Seminararbeit

Assessing Financial Model Risk
Seminararbeit WS 2014/2015
Melanie Engelmann
28. Februar 2015
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Ein
2.1
2.2
2.3
2.4
3
motivierendes Beispiel
Der Basel-Multiplikator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chebyshev Schranken und der Faktor λ . . . . . . . . .
Cantelli Schranken und die Verbesserung des Faktors λ
Beschränktheit und die Bedeutung des Faktors λ . . .
3 Absolutes und relatives
3.1 Notation . . . . . . .
3.2 Definitionen . . . . .
3.3 Eigenschaften . . . .
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4
4
4
6
7
Maß vom Modellrisiko
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
9
4 Einige Beispiele
4.1 Vorläufige Ergebnisse von Extremquantilen
4.2 Modellrisiko für VaR . . . . . . . . . . . .
4.3 Modelrisiko für Expected Shortfall . . . .
4.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
11
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13
15
5 Lokales Maß vom Modellrisiko
5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ein auf Abstand basierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Ein auf Mischung basierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
18
19
6 Schlussfolgerung
21
2
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1
Einleitung
Modellrisiko hat einen sehr großen Einfluss auf jedes Verfahren, welches Risiko bemisst,
deshalb ist es enorm wichtig das Modellrisiko zu verstehen und zu quantifizieren. In meiner
Arbeit werde ich drei verschiedene Arten vorstellen um das Modellrisiko zu bestimmen,
das absolute Maß von Modellrisiko, das relative Maß von Modellrisiko und das lokale Maß
von Modellrisiko. Jede dieser Methoden hat Vor- und Nachteile, man kann deshalb leicht
zwischen den drei Methoden wechseln um eine optimale Messung zu bekommen.
Zuerst ist es wichtig das Modell zu definieren und zu verstehen, mit welchem man das Risiko seines Portfolios messen will. Bekannte Methoden dafür sind der Delta-Normal Ansatz
oder Simulationsmethoden. Solche Verfahren basieren aber auf der Wahl eines bestimmten Modells für ihre Risikofaktoren. Man ist auch abhängig von empirischen Verteilungen
wie z.B. das Referenzmodell, wenn man ältere Risikomodelle verwendet. Da aber beobachtet wurde, dass das Risiko oft sehr sensibel auf die Wahl des Risikomodells reagiert,
wurde der Begriff Modellrisiko, welcher die Gefahr mit einem nicht passenden Modell zu
arbeiten und damit die Wahrscheinlichkeiten zu verfälschen beschreibt, eingeführt. So ist
die Analyse des Modellrisikos und dessen Auswirkung ein wichtiger Schritt im ganzen
Verfahren zur Kontrolle des Risikos. Besonderes im Bezug auf die Nachwirkungen der
letzten Finanzkrise ist es wesentlich die einzelnen Modellunsicherheiten zu erfassen und
damit die Kapitalanforderungen der Finanzinstitute nun angemessen zu bestimmen und
zu reglementieren. Das Hauptziel in meiner Arbeit ist es drei verschiedene Arten zur
Bestimmung von Modellrisiko vorzustellen um das Finanzrisiko für regulative Zwecke zu
bewerten. Ich werde sehr allgemein diese drei Methoden definieren und best- und worstcase Risikomaße verwenden. Um jene drei Methoden zu spezifizieren werde ich aber ein
genaues Referenzmodell mit einem genauen Risikomaß wählen.
3
2
Ein motivierendes Beispiel
In diesem Abschnitt betrachten wir zuerst den Basel-Multiplikator. Dieser wurde bezüglich
der Eigenmittelanforderungen für Finanzinstitute im Rahmen von Basel II eingeführt. Er
ähnelt stark der oberen Grenze von Wahrscheinlichkeitsschranken bei klassischen Risikomaßen wie Value-at-Risk (VaR) und Expected Shortfall (ES).
2.1
Der Basel-Multiplikator
Mit den Baselrichtlininen ist es den Finanzinstituten erlaubt interne Modelle für die Eigenmittelanforderungen von Marktrisiken zu verwenden. Der Kapitalaufwand ist eigentlich die Summe von sechs Termen da man die verschiedenen Aspekte des Marktrisikos
beachten muss. Durch folgende Formel ist der Begriff, der das Risiko mit üblichen Konditionen misst, gegeben:
)
(
60
X
λ
VaR(−i) ,
(1)
CC = max VaR(0) ,
60 i=1
wobei VaR(0) der heute berechnete Value-at-Risk des Portfolios ist und VaR(−i) der von
i-Tagen davor berechnete.
Die Konstante λ ist der sogenannte Multiplikator (=Faktor). Eine Aufsichtsperson (z.B.:
Angestellter der FMA) weist jedem Institut einen solchen Faktor zu und überprüft diesen
in regelmäßigen Abständen. Der minimale Wert des Faktor beträgt 3, kann aber auch auf
4 erhöht werden falls schlechte backtesting Ergebnisse im Risikomanagement vorkommen.
Aufgrund der Größe von λ ist es offensichtlich, dass in (1) unter normalen Bedingungen
der zweite Term ausschlaggebend fürs Maximum ist.
2.2
Chebyshev Schranken und der Faktor λ
Stahl (1997) gab eine einfache theoretische Rechtfertigung, dass man den Faktor zwischen
[3,4] wählt. Ich werde kurz sein Argument zusammenfassen.
Sei X eine Zufallsvariable, welche die Gewinne und Verluste eines Portfolios beschreibt.
Für eine kurze Zeitspanne wird E[X] = 0 angenommen, sodass
VaRα (X) = σVaRα (X̃),
wobei σ 2 die Varianz von X beschreibt und X̃ = X/σ standardnormalverteilt ist, d.h.
