 ∼ −Z̊ −1 τo für ωτ ! 1 wobei
ωc
dωω α−1 coth( 12 βh̄ω)f (ωτ )
d2
−2
= 0ωc
τo = − 2 ϑτ (t)
dt
t=0
dω ω α−3 coth( 12 βh̄ω)f (ωτ )
0
47
(8.9)
(8.10)
Wirkung mit
1
2 h̄∆o σ̃x
für ωτ ! 1
Unter vernachlässigung der Restterme:

−iω
0
 0
−iω Z̊ −1
Uo−1 (ω) = 
0



Uo (ω) = 

i
ω
0
0
iZ̊
ω
0
−iω Z̊ −1
∆o


−∆o 
−iω

0
iω Z̊
ω 2 −∆2o Z̊
∆o Z̊
ω 2 −∆2o Z̊
0
−∆o Z̊
ω 2 −∆2o Z̊
iω
ω 2 −∆2o Z̊
(8.11)




Störungsrechnung in 1-Loop Ordnung
Renormierung von σ̃z und σz
Mit σ̃z = pz σ̃z pz
T σ̃z (t) eS̊(t1 ,t0 ) = σ̃z Ů(t1−t0 ) = Ů(t1−t)Z̊ −1 σ̃z Ů(t−t0 ) + pz R̊σ̃z (t1 , t, t0 )pz
(8.12)
Damit ist σ̃rz = Z̊ −1 σ̃z + · · ·
Entsprechend mit σz = qz σz qz
T σz (t) eS̊(t1 ,t0 ) = σz Ů(t1−t0 ) = Ů(t1−t)σz Ů(t−t0 )
(8.13)
Damit ist σrz = σz
Störungsrechnung bezüglich F (t) und Dr (t) = D(t) − Kδτ (t)
+
Mit ∆ˆo = Z̊ ∆o und Ω = ∆ˆo in Gl.(8.3)


−iω
0

Ul−1(ω) =
−1
−1
ih̄
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
− 4 F (ω− ∆o )−F (ω+ ∆o ) Z̊ 2 −i ω+ 2 i Dr (ω− ∆o )+Dr (ω+ ∆o ) Z̊

Ut−1 (ω) = 
Damit wird



Ul (ω) =


−i ω + iDr (ω) Z̊ −1
1
∆ˆo Z̊ − 2
1
−∆ˆo Z̊ − 2


(8.14)
−iω

i
ω
0



+

ih̄
ˆ
ˆ
Z̊

iZ̊
4ω F (ω+ ∆o )−F (ω− ∆o )
1
1
ω+ 2 i Dr (ω+ ∆ˆo )+Dr (ω− ∆ˆo ) ω+ 2 i Dr (ω+ ∆ˆo )+Dr (ω− ∆ˆo )
48
(8.15)

und
iω Z̊
1
 +
Ut (ω) =
2
ω 2 + iωDr (ω) − ∆ˆo ∆ˆ Z̊
o
−∆ˆo
+
Z̊


(8.16)
Für die Gleichgewichtsverteilung erhält man das Resultat, Gl.(7.28), mit
+
m = Z̊ tanh( 12 βh̄∆ˆo )
(8.17)
i ω + iDr (ω)
Aus der Relation m = h̄2 ∂F/∂∆o sieht man, daß die Freie Energie F =
nur von der renormierten Tunnelfrequenz ∆ˆo abhängt.
1
β
ln cosh( 12 βh̄∆ˆo )
Longitudinale Suszeptibilität
Vertex δσrx
T σx (t) − m eS̊(t1 ,t0 ) = Ů(t1−t)σx Ů(t−t0 ) − mŮ(t1−t0 )
= Ů(t1−t) σz − (qz + Z̊ −1 pz ) m Ů(t−t0 ) + · · ·
(8.18)
δσrx = σz − (qz + Z̊ −1 pz ) m
z
Renormierter Vertex σ̃R
(siehe Gl.(7.33))
x
2 m −1 Z̊ 2 Dr (ω − ∆ˆo ) − Dr (ω + ∆ˆo ) + Dr (∆ˆo ) − Dr (−∆ˆo )
σ̃R P∞ (ω) =
h̄ 2ω
 
