Übungsaufgaben zur Angewandten Mathematik 1

4. Übung zur Statistik
4. Semester − SS 2005
31. Man beweise die in Vorlesung angegebenen Formeln für den Erwartungswert E(X) und
die Varianz V(X) einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen X und begründe
nochmals, wie daraus die entsprechenden Formeln für die negative Binomialverteilung
folgen.
32. Man berechen die folgenden Aufgaben einmal exakt und einmal näherungsweise unter
Verwendung einer dafür geeigneten Verteilung:
a) Eine Laplace-Münze wird 20 mal geworfen. Erscheint dabei 9,10 oder 11 mal „Kopf“,
so gewinnt man einen Preis. Wie groß ist die Erfolgswahrscheinlichkeit dafür?
b) Ein Laplace-Würfel wird 6000 mal geworfen. Wie wahrscheinlich ist eine Abweichung der Anzahl der Sechsen von 1000 um mindestens 50?
33. Aus Erfahrung sei bekannt, dass unter den neugeborenen Kindern in Österreich 51%
Knaben sind und 0.2% eine bestimmte Erbkrankheit aufweisen, die einen Bluttausch
erforderlich macht. Wir groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass unter den nächsten
1000 Neugeborenen mehr als 550 Knaben sind bzw. dass unter den nächsten 1000
Neugeborenen mehr als 4 die betreffende Krankheit aufweisen? (Man überlege sich
dazu: Welche Verteilung liegt hier exakt vor und welche andere darf näherungsweise
verwendet werden?)
34. Eine Maschine produziert Bolzen, deren Durchmesser ∅ B normalverteilt ist mit Mittelwert µ B =9.8 mm und Standardabweichung σ B =0.1 mm. Eine andere Maschine bohrt
Löcher in eine Metallplatte, deren Durchmesser ∅ L ebenfalls normalverteilt sind und
zwar mit Mittelwert µ L =10 mm und Standardabweichung σ L =0.08 mm. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewählter Bolzen in ein beliebig ausgewähltes
Loch paßt? (Hinweis: Man überlege sich zunächst, welcher Verteilung die Differenz
d= ∅ B − ∅ L gehorcht, und berechne dann die Wahrscheinlichkeit P(d<0).)
35. In einer Grundgesamtheit ist ein Merkmal X normalverteilt mit unbekanntem Mittelwert
µ und bekannter Varianz σ2 = 1600. Aus einer Stichprobe vom Umfang n = 100 soll die
Hypothese H0: µ = 120 gegenüber der Alternative H1: µ ≠ 120 getestet werden. Bestimmen Sie den Annahmebereich für H0 zum Signifikanzniveau α = 0,05 sowie die
Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art β bei Gültigkeit von µ = 125, 130 bzw.
140.
36. Die Verpackung einer bestimmten Zigarettensorte weist einen mittleren Nikotingehalt
von 15 mg pro Zigarette aus. Es wird eine Zufallsstichprobe von 100 Zigaretten getestet.
Dabei ergab sich ein mittlerer Nikotingehalt von 16.5 mg und eine Standardabweichung
von 4 mg. Kann aus dem Ergebnis der Stichprobe auf 1%igem Signifikanzniveau der
Schluss gezogen werden, dass der tatsächliche Nikotingehalt im Mittel über 15 mg liegt?
Was ist der P-Wert für diesen Test?
37.Es besteht die Hypothese, dass an Samstagen und Sonntagen dreimal soviele Autounfälle
geschehen wie an jedem anderen Wochentag. Aus Polizeiberichten wurden zufällig 100
Unfallprotokolle ausgewählt und folgende Verteilung auf die Wochentage festgestellt:
Mo
5
Di
8
Mi
9
Do
7
Fr
12
Sa
31
So
28
Man teste obige Hypothese an Hand dieser Daten zum Signifikanzniveau α = 0,01 (mit
Hilfe des χ2 - Tests).
38. Zwei Stichproben für zwei unterschiedliche unabhängige normalverteilte Zufallsvariable
X und Y ergaben jeweils die Werte
x = 152.5, s x = 1.6, n x = 15
bzw. y = 159.9, s y = 1.2, n y = 12
für Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobenumfang. Man überprüfe auf einem
Signifikanzniveau von α = 0.05 ob die Erwartungswerte von X und Y übereinstimmen.
39. Man möchte gerne prüfen, ob ein Würfel „gut“ ist, d.h. ob alle Augenzahlen mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit p1 = p 2 = ... = p 6 = 1 / 6 auftreten. Dazu wirft man den
Würfel
n-mal, wobei sich für die absoluten Häufigkeiten n i der Augenzahlen i, i=1,2,..,6, ergab:
a) n 1 = 15 , n 2 = 21 , n 3 = 25 , n 4 = 19 , n 5 = 14 , n 6 = 26 mit n=120.
a) n 1 = 175 , n 2 = 215 , n 3 = 220 , n 4 = 190 , n 5 = 170 , n 6 = 230 mit n=1200.
Besteht auf einem Signifikanzniveau von α = 0.05 jeweils ein Grund an der Güte des
Würfels zu zweifeln?
40. Bei 300 Studenten werden Geschlecht ( m oder w) und Haarfarbe (h und d für hell bzw.
dunkel) festgestellt. Es stellt sich heraus, dass 200 männlich, 120 hellhaarig und 80
beides sind. Man vervollständige aufgrund dieser Angaben eine Vierfeldertafel und prüfe
auf einen Signifikanzniveau α = 0.05 die Unabhängigkeit der Merkmale Geschlecht und
Haarfarbe.