Erwartungswert ist 0 und Varianz 1. Während σ eine Sache des Schätzens ist hängt
VaRα (X̃) von der Verteilung von X ab (z.B.: Normalverteilung, Student-t Verteilung,
etc.).
Durch Anwendung der Chebyshev Ungleichung auf X̃ erhält man:
P(X̃ ≤ −q) ≤ P(|X̃| ≥ q) ≤
1
,
q2
q > 0.
√
Erinnert man sich an die Definition von VaR folgt VaRα (X̃) ≤ 1/ α, oder
σ
VaRα (X) ≤ √ .
α
4
(2)
(3)
Die rechte Seite in (3) hat eine obere Schranke für den VaR mit einer beliebigen Zufallsvarialbe mit Erwartungswert 0 und Varianz σ 2 . Dieser VaR kann mit dem VaR, der
sich durch den Delta-Normal Ansatz ergibt, verglichen werden. Laut diesem Ansatz ist
X̃ normalverteilt und deshalb
VaRα (X) = σ|zα |
(α < 0, 5),
wobei zα = Φ−1 (α) das Quantil der Standardnormalverteilung ist. Die graphische Darstellung der Verhältniszahl
√
σ/ α
1
√
=
(4)
σ|zα |
|zα | α
wird in Abbildung 1, links abgebildet. Man erkennt, dass für gewöhnliche Werte von α
(d.h. zw. 1% und 5%) die Verhältniszahl im Intervall [3,4] liegt. Folglich bleibt eine obere
Schranke für den schlecht möglichsten VaR bestehen, wenn wir den VaR, unter normalen
Annahmen berechnet, mit λ multiplizieren. Erweitert man nun dieses Argument für den
Expected Shortfall, indem man die Ungleichung (3) integriert, erhält man:
Z
Z
1 α
σ α du
2σ
√ =√ .
VaRu (X)du ≤
(5)
ESα (X) =
α 0
α 0
u
α
Die obere Schranke wird nun mit dem Expected Shortfall unter normalen Annahmen,
nämlich
ES(X) =
σϕ(zα )
α
verglichen, wobei ϕ die Dichte der Standardnormalverteilung ist. Durch die graphische
Darstellung der Verhältniszahl
√
√
2σ/ α
2 α
=
σϕ(zα )/α
ϕ(zα )
(abgebildet in Abbildung 1, rechts) erkennt man, dass ein geeigneter Faktor λ für den
Expected Shortfall im Intervall [4,8] liegt.
Die zweite Ungleichung in (2) ist beschränkt, d.h. man kann sie für gegebene q nicht mehr
verbessern. Die erste Ungleichung ist jedoch nicht beschränkt somit kann man die obere
Schranke für den VaR und den Expected Shortfall noch optimieren.
5
Abbildung 1: Die Verhältniszahl hier als Funktion von α ∈ (0,10%), von der oberen
Chebyshev Schranke und dem mit der Gauß-Verteilung berechneten Risikomaß.
2.3
Cantelli Schranken und die Verbesserung des Faktors λ
Bessere Ergebnisse für die Schranken erzielt man durch die Cantelli Ungleichung, da sie
nur auf die Abweichung auf einer Seite beschreibt. Eine mögliche Version dieser Ungleichung für eine Zufallsvariable X̃ mit Erwartungswert und Varianz ist:
P(X̃ ≤ −q) ≤
1
,
1 + q2
q>0
(6)
Aus (6) folgt sofort, dass für jede Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz σ 2
r
1−α
VaRα (X) ≤ σ
(7)
α
gilt. Dies verbessert nun die Schranke in (3), trotzdem bleibt die Verhältniszahl betreffend
den VaR im Intervall [3,4].
Integriert man nun (7) bekommen wir folgende obere Schranke für den Expected Shortfall:
!
r
Z r
σ √
1
−
α
σ α 1−u
ESα (X) ≤
du =
α − α2 + arctan
.
(8)
α 0
u
α
α
Diese obere Schranke verbessert geringfügig (5).
6
2.4
Beschränktheit und die Bedeutung des Faktors λ
Es ist bekannt, dass die Cantelli Ungleichung eine echte obere Schranke für die tailWahrscheinlichkeit ist 1 , d.h. es gilt:
sup
X̃
P(X̃ ≤ −q) =
1
,
1 + q2
q > 0.
p
Das bedeutet, dass (1 − α)/α eine echte obere Schranke von VaRα (X̃) für X̃ standardnormalverteilt ist. Die Schranke in (8) hingegen ist nichtp
notwendigerweise die obere
Schranke. Es wird sich später herausstellen, dass ESα (X) ≤ (1 − α)/α gilt.
Plotten wir nun die Verhältniszahl von der echten oberen Schranke und dem mit GaußVerteilung berechneten Risikomaß und vergleichen diese mit dem vorherigen Ergebniss,
bei welchem wir die Chebyshev Schranke verwendet haben erhält man die Abbildung 2.
Abbildung 2: Vergleich zwischen der Chebyshev Schranke (strichliert) und der echten
oberen Schranke (durchgenend).
Wie man in Abbildung 2 erkennen kann ist für den Expected Shortfall die eigentliche
Verhältnisgröße um einiges niedriger als die auf der Chebyshev Schranke basierende und
der eigentliche Faktor λ des Expected Shortfalls sollte auch im Intervall [3,4] liegen.
Folglich ist es enorm wichtig die echten Schranken für das betrachtete Risikomaß genau
zu analysieren und zu verstehen um das Modellrisiko richtig bewerten zu können. Alle
anderen Schranken führen zu ungenauen Beurteilungen des Modellrisikos. Aus diesem
Grund sind alle Methoden zur Bewertung des Modellrisikos, die ich in dieser Arbeit vorstelle, beschränkt sowohl nach oben als auch nach unten.