0
1
ih̄ F (ω − ∆ˆo ) + F (ω + ∆ˆo ) − F (∆ˆo ) − F (−∆ˆo )  
−
0
4ω
0
 
' 0
&
d eDr (ω) h̄ d mF (ω) 2
1
−m
=
+
  + ···
0
ˆ
ˆ
h̄
dω
2
dω
∆o
∆o
0
 
0
1
= β 1 − Z̊ −1 m2 eDr (∆ˆo )   + · · ·
0
0
(8.19)
wobei das FDT, Gl.(6.41), 12 h̄mF (ω) = eDr (ω) tanh( 12 βh̄ω) benutzt wurde. Damit
erhält man (siehe Gl.(7.35))
χx (ω) = β Z̊ − m2
= β Z̊ − m
2
Dr (∆ˆo ) + Dr (−∆ˆo )
Dr (ω + ∆ˆo ) + Dr (ω − ∆ˆo ) − 2iω
Γl
Γl − iω
49
(8.20)
mit
Γl = 12 πg
∆ˆα−1
o
1
ˆ
α−2 coth( 2 βh̄∆o )
ωc
(8.21)
Für ω → 0 erhält man mit Gl.(8.16) χx (0) = dm / d 12 h̄∆o
Longitudinale Korrelationsfunktion
x
Renormierter Vertex δσR
(siehe Gl.(7.32))
 
' 0
x
1
d mDr (ω) h̄ d eF (ω) 1
σR P∞ (ω) = 1− Z̊ −1 m2 − Z̊ −1 m2
+ Ẑ − 2 m
  + ···
0
ˆ
ˆ
dω
2
dω
∆o
∆o
0
&
 
0
1
= 1 − Z̊ −1 m2   + · · ·
0
0
(8.22)
Damit erhält man die longitudinale Korrelationsfunktion
Cx> (ω) = Z̊ − m2
2
ˆ
Dr (ω + ∆o ) + Dr (ω − ∆ˆo ) − 2iω
(8.23)
Alternativ kann Cl> (ω) mittels FDT aus χx (ω) berechnet werden. Für das Verhältnis
der Spektralfunktionen erhält man, unter Vernachläßigung von mDr (ω),
'
&
2
ˆ
Ĉx (ω)1−Loop
tanh( 12 βh̄ω)
d
1
eD
(
∆
)
r
o
(8.24)
=
1 + 12 ω 2
1
2
ˆ
ˆ
βh̄ω
eD
(
∆
)
d
∆
Ĉx (ω)
r
o
2
o
F DT
und damit Übereinstimmung beider Resultate für βh̄ω ≈ βh̄Γl ! 1.
Transversale Suszeptibilität
z
Renormierter Vertex σ̃R
(siehe Gl.(7.34))
z
2
iω eDr (ω) ∆ˆo coth( 12 βh̄∆ˆo )
−1
σ̃R P∞ (ω) = − mZ̊
1+
−
1
2
h̄
ω coth( 12 βh̄ω)
∆ˆo − ω 2
 
