1 Motivation für die faseroptische Nachrichtentechnik

Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/1
Grundlagen (GRU)
Dieses Kapitel stellt einige wichtige Grundlagen der optischen Nachrichtenübertragung vor. Behandelt
werden ebene Wellen, Näherungsformeln für die Bestimmung der Brechzahl (Sellmeier-Verfahren) von
SiO2 und die Dämpfung von optischen Wellen in Glasfasern.
P h o to d io d e
L a s e rd io d e
iP
U
iL
0
L ic h tw e lle n le ite r
Abbildung 1: Prinzip einer faseroptischen Übertragungsstrecke. iL ist der Ansteuerstrom für den Halbleiterlaser und ip ist der zu messende Photodiodenstrom im Empfänger.
Abb. 1 zeigt eine sehr einfache optische Übertragungstrecke, deren Elemente in späteren Kapiteln
im Detail erläutert werden. Sie besteht aus einem Sender (Laserdiode), dem Übertragungsmedium
(Lichtwellenleiter) und dem Empfänger (Photodiode).
Eine Variation von iL führt zu einer Variation der optischen Leistung des Halbleiterlasers und damit zu
einer Variation des Photodiodenstroms ip .
1 Motivation für die faseroptische Nachrichtentechnik
Die folgenden Punkte machen die optische Übertragungstechnik besonders interessant:
1. Die Lichtleitfaser weist eine sehr geringe Dämpfung auf.
2. Da die Frequenzen im optischen Spektralbereich sehr hoch sind, ist prinzipiell eine hohe Bandbreite erreichbar.
3. Die Lichtleitfaser ist unempndlich gegenüber elektromagnetischen Störungen.
4. Lichtleitfasern sind nur schwer abhörbar.
5. Lichtleitfasern weisen einen geringen Querschnitt auf, d.h. eine hohe Packungsdichte ist realisierbar.
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Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/2
2 Genutzter Frequenz- und Wellenlängen- Bereich
Der Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts ist = 0; 4:::0; 8 µm. Mit den Bezeichnungen
Wellenlänge im freien Raum
c Lichtgeschwindigkeit im freien Raum
Frequenz
ergibt sich
=
c
(1)
Der sichtbare Spektralbereich entspricht dabei Frequenzen im Bereich = 750:::375 THz
(1THz = 1000GHz = 1012 Hz).
Faseroptische Übertragungsstrecken werden im allgemeinen im nahen Infrarot betrieben mit =
0; 8:::1; 6 µm und = 375:::188 THz. Wellen derartig hoher Frequenzen werden in dielektrischen
Wellenleitern (Gläsern) geführt.
3 Ebene Wellen
Im folgenden wird ein homogenes Dielektrikum mit der Dielektrizitätskonstanten " = "0 "r ( "r =
n2 , wobei n die Brechzahl bezeichnet) vorausgesetzt. Für das elektrische und magnetische Feld gilt
folgender Zusammenhang zwischen der Darstellung im Zeitbereich und der Zeigerdarstellung:
~ (t ) = RefE
~ exp(j!t )g und H
~ (t ) = RefH
~ exp(j!t )g
E
(2)
mit ! = 2 .
Es wird also von harmonischen Zeitabhängigkeiten ausgegangen, was damit einer monochromatischen
Welle entspricht.
Im optischen Spektralbereich gibt es keine eingeprägten Stromquellen, so dass sich für die Maxwell'schen Gleichungen ergibt:
r E~ = j!0H~
r H~ = j!"E~ = j!"0n2E~
(3)
(4)
Dielektrische Materialien haben im allgemeinen eine relative Permeabilität r = 1 , so dass in Gl. (3)
= 0 gesetzt wurde.
Bildet man nun die Rotation von Gl. (3) und setzt Gl. (4) in die entstehende Gleichung ein, erhält
man:
r (r E~ ) k02n2E~ = 0
(5)
p
wobei k0 = ! 0 "0 gilt und k0 als Wellenzahl des freien Raums bezeichnet wird. Mit
r (r E~ ) = r (|r{zE~ }) 4E~ = 4E~
=0
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(6)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
folgt:
Analog gilt auch:
GRU/3
4E~ + k02n2E~ = 0
(7)
4H~ + k02n2H~ = 0
(8)
4 bezeichnet den Laplace-Operator. Der Laplace Operator verlangt die Anwendung von
@2
@2
@2
@x 2 + @y 2 + @z 2
~ bzw H
~.
für jede kartesische Komponente von E
rE~ = 0 in Gl. (6) folgt aus der Bildung der Divergenz von Gl. (4).
Gl. (7) und Gl. (8) gelten nur in homogenen Bereichen, d.h. nur dort, wo die Brechzahl n unabhängig
vom Ort ist.
Eine mögliche Lösung der Dierentialgleichung (7) ist die ebene Welle mit:
~ 0 exp( j ~k ~r) = E
~ 0 exp( j (kx x + ky y + kz z ))
~ =E
E
 