1
Billingsley (1995), Section 5.5
7
3
Absolutes und relatives Maß vom Modellrisiko
In diesem Abschnitt wird noch immer mit einem gegebenen Risikomaß, einem gegebenen
Referenzmodell und einer Anzahl von alternativen Modellen gearbeitet. Ziel ist es eine
quantitative Messung von Modellrisiko zu bekommen, wenn man mit einem gewählten
Referenzmodell und einem spezifischen Risikomaß arbeitet. Die zwei zu vorstellenden
Methoden sind die absolute Messung, welche eine grundlegende Bewertung liefert und
die relative Messung, welche Vergleiche zwischen verschiedenen Situationen erlaubt.
3.1
Notation
Zuerst möchte ich die Grundnotation, die ich weiterführend in diesem Paper verwende,
definieren. Gegeben ist ein atomloser2 Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ). Für eine Zufallsvariable X auf (Ω, F, P ), soll FX ihre Verteilungsfunktion sein, z.B.: FX = P (X ≤ x),
und
qα (X) = inf{x : FX (x) ≥ α}
ist das (untere) Quantil von α ∈ (0,1). Weiters ist X ∼ Y falls FX ≡ FY und X ∼ F falls
FX ≡ F . Das Risikomaß hier ist eine Abbildung ρ : Lρ → R definiert auf einem Raum
von Zufallsvariablen auf Lρ , welche folgenden Eigenschaften erfüllt:
• law invariance: ρ(X) = ρ(Y ) falls X ∼ Y
• positive Homogenität: ρ(aX) = aρ(X) ∀a ≥ 0
• Translationsinvarianz: ρ(X + b) = ρ(X) − b ∀b ∈ R
Für fixierte α ∈ (0,1) erfüllen sowohl Value-at-Risk
VaRα (X) = −qα (X),
als auch Expected Shortfall
1
ESα (X) =
α
Z
α
VaRu (X)du
0
diese Eigenschaften. Zu beachten ist, dass der Value-at-Risk auf allen Zufallsvariablen
definiert ist, hingegen der Expected Shortfall zumindest auf der linken Seite von X die
Existenz der Integrierbarkeit verlangt.
3.2
Definitionen
Nun werden die zwei Bemessungsmethoden definiert. Beiden wird ein Risikomaß ρ, eine Zufallsvariable X0 , welche als Referenzverteilungsannahme agiert, und eine Menge L
2
Damit wird sichergestellt, dass für jede gegeben Verteilung F, Zufallsvariablen die nach F verteilt
sind existieren.
8
von Zufallvariablen, welche als alternative Verteilungsannahme agiert, zugeordnet. Des
weiteren nehmen wir an, dass X0 ∈ L ⊂ Lρ . Auch sind beide Mengen
ρ(L) = inf ρ(X),
ρ(L) = sup ρ(X)
X∈L
X∈L
endlich und ρ(L) 6= ρ(L). Klarerweise sind die Ungleichungen ρ(L) ≤ ρ(X0 ) ≤ ρ(L)
wahr. Zum Schluss nehmen wir noch an, dass ρ(X0 ) > 0 : da das gemessene Risiko von
Finanzpositionen üblicherweise positiv ist.
Definition 3.1. Dasabsolute Maß des Modellrisikos ist gegeben durch
AM = AM (X0 , L) =
ρ(L)
− 1,
ρ(X0 )
wobei ρ, X0 und L wie oben definiert sind.
Definition 3.2. Das relative Maß des Modellrisikos ist gegeben durch
RM = RM (X0 , L) =
ρ(L) − ρ(X0 )
.
ρ(L) − ρ(L)
Das absolute Maß verallgemeinert gewissermaßen den Basel-Multiplikator, da man das
maximale Risiko in L erreicht, wenn man ρ(X0 ) mit AM + 1 multipliziert. Interpretiert man L nun als Raum der möglichen Ausgänge von X0 , dann beschreibt AM wie
schlecht das mögliche worst-case Szenario wirklich ist. Für AM ≥ 0 ist AM = 0 (d.h.
kein Modellrisiko) genau dann, wenn X0 schon die worst-case Verteilung hat, also wenn
ρ(X0 ) = ρ(L).
Offensichtlich gilt für gegebene ρ und X0 , dass desto größer L ist desto größer ist AM ,
da ρ(L) in L steigt. Aus diesem Grund wird diese Methode als absolutes Maß bezeichnet.
Hingegen dazu hat das relative Maß ein relatives Verhalten, da man die Differenz ρ(L) −
ρ(X0 ) durch den gesamten Raum ρ(L) − ρ(L) dividiert wird. Daraus folgt sofort:
0 ≤ RM ≤ 1.
Es besteht kein Modellrisiko, wenn ρ(X0 ) = ρ(L), d.h. RM = 0 und volles Modellrisiko,
wenn ρ(X0 ) = ρ(L), d.h. RM = 1. In anderen Worten ρ(X0 ) liegt immer zwischen
[ρ(L), ρ(L)].
3.3
Eigenschaften
In der folgenden Proposition werden Grundeigenschaften der zwei Maße beschrieben. Für
beliebige a,b ∈ R wird
aL + b = {aX + b : X ∈ L}
Proposition 3.3. Für beliebige a > 0 und b ∈ R ist
AM (aX0 , aL) = AM (X0 , L)
> AM (X0 , L), für b > 0
AM (X0 + b, L + b)
< AM (X0 , L), für b < 0
und
RM (aX0 + b, aL + b) = RM (X0 , L).
9
Beweis. Der Beweis ist trivial, wenn man für a > 0 und b ∈ R beachtet, dass
ρ(aL + b) = aρ(L) − b,
ρ(aL + b) = aρ(L) − b
und ρ(aX0 + b) = aρ(X0 ) − b ist.