0
(8.25)
+ eF (∆ˆ ) − eF (ω)
0


o
− 12 h̄∆ˆo Z̊
 
2
1
∆ˆo − ω 2
0
+
wobei der letzte Term Korrekturen der Ordnung Z̊g ∆ˆ2o /ωc2 liefert. Der zweite Term
ist für βh̄∆ˆo ! 1 und βh̄|ω| ! 1 vernachlässigbar und liefert für ∆ˆo ≈ |ω|:
ˆo ) ˆo
i eDr (∆
βh̄∆
1
−
.
ˆ
ˆ
2∆
sinh(βh̄∆ )
o
o
50
Damit wird die transversale Suszeptibilität
2 ∆ˆo tanh( 12 βh̄∆ˆo )
βh̄∆ˆo
iDr (∆ˆo )
1−
χz (ω) =
1+
h̄ ∆ˆ2o − ω 2 − iωDr (ω)
2∆ˆo
sinh(βh̄∆ˆo )
(8.26)
Die Zerlegung in Polbeiträge ist entsprechend Gl.(7.23) und Gl.(7.35).
Transversale Korrelationsfunktion
Der Vertex σz enthält keine Renormierungsbeiträge. Damit ist
Cz> (ω) =
Dr (ω) − iω
∆ˆ2o
(8.27)
− ω 2 − iωDr (ω)
Für das Verhältnis der Spektralfunktionen erhält man, wieder unter Vernachlässigung von
mDr (ω),
−1
Ĉz (ω)1−Loop
∆ˆo coth( 12 βh̄∆ˆo )
∆ˆ2o − ω 2
βh̄∆ˆo
=
1+
1−
ω coth( 12 βh̄ω)
2∆ˆo ω
sinh(βh̄∆ˆo )
Ĉz (ω)F DT
(8.28)
Damit stimmen die Resultate sowohl für schwache Dämpfung ω ≈ ∆ˆo wie auch für hohe
Temperaturen βh̄ω ! 1 und βh̄∆ˆo ! 1 überein.
Superohmsches Bad und hohe Temperatur
Es sei α = 4 und βh̄∆ˆo ! 1 . Wähle f (ωτ ) in Gl.(8.2)
f (ωτ ) = tanh( 12 βh̄|ω|)
ϑτ (t) =
(8.29)
sin ωc t 1 − cos ωc t
−
ωc t
ωc2 t2
1-Loop Rechnung
Temperaturabhängige Kopplungskonstante
1.0
ḡβ =
π ∆ˆo
g
βh̄ωc2
(8.30)
0.8
Ωt
ˆo
∆
0.6
Longitudinale Dämpfung Γl = ḡβ ∆ˆo
Transversale Frequenz Ωt = x∆ˆo
Transversale Dämpfung Γt = y ∆ˆo
mit x2 = 1 + y 2 − (3x2 − y 2 )yḡβ
und y = 12 (x2 − 3y 2 )ḡβ
0.4
Γt
ˆo
∆
0.2
0.0
51
0
1
2
3
4
ḡβ
5
Restterm der Störungsrechnung 2. Ordnung in ∆o
Siehe Gl.(8.9) und Gl.(8.10):
M∆2o (t) = 14 h̄2 ∆2o cosh Kϑτ (t) − 1 pz σ̃x2 pz − sinh Kϑτ (t) 14 h̄2 σ̃z σ̃x2 σ̃z
√
M∆2o (ω=0) ≈
−∆2o τo
Z̊
−1
pz
τo =
(8.31)
6
ωc
o
Der Restterm kann für Z̊|M∆2o (ω=0)| ! Γt und damit Z̊ − 2 ∆
ωc ! ḡ vernachlässigt
werden.
1
2-Loop Rechnung
ω2 1
1
βh̄ω
coth(
βh̄ω
−
sign
ω
2
∆ˆo 2
ω2 ≈ ḡβ
1 − 12 βh̄|ω| Θ 1 − 12 βh̄|ω|
∆ˆo
iD̂r (ω) = eDr (ω) = ḡβ
(8.32)
Selbstenergie in 2-Loop Ordnung (Gl.(6.44))
a
b
h̄4 −4 dω1 dω2
D̂r (ω1 )D̂r (ω2 )σ̃z Uo (ω−ω1 )σ̃z Uo (ω−ω1 −ω2 )σ̃z Uo (ω−ω1 )σ̃z
Ma (ω) = − Z̊
16
π2
(8.33)
4
h̄
dω1 dω2
D̂r (ω1 )D̂r (ω2 )σ̃z Uo (ω−ω1 )σ̃z Uo (ω−ω1 −ω2 )σ̃z Uo (ω−ω2 )σ̃z
Mb (ω) = − Z̊ −4
16
π2
und entsprechende Beiträge mit F (ω1,2 ).
Transversaler Sektor: Mit ω1 = 12 ω̄ + ω̂ und ω2 = 12 ω̄ − ω̂
1
1
dω̂dω̄ D̂r (ω̂+ 12 ω̄)D̂r (ω̂− 12 ω̄)
+
2
π2
ω − ω̄ − ∆ˆo
ω − ω̄ + ∆ˆo
ω̂ − ω + 12 ω̄
Ma33 (ω) = 12 iZ̊ −1
Mb33 (ω) = −12 iZ̊ −1
M33 (ω) = −14 iZ̊ −1
1
1
dω̂dω̄ D̂r (ω̂+ 12 ω̄)D̂r (ω̂− 12 ω̄)
+
2
π2
ω − ω̄ − ∆ˆo
ω − ω̄ + ∆ˆo
ω̂ 2 − ω − 12 ω̄
2
2ω − ω̄
2 2
ω̂ 2 − ω − 12 ω̄
1
1
×
+
ω − ω̄ − ∆ˆo
ω − ω̄ + ∆ˆo
dω̂dω̄
D̂r (ω̂+ 12 ω̄)D̂r (ω̂− 12 ω̄) π2
Die restlichen transversalen Beiträge verschwinden.
52
(8.34)
Mit Gl.(8.32) erhält man
M33 (ω) = −Z̊
−1
ḡβ2 ḡ 3 ω2 ω2 −1 β ˆ
∆o 1 +
1+
= −Z̊
πβh̄
go
∆ˆ2o
∆ˆ2o
∆ˆ2
go = π 2 2o g
ωc
(8.35)
Dies liefert Pole für Ωt = ±x∆ˆo und Γt = y ∆ˆo wobei
x2 = 1 + y 2 − go−1 ḡβ3 y − 1 + go−1 ḡβ2 ḡβ 3x2 − y 2
2
−1 3
−1 2
2
1
x − 3y
y = 2 go ḡβ + 1 + go ḡβ
(8.36)
beziehungsweise x = 0 und y = y± . Der Übergang zum üerdämpften Fall ﬁndet für
√
ḡβ3 ≈ 2(1 + 2) go statt.
Anmerkung: Die führenden Beiträge zu Ma33 und Mb33 heben sich gegeneinander auf.
2
ˆ −3 5
Beispielsweise ist Ma33 = −Z̊ −1 8π
15 ∆o go ḡβ .
Anmerkung: Beim Übergangzum überdämpften Fall sind Beiträge höherer Ordnung zu
berücksichtigen.
∗F ∗ I ∗ N ∗ I ∗ S∗
53