Vorlesung Statistik, WING, ASW

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21.01.2013
Wahrscheinlichkeit in Laplace­Versuchen
Kombinatorische Formeln
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Multiplikationssatz
Unabhängigkeit
Melanie Kaspar
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Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
Melanie Kaspar
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Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit und Bayes'sche Formel
Vollständiges Ereignissystem
Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld . Eine Menge von Ereignissen heißt vollständiges Ereignissystem in , falls gilt:
a) für i j b) Beispiel:
V = "Werfen eines Würfels"
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Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Bsp. Ein Produkt wird von 3 versch. Maschinen hergestellt.
Maschine 1 produziert die Hälfte, Maschine 2 und 3 jeweils 1/4 der Gesamtproduktion.
Außerdem ist bekannt, dass von Maschine 1 1% aller fehlerhaften Teile stammen, von Maschine 2 2% und von
Maschine 3 3%.
a) Wie groß ist der Anteil der fehlerhaften Teile an der Gesamtproduktion?
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Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld . Sei B ein bel. Ereignis zu V und A1, A2, ... , An ein vollständiges Ereignissystem. Dann gilt:
(Formel der totalen Wahrscheinlichkeit)
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Bedingung
b) Ich habe ein defektes Teil entdeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses von Maschine 1 produziert wurde?
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Formel von Bayes
geg: P(A) und P(B|A)
ges: P(A|B)
Verallgemeinerung
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Aufgabe
In Saarbrücken wird im Mittel zu 8% Schwarzgefahren. 80% der Schwarzfahrer haben keine Fahrkarte, während die anderen 20% gefälschte oder illegal besorgte Karten besitzen. Von den ehrlichen Fahrgästen haben im Mittel 4% ihre Fahrkarte vergessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein kontrollierter Fahrgast, der keine Karte vorzeigen kann, ein Schwarzfahrer?
S = "Schwarzfahrer"
K="Fahrgast hat eine Karte
(Satz von Bayes)
(Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
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Aufgabe
Eine Krankheit kommt bei ca. 4% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheit führt bei 98% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 3% der Gesunden.
1. In wieviel Prozent aller Fälle tritt bei dem Test eine Reaktion ein?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reak­
tion eintritt, die Krankheit wirklich hat?
K= "Person hat die Krankheit"
T= "Test zeigt eine Reaktion"
1.
2.
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Vermischte Aufgaben
Aufgabe 1
Sei V der zufällige Versuch "Roulette".
Die möglichen Ergebnisse beim Roulette sind die Zahlen
0; 1; 2; ... ; 36 (alle gleichwahrscheinlich). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein
Spieler gewinnt, wenn er
a) auf das erste Dutzend (Zahlen 1­12) setzt?
b) auf eine rote Zahl setzt?
c) auf "impair" (=ungerade) setzt? a)
b)
c)
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Aufgabe 2
Sei V der zufällige Versuch "Ziehen einer Karte aus einem Spiel von 32 Karten".
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
a) Es wird eine Herzkarte gezogen.
b) Es wird eine Bildkarte gezogen.
c) Es wird eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte gezogen.
a)
b)
c)
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Aufgabe 3
Sei V der zufällige Versuch "Würfeln mit 2 Würfeln". a) Geben Sie die Ergebnismenge an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
1) Werfen zweier Vierer
2) Werfen zweier ungerader Zahlen
3) Werfen zweier unterschiedlicher Zahlen
4) Werfen von genau einer Sechs.
5) Werfen von mindestens einer Sechs.
6) Die Augensumme der geworfenen Augenzahlen ist 5 oder 9.
a)
b)
1)
2)
3)
4)
5)
­ keine Sechs geworfen
oder
6)
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Aufgabe 4
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Aufgabe 5
Oder: ( Modell mit Reihenfolge)
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1.B
2.B andere Karte
1.K
2.K Dame
(B,B,K), (B,K,B) , (K,B,B)
B: Bube, K: andere Karte
(K,K,D), (K,D,K) , (D,K,K)
K: König, D: Dame
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Aufgabe 6
Eine Firma bezieht jeweils 40 % und 60% von benötigten Teilen von 2 verschiedenen Zulieferern Z1 und Z2. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 0,5 % beträgt.
a) Wie viel % Ausschuss erhält die Firma insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1?
P(Z1) = 0,4
P(Z2) =0,6
P(A|Z1)=0,01
P(A|Z2)=0,005
0,6
0,4
Z1
Z2
0,01
A
0,005
A
A
A
a) b) Melanie Kaspar
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Aufgabe 7
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,4 sowie P(X > 100h) = 0,7. Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100h le­
ben überleben auch 200 h?
Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander?
Def. der bedingten
Wahrscheinlichkeit
=> die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig !
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Aufgabe 8
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Aufgabe 9
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Aufgabe 10
Es sei bekannt, dass bei 95 % aller defekten Geräte, eine eingebaute LED nicht aufleuchtet, während das nur bei 1 % aller Geräte der Fall ist, die O.K. sind.
Die Funktionsfähigkeit eines Gerätes wird nun anhand dieser kleinen LED geprüft. Leuchtet die LED, so wird das Gerät al O.K. eingestuft, leuchtet sie nicht, so wird das gerät als defekt eingestuft. Man weiß aus früheren Untersuchungen, dass 0,5 % aller Geräte defekt sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) ein Gerät, welches als O.K. eingestuft wurde, in Wirklichkeit defekt ist?
b) ein Gerät, welches als defekt eingestuft wurde, in Wirklichkeit O.K. ist?
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Aufgabe 11
Eine Spedition beschäftigt 2 Fahrer, Paul und Anton. Paul fährt 40% aller Touren und Anton 60%. Ab und zu passiert ein Unfall. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul in einen Unfall verwickelt ist, beträgt 0,01 und bei Anton ist diese Wahrscheinlichkeit 0,005.
a) Der Spediteur erhält die Nachricht, dass einer seiner LKW’s in einen Unfall verwickelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Fahrer Anton?
b) Sind die beiden Ereignisse: „Es ist ein Unfall passiert“ und „der Fahrer ist Anton“
voneinander stochastisch unabhängig?
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Def.: Zufallsgrößen 21.01.2013
sind zufällige Merkmale, die in einem zufälligen Versuch beobachtet werden und deren Merkmals­
ausprägungen (Realisierungen) durch Zahlenwerte (direkt
oder durch Skalierung) charakterisiert werden.
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Uns interessieren folgende Wahrscheinlichkeiten:
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1. Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsgrößen
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Aufgabe:
Zufallsexperiment: Werfen zweier Münzen
X = "Anzahl Kopf"
Gesucht: Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
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Aufgabe:
Zufallsexperiment "3 maliges Würfeln mit einem Spielwürfel"
Gesucht: a) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Sechsen.
b) Mit wie vielen Sechsen ist im Mittel zu rechnen?
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Parameter diskreter Verteilungen
Erwartungswert, Varianz und Verteilungsfunktion
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Aufgabe:
Werfen mit 2 Würfeln,
Einsatz: 1€
Gewinn: 10€ ­ Augensumme = 12
5€ ­ Augensumme = 6 1€ ­ Augensumme = 2
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