Für gegebene µ ∈ R und σ > 0, beachte man die Menge
Lµ,σ = {X : E[X] = µ,
σ(X) = σ}
in welcher die ersten zwei Momente fest sind. Die standardisierte Zufallsvariable von
X ∈ Lµ,σ ist definiert durch
X −µ
∈ L0,1 .
σ
Setzen wir a = 1/σ und b = −µ/σ erhalten wir sofort Proposition 3.3.
X̃ =
Korollar 3.4. Wenn L ⊆ Lµ,σ und X0 ∈ L, dann gilt
RM (X0 , L) = RM (X̃0 , L̃),
wobei L̃ = {X̃ : X ∈ L}. Besonders gilt
RM (X0 , Lµ,σ ) = RM (X̃0 , L0,1 ).
Im nächsten Teil werde ich mich hauptsächlich auf Bemessungsmethoden von Modellrisiko im Zusammenhang mit Lµ,σ oder einer Teilemenge davon konzentrieren. Ich werde
aufgrund der letzten Ergebnisse besonders L0,1 und die standardisierte Referenzzufallsvariable X0 betrachten.
Für fixe ρ und L ist das relative Maß von Modellrisiko gegeben durch
RM (X0 ) = c1 − c2 ρ(X0 ),
(9)
wobei c2 positiv ist. Wenn ρ eine konvexe Abbildung ist, wie beim Expected Shortfall
oder verallgemeinert für Klassen von law-invarianten konvexen Risikomaßen, dann ist RM
konkav.3 Also zum Beispiel, wenn X1 , X2 und (X1 + X2 )/2 in L sind und RM (X1 ) =
RM (X2 ), dann
X1 + X2
RM (X1 ) + RM (X2 )
RM
≥
= RM (X1 ).
2
2
So eine Ungleichung kann teilweise damit erklärt werden, dass das assoziierte Modellrisiko
von (X1 + X2 )/2 durch erstens das Modellrisiko von den Randwerten und zweitens der
gemeinsamen Verteilung entsteht.
Durch (9) sieht man, dass andere Eigenschaften von RM (z.B.: Monotonie, Vollständigkeit,
etc.) von ähnlichen Eigenschaften anderer Risikomaße üb̈ernommen werden können. Die
Subadditivität, eine Eigenschaft die alle koherenten Maße besitzen, ist eine Ausnahme.
Sie ist nur gegeben, wenn bei
RM (X1 + X2 ) ≥ RM (X1 ) + RM (X2 ) −
ρ(L)
,
ρ(L) − ρ(L)
der letzte Term auf der rechten Seite ausreichend klein ist.
3
Das ist genau dann der Fall, wenn eine konvexe Kombination von zwei Zufallsvariablen aus L in L bleibt.
10
4
Einige Beispiele
In diesem Abschnitt werde beide Maße von Modellrisiko mit einigen Testbeispielen dargestellt und untersucht. Es wird die Zufallsvariable X0 mit einer Referenzverteilung auf dem
Raum Lµ,σ , wclcher mit dem Raum aller Zufallsvariablen mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ übereinstimmt, angenommen und es werden beide Maße für die Risikomaße
VaR und Expected Shortfall bewertet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, kann man
sich auf eine bestimmten Fall konzentrieren, wo der Raum der Zufallsvariablen L0,1 ist.
Bevor wir zu den Beispielen kommen, möchte ich noch ein paar vorläufige Ergebnisse von
Extremquantilen auf den allgemeinen Raum L vorstellen, da sie in der restlichen Arbeit
von großen Nutzen sind.
4.1
Vorläufige Ergebnisse von Extremquantilen
Sei L ein allgemeiner Raum von Zufallsvariablen und seien F L und F L extremale Funktionen auf L für beliebige x so definiert:
F L (x) = sup FX (x)
F L (x) = inf FX (x)
X∈L
X∈L
Beachte, dass F L (+∞) = 1, F L (−∞) = 0 und beide Funktionen nicht steigend sind. Hier
werden diese Funktionen als Minimalfunktion und Maximalfunktion bezeichnet. Beachte
auch, dass die Funktionen nicht unbedingt Verteilungsfunktionen sein müssen, es kann
passieren, dass F L (−∞) > 0 und/oder F L (+∞) < 1.
Bemerkung 4.1. Wenn F L und F L Verteilungsfunktionen sind, dann sind sie extremal
im Sinne von der Wahrscheinlichkeitsdominanz erster Ordunung (geschrieben <). Das
bedeutet:
F L < FX < F L
∀X ∈ L
und wenn G und H Verteilungsfunktionen sind die G < FX < H, ∀X ∈ L erfüllen, dann
gilt G < F L und F L < H.
Das folgende Lemma wird hilfreich im restlichen Paper sein.
Lemma 4.2. Angenommen F L (−∞) < F L (+∞). Falls F L und F L invertierbare Funktionen 4 . sind, dann gilt für beliebige α ∈ (F L (−∞), F L (+∞))
−1
inf qα (X) = F L (α)
X∈L
und
sup qα (X) = F −1
L (α).
(10)
X∈L
sind beide Funktionen F L und F L Verteilungsfunktionen, so gilt (10) für beliebige α ∈
(0, 1).
4
Außer jeweils auf den Räumen {x : F L (x) = F L (−∞) oder 1}und{x : F L (x) = 0 oder F L (+∞)}
11
Beweis. Der Beweis wird nur fürs Infimum gezeigt, da er fürs Supremum analog ist.
−1
Falls α > F L (−∞) dann ist a = F L (α) wohldefiniert.
Wird das Gegenteil angenommen, also b = inf X∈L qα (X) > a, dann gilt für beliebige
X ∈ L, dass qα (X) ≥ b > a, also FX (x) < α für x ∈ [a, b) (wegen der Definition des
Quantils). Daraus folgt F L (x) ≤ α = F L (a) für x ∈ [a, b), aber das ist ein Widerspruch
zur Annahme, dass F L streng wachsend ist.