Dabei ist ~r =
x 
 
y  der Ortsvektor und
 
z

(9)

 kx 

~k = 
ky  der sogenannte Wellenvektor, mit
 
kz
~k ~k = (~k )2 = kx2 + ky2 + kz2 = k02 n2
(10)
~ 0 ist ein konstanter, komplexer Amplitudenvektor.
E
Gl. (9) beschreibt eine ebene Welle, da Flächen mit konstanter Phase = ~k ~r Ebenen darstellen. Diese
Phasenächen stehen senkrecht auf dem Wellenvektor ~k , der die Ausbreitungsrichtung beschreibt.
Aus den Gl. (3) und Gl. (9) folgt:
~ ~
~ = k E =H
~ 0 exp( j ~k ~r)
H
!0
(11)
~ ~
~ 0 = k E0 :
H
!0
(12)
mit
Analog zu Gl. (11) folgt aus Gl. (4):
~=
E
~k H
~
!"0 n2
(13)
~, H
~ , und ~k jeweils senkrecht aufeinander stehen.
Aus Gl. (11) und Gl. (13) folgt, dass E
~ , dessen Richtung mit der des
Die Welle transportiert Energie in Richtung des Poynting-Vektors S
Wellenvektors ~k identisch ist (dies gilt zumindest für isotrope Materialien mit skalarem n).
1 ~ ~
S~ = (E
H )
2
~ bezeichnet dabei die Wirkleistungsdichte.
Der Realteil von S
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(14)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/4
Im folgenden wird eine sich in z-Richtung ausbreitende Welle behandelt. Der Wellenvektor dieser
Welle zeigt dann in z-Richtung, so dass gilt ~k = ~ez k0 n ( ~ez Einheitsvektor in z-Richtung). Für das
elektrische Feld folgt dann :
~ =E
~ 0 exp( jk0 nz )
(15)
E