Wird hingegen angenommen, dass b < a, dann existiert ein X ∈ L sodass qα (X) < a ist.
Da F L streng steigend ist, folgt
FX (qα (X)) ≤ F L (qα (X)) < F L (a) = α.
Jedoch wegen der Definition des Quantils ist FX (qα (X)) ≥ α, was wiederum zu einem
Widerspruch führt ⇒ b = a.
Bemerkung 4.3. Das folgende Beispiel zeigt die Bedeutung der Invertierbarkeit von F L
und F L im Lemma 4.2. Ohne dieser Annahme wäre die Gleichheit in (10) nicht gegeben,
−1
wenn man F L oder F −1
L durch die allgemeine Inverse (also durch die Quantilfunktion)
ersetzt.
Für ein fixes α wird eine Folge L = (Xn )n≥1 von Zufallsvariablen betrachtet, in welcher Xn
den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1−α+ n1 und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit
α − n1 annimmt. Es ist leicht nachzuprüfen, dass

 0 falls x < 0
α falls 0 ≤ x < 1
F L (x) ≡ sup FXn (x) =

n
1 falls x ≥ 1
Wenn X ∼ F L , dann ist qα (X) = 0 obwohl qα (Xn ) = 1 für beliebige n ≥ 1 dann gilt (10)
hier nicht.
4.2
Modellrisiko für VaR
Nach Abschnitt 4 in Royden(1953) und Kapitel 4 in Hürlimann (2008) sind unter Verwendung der Chebyshev-Markov Ungleichung die Extremalfunktionen auf L0,1 Verteilungsfunktionen und gegeben durch:

(
1
 0
falls x ≤ 0
falls x ≤ 0
und
F L0,1 (x) =
F L0,1 (x) =
x2
1 + x2

falls x ≥ 0
1
falls x ≥ 0
1 + x2
Diese Verteilungen werden oft maximal und minimal Chebyshev-Markov Verteilungen
für L0,1 genannt. Man muss jedoch beachten, dass F L0,1 und F L0,1 nicht auf L0,1 liegen.
Tatsächlich ist der Mittelwert von F L0,1 negativ und der von F L0,1 positiv des weiteren
sind beide Varianzen unendlich.
Aus Lemma 4.2, da beide Verteilungen invertierbar sind folgt5 :
r
1−α
−1
inf qα (X) = F L0,1 (α) = −
X∈L0,1
α
r
α
.
sup qα (X) = F −1
L0,1 (α) =
1−α
X∈L0,1
5
siehe z.B.: Hürlimann 2002, Theorem 3.1, oder Bertsimas et al. 2004, Theorem 2
12
Aus dem Resultat der Extremalquantile folgt:
Proposition 4.4.
i) Das absolute Maß von Modelrisiko für VaRα bei X0 ist:
q
AM (X0 , L0,1 ) =
1−α
α
VaRα (X0 )
− 1.
ii) Das relative Maß von Modelrisiko für VaRα bei X0 ist:
q
1−α
− VaRα (X0 )
p
α
q
= (1 − α) − α(1 − α)VaRα (X0 ).
RM (X0 , L0,1 ) = q
1−α
α
+ 1−α
α
Die Ergebnisse werden nachher im Abschnitt 4.4 dargestellt.
Bemerkung 4.5. Man beachte, dass supX∈L0,1 VaRα (X) > 0 und inf X∈L0,1 VaRα (X) < 0
ist, deshalb sind in L0,1 einige Verteilungen zulässig auch wenn sie negatives Risiko haben,
während andere es nicht sind. Alle Verteilung sind zulässig auf Lµ,σ für µ > 0, wenn
2
2
α > µ2σ+σ2 ist. Für µ < 0, wenn α < µ2µ+σ2 sind alle Verteilungen unzulässig.
Bemerkung 4.6. In Hürlimann (2008)(Kapitel 4, Abschnitt 3) wird gezeigt, dass das
Wissen über die Schiefe der Verteilung keine Verbesserung bei den Chebyshev Extremalverteilungen auf (−∞, +∞) bringt. Darum gilt für X0 ∈ Lµ,σ :
AM (X0 , Lµ,σ,ξ ) = AM (X0 , Lµ,σ )
RM (X0 , Lµ,σ,ξ ) = RM (X0 , Lµ,σ ),
wobei Lµ,σ,ξ = {X ∈ Lµ,σ : ξ(X) = ξ(X0 )} und ξ(X) beschreibt die Schiefe von X.
4.3
Modelrisiko für Expected Shortfall
Hier ist eine ähnliche Annäherung für den Expected Shortfall wie beim VaR nicht so
einfach, da das Lemma 4.2 nur Ergebnisse für Extremalquantile liefert. Allerdings werden
in Bertsimas et al. (2004) (Theorem 2) unter der Verwendung von konvexer Analysis
folgende Resultate für die Extremal-Expected Shortfall auf dem Raum L0,1 dargelegt:
inf ESα (X) = 0
r
(11)
X∈L0,1
sup ESα (X) =
X∈L0,1
Proposition 4.7.
1−α
α
(12)
i) Das absolute Maß von Modellrisiko für ESα bei X0 ist:
q
AM (X0 , L0,1 ) =
13
1−α
α
ESα (X0 )
− 1.
ii) Das relative Maß von Modellrisiko für ESα bei X0 ist:
q
r
1−α
− ESα (X0 )
α
α
q
ESα (X0 )
RM (X0 , L0,1 ) =
=1−
1−α
1−α
α
Die Ergebnisse werden nacher in Abschnitt 4.4 dargestellt.
Bemerkung 4.8. Wie schon vorher erwähnt, kann man das Lemma 4.2 nicht für den
Expected Shortfall verwenden. Es stellt sich jedoch die Frage ob in (11) der Expected
Shortfall nicht doch ein Expected Shortfall einer Extremalverteilung ist. Da der ES monoton unter Berücksichtigung von Stop-Loss Order ist, werden die Extremalverteilungen des
Stop-Loss Orders auf dem Raum L0,1 betrachtet. In Hürlimann (2002) ist die Stop-Loss
Transformation für eine Verteilung definiert durch:
Z ∞
ΠF (x) =
(1 − F (y))dy.
x
Durch einfache Berechnung folgt:
F (x) = 1 + Π0F (x).
So eine Relation ist auch für extremale Stop-Loss Verteilungen wahr:
SL
Fmax
(x) = 1 + Π0max (x)
wobei
Πmax (x) ≡ sup ΠF (x),
F ∈L0,1
dasselbe gilt auch fürs Infimum. Um die extremalen Stop-Loss Verteilungen zu erhalten,
müss man zuerst die extremalen Stop-Loss Transformationen bekommen. Für die maximale Stop-Loss Transformation beziehe ich mich auf das Theorem 2 von Jansen et al.
(1986):
√
x2 + 1 − x
.
Πmax (x) =
2
Bei der minimalen Stop-Loss Transformation berufe ich mich auf die Tabelle 5.2, Abschnitt 5, Kapitel in Hürlimann (2008):
−x x ≤ 0
Πmin (x) =
0
x ≥ 0.
Damit erhält man nun die extremal Stop-Loss Verteilungen:
1
x
1 x≥0
SL
SL
Fmax (x) =
1+ √
Fmin (x) =
2
0 x<0
2
x +1
14
Mit (11) bekommen wir endlich:
SL
ESα (Fmin
) = 0 = inf ESα (X)
X∈L0,1
und
r
SL
)
ESα (Fmax
=
1−α
= sup ESα (X)
α
X∈L0,1
Man beachte, dass man durch Verwendung der Extremalverteilungen F L0,1 und F L0,1 für
die stochastische Dominanz erster Ordnung keine strengen Beschränkungen erhält, wie
ich schon vorher in Abschnitt 2.3, besonders in Gleichung (8) erwähnt habe.
4.4
Abbildungen
In diesem Abschnitt werden nun die zwei Maße von Modellriksiko für standardisierte Zufallsvariablen (also auf L0,1 ) mit der Normal- und der Student-t Verteilung abgebildet.
Zuerst betrachten wir die Abhängigkeit von den Maßen unter α auf dem VaR und dem
Expected Shortfall an. Dies wird in Abbildung 3 und 4 gezeigt.
Abbildung 3: Absolutes Maß von Modellrisiko als Funktion von α. Durchgehende Linie:
X0 ist standard-normal verteilt. Strichlierte Linie: X0 ist student-t verteilt mit Freiheitsgrad v=3.
Man würde sich denken, dass eine fat-tailed Verteilung (nämlich Student-t Verteilung)
ein niedrigeres Modellrisiko verursacht. Während es für alle Werte von α . 8% beim Expected Shortfall zutrifft, stimmt diese Annahme beim Value-at-Risk nur für sehr kleine
α, nämlich α . 1.5%.
15
Abbildung 4: Relatives Maß von Modellrisiko als Funktion von α. Durchgehende Linie: X0
ist standard-normal verteilt. Strichlierte Linie: X0 ist student-t verteilt mit Freiheitsgrad
v=3.
Weiters erkennt man, wie schon vorher erwähnt, dass beim relativen Maß das Risiko
zwischen 0 und 1 liegt. Es zeigt auch, dass beim relativen Maß sowohl für den VaR als
auch für den ES und auch für beider Verteilungen das Modellrisiko gegen 1 geht, falls
α → 0. Schaut man sich den linken Tail der Graphik an entfernt sich jede beliebig gegebene Verteilung immer mehr von dem worst-case Szenario. Es wird angenommen, dass
dies ein allgemeines Verhalten ist, jedoch wird es in dieser Arbeit nicht bewiesen.
Die Abbildung 5 vergleicht das absoulte (links) und das relative (rechts) Maß für Valueat-Risk und Expected Shortfall mit einer Normalverteilung als Referenz. Es wird oft
behauptet, dass der Expected Shortfall viel sensibler als der Value-at-Risk auf die Wahl
des Modells reagiert, was aber hier zumindest unter Beachtung der zwei vorgestellten
Maße widerlegt wurde, da in beiden Graphiken der Expected Shortfall ein geringeres
Modellrisiko hat.
16
Abbildung 5: Absolutes und relatives Maß von Modellrisiko mit X0 standard-normal
Verteilt. Durchgehende Linie: VaR. Strichlierte Linie: Expected Shortfall
5
Lokales Maß vom Modellrisiko
In diesem Abschnitt wird nun das lokale Maß vorgestellt, indem man den Grenzwert
des RM und man so eine Familie von gestörten Mengen auf eine einelementige Menge
{X0 } verkleinert (=Singleton). Diese Methode wird verwendet um das Modellrisiko von
unendlich kleine Störungen zu bewerten.
5.1
Definition
Sei (Lε )ε>0 eine Familie von Mengen, wobei jede in Lρ abgeschlossen ist, sodass gilt:
Lε & {X0 }
für ε → 0.
Das bedeutet, dass Lε ⊂ Lε0 , wenn ε < ε0 und ∩ε>0 Lε = {X0 }.
Definition 5.1. Das lokale Maß von Modellrisiko zu ρ, {X0 } und der Familie (Lε )ε>0
ist:
LM = lim RM (X0 , Lε ) = lim
ε→0
ε→0
ρ(Lε ) − ρ(X0 )
ρ(Lε ) − ρ(Lε )
sofern der Limes existiert.