~ 0 = a x  E 0 .
mit E
ay
a
Dabei ist  x  der so genannte Jones-Vektor (mit jax j2 + jay j2 = 1 ), welcher den Polarisationszuay
stand der Welle beschreibt. Einige mögliche Polarisationszustände sind z.B.:
ax = 1
ay = 0
-in x-Richtung linear polarisierte Welle
ax = 0
ay = 1
-in y-Richtung linear polarisierte Welle
ax =
p1
2
ay =
pj
2
-zirkular polarisierte Welle
(d.h. 90 -Phasenverschiebung zwischen x- und y-Komponente)
Im folgenden wird eine in x-Richtung linear polarisierte Welle angenommen. Daraus folgt für das Eund das H-Feld:
(16)
E x = E 0 exp( jk0 nz ); E y = E z = 0
H y = H 0 exp( jk0 nz ); H x = H z = 0
(17)
~ x und H
~ y über den Feldwellenwiderstand ZF verknüpft sind gemäÿ:
wobei E
E
E
1
ZF = x = 0 =
Hy
H0 n
r
0 120 =
"0
n
(18)
Die Ausbreitungseigenschaften der Welle werden im Zeitbereich mit Gl. (2) und Gl. (16) beschrieben
durch
Ex (t ) = Re fE 0 exp(j [!t z ])g
(19)
= k0 n wird als Ausbreitungskonstante bezeichnet. Ist E0 reell, dann folgt daraus:
Ex (t ) = E0 cos(')
(20)
Dabei ist ' = !t z die Phase der Welle. Die Phasengeschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeit
mit der sich die Ebenen konstanter Phase in z-Richtung fortbewegen. Es gilt:
vph =
dz
!
=
dt
, für !t
z = const:
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(21)
Einführung in die optische Nachrichtentechnik
GRU/5
v
g r
(t= c o n s t)
E in h ü lle n d e
E
x
z
v
p h
Abbildung 2: Ex zur festen Zeit t für einen kurzen optischen Puls
Die Einhüllende (auf den Träger mit der Frequenz ! aufmoduliertes Signal wie z.B. ein Puls in Abb. 2)
und damit auch die Energie eines Signals breitet sich allerdings mit der Gruppengeschwindigkeit vgr
aus. Sie ist gegeben als:
d!
(22)
vgr =
d
p
Mit den Beziehungen = k0 n und ko = !c ( c = 1= 0 "0 ) folgt daraus für die beiden Geschwindigkeiten:
k0 c c
=
k0 n n
!
d(k0 n(! ))
=
d!
vph =
vgr
c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (
ergibt sich zu:
(23)
1
=
c
d(!n(! ))
d!
300 106 ms
=
c
N
(24)
). N wird der Gruppenindex genannt und
d(! n(! ))
dn(! )
dn()
= n(!) + !
= n() (25)
d!
d!
d
Im allgemeinen gilt n 6= N und damit auch vph 6= vgr . Dies führt zu einer Dispersion. Für die Übertragung optischer Pulse ist nur die Gruppengeschwindigkeit vgr maÿgebend, welche sich aber mit der
Wellenlänge ändert. Durch diese Änderung der Gruppengeschwindigkeit ändert sich auch die Gruppenlaufzeit tgr . Diese Gruppenlaufzeit ist deniert als:
N=
tgr =
L
=L
vgr
L bezeichnet die Länge des Übertragungsweges und =
1
vgr
(26)
=
N
c
die Gruppenlaufzeit pro Länge. Die
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GRU/6
Materialdispersion ist deniert als die Ableitung von nach der Wellenlänge .
d
1 dN
=
=
d c d
d2 n()
= DM
c d2
(27)
DM wird als Materialdispersionskoezient bezeichnet. Mit seiner Hilfe kann z.B. der zeitliche Versatz
t zweier spektraler Komponenten im Abstand nach Durchlaufen einer Übertragungsstrecke der
Länge L bei gleichzeitiger Einstrahlung abgeschätzt werden:
t
L DM
(28)
Abbildung 3: Brechzahl n, Gruppenindex N und Materialdispersion DM des reinen Quarzglases (SiO2 )
(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
4 Beschreibung der Brechzahl durch das Sellmeier-Verfahren
Die Brechzahl von Quarzglas (SiO2 ) ist recht genau vermessen worden. Diese Werte sind in Abb.
4 für einen weiten Wellenlängenbereich dargestellt. Im allgemeinen wird die Brechzahl als komplex
angenommen mit n = n0 jn00 . Im Abschnitt 5 wird auf die physikalische Interpretation von n0 und n00