Der Limes der LM bestimmt ist offenbar in Form von 0/0 gegeben; nichtsdestotrotz falls
er existiert dann im Intervall [0,1] da RM (X0 , Lε ) ∈ [0, 1] für beliebige ε. Das lokale Maß
beschreibt also die relative Position von ρ(X0 ) im Bezug auf best-case und worst-case
Szenarien für unendlich kleine Störungen.
17
5.2
Ein auf Abstand basierendes Beispiel
Im diesem Abschnitt betrachten wir den Fall ρ = VaRα für ein α, sodass Lρ eine Menge
von Zufallsvariablen ist und es bezieht sich nicht auf die Definition von Lε . Zuerst ein
Beispiel zur Berechnung von LM, bei welchen die Familie von Mengen so definiert ist:
Lε = {X : d(X, X0 ) ≤ ε},
(13)
wobei d der gegebene Abstand zwischen den Verteilungen ist. So eine Familie erfüllt die
Annahmen von oben. Im speziellen betrachte den Kolmogorov (oder uniformen) Abstand
dK (X, Y ) = sup |FX (x) − FY (x)|
x∈R
oder den Levy Abstand
dL (X, Y ) = inf{a > 0 : FX (x − a) − a ≤ FY (x) ≤ FX (x + a) + a ∀x ∈ R}
Proposition 5.2. Wenn ρ = VaR für α ∈ (0, 1) und die Familie (Lε ) ist so definiert wie
in (13), mit d = dK oder d = dL , dann ist
LM (X0 , (Lε )) =
1
2
für eine beliebige absolut gleichmäßige Zufallsvariable X0 .
Beweis. Sei d = dK dann folt sofort
F Lε (x) = max{F0 (x) − ε, 0}.
F Lε (x) = min{F0 (x) + ε, 1},
(14)
Nun sei ε < min{α, 1 − α}, sodass
F Lε (−∞) = ε < α < 1 − ε = F Lε (+∞).
Da aufgrund der Voraussetzung F0 invertierbar ist, sind auch F Lε und F Lε invertierbar;
durch Berechnung erhält man:
−1
−1
F −1
Lε (α) = F0 (α + ε)
F Lε (α) = F0−1 (α − ε),
und deshalb ist
F0−1 (α) − F0−1 (α − ε)
LM = lim −1
,
−1
ε→0 F
0 (α + ε) − F0 (α − ε)
für VaRα (X0 ) = −F0−1 (α). Schlussendlich, wenn f0 = F00 die Dichte von X0 ist folt durch
Anwendung von de l’Hospital
1
1/f0 (α − ε)
= .
ε→0 1/f0 (α + ε) + 1/f0 (α − ε)
2
LM = lim
Wenn d = dL beginnt man, indem man beachtet, dass F Lε (x) = min{F0 (x + ε) + ε, 0}
und F Lε (x) = max{F0 (x − ε) − ε, 0}. Danach geht man so vor wie oben gezeigt.
Das Ergebnis ist sehr allgemein, da die Menge von Störungen asymptotisch symmetrisch
um X0 sind. Folglich konvergiert das relative Maß von Modellrisiko gegen 1/2, das gilt
aber nur für ε → 0 und nicht für fixe ε.
18
5.3
Ein auf Mischung basierendes Beispiel
Sei F0 die Verteilung von X0 ∈ L0,1 . Für ε < 1 definiere:
Lε = {X : X ∼ (1 − θ)F0 + θFy , Y ∈ L0,1 , θ ∈ [0, ε]}.
(15)
Die Menge Lε erfasst alle Mischungen (von verteilten Zufallsvariablen) zwischen F0 und
einer Verteilungen von der standard-normal verteilten Zufallsvariable Y, für welche die
alternative Verteilung (FY ) nicht so ins Gewicht fällt. Es ist nicht von Bedeutung, dass
Lε ⊂ L0,1 für beliebige ε gilt: tatsächlich sind sowohl Erwartungswert als Varianz affine
Funktionen von den Verteilungen.
Bemerkung 5.3. Im Allgemeinen ist (1 − θ)F0 + θFY nicht die Verteilungsfunktion von
(1 − θ)X0 + θY auch wenn man annimmt, dass X0 und Y unabhängig sind. Vielmehr ist
es die Verteilung von (1 − IA )X0 + IA Y , wobei A ein Ereignis der Wahrscheinlichkeit θ
ist, unabhängig von X0 und Y, und IA bezeichnet die Indikatorfunktion.
Proposition 5.4. Sei ρ = VaRα für α ∈ (0, 1) und die Familie (Lε ) sei so definiert wie
in (15), dann ist
LM = 1 − α(1 + VaRα (X0 )2 )
für eine beliebige absolut gleichmäßige Zufallsvariable X0 , für die VaRα (X0 ) ≥ 0 gilt.
Beweis. Die Maximalfunktion für Lε ist
F Lε (x) = sup sup {(1 − θ)F0 (x) + θFY (x)}
θ∈[0,ε] Y ∈L0,1
= sup {(1 − θ)F0 (x) + θF L0,1 (x)}
θ∈[0,ε]
= (1 − ε)F0 (x) + εF L0,1 (x).
Um die letzte Gleichheit zu bekommen wird verwendet, dass F L0,1 (x) − F0 (x) ≥ 0. Da
beide Funktionen F0 und F L0,1 invertierbar sind (wegen vorheriger Annahme), ist auch
F Lε invertierbar und durch die Anwendung von Lemma 4.2 folgt:
−1
sup VaRα (X) = −F Lε (α).
(16)
X∈Lε
Mit ähnlichen Argumenten kommt man auf:
inf VaRα (X) = −F −1
Lε (α),
(17)
X∈Lε
wobei F Lε (x) = (1 − ε)F0 (x) + εF L0,1 (x) ist. Daher ist das lokale Maß vom Modellrisiko
−1
LM = lim
ε→0
−F Lε (α) − VaRα (X0 )
−1
−F Lε (α) + −F −1
Lε (α)
.
Setzt man nun ψ(ε) = F Lε −1(α) dann gilt laut Definition:
(1 − ε)F0 (ψ(ε)) + εF L0,1 (ψ(ε)) = α
19
(18)
Differenziert man (nach ε) auf beiden Seiten, so erhält man
0
0
0
f0 (ψ)ψ + F L0,1 (ψ) − F0 (ψ) + ε(F L0,1 (ψ) − f0 (ψ)ψ ) = 0
wobei f0 = F00 die Dichte von X0 ist. Setzt man ε = 0 und beachtet, dass ψ(0) = F0−1 (α) =
−VaRα (X0 ) ist, sodass F0 (ψ(0)) = α folgt
0
ψ (0) =
α − F L0,1 (−VaRα (X0 ))
.
f0 (−VaRα (X0 ))
In ähnlicher Weise beweist man, dass ψ(ε) = F −1
Lε (α) die Gleichung
ψ 0 (0) =
α − F L0,1 (−VaRα (X0 ))
f0 (−VaRα (X0 ))
erfüllt. Wendet man nun de l’Hospital auf (18) an und vereinfacht das Ergebnis, folgt
LM =
F L0,1 (−VaRα (X0 )) − α
F L0,1 (−VaRα (X0 )) − F L0,1 (−VaRα (X0 ))
.
Da durch die Annahme -VaRα (X0 ) ≤ 0, bekommt man
F L0,1 (−VaRα (X0 )) =
1
,
1 + VaRα (X0 )2
F L0,1 (−VaRα (X0 )) = 0
Durch Einsetzen und Umformen erhält man das Endresultat
LM = 1 − α(1 + VaRα (X0 )2 ).
Bemerkung 5.5. Aus der Definition von F L0,1 und F L0,1 in (16) und (17) ist, falls α
nicht so groß, d.h. α ≤ (1 − ε)F0 (0), r = supX∈Lε VaRα (X) die eindeutige Lösung von
(1 − ε)F0 (−r) +
ε
= α.
1 + r2
Während
α (X ).
inf VaRα (X) = VaR 1−ε
0
X∈Lε
Dieses Ergebnis ermöglicht es das relative Maß im Bezug auf Lε für endliche Werte von
ε zu berechnen.
Zuletz wird das lokale Maß für Modellrisiko von VaR mit X0 standard-normal verteilt
sowie student-t verteilt in Abbildung 6 graphisch dargestellt. Wie schon zuvor beobachtet,
hat das relative Maß, wenn man mit einer fat-tailed Verteilung als Referenz arbeitet,
genau dann ein geringeres Modellrisiko, wenn α ausreichend klein ist.
20
Abbildung 6: Lokales Maß von Modellrisiko für VaR als Funktion von α. Durchgehende
Linie: X0 ist standard-normal verteilt. Strichlierte Linie: X0 ist student-t verteilt mit
Freiheitsgrad v=3.
6
Schlussfolgerung
Die Bewertung und Analyse von Modellrisiko ist ein der gesamten Riskobemessung ein
wichtiger Punkte, da man wie in diesem Paper gesehen hat schon allein das Arbeiten
mit dem falschen Modell die Wahrscheinlichkeiten verfälschen kann. In der Arbeit wurde drei verschiedene Maße vorgestellt um das Modellrisiko wenn man ein bestimmtes
Referenzmodell verwendet zu untersuchen. Jedes dieser Maße hat einen bestimmten Verwendungszweck und so kann man leicht zwischen den verschieden Maßen wechseln. Es
wurde im Paper mit expliziten Beispielen und Formeln gearbeitet, man kann aber die
vorgestellten Methoden für allgemeinere Verfahren verwenden.
Da die Bedeutung des Modellrisikos so ein wichtiger Punkt im Risikomanagement ist,
gibt es auch viele andere Methoden dieses zu bemessen und zu verstehen. Es wird immer
mehr erforscht, insbesondere bei minimum risk Portfolios, wenn man das Problem der
optimalen Asset-Streuung untersucht. Hier wird von einigen Autoren Modellrisiko aus
Sicht der Optimierung betrachtet. Ich bin mir sicher, dass man zukünftig noch vieles
davon hören wird.
Literatur
[1] Bertsimas, Dimitris, Geoffrey J. Lauprete und Alexander Samarov:
Shortfall as a risk measure: properties, optimization and applications. J. Econ. Dyn.
Control, 28(7):1353–1381, 2004.
[2] Billingsley, Patrick: Probability and measure. Wiley series in probability and
mathematical statistics. Wiley, New York, NY [u.a.], 3. ed. Auflage, 1995.
21
[3] Hürlimann, Werner: Analytical bounds for two value-at-risk functionals. Astin
Bull., 32(2):235–265, 2002.
[4] Hürlimann, Werner: Extremal moment methods and stochastic orders. Bol. Asoc.
Mat. Venez., 15(2):153–301, 2008.
[5] Jansen, K., J. Haezendonck und M.J. Goovaerts: Upper bounds on stop-loss
premiums in case of known moments up to the fourth order. Insur. Math. Econ.,
5:315–334, 1986.
[6] Pauline Barrieu, Giacomo Scandolo: Assessing Financial Model Risk, 2013.
[7] Royden, H.L.: Bounds on a distribution function when its first n moments are given.
Ann. Math. Stat., 24:361–376, 1953.
[8] Stahl: Three Cheers. Risk Magazine, 10(5):67–69, 1997.
22