eingegangen.
Der Imaginärteil n00 ist im interessierenden Wellenlängenbereich von 0,8 µm bis 1,6 µm sehr klein und
man berücksichtigt häug nur den Realteil n = Re(n) = n0 .
Das Sellmeier-Verfahren beschreibt den Realteil der Brechzahl als Überlagerung von resonanten Funktionen. Die Brechzahl n aufgrund schwingender Elektronen mit der Resonanzfrequenz !1 (siehe Vorlesung Werkstoe der Elektrotechnik) ergibt sich bei Vernachlässigung des Dämpfungsterms zu:
"r
1 = n2
1=
!12
B1
!2
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(29)
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GRU/7
Abbildung 4: Der Verlauf des Realteils n0 (durchgezogene Linie) und Imaginärteils n00 (gestrichelte
Linie) der Brechzahl über (aus: Palik, Handbook of Optical Constants of Solids).
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GRU/8
Gl. (29) gilt nur, solange ! von !1 (im Bereich von 1 = 2c0 =!1 0; 1 µm) weit genug entfernt
ist (für faseroptische Übertragungssysteme ist dies der Fall). Für eine genauere Beschreibung müssen
mehrere Resonanzen berücksichtigt werden was zu einer Summation über mehrere gleichartige Terme
führt:
X
Bi
(30)
n2 1 =
2
2
i
!i
!
Typischerweise werden 3 bis 5 Summationsterme verwendet. Um die Brechzahl in dem für die optische
Nachrichtentechnik wichtigen Wellenlängenbereich bei 0; 8 µm < < 1; 6 µm zu beschreiben, ergibt
bereits eine Betrachtung von 2 Resonanzfrequenzen eine gute Näherung. Bei 0; 1 µm bendet
sich die Elektronenresonanz und bei
10 µm die Molekülresonanz (siehe Abb. 4). Eine Summation über diese 2 Terme ergibt:
n2
Da !2
1=
!12
B1
!2
+
!22
B2
(31)
!2
!, wenn 2 10 µm kann man Gl. (31) vereinfachen zu:
n2
1=
!12
B1
!2
B2
!2
(32)
Durch Einführung der Parameter !e = !1 , !d und !L sowie der Beziehungen B1 = !e !d und
B2 = !L2 folgt für n2 :
n2 = 1 +
!e !d
!e2 !2
!L2
!2
(33)
Die in der Formel auftretenden Gröÿen können für Gläser verschiedener Zusammensetzung der Tabelle
1 entnommen werden (! = 2 ). Abb. 3 wurde mit Gl. (33) und den Daten aus Tabelle 1 für
Quarzglas (SiO2 ) berechnet. Insbesondere ist beachtenswert, dass die Materialdispersion für 1; 3 µm verschwindet.
Molare Zusammensetzung in %
SiO2 B2 O3 GeO2 P2 O5 Na2 O
100
86,7
86,5
90
58
18
13,3
13,5
10
19
58
23
24
e
d
L
14
in 10 Hz
32,12
31,27
30,21
32,05
30,53
30,98
35,31
34,20
34,99
36,61
39,34
39,27
0,31
0,33
0,29
0,29
0,31
0,36
Tabelle 1: Dispersionsparameter der Sellmeier-Formel (33) für verschiedene Silikatgläser.
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GRU/9
5 Dämpfung optischer Wellen in Gläsern
Allgemein wird eine gedämpfte Welle beschrieben, indem ein verlustbehaftetes Dielektrikum angenommen wird, d.h. eine komplexe Brechzahl:
n = n0
jn00
(34)
Für das elektrische Feld (in x-Richtung linear polarisierte ebene Welle) gilt dann:
E x = E x 0 exp( jz
= k0 n0
z )
(35)
= k0 n00 :
(36)
bezeichnet die Felddämpfungskonstante und hat die Einheit [1/km]. Es ist im Allgemeinen üblich,
die Dämpfung in dB pro Längeneinheit anzugeben und die Umrechnung erfolgt dann gemäÿ:
[dB=km] =
10 log
P0
P0 exp( 2L)
L
= 8; 69 dB:
(37)
Auf der rechten Seite von Gl. (37) hat die Einheit [1/km]. P0 bezeichnet die Leistung der optischen
Welle an der Stelle z = 0 und P0 exp( 2L) ist die Leistung an der Stelle z=L.
Licht wird in Glasfasern im Wesentlichen durch zwei Prozesse gedämpft:
1. Streuung des Lichtes an der regellosen Molekularstruktur des Glases (Rayleigh-Streuung)
2. Absorption
Diese Prozesse sollen im folgenden näher untersucht werden.
5.1 Die Rayleigh-Streuung
Glas besitzt eine regellose Molekularstruktur, was dazu führt, dass auch die Brechzahl n regellose
Schwankungen aufweist. Diese Schwankungen können in die Maxwell'sche Gl. (4) eingebracht werden,
indem das gemittelte Brechzahlquadrat n2 eingeführt wird.
r H~ = j!"0n2E~ = j!"0n2E~ + j!"
(n2
| 0 {z
~
n 2 )E
~J ef f
}
(38)
Der letzte Term in Gl. (38) kann dabei als eine eektive eingeprägte Stromdichte J~ef f aufgefasst
werden. Nimmt man nun an, dass die Schwankungen (n2 n2 ) nur über eine Länge dc korreliert
sind, so kann man die eektive Stromquelle in einem Volumenelement der Kantenlänge dc wie einen
strahlenden Hertz'schen Dipol auassen, dessen Dipolmoment durch
!
I l = ~J ef f dc3
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(39)
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GRU/10
Abbildung 5: Strahlungscharakteristik der Rayleigh-Streuung bei linearer Polarisation
~ . Die vom
gegeben ist. Die Orientierung des Dipols entspricht derjenigen des elektrischen Feldes E
Dipol abgestrahlte Leistungsdichte S ist abhängig vom Winkel # ( vergl. Abstrahlung des Hertz'schen
Dipols und Abb. 5).
S (#) Smax sin2 (#)
(40)
Die gesamte von dem Dipol abgestrahlte Leistung ist:
!
jI l j2
P =
Z
3 2 F
Die optische Welle führt eine Leistung P
2
!2 jE~ j2 14 jE~ j2
(41)
jZE~Fj2 . Daraus ergibt sich das Verhältnis:
P
P
14
(42)
Damit gilt auch für die Dämpfung aufgrund der Rayleigh-Streuung = S 14 . Für Quarzglasfasern ergibt sich eine
von
Dämpfung
dB µm 4
0; 8 1; 2 km . Der genaue Wert ist im Wesentlichen von der Dotierung der Faser abhängig.
5.2 Absorption
Soll ein Medium optisch transparent sein, so darf die Photonenenergie W = h nicht ausreichen,
um gebundene Elektronen in ein höheres Energieband zu heben, d.h. die elektronische Absorption
muss klein sein. Neben der elektronischen Absorption ( UV-Absorption) gibt es noch die molekulare
Absorption, deren Resonanzwellenlängen sich bis herab zu = 3 µm ( bei SiO2 ) erstrecken. Die
Flanken dieser Absorption reichen auch noch in den nahen Infrarot (Infrarot-Absorption).
Wie Abb. 6 zeigt, bendet sich bei SiO2 das Minimum der Dämpfung aufgrund der Rayleigh-Streuung
dB
. Bei speziellen Gläsern (z.B. Fluorund der Infrarot-Absorption bei 1; 55 µm und beträgt ca. 0; 2 km
Gläser), die eine grosse Resonanzwellenlänge für die Infrarot-Absorption haben, könnte grundsätzlich
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GRU/11
Abbildung 6: Typischer Dämpfungsverlauf einer Quarzglasfaser ( S Rayleigh-Streuung, IR Infrarot-Absorption, UV Ultraviolett-Absorption, OH Absorption durch OH-Verunreinigungen)
(aus: Voges/Petermann, Handbuch Optische Kommunikationstechnik)
bei höheren Wellenlängen eine noch niedrigere Dämpfung erzielt werden, experimentell konnte dies
aber bisher nicht veriziert werden.
Neben der Dämpfung durch Elektronen- und Infrarot-Absorption tragen auch Verunreinigungen der
Faser zur Dämpfung bei. Besonders störend sind Verunreinigungen mit OH-Gruppen. Bezogen auf OHVerunreinigungen von 1ppm ergeben sich folgende Dämpfungswerte bei den OH-Oberschwingungen:
dB
= 1; 39m ) = 48 km
dB
= 1; 25m ) = 2; 5 km
dB
= 0; 95m ) = 1; 2 km
Weitere Verunreinigungen werden durch Metall-Ionen (Vanadium, Chrom, Mangan, Eisen, Kobalt,
Nickel) hervorgerufen, die auch zu einer Dämpfungserhöhung führen